2023高考數(shù)學(xué)?？急乜碱}型清單-新高考-試題答案解析

2023年高考數(shù)學(xué)?？急乜碱}型總結(jié)

第一章集合&邏輯&不等式&復(fù)數(shù)&向量

例1：

解析：(1)解法1：常規(guī)解法

全集U=f-3f-2,-1,0,1,2,3},集合Z={T,0,1,2},B={-3,0,2,3}

則h〃={—2,-1,1},：.ACiCLB={-\,1},故選C.

解法2：交補(bǔ)排除法

;要求的是4n(口⑻，?,?要求的集合里的元素不能含有B集合中的元素，故排除ABD,故選c.

(2)集合力={xF—3x—4V0}=(-1,4),4={-4,1,3,5},則4例=(1,3},故選D.

例2:

解析：(I)集合尸={m<x<4}，Q={x\2<x<3］，則PClQ={x|2vxv31.故選B.

1234

，，金N*,,8={(x,y)W+『=8}

(2)???集合/={(x,y)|x,

X,『￡N，}={(1,7),(2,6),(3'

ADB={(x.叫x+y,5),(4,4)}.

???ACIB中元素的個數(shù)為4.故選C.

例3:

解析：(1)???3￡/，且4G8,???3￡8,???〃=3,故答案為3.

(2)由題意知集合力={x|x＞1](真數(shù)位置x—1＞。)?

集合8={xb21}(根號底下的數(shù)大于等于零).所以/JB,故選B.

例4:

解析：(1)由標(biāo)＞〃，解得“V?；?。＞1?

根據(jù)集合判別法可得7＞1”是“標(biāo)的充分不必要條件故選工

(2)當(dāng)〃=2〃，為偶數(shù)時，a=2nn+fi,此時sina=sin(2〃7t+/?)=sin/?,

當(dāng)A=2〃+1,為奇數(shù)時，a=2nn-\-n-fl,此時sina=sin6—/?)=sin/?,即充分性成立

當(dāng)sina=sin/Z,則a=2nn-\-tnGZ或a=2nn-\-n—p,〃WZ,

即a=A江+(-1)7,即必要性成立,則“存在使得〃=A7T+(T)*/T

是“sin”=sin?！钡某湟獥l件，故選C.

例5:

北大博士邱崇

/1、2—i_(2-i)(1-2i)_-5i__.、/n

解fiw析fc：(1)0近一(l+2i)(l-2i)-1+4-,故4fr選D?

(2)(l+2i)(2+i)=2+i+4i+2i?=5i,故選B.

(3)由z(T+i)=l-i.得z=|^|=(iSgE—i)=.i，???z=i.故選D.

例6:

解析：(1)口訣法：因?yàn)閺?fù)數(shù)巖在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，

1—i

所以中為實(shí)數(shù)，根據(jù)實(shí)虛虛實(shí)差為0得，〃=T故選C.

(2)Vz=-3+2i,Az=-3-2i,，在復(fù)平面內(nèi);對應(yīng)的點(diǎn)為(-3,—2),在第三象限.故選C.

⑴:氐=(1，芾+3i)=A+小，J虛部為小故選江

(4)解法1:常規(guī)解法復(fù)數(shù)入，V滿足方|=同=2,zi+zz=，5+i.

所以島+的|=2，二%+Zz|2=(q+z-)?4+心=4,，8+%?2+ZiZz=4t得+ZiZz--4.

，|ZI-Z2/=8-ZIZ2-2遙2=12.又％一0|＞。.故。一乙|=2"工故答案為

解法2：畫圖法結(jié)合題意，復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化成向量畫出符合的圖象如右：

設(shè)；=益，V=■君則△力“和△力。為等邊三角形,C’0^7、，

，ZABC=30°.ABC=2ABcos300=2X2X率=2退.\/

AB

例7:

解析：..3=!+2/24,???門(表)二,

239

當(dāng)且僅當(dāng)x=?,7=4時等號成立故答案為：和

例8:

解析(積為定值)：設(shè)-=。，V=b,原題轉(zhuǎn)化為5岫+加=1,求a+b的最小值?

由5帥+〃=1,可得〃=與5，由〃20，可得b￡(0,1],

?八1一從一1+4/1(?1、、1,二I4

則nil〃+b=*+6=^^=M(4b+萬齊耳.244b.萬=可.

