2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)統(tǒng)考第8章立體幾何第3講空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系學(xué)案含解析北師大版

PAGE13-第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系基礎(chǔ)學(xué)問整合1．平面的基本性質(zhì)公理1：假如一條直線上的eq\x(\s\up1(01))兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線就在此平面內(nèi)．公理2：經(jīng)過eq\x(\s\up1(02))不在同始終線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面．公理3：假如兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有eq\x(\s\up1(03))且只有一條過eq\x(\s\up1(04))該點(diǎn)的公共直線．2．用集合語言描述點(diǎn)、線、面間的關(guān)系(1)點(diǎn)與平面的位置關(guān)系：點(diǎn)A在平面α內(nèi)記作eq\x(\s\up1(05))A∈α，點(diǎn)A不在平面α內(nèi)記作eq\x(\s\up1(06))A?α.(2)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系點(diǎn)A在直線l上記作eq\x(\s\up1(07))A∈l，點(diǎn)A不在直線l上，記作eq\x(\s\up1(08))A?l.(3)線面的位置關(guān)系：直線l在平面α內(nèi)記作eq\x(\s\up1(09))l?α，直線l不在平面α內(nèi)記作eq\x(\s\up1(10))l?α.(4)平面α與平面β相交于直線a，記作eq\x(\s\up1(11))α∩β＝a.(5)直線l與平面α相交于點(diǎn)A，記作eq\x(\s\up1(12))l∩α＝A.(6)直線a與直線b相交于點(diǎn)A，記作eq\x(\s\up1(13))a∩b＝A.3．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\x(\s\up1(14))平行，,\x(\s\up1(15))相交.)),異面直線：不同在\x(\s\up1(16))任何一個平面內(nèi)的兩條直線.))(2)空間平行線的傳遞性公理4：平行于同一條直線的兩條直線eq\x(\s\up1(17))相互平行．(3)定理：空間中假如兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角eq\x(\s\up1(18))相等或互補(bǔ)．(4)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的eq\x(\s\up1(19))銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\x(\s\up1(20))(0°，90°]．4．空間直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形語言符號語言公共點(diǎn)直線與平面相交a∩α＝A1個平行a∥α0個在平面內(nèi)a?α多數(shù)個平面與平面,平行個α∥β0個相交α∩β＝l,多數(shù)個1．公理2的三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面．2．異面直線判定的一個方法過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線．1．若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是()A．b?αB．b∥αC．b?α或b∥αD．b與α相交或b?α或b∥α答案D解析b與α相交或b?α或b∥α都可以．2．(2024·福州質(zhì)檢)已知命題p：a，b為異面直線，命題q：直線a，b不相交，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析若直線a，b不相交，則a，b平行或異面，所以p是q的充分不必要條件，故選A.3．設(shè)A，B，C，D是空間四個不同的點(diǎn)，在下列命題中，不正確的是()A．若AC與BD共面，則AD與BC共面B．若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線C．若AB＝AC，DB＝DC，則AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，則AD＝BC答案D解析A，B，C，D構(gòu)成的四邊形可能為平面四邊形，也可能為空間四邊形，D不成立．4．已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線c肯定()A．與a，b都相交B．只能與a，b中的一條相交C．至少與a，b中的一條相交D．與a，b都平行答案C解析由題意易知，c與a，b都可相交，也可只與其中一條相交，故A，B均錯誤；若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，依據(jù)公理4，知a∥b，與a，b為異面直線沖突，D錯誤．故選C.5．設(shè)a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α，b?平面β，則a，b肯定是異面直線．上述命題中錯誤的是________(寫出全部錯誤命題的序號)．答案②③④解析由公理4知①正確；當(dāng)a⊥b，b⊥c時，a與c可以相交、平行或異面，故②錯誤；當(dāng)a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯誤；a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內(nèi)”，故④錯誤．故填②③④.6．(2024·河南南陽模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，O為CD上的動點(diǎn)，VP－OAB恒為定值，且△PDC是正三角形，則直線PD與直線AB所成角的大小是________．答案60°解析因?yàn)閂P－OAB為定值，所以S△ABO為定值，即O到線AB的距離為定值．因?yàn)镺為CD上的動點(diǎn)，所以CD∥AB.所以∠PDC即為異面直線PD與AB所成的角．因?yàn)椤鱌DC為等邊三角形，所以∠PDC＝60°.所以直線PD與直線AB所成的角為60°.核心考向突破考向一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用例1如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA證明(1)如圖所示，連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，∴EF∥A1B.又A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴直線CE與直線D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA1．證明點(diǎn)或線共面問題的兩種方法(1)首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個平面內(nèi)；(2)將全部條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．