高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練-雙曲線

雙曲線

考綱要求

了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、

離心率、漸近線).

知識(shí)梳理

I.雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi,6(|QB|=2c>0)的距離差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于國(guó)Bl且大于零)的

點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫焦距.其數(shù)學(xué)表達(dá)式:

集合P={MIIMFi|-|MBII=2a},|尸周=2c,其中mc為常數(shù)且a>0,cX).

(1)若心，則集合P為雙曲線；

(2)若〃=c,則集合=為兩條射線;

(3)若任，則集合P為空集.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

V2f

孑一L

標(biāo)準(zhǔn)方程

(。>0,b>0)(a>0,6>0)

圖形

范圍定?；驙€一小y￡Rx￡R,底一?；騛a

對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸;對(duì)稱中心：原直

性頂點(diǎn)4(一〃,0),A2(a,0)4(0,-a),4(0,a)

質(zhì)尸等x

漸近線y=4

c

離心率e=~,e￡(l,4-oo)

線段442叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)度|AM2|=2a；線段囪&叫做雙曲線

實(shí)虛軸的虛軸，它的長(zhǎng)度囚&|=2也。叫做雙曲線的實(shí)半釉長(zhǎng),6叫做雙曲線的

虛半軸長(zhǎng)

a,b,C的關(guān)系c2=fl2+Z?2

常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

1.過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長(zhǎng)為次.

2.離心率與呼聲

3.等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于也.

4.若漸近線方程為丁=備，則雙曲線方程可設(shè)為'一￡=〃拄0).

5.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為/九

6.若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，22分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，貝”PF||min=c+。，1PBimin

7.焦點(diǎn)三角形的面積：尸為雙曲線上的點(diǎn)，尸I,尸2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且/尸/尸2=仇

方2

則AQP尸2的面積為―3

tan2

診斷自測(cè)

，思考辨析

I.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打或“X”)

(1)平面內(nèi)到點(diǎn)Fi(0,4),B(0，—4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.()

(2)平面內(nèi)到點(diǎn)產(chǎn)i(0,4),F2(0,一4)距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.()

(3)方程記一亍=1(〃心0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.()

92.

(4)雙曲線聲一方="陽(yáng)>0,/?>0,40)的漸近線方程是套［=0.()

(5)若雙曲線不一方=1(公>0,比>0)與京一u=l(a>0,b>0)的離心率分別是約，及，則溫+浴=

1.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)4(5)4

解析(1)因?yàn)镮IMBI—|聞尸2||=8=「|乃|,表示的軌跡為兩條射線.

(2)由雙曲線的定義知，應(yīng)為雙曲線的一支，而非雙曲線的全部.

(3)當(dāng)機(jī)＞0,〃:＞0時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，而機(jī)＜0,〃V0時(shí)則表示焦點(diǎn)在y軸上的

雙曲線.

〉教材衍化

2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(3,-1),且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為

答案,―/=1

解析設(shè)雙曲線方程為；I2y2=WO),把點(diǎn)A(3,1)代入，得2=8,故所求雙曲線方程

3.已知雙曲線x2一=1上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于4,那么點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)

的距離等于.

答案6

解析設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為尸2,I尸尸11=4,則IIPRI-I尸B||=2,故|PF,=6或2,又雙曲線

上的點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離的最小值為c—而一1,故|PBI=6.

＞考題體驗(yàn)

4.(2020?全國(guó)I卷)設(shè)居，尸2是雙曲線C：/一，=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸在C

上且|OP1=2,則尸2的面積為()

75

A.gB.3C.2D.2

答案B

解析法一由題知a=l,b=&c=2,Fi(-2,0),尸2(2,0),

如圖，因?yàn)閨OQ|=|OF2|=QP|=2,所以點(diǎn)P在以尸?尸2為直徑的圓上，故PQ_LPr2,則|PQ/

+|PBF=(2C)2=16.