134

當(dāng)且僅當(dāng)入=『=5,〃="2=而，可得一+/的最小值為于

北大博士邱崇

解析（和為定值）：4=（5/+jr2）-4y2=（5a+6）,4b0.|：4b）=與.（〃+彷2,

4

故/十/=“十〃2_當(dāng)且僅當(dāng)5“十。=46=2,

114

即『=,一=磊時取得等號，可得1+/的最小值為W.

/1un

例9:

解：①已知。＞0,力＞。，且。+方=1,所以（〃+力）202/+2肥，則/+》2：，故A正確.

②利用分析法：要證，只須證明即可，即。＞辦一1,由于〃＞。，b＞0,且

“+b=l,所以。＞0,A-l＜0,故B正確.

③log2。+logzb=log.MWlog.（“r）=-2f故c錯誤.

④由于。＞0,人＞0,且。+b=1.利用分析法：要證V?+5W口成立,只須對關(guān)系式

進(jìn)行平方.整理得。+6+2，^02■即,故新石&；=罕，當(dāng)且僅當(dāng)Q=b=；

時，等號成立.故D正確.

故選：ABD.

例10:

解：設(shè)力>0,。一於=1,則〃=1+",所以>=(1+〃)2,1=.

1,a21?(1+從尸/1(1+6)2

則nil工+拓=TTP+8b2對中

8b

11/.■不+b2y-T?b[

由于力＞0,所以費(fèi)一—=彳，（當(dāng)且僅當(dāng)6=1時，等號成立）

1=(1+1)?

當(dāng)力=1時,1+6--^

所以:一卷的最小值為2義；=1?故答案為：1?

UoDL

例11:

北大博士邱崇

解：x＞。，y＞Q,x+2y=5,

則（x+1疹+1）=2孫+二2注1=學(xué)學(xué)=2西+

\xyy/xyyxyyxy

由基本不等式有：2G+-y=22%商=處.

\xyVVxy

當(dāng)且僅當(dāng)2，句=合時，即.p=3.x+2j，=5時,即｛；］:或［丫=3

時等號成立，故a1產(chǎn)0的最小值為4遍.故答案為：

yxy

例12:

解析：因?yàn)?＞0,力＞0,且?guī)?1,

8ab.ab,88a+力.8Ia+b8

典忌+￡+-------=—H------+---------J-+干瑪丁=4

。+力2B2ba-\-ba+b■+〃

當(dāng)且僅當(dāng)空=擊.即〃=2+，5J=2或.=2—6.5=2+，§

取等號，故答案為：4.

例13:

解析：

因?yàn)椤?，力￡R,且〃-3〃+6=0,可得：a-3b=-6.

則2。+城=2"+2*22廳＞=2廳節(jié)=；,當(dāng)且僅當(dāng)2"=23，即a=-3,〃=1時取等號.

因此所求函數(shù)的最小值為:-故答案為：；.

例14:

北大博士邱崇

證明（常規(guī)解法）；

由題意可得，。10824+6=1即2°+6=1,a>0,b>0,

心、

則*a-\-2b=萬1+.12=/（I石+?i）（2a+?b）=萬la+."2b+.5.2九

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)??且2〃+〃=1即°=6=：時取等號，故選：D.

證明（倒數(shù)二元和最值法）：

由題意可得，。1罐24+6=1即2。+6=1,此時〃=1,a>0,力>0,

則=1+；的最小值為"（?+西）?=；x（"?l+，BH）2=9.

當(dāng)且僅當(dāng)系=?且2〃+b=l即。=8=：時取等號，故選：D.

例15:

24

解析：據(jù)題意.a=------,設(shè)，=3+fxG（l,5）,根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)八加=4.

x+：X

［

且當(dāng)x=5時，x+?4=w29,故好［4,御29\?且當(dāng)蚱［4.康29時\,■為，的單調(diào)增函數(shù).

故“的取值范圍是:。?一工、

例16:

解析：解法1：常規(guī)解法：

⑴在中,。是力“邊上的中點(diǎn),則方=CD+~DB

=而+而=麗+（AC+CD）=2CD-3.故選C.

解法2：特殊圖形法：

設(shè)△力3C是以NC為直角的等腰直角三角形，且直角邊長為2.

如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則42,0）,5（0,2）,C（0,0）?

所以。點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,所以3=（0,2）,

將ABCD四個選項(xiàng)代入計(jì)算，只有C選項(xiàng)得（0,2）,故選C

（2）解法1：常規(guī)解法：

在△/BC中，/。為8c邊上的中線，E為，。的中點(diǎn)，

麗=凝一石=方_=凝一:X；（族+AC）

二,故選A,

北大博士邱崇

解法2：特殊圖形法：

設(shè)△力8c是以//為直角的等腰直角三角形，且直角邊長為4.