2．證明點(diǎn)共線問題的兩種方法(1)先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；3．證明線共點(diǎn)問題的常用方法先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．提示：點(diǎn)共線、線共點(diǎn)等都是應(yīng)用公理3，證明點(diǎn)為兩平面的公共點(diǎn)，即證明點(diǎn)在交線上．[即時訓(xùn)練]1.如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)直線EG與直線FH交于點(diǎn)P.求證：P，A，C三點(diǎn)共線．證明(1)∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)由(1)知EF綊eq\f(1,2)BD，GH綊eq\f(2,3)BD.∴四邊形FEGH為梯形，∴直線GE與直線HF交于一點(diǎn)，設(shè)EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)，又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三點(diǎn)共線．精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破考向二空間兩條直線的位置關(guān)系角度1兩條直線位置關(guān)系的判定例2(1)(2024·全國卷Ⅲ)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線答案B解析如圖，取CD的中點(diǎn)F，DF的中點(diǎn)G，連接EF，F(xiàn)N，MG，GB，BD，BE.∵點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，∴點(diǎn)N在BD上，且為BD的中點(diǎn)．∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN.不妨設(shè)AB＝2，則FN＝1，EF＝eq\r(3)，∴EN＝eq\r(FN2＋EF2)＝2.∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵M(jìn)G＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(\r(3),2)，BG＝eq\r(CG2＋BC2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋22)＝eq\f(5,2)，∴BM＝eq\r(MG2＋BG2)＝eq\r(7).∴BM≠EN.∵BM，EN都是△DBE的中線，∴BM，EN必相交．故選B.(2)(2024·貴州六盤水模擬)α是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點(diǎn)，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系不行能是()A．垂直 B．相交C．異面 D．平行答案D解析∵α是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點(diǎn)，m?α，n?α，A∈m，A∈α，∴n在平面α內(nèi)，m與平面α相交，A是m和平面α的交點(diǎn)，∴m和n異面或相交，也可能異面垂直或相交垂直，但肯定不平行．故選D.角度2異面直線的判定例3(2024·許昌模擬)如下圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．答案②④解析①中GH∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，所以直線GH與MN必相交；②④中直線GH與MN是異面直線．[即時訓(xùn)練]2.(2024·太原期末)已知平面α和直線l，則α內(nèi)至少有一條直線與l()A．平行 B．相交C．垂直 D．異面答案C解析直線l與平面α斜交時，在平面α內(nèi)不存在與l平行的直線，∴A錯誤；當(dāng)l?α?xí)r，在平面α內(nèi)不存在與l異面的直線，∴D錯誤；當(dāng)l∥α?xí)r，在平面α內(nèi)不存在與l相交的直線，∴B錯誤．無論哪種情形在平面α內(nèi)都有多數(shù)條直線與l垂直．故選C.3．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，CC1①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為________(寫出全部正確結(jié)論的序號)．答案③④解析因?yàn)辄c(diǎn)A在平面CDD1C1外，點(diǎn)M在平面CDD1C1內(nèi)，直線CC1在平面CDD1C1內(nèi)，CC1不過點(diǎn)M，所以AM與CC1是異面直線，故①錯；取DD1的中點(diǎn)E，連接AE，則BN∥AE，但AE與AM相交，故②錯；因?yàn)锽1與BN都在平面BCC1B1內(nèi)，M在平面BCC1B1外，BN不過點(diǎn)B1，所以BN與MB1是異面直線，故③正確；同理④考向三異面直線所成的角例4(1)如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，AA1∶AB＝eq\r(2)∶1，則異面直線AB1與BD所成的角為________．答案60°解析取A1C1的中點(diǎn)E，連接B1E，ED，AE.在Rt△AB1E中，∠AB1E為異面直線AB1與BD所成的角．設(shè)AB＝1，則A1A＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(3)，B1E＝eq\f(\r(3),2)，因?yàn)锽1E⊥A1C1，平面A1B1C1⊥平面AA1C1C，平面A1B1C1∩平面AA1C1C＝A1C1，所以B1E⊥平面AA1C1C，又AE?平面AA1C1C，所以B1E⊥AE，所以cos∠AB1E＝eq\f(1,2)，故(2)正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，側(cè)棱長為eq\r(2)，則這個棱柱的側(cè)面對角線E1D與BC1所成的角是________．答案60°解析如圖所示，連接A1B，可知A1B∥E1D，∴∠A1BC1是異面直線E1D與BC1所成的角．連接A1C1，可求得A1C1＝C1B＝BA1＝eq\r(3)，∴∠A1BC1＝60°，即側(cè)面對角線E1D與BC1所成的角是60°.求異面直線所成角的方法(1)求異面直線所成角的常用方法是平移法．平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特別點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．(2)求異面直線所成角的三步曲：“一作、二證、三求”．①一作：依據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．②二證：證明作出的角是異面直線所成的角．③三求：解三角形，求出作出的角．假如求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；假如求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．