解析由題意，得竽=平，所以。=2,所以C=，K=3,所以該雙曲線的離心率e=?=

3

-

2

考點(diǎn)分層突破考點(diǎn)聚焦?題型剖析

考點(diǎn)一雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程自主演練

I.已知雙曲線C：，一5=1（。>0，歷>0）的漸近線方程為尸域，且其右焦點(diǎn)為（5,0）,則雙

曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

，，92

人￡一二一1R工_￡一1

A.9|6-1169-1

>>2，2

Q工一二=]D工一工=J

41431

答案B

2

解析由題意得?h=今3，=/+從=25,所以。=4,b=3,所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為言r

-f,

9=-L

2.與橢圓9+產(chǎn)=1共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P（2』）的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

答案B

解析法一橢圓，+）?=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（士小，0）.

22

設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為a一方=1（*0,8>0）,

因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)尸（2,1）,

41

所以丞一/=1,又。2+后=3,

解得層=2,從=[,所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是上一方=1.

22

法二設(shè)所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x盧+4v=1（1<2<4）,

4—X1—X

41

將點(diǎn)尸（2,1）的坐標(biāo)代入可得“工工=1,

解得2=2（2=-2舍去），

所以所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為與一方=1.

3.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3,2巾），。（一6「，7）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

答案^~75=l

2

解析設(shè)雙曲線方程為蛆+〃1y1（〃皿<0）,

因?yàn)樗箅p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3,2市），0（-672,7）,

機(jī)=一污'

所以1[792m機(jī)+2+84〃9〃=l=,1,

解得

251

故所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為,一去=1.

4.焦點(diǎn)在x軸上，焦距為10,且與雙曲線?一f=l有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

答案9親1

解析設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為￡—r=一如>0）,即A蕓=1，則有4/1+4=25,解得2

=5,所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1一崇1.

感悟升華1.用待定系數(shù)法求雙曲線的方程時(shí)，先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方

程，再由條件確定〃的值，即，，先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)的位理不好確定，可將雙曲

線的方程設(shè)為5—，=4%#））或加21（機(jī)〃>0）,再根據(jù)條件求解.

2.與雙曲線,一#=1有相同漸近線時(shí)可設(shè)所求雙曲線方程為'一#=2(舁0).

考點(diǎn)二雙曲線的定義及應(yīng)用師生共研

【例1】(1)(2021?合肥質(zhì)檢八/f+y-32—4『+7+32=4表示的曲線方程為()

A.]_q=l(把一2)B.^=l(x>2)

C.^-J=l(j<-2)D.U=l°之2)

(2)已知Q,尸2為雙曲線C：/一)2=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，NRPB=60。，則4FxPFz

的面積為.

(3)已知/是雙曲線3一言=1的左焦點(diǎn)，4(1,4),P是雙曲線右支上的一動(dòng)點(diǎn)，則|PF1+|B4|

的最小值為.

答案(1)C(2)2小(3)9

解析(1八/〉+)'-32的幾何意義為點(diǎn)M(x,)，)到點(diǎn)R(0,3)的距離，寸d+)，+32的幾何意義為

點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)尸2(0,—3)的距離，則A/X2+y—3?—Y*+y+32=4表示點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)Fi(0,3)

的距離與到點(diǎn)尸2(0,-3)的距離的差為4,且所以點(diǎn)例的軌跡是以H,B為焦點(diǎn)

的雙曲線的下支，且該雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)。=2,半焦距c=3,所以從=^一層=5,則

+y-3?一、野+5+32=4表示的曲線方程為故選

4-5=10<-2),C.

(2)不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，

則|尸外|一「尸2|=2。=2、/5,

在△向PF2中，由余弦定理，得

/…IPFIF+IPBF—IBB?1

COSZF|PF2-2|PFI|-|PF2|~T

???|P劇,|PB|=8,

???SA-"="胤田園?sin60。=2祗

(3)因?yàn)槭请p曲線三一冬=1的左焦點(diǎn)，所以廣(一4,0),設(shè)其右焦點(diǎn)為"(4,0),則由雙曲線

的定義可得IPFI+I網(wǎng)=2。+|尸〃]+解生2。+兇”1=4+甲=1由F=4+5=9(當(dāng)A,尸，H

三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)).

感悟升華1.利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出

曲線方程；

2.在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合||尸加一|「乃||=2〃，運(yùn)用平方

的方法，建立與IPFM尸BI的聯(lián)系.