如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則月(0,0),6(4,0),C(0,4),

所以0(2,2),故E(1,1),

所以前=(3.-1),石=(4,0).元=(0,4),

將力"CD四個選項(xiàng)代入計(jì)算，只有A選項(xiàng)得(3,-1),故選A.

解法3：畫圖法(看誰長的像就選誰)：

在△/8C中，畫出A,B,C,D四個選項(xiàng)中的向量，只有A選項(xiàng)和

方向量像，故選A.

例17:

解析：(1)???向量；=(1,2),1=(2,-2),???2；+%=(4,2),?乂=(1,/),

c//(2a+%???；=/解得2=；.故答案為

(2)解法1:常規(guī)解法：,??向量，;，1為單位向量，且：，辦的夾角為45。，

\/2V2—

??〃?b=\a\-|A|cos45°=1X1X—^―=—r-，又ka—〃與。垂直，

=￥?故答案為空?

??[ka—b)?a=—a.b=0.即Ze—=0g則〃

解法2：畫圖法：畫出符合題干條件的圖如圖，因?yàn)樯?1

之，1的夾角為45°,解圖中的直角三角形可得"=空.1211-

a

(3)解法1:常規(guī)解法：單位向量日|=向=1,>%=1X1X360。=：?

對于A,G+2?d=H+2^=：—2號,所以(：+29與標(biāo)垂直；

對于B,]2：+了)j=2：力+/=2乂：+1=2,所以(2：+%)與際垂直；

對于C,[a-2b)h=ab-2b=彳-2=-1,所以(a—25)與〃不垂直；

對于D,(21今?j=2；j_/=2xgT=0，所以(2【0與X垂直.故選D.

北大博士邱崇

解析：(1)解法1:常規(guī)解法

由L右為單位向量，且日+了|=1,\a+b\2=\，可得；2+2〉］+尸=1,

1+2〃b+1=1,所以2〃?力=-1.貝(||〃一=V■?—2,?5+6=

故答案為小?

解法2：畫圖法

因?yàn)??%為單位向量,且日+小=1.畫出符合的圖象如圖：

則△480為等邊三角形,故可得N/l5c=30".

在△NEC中.8c=2/5cos300=故答案為，5.

(2)向量：，工滿足而1=5，面=6,4?力=-6.可得a+b\=y/2_2*T)b

/----------------6―a?(a+b)]25—619

=,25—12+36=7.cos<〃?a+b>=~—=—=g=茲?

\a\\a+b\5X75vX7735

故選D.

例19:

解析：坐標(biāo)法

如圖，以力為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

據(jù)題意可得，工(0,0),5(2,0),P(x”，),-l<x<3?

--?A>--?

則4>=(x,y),AB=(2,0).所以"5=2x.

故萬?行的范圍是(-2,6),故選A.

例20:

解析：解法1:等和線法

如圖,連接BO.找到1倍線所在的位置,作的平行線.

當(dāng)與圓在另一?點(diǎn)E相切時.入+〃的值最大.

因?yàn)锽O與圓。相切,所以過點(diǎn)E的直線恰好是3倍線.

故選A.

1倍線

北大博士邱崇

解法2：坐標(biāo)法

如圖，以力為原點(diǎn),以48,4。所在的直線為x,『軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則力(0，0),8(1,0),0(0,2),C(1,2),

故動點(diǎn)P在以點(diǎn)。為圓心且與△。相切的圓上，設(shè)圓的半徑為廣????“。=2,CD=1.

/.BD=v/22+l2=y/5.：.^BCCD=^BDr,：.r=.

4

???圓的方程為(*-1)2+3—2)2=耳.I，

設(shè)點(diǎn)〃的坐標(biāo)為管cos0+l?竽癡0+2).Z'

??,善而+〃而，???(苧cosJ+1,苧sin0+2)~?/

=2(1,0)+〃(O,2)=("2〃)，

:}ycosG+i=。.7弋sin8+2=2〃,I

；?2+〃=2§5cos?H—^sin。+2=sin(。+0)+2,N

其中tan根=2,丁一1&sin(。+3)41,；?1W2+〃&3,46X

故2+4的最大值為3，故選A.