④其中空間選點(diǎn)隨意，但要敏捷，常常選擇“端點(diǎn)、中點(diǎn)、等分點(diǎn)”，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進(jìn)行平移，作出異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形問題，進(jìn)而求解．[即時訓(xùn)練]4.如圖，在三棱錐D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F(xiàn)分別是棱DC，AB的中點(diǎn)，則EF與AC所成的角等于()A．30° B．45°C．60° D．90°答案B解析如圖所示，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，EG.∵E，F(xiàn)分別為CD，AB的中點(diǎn)，∴FG∥AC，EG∥BD，且FG＝eq\f(1,2)AC，EG＝eq\f(1,2)BD.∴∠EFG為EF與AC所成的角．∵AC＝BD，∴FG＝EG.∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，∴△EFG為等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°，即EF與AC所成的角為45°.故選B.5．(2024·湖南常德模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1A．相交但不垂直 B．相交且垂直C．異面 D．平行答案D解析連接D1E并延長，與AD交于點(diǎn)M，則△MDE∽△D1A1E，因?yàn)锳1E＝2ED，所以M為AD的中點(diǎn)．連接BF并延長，交AD于點(diǎn)N，同理可得，N為AD的中點(diǎn)．所以M，N重合，又eq\f(ME,ED1)＝eq\f(1,2)，eq\f(MF,BF)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(ME,ED1)＝eq\f(MF,BF)，所以EF∥BD1.(2024·全國卷Ⅱ)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(\r(2),2)答案C解析解法一：如圖，補(bǔ)上一相同的長方體CDEF－C1D1E1F1，連接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，則∠B1DE1為異面直線AD1與DB1所成角．因?yàn)樵陂L方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，所以DE1＝eq\r(DE2＋EE\o\al(2,1))＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，DB1＝eq\r(12＋12＋\r(3)2)＝eq\r(5)，B1E1＝eq\r(A1B\o\al(2,1)＋A1E\o\al(2,1))＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，在△B1DE1中，由余弦定理，得cos∠B1DE1＝eq\f(22＋\r(5)2－\r(5)2,2×2×\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5)，故選C.解法二：如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點(diǎn)M，連接DM，OM，易知O為BD1的中點(diǎn)，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角．因?yàn)樵陂L方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，AD1＝eq\r(AD2＋DD\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋DD\o\al(2,1))＝eq\r(5)，所以O(shè)M＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2,2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5)，故選C.解法三：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．由條件可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，eq\r(3))，B1(1,1，eq\r(3))，所以eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－1,0，eq\r(3))，eq\o(DB1,\s\up6(→))＝(1,1，eq\r(3))，則由向量夾角公式，得cos〈eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(DB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AD1,\s\up6(→))·\o(DB1,\s\up6(→)),|\o(AD1,\s\up6(→))|·|\o(DB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5)，故選C.答題啟示(1)當(dāng)異面直線所成的角不易作出或難于計(jì)算時，可考慮運(yùn)用補(bǔ)形法．(2)補(bǔ)形法的目的是平移某一條直線，使之與另一條相交，常見的補(bǔ)形方法是對稱補(bǔ)形．對點(diǎn)訓(xùn)練(2024·全國卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(10),5)D.eq\f(\r(3),3)答案C解析解法一：如圖所示，將直三棱柱ABC－A1B1C1補(bǔ)成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，連接AD1，B1D1，則AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其補(bǔ)角為異面直線AB1與BC1因?yàn)椤螦BC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝eq\r(5)，AD1＝eq\r(2).在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，所以B1D1＝eq\r(12＋22－2×1×2×cos60°)＝eq\r(3)，所以cos∠B1AD1＝eq\f(5＋2－3,2×\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10),5)，故選C.

解法二：如圖，設(shè)M，N，P分別為AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，連接MN，NP，MP，則MN∥AB1，NP∥BC1，所以∠PNM或其補(bǔ)角為異面直線AB1與BC1所成的角．易知MN＝eq\f(1,2)AB1＝eq\f(\r(5),2)，NP＝eq\f(1,2)BC1＝eq\f(\r(2),2).取BC的中點(diǎn)Q，連接PQ，MQ，可知△PQM為直角三角形，PQ＝1，MQ＝eq\f(1,2)AC.在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4＋1－2×2×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2