【訓(xùn)練1】(1)(2020?全國(guó)HI卷)設(shè)雙曲線C：=13>0,歷>0)的左、右焦點(diǎn)分別為

離心率為小.P是。上一點(diǎn)，且QP_LF2P.若△。尸1巳的面積為4,則。=()

A.1B.2C.4D.8

2

⑵已知圓G：。+3)2+尸=1和圓C2：(x-3)+r=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓G及圓。2相外切,

則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為.

答案(1)A(2)f—七=1(爛一1)

解析⑴法一設(shè)吶=機(jī)，鶴=〃，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則S"/g='〃=4,用一〃

=2a,W2+M2=4C2,又e=^=鄧,所以4=1.

從

法二由題意得，SAPF\FI=tan45^=,得加=4,

又3=5,6^=/>2+?2,所以a=L

(2)如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓Ci及圓C2分別外切于A和B.

根據(jù)兩圓外切的條件,

|MQ—18c2|=|MB|,

因?yàn)?

所以|MG|-|ACI=|MC21TBe2I，

即IMC2I—IMGI=IBC,—|AGI=2,

所以點(diǎn)/到兩定點(diǎn)G,C2的距座的差是常數(shù)且小于|GC2|=6.

又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支（點(diǎn)M與C2的距離大，與G的距離

?。?/p>

其中a=l,c=3,則從=8.

故點(diǎn)M的軌跡方程為f-十=1（蟀一1）.

考點(diǎn)三雙曲線的性質(zhì)多維探究

角度1求雙曲線的漸近線

【例2】（2019?江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線^一￡=1（方>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4）,

則該雙曲線的漸近線方程是.

答案y=4缶

解析因?yàn)殡p曲線f—5=130）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4）,所以9一矍=心0）,解得Q也即雙曲線

方程為/一蕓=1,其漸近線方程為產(chǎn)m.

感悟升華雙曲線，一〃>0）的漸近線是由，一$=0,即得兩漸近線方程也號(hào)=0.

角度2求雙曲線的離心率

[例3]（1）（2021?重慶調(diào)研）已知雙曲線'一$=1（4>0,比>0）的頂點(diǎn)到漸近線的距離為今

則該雙曲線的離心率為（）

A.2小B.2C.楙D.

92

(2)(2020?全國(guó)I卷)已知尸為雙曲線C：^-^=1(?>0,6>0)的右焦點(diǎn)，A為。的右頂點(diǎn)，B

為。上的點(diǎn)，且8尸垂直于x軸.若A8的斜率為3,則。的離心率為

答案(1)D(2)2

解析⑴由題意，知點(diǎn)(40)到直線bx—ay=0的距離為令所以微=7^^鐘仁所以

(2)點(diǎn)B為雙曲線的通徑位于第一象限的端點(diǎn)，其坐標(biāo)為(c,￡),點(diǎn)4的坐標(biāo)為(40),

此

???.的斜率為3,?.?言=3,

：.e=2

感悟升華求雙曲線離心率或其取值范圍的方法

,/+護(hù)L2

(1)求a,b,C的值，由系=—^—=1+宗直接求e.

(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式)，借助于人2=/一片消去從然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e

的方程(或不等式)求解.

￡

(1)(2021?北京東城區(qū)綜合練習(xí))雙曲線C：x2-

【訓(xùn)練2]b2=l(b>0)的漸近線與直線x=\

交于A,6兩點(diǎn)，且依切=4,那么雙曲線C的離心率為()

A.^2B.小C.2D.小

(2)已知雙曲線C：，一苴=13>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Q,B，一條漸近線為/,過(guò)點(diǎn)

尸2且與/平行的直線交雙曲線C于點(diǎn)M,若|“川=2附尸2|，則雙曲線C的離心率為()

A.A/2B.小C.小D.^6

答案(1)D(2)C

解析(1)由題意，知雙曲線C的實(shí)半軸長(zhǎng)4=1,雙曲線C的漸近線方程為、=備=±以,

把x=l代入y=垃r,得丁=功，所以|A8|=2b=4,解得匕=2,所以c=7足+b2=小,所

以離心率6=彳=小，故選D.