例21:

解析：解法1：等和線法c

首先找到1倍線的位置為AC所在的直線?一方/

過點(diǎn)/作BC的平行線/，貝!)/為A倍線所在的位置?、Z

因?yàn)榈抖ǘ?—m)元，\

所以〃|+停f)=]=〃，所以|漓=??因?yàn)閃a=9,\i

所以收1=6，心|=3.在RtA/lbC中，cosN4C8=W.故由余弦定理得

32=32+|CD|2-2x3X|CD|x1,解得CD=。或CO=5.故答案為0或?qū)?/p>

________________________________________北大博士邱崇

解法2:坐標(biāo)法如圖,以/為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以力呂,所在

直線為工，y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則6（4,0）,C（0,3）,

由刀=mPB+-/w）左，得刀=m{PA+~AB）+停一（游+%）,

整理得京=-2mAB+（2w-3）^C=-2/?（4,0）+（2/w-3）（0,3）=（-8/〃，6/〃一9）?

由力尸=9,得64〃〃+（6/〃一9尸=81,解得，〃=五或洲=0.

當(dāng)初=0時，刀=（0,—9）,此時。與〃重合"C0|二O；

當(dāng)旭=磊時,直線21的方程為尸啜"“,直線"C的方程為a+上1

4no//<■）

Q

聯(lián)立兩直線方程可得,P=3—2〃I.即/）

,?"m=’（蜀+償-3）2=y.ACO的長度是?；蜉?故答案為?；蛩{(lán).

例22:

解析：解法1：中點(diǎn)轉(zhuǎn)化式

取MN的中點(diǎn)E,連接OE.

故|指|=g|而冽=",由中點(diǎn)轉(zhuǎn)化式得斯.蘇=|笳「一|府「=|加「一；?

所以|赤|取最小時前-蘇的值最小,顯然時|0為最小,由題意可得此時的|OE|=亭.

故而?蘇的最小值為（當(dāng)號-1=y,故答案為多

解法2：坐標(biāo)法：以8為原點(diǎn)，以8c為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

=z5?.：.AD//BC.設(shè)。卜..-^-1,

?,?茄=1°-9.。），族=（-.一￥），

?,?刀.標(biāo)=-5卜0-'）+0=-5,解得X。=1.

,"修-亭）???」麗=1,設(shè)"，01,則N（x+1,0）,其中00X&5,

21n1?13

=/-4x+彳=（x-2）之+妻，當(dāng)x=2時取得最小值，最小值為y,故答案為y

_________________________________北大博士邱崇

第二章基本初等函數(shù)

例1:

解析：因?yàn)椤?。甌4=2,則log/。=2,則4“=32=9,

則廣=:故選B.

例2：

解析：把凡=3.28,7=6代入&=1+”,可得尸=0?38,

0M,

???[?)=er當(dāng)f=0時，7(0)=1f則e°38,=2,

兩邊取對數(shù)得0-38f=ln2.解得，=黑之1.8.故選B.

例3：

解析：函數(shù)J=RTj的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)J=/(x)=R彳-

貝！|/(-幻=--#7=-fM,則函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，故排除c,D.

人I1

解法1：特殊值：又因?yàn)?⑴=2>0,故排除B.故選A.

解法2：值域法：當(dāng)x>0時，P=f(x)>0,故^除B,故選A.

例4：

解析：7=/(x)=xcosx+sinx,則/(-x)=-xcosx—sinx--f(x),

???/(x)為奇函數(shù),函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除C?D.

當(dāng)x=九時，P=/(九)=加COST:+sinn=-加<0,故排除B,故選A.

例5：

解析：函數(shù)/(X)==-"X)，則函數(shù)/“)為奇函數(shù)，

IX4X

圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A，當(dāng)x=1時，/(1)=e—：>。，排除D.

當(dāng)XT+為時J(X)T+8,排除C,故選B.

例6：

解析：解法1：構(gòu)造函數(shù)采用單調(diào)性法

XX

由2*—2F<3*—3"可得2*-3*V2J'-3-"令/(x)=2-XB

則/(x)在R上單調(diào)遞增，且/U)</(『)，

所以xVy，即J—,由于方一工+1>1,故E(y—x+l)>lnl=0.

解法2：取特殊值法

取x=—l,y=0,滿足2“一2」V3r-3"此時加。一工+1)=加2>0,

ln|x-j|=lnl=0,可排除B,C,D選項(xiàng),故選A.

