2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練28數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的應(yīng)用含解析理新人教版

PAGE專練28數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的應(yīng)用命題范圍：復(fù)數(shù)的實部、虛部、模的概念，復(fù)數(shù)的同則運算[基礎(chǔ)強化]一、選擇題1．[2024·“四省八校聯(lián)盟”聯(lián)考](1＋3i)(1－i)＝()A．4＋2iB．2＋4iC．－2＋2iD．2－2i2．[2024·全國卷Ⅲ]若z(1＋i)＝2i，則z＝()A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i3．[2024·全國卷Ⅰ]若z＝1＋i，則|z2－2z|＝()A．0B．1C.eq\r(2)D．24．假如復(fù)數(shù)eq\f(2－bi,1＋2i)(其中i為虛數(shù)單位，b為實數(shù))的實部和虛部互為相反數(shù)，那么b＝()A.eq\r(2)B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3)D．25．[2024·全國卷Ⅲ]復(fù)數(shù)eq\f(1,1－3i)的虛部是()A．－eq\f(3,10)B．－eq\f(1,10)C.eq\f(1,10)D.eq\f(3,10)6．[2024·全國卷Ⅱ]設(shè)z＝－3＋2i，則在復(fù)平面內(nèi)eq\o(z,\s\up6(－))對應(yīng)的點位于()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限7．[2024·衡水一中高三測試]已知eq\f(a＋i,i)＝b＋2i(a，b∈R)，其中i為虛數(shù)單位，則a－b＝()A．－3B．－2C．－1D．18．[2024·廣東七校聯(lián)合體二聯(lián)]設(shè)復(fù)數(shù)z滿意|z－1－i|＝eq\r(2)，則|z|的最大值為()A.eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D．49．[2024·全國卷Ⅰ]設(shè)復(fù)數(shù)z滿意|z－i|＝1，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，則()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1二、填空題10．若eq\f(a＋bi,i)(a，b∈R)與(2－i)2互為共軛復(fù)數(shù)，則a－b＝________.11．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(6＋7i,1＋2i)＝________.12．[2024·全國卷Ⅱ]設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿意|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq\r(3)＋i，則|z1－z2|＝________.專練28數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的應(yīng)用1．A(1＋3i)(1－i)＝1＋3i－i－3i2＝4＋2i.2．D本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，考查考生的運算求解實力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算．z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(2＋2i,2)＝1＋i.3．D∵z＝1＋i，∴z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝1＋2i＋i2－2－2i＝－2，∴|z2－2z|＝|－2|＝2.故選D.4．C∵eq\f(2－bi,1＋2i)＝eq\f(2－bi1－2i,5)＝eq\f(2－2b－4＋bi,5)，由題意得2－2b＝4＋b，∴b＝－eq\f(2,3).5．D利用復(fù)數(shù)除法法則得eq\f(1,1－3i)＝eq\f(1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq\f(1＋3i,10)，所以虛部為eq\f(3,10)，選D.6．C本題主要考查共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的幾何意義，意在考查考生的運算求解實力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算．由題意，得eq\o(z,\s\up6(－))＝－3－2i，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(－3，－2)，位于第三象限，故選C.7．A因為eq\f(a＋i,i)＝1－ai＝b＋2i(a，b∈R)，所以b＝1，－a＝2，則a－b＝－3，故選A.8．C復(fù)數(shù)z滿意|z－1－i|＝eq\r(2)，故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的復(fù)平面上的點是以A(1,1)為圓心，eq\r(2)為半徑的圓，|AO|＝eq\r(2)(O為坐標(biāo)原點)，故|z|的最大值為eq\r(2)＋eq\r(2)＝2eq\r(2).9．C本題主要考查復(fù)數(shù)的模的概念和復(fù)數(shù)的幾何意義，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化實力、數(shù)形結(jié)合實力、運算求解實力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運算．通解：∵z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故選C.優(yōu)解一：∵|z－i|＝1表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(x，y)到點(0,1)的距離為1，∴x2＋(y－1)2＝1.故選C.優(yōu)解二：在復(fù)平面內(nèi)，點(1,1)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝1＋i滿意|z－i|＝1，但點(1,1)不在選項A，D的圓上，∴解除A，D；在復(fù)平面內(nèi)，點(0,2)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝2i滿意|z－i|＝1，但點(0,2)不在選項B的圓上，∴解除B.故選C.10．－7解析：eq\f(a＋bi,i)＝eq\f(ia＋bi,i2)＝b－ai，(2－i)2＝3－4i，因為這兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，所以b＝3，a＝－4，所以a－b＝－4－3＝－7.11．4－i解析：eq\f(6＋7i,1＋2i)＝eq\f(6＋7i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(6－12i＋7i＋14,5)＝eq\f(20－5i,5)＝4－i.12．2eq\r(3)解析：設(shè)復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，又z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝eq\r(3)＋i，∴a＋c＝eq\r(3)，b＋d＝1，則(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