例7:

解析：Va=log32=log3=Vlog3酉=1B

25=

b=log53=logsi/27>log5^J.

c=-j,*?a<c<從故選A.

例8：

北大博士邱崇

解析：解法1:特殊值法

令X=1,則由已知條件可得3〉=2,夕=2,所以J，=瞿.z=瞿?

111J111，

31n2加2?/ln9.51n2加2?、，

從而3r===rv=2?5rz=-j—z-=>2,

'1In3ln3ln3'ln3ln3'

則3yV2.EV5Z,故選D.

解法2：常規(guī)法

x,j,為正數(shù)，令2、=于=于=4>1.電4>0.

則.「蚣納Z=蚯.

丸1Ig2■ylg3'lg5

?2幼_/42、__】g」lg〃

.Igh'Igv^''Igv^

■:涓={/9>^8=^/2,\/2='^32>^25=次.

???怛薩>lg^/2>Ig於>0./.3y<2x<5z.故選D.

例9：

解析：解法1：常規(guī)法

/(x)=——2x+a(鏟T+e"I)=(x—1)2+a(ex-1+e-x+,)—1,

令F=x-1,則p=，+Q(4+e，)一1為偶函數(shù).

圖象關(guān)于f=0對稱，若0有唯一零點(diǎn)，

則根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)，=0時,y=-i+2〃=o.

所以〃?故選C

解法2：幸運(yùn)數(shù)字法

令*=。,得"=。無答案；令工=1,得。=；.故選c

幸運(yùn)數(shù)字法：

只要看到題干特別復(fù)雜，尤其是函數(shù)形式，只需要從工=0、±1、±2……

往后逐個代入，若是有Mx出現(xiàn)，可代入1或e,遇到和選項(xiàng)一樣的就是答案.

例10:

北大博士邱崇

解析：解法1:數(shù)形結(jié)合法

由g(x)=0得/(外=-x-m.

作出函數(shù)/(x)和j，=-x-■的圖象如圖：

當(dāng)直線J'=-x一■的截距一。,即。27時.

兩個函數(shù)的圖象都有2個交點(diǎn),即函數(shù)*6)存在2個零點(diǎn).

故實(shí)數(shù)■的取值范圍是I—1.+8).故選C

解法2：特殊值法+數(shù)形結(jié)合法V、

令“=0,作出函數(shù)/(幻和，=-x的圖象如圖：

有兩個交點(diǎn)滿足題意,排除A.D.y

令。=-1,作出函數(shù)/(X)和歹=-x+1的圖象如圖：J5r

有兩個交點(diǎn)滿足題意,排除B.故選C.I

例11：

解析：解法?：常規(guī)解法：V函數(shù)/(X)=Inx+ln(2-x)f

:.f[l—x)=In(2—x)+Inxf

即/(x)=/(2—x),即y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，故選C.

解法2：特殊值法:因?yàn)?；)=加；+Ina,/(9)=In9+In；.

所以/(；)=/(?,故排除A,B選項(xiàng)，C對；又因?yàn)?吟)+/弓)裝0.排除【)選項(xiàng)?故選C.

例12：

解析：解法1：常規(guī)解法：由1：、+：：：'得XR土;?又〃-x)=-fM,???/(x)為奇函數(shù)；

I2x—1=FO,L

由/(x)=ln|2x+11-ln|2x-11=In=ln|Z11?

;處I=\早=1+高=I+不，=I+直.可得內(nèi)層函數(shù)'=I筠的圖象如圖.

在(?8.一￡)上單調(diào)遞減?在房,當(dāng)上單調(diào)遞增，在C,+8)上單調(diào)遞減.

又對數(shù)函數(shù)J-加，是定義域內(nèi)的增函數(shù),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得./(x)在卜8.-目上單調(diào)遞減?故選口?

解法2：特殊值法/⑴=加|2+1|-ln|2—l|=ln3>0,.

/(-I)=ln|-2+11-ln|-2-11=-In3<0,

故f⑴=~/(-I),奇函數(shù)；\

/(-2)=lnf>/(-D,SffiE除ABC故選D.

例13:

北大博士邱崇

解析：解法1:常規(guī)法

設(shè)XV。，則一x>0,???/(-x)=e*—l，:設(shè)/(x)為奇函數(shù)，???-/(x)=e*-lf

即/(x)=-ev十1?故選D.

解法2：特殊值法

二是奇函數(shù)，???/(一函=-/(l)/(D=e-l,故一/(1)=1一色

代入一1,四個選項(xiàng)分別為：

A選項(xiàng)c—l羊l—e.不符合題意；B選項(xiàng)e+l于l—e,不符合題意；

C選項(xiàng)一e—lWl-e.不符合題意；D選I頁-e+1=1—e,符合題意.故選D.

例14:

解析：解法?：常規(guī)解法

函數(shù)g(x)nnG/fTF—x)滿足4(-x)=ln(Vl+A：2+x)

=加,]+爐_工=一111(，1+*2—力)=_屋”)，

所以M(x)是奇函數(shù)?函數(shù)/(”)—五)+1,/(?)=4.

可得/(G=4=』(+42—■)+1,可得ln(，l+〃2—=3,

則/(F)=-1n(，1+M—.)+1=-3+1=-2.故答案為-2.

解法2：結(jié)論法(奇函數(shù)+常數(shù))

因?yàn)間(x)=ln(，TTP—x)是常見的奇函數(shù).

所以/(x)=In("P—x)+1滿足奇函數(shù)加常數(shù).

故/(〃)+/(-?)=2,則八-。)=-2,故答案為-2.

結(jié)論：?？计婧瘮?shù)：

fM=log.(-v/x2+l±x)

f(X)=log“芒W或f(x)=loga"W

/(x)=a"—。'或/(x)=ax—ax

/(x)=---------og/tx)=x---x-

八/a'_a、R''aa

f(x)=sinx,/(x)=tanx

1?1(x)=奇函數(shù)：/(X。)+/(-x0)=0,最大值+最小值=0;

2?f(x)=奇函數(shù)+。：/(X。)+/(-x0)=2a,最大值I最小值=2a?

例15:

解析：:函數(shù)/(x)為奇函數(shù)?若/⑴=T,則/(T)=1,

又:函數(shù)/'(X)在(-8,+8)單調(diào)遞減，-—2)W1,

???/(I)W/(x—2)W/(T),???-l^x-2^1,解得：X￡[l,3],故選D?

例16:

________________________________________北大博士邱崇

解析：解法1:數(shù)形結(jié)合法

???/（X—1）的圖象可由/（X）的圖象向右平移一個單位得到，

且/（X）是奇函數(shù)，在（-8,0）單調(diào)遞減，八2）=0.

???畫出/（x—1）的草圖如圖，要使切'（x-l）20,

/x30.JX40.

即（八-1）20,或j/（xT）W0.

結(jié)合圖象可得實(shí)數(shù)x的取值范圍是1,0]U[1,3],故選D.

解法2：特殊值法

???/（2是奇函數(shù)，在（-8,0）單調(diào)遞減，目/⑵=0,

畫出/（x）的大致圖象如圖.

取x=-3,/（—3—1）=/（-4）＞0,則一3/（—4）＜0,排除B;

取x=4,/（4—1）=/（3）＜0,則4/（3）＜0,排除4C,故選D.

例17:

解析：解法1：常規(guī)法

函數(shù)/（x）（x￡R）滿足/（—）=2-fM,即為/（x）+/（-幻=2,可得/（X）關(guān)于點(diǎn)（0,1）對稱，

函數(shù)r=望，即丁=1+工的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,1）對稱，即有（必，珀為交點(diǎn)，

即有（f,2—M）也為交點(diǎn)，&,心）為交點(diǎn),即有（-心，2—心）也為交點(diǎn)，

■

則有￡（x，+M）=（X1+J1）+（工2+『2）+...+（Xm+ym）

i=l

=y[（X[+凹）+（-x,+2—J））+（x2+必）+（-x2+2—M）

+...+（xm+jw）+（-xm+2-ym）]=ni,故選B.

解法2：特殊值（函數(shù)）法，常取基本初等函數(shù)

Y—L-1

據(jù)題意可知/（X）關(guān)于點(diǎn)（0,1）對稱,可取/（x）=x+l則7=望與＞=x+l的交點(diǎn)

分別為(1,2)和(T,0),旭=2.所以￡(X,+J，,)=1+2—1+0=2=%故選B.

抽象函數(shù)適用模型的初等函數(shù)

，(x+F)=/(幻+/(刃正比例函數(shù)/（n=Q（A*。）

/(燈)—/(*)/?)或噌)-落

累函數(shù)

+力=/(x)/WsV(.vy)=久;;

指數(shù)函數(shù)八。0"（。＞。，且“廣|）

/（?＜＞,）:/（X）+/（「）或/（：,）二/（M）/（J）

對數(shù)函數(shù)/（*）加器內(nèi)（。＞0,且。，1）

/(*)u+?

/(*)+/(X)-b

例18：

_________________________________北大博士邱崇

解析:—=/(l+x)，?二函數(shù)圖象關(guān)于x=l對稱，

又???/(x)是奇函數(shù)，二周期7=4(1—0)=4???"⑴=2,

???/(2)=/(0)=0,/(3)=/(1-2)=/(-I)=-/(1)=-2,/(4)=/(0)=0,

則/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=2+0—2+0=0,

則/⑴+/(2)+/(3)+…+/(50)=12[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(49)+/(50)

=/(1)+/(2)=2+0=2，故選C.

例19：

解析：因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，所以/(0)=冰+“。=0，得。=-1?

函數(shù)/(x)=-+〃1"導(dǎo)數(shù)7(x)=e'-。e"

若/(X)是R上的增函數(shù)，則/(x)的導(dǎo)數(shù)/'(x)=e、-ae90在R上恒成立，

變形可得：。We?,恒成立，分析可得。40,即。的取值范圍為(-8,0].

故答案為：-1;(-?>,0].

例20：

解析：技巧雙括號不等式問題

根據(jù)常見奇函數(shù).，(*)=l?(，x?+l-x)是奇函數(shù),

所以這(-v)l=|ln(口中-x)I是偶函數(shù).又因?yàn)椤?x)=X2是偶函數(shù)，

所以/W=|1?G/^E—x)l+x"是偶函數(shù),故r(|2a|)>/(|a+l|),即|2〃|>|。+1|,

變形可得：十%+igp3a2-2a-l>0,解可得：或”>1,

即■的取值范圍為(-8.-1)U(1f+8).故選D.

技巧雙括號不等式問題：

1?題干中給定復(fù)雜函數(shù)解析式(多半為加和，對數(shù)函數(shù)+指數(shù)函數(shù)/二次函數(shù)

求/5)±/(?)W(2)A的參數(shù)問題，

2.原函數(shù)具有奇偶性，且至少單側(cè)單調(diào)?

例21：

________________________________________北大博士邱崇

解析：由奇函數(shù)可得/(0)=0,由/(2—X)=/(x)+/(2).

令x=2可得/(2)=0,則/(2—x)=/(x),/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱,

所以/(*)是周期為4的周期函數(shù).當(dāng)x..x2e［0.1］,且.時,

都有‘(?一［(*)>0,所以/(X)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增?

根據(jù)以上信息可畫出函數(shù)/(X)的草圖如圖所示：

，/\h、，/\，.

-8-6\^/4~-2\^/2\^/46\^/8x

選項(xiàng)A,易得八1)十/(力=????=/aU17)十J(ZU1力=U,

/(2)=/(4)=????=/(2018)=/(2020)=0,

所以/(I)+/(2)+/(3)+-???+/(2020)=0,A正確?

選項(xiàng)B,直線，=-5是函數(shù)J—，(幻圖象的一條對稱軸，B正確?

選項(xiàng)C,函數(shù)L/(x)在卜7,7］上有7個零點(diǎn)，C不正確?

選項(xiàng)D,函數(shù)J=/(x)在17,-5］上為減函數(shù),D正確?

故選：ABD.

例22:

K\

解：由已知可得i+e“3sv)=。?95%解得e"―=萬，

兩邊取對數(shù)有—0.23(〃-53)=-ln19,解得〃=66,故選C.

例23:

解：把凡=3.28,7=6代入島=1+”,可得,?=0.38,A/(/)=e038\

當(dāng)，=0時/(0)=1,則e°如=2,兩邊取對數(shù)得0.38f=加2,解得/=器=1.8.故選B.

例24:

解：由題意,P點(diǎn)初始速度為1。7,故2點(diǎn)的速度也為107.

當(dāng)尸在靠近4點(diǎn)的三等分點(diǎn)時號10?=10?(3"解得X=10'ln1,

當(dāng)一在二等分點(diǎn)時：親，解得

所以經(jīng)過的時間為］0?(也2—加多卜10?=1,.故選D.

例25：

北大博士邱崇

解：(1)??\=3???利越大，'越小，?》=/(“)是單調(diào)遞減函數(shù)，*>0，

當(dāng)40金080時,I，最大為85,于是只需令100-13595■解得.\>3.

故道路密度x的取值范圍為(3,40).

(2)把犬=80#=50代入i，=/(x)=-A(x-40)+85中，得50=-九?40+85,

lOOx-135-x,0<x<40,

7

解得A-=*.???q=以=/(x)=

O7

--(x-40)x+85.V,40wxw80.

o

當(dāng)0VxV40時，夕單調(diào)遞增,夕V100X40—135X(g)“X40七4000;

當(dāng)40W80時，夕是關(guān)于x的二次函數(shù)，開口向下，對稱軸為x=〒，此時q有最大值,

為［x480

綜上，車輛密度4的最大值為下".

■對

答：(1)若交通流量了>95,道路密度x的取值范圍是(3,40);(2)車輛密度4的最大值為2號

例26：

皿一、…工45x10010

解：()由袒同，=507_100=丈一2,

(2)設(shè)總損失為F，則7=滅火材料、勞務(wù)津貼+車輛、器械和裝備費(fèi)+森林損失費(fèi),

y=125tx+100x+60x(500+100。

二125x+100x+30000+

=31450+100(x—2)4-^—y

231450+2^/100-62500=36450.

當(dāng)且僅當(dāng)100(x—2)=翌3，即x=27時,j，有最小值36450.

答：(1)，與*的函數(shù)關(guān)系式是，=其；(2)派27名消防隊(duì)員前去救火,才能使總損失最少.

X-L

第三章導(dǎo)數(shù)

例1:

北大博士邱崇

解：⑴/'(x)=1—gcos2xX2—sinx

241

=—(2sin2x--1)—sin.r+1=—sin2r—sin*+

(2)，(x)=ex(cosx-sinx)+1.

z-\z.zx.x—1.x+1—22

(3)/(x)=lux--------=lux---------——=InxH-----——1

x+1x+1x+1

_12_x?+l

X_X(X+1)2―x(x+l)「

1-4-v

(4)f(x)=x+Iny——=x4-In(14-x)—In(1—x),

故r(x)=i+rk—±x(T)

_2_xB-3

=-(x+l)(x—l)=(x+1)(x—1)?

例2:

解析：廣x)=4r-6x2,⑴=4-6=-2?

又.?/,⑴=1—2=-1,.J(x)的圖象在點(diǎn)(1JW)處的切線方程為

y-(-1)=-2(x—1),即j，=-2x+1,故選B.

例3：

解析：由9=+xlnx,得./=aex4-lnx+1.

當(dāng)x=l時，W*=i=〃e+1,因此曲線在點(diǎn)(l,“e)處

的切線方程為P=(〃e+l)(x-l)+ae=(〃e+l)x—l.

根據(jù)題意得｛;二;：解得｛■故選D.

例4：

解析：p=Inx+x+1,則了=5+1?設(shè)切點(diǎn)為(叫〃)，可得"x=m=1+[.

又切線斜率為2,貝U?+[=2,因此,〃=1,切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)?

則切線方程為＞-2=2(x—1),即j，=2筋

例5：

北大博士邱崇

解法一：由S=6得產(chǎn)=3A?由直線/與曲線J=機(jī)相切,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,

得切線斜率為-故切線方程為J'-Wo=五方（X—X。）■即N-2-/^>1+xo=O.

又直線/與圓.?+『=/相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（為，凹），則切線方程為MX+>〃一：=。，

檐一謂1-2v^=———I/=晨

即丫+——P-G=°.對比各個系數(shù)，得<'■解得《?

%5X1*_1x,=-i

X。一一eI

故切線方程為x—2y+l=0.

解法二：由尸=機(jī)得了=念.由直線/與曲線J，=口相切,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為

（x。,，^）,得切線斜率為.故切線方程為F—后=五|（x-/）,

即、-2后p+x0=0.又直線/與曲線x?+j?=：相切，則點(diǎn)（0,0）到/的距離

為卓.即=空，解得、。=，故切點(diǎn)為（，，因此切線方程為

3“+4廣x.1311D

P=Tx+g,故選D.

解法三：若直線/與一+尸=：相切，則原點(diǎn)到/的距離為容，只有入，D符合；

對于A，將J，=2x+1與J，=聯(lián)立，得2x—+1=0,此時無解，因此A錯；

故選D.

例6：

①求定義域解：。=1時，函數(shù)/（"）=--x—2.其定義域?yàn)镽.

②求導(dǎo)/，（x）=ev-l.

③令導(dǎo)數(shù)為。令/<*）=0*—1=0,得工=0

④分區(qū)間x-oo0+o