（2）法一不妨設(shè)漸近線/的方程為丁=壇，則點(diǎn)M在第四象限，由雙曲線的定義知網(wǎng)為|一

|MF2|=2?,又|MFI|=2|MF￥，所以|MR|=4a,|MFz|=2&設(shè)過(guò)點(diǎn)尸2且與/平行的直線的傾斜

角為a,則tana=g,所以cos

所以cosNRF2M=2.在△FiF2M中,由余弦

生煙.jmIF典2+IMBF一尸/22c2+2a2-4a2_r-

定理cos/尸1F2M—2|Fi尸2HM尸>1，仔c>—2-2c-2a,上三年，一5〃2，即mc—巾

a,所以6=^=小.

法二不妨設(shè)漸近線/的方程為尸，則由叱2〃/知，直線MB的斜率為'方程為產(chǎn)與

M+c2

（X-C）,代入雙曲線方程得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)坳=一.由雙曲線的定義知附尸1|一附「2|=%，

又|MQ|=2|MB|,所以|MH|=4a,網(wǎng)尸2|=%.

設(shè)過(guò)點(diǎn)尸2且與/平行的直線的傾斜角為。，則tana='所以

cPA-c2

c-—z-;-

所以cosa=---五---=?整理得/=5編即仁=小小所以e=W=-6

考點(diǎn)四雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用師生共研

【例4】⑴已知M（xo，泡是雙曲線C：弓一）2=1上的一點(diǎn)，尸”尸2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若

京尢?礫〈0,則泗的取值范圍是（）

用B（邛，甯

C（一唯啜D.（答,哨

（2）（2019?全國(guó)II卷）設(shè)尸為雙曲線C：「一￡=1（。＞0,力X））的右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)尸

為直徑的圓與圓/+產(chǎn)=/交于p,Q兩點(diǎn).若|PQ|=|OQ,則。的離心率為（）

A.^2B.小C.2D.由

r2v2

（3）（2021?淮南一模）已知雙曲線彳一力=1（歷＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為R,尸2,過(guò)點(diǎn)尸2的直線交

雙曲線右支于4,8兩點(diǎn)，若是等腰三角形，且N4=120。，則△A8Q的周長(zhǎng)為（）

A.號(hào)瓦~8B.45-1）

C.羊+8D.2（＞/3-2）

答案（1）A（2）A（3）A

解析（1）因?yàn)镽（—巾，0）,B（小，0）,矍一4=1,所以而「硫=（一小一沖，一加）?（小一

的，一”）=焉+）專一3＜0,即3）^—1＜0,解得一坐＜刈＜^.

（2）設(shè)雙曲線C：，一方=1（。＞0,人＞0）的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（c,0）.則c=7足+b?,如圖所示，

由圓的對(duì)稱性及條件|PQ|=|OF1可知，PQ是以。尸為直徑的圓的直徑，且PQ_LOE設(shè)垂足為

M,連接OP,則|0尸|=a,|OM|=|MP|奇在RlAOPM中，lOMp+IM/kio砰得（9+

修）2=。2，故。=巾,即6=也.

97

（3）由雙曲線，一，=1（比＞0）,可得。=2,

如圖所示，設(shè)|A尸2|=加，

\BF^=n.

可得|AFi|=4+，〃，

|?FI|=4+M.

|AFI|=|AB|,

.*.4+w=w+z?,解得〃=4.

作垂足為。，則。為發(fā)段BQ的中點(diǎn)，ZF,AD=60°,

???|所|=坐4+巾），

.,?孚（4+/n）x2=4+〃，

即4（4+6）=4+〃.

又〃=4,代入解得〃?=孚一4.

.,.△ABFi的周長(zhǎng)=4+帆+機(jī)+〃+4+〃=8+2（巾+〃）=8+粵'故選A.

感悟升華1.雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用涉及知識(shí)較寬，如雙曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、對(duì)稱性、

漸近線、離心率等多方面的知識(shí)，在解決此類問(wèn)題時(shí)要注意與平面幾何知識(shí)的聯(lián)系.

2.與雙曲線有關(guān)的取值范圍問(wèn)題的解題思路

（1）若條件中存在不等關(guān)系，則借助此關(guān)系直接變換轉(zhuǎn)化求解.

（2）若條件中沒(méi)有不等關(guān)系，要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系或借助曲線中不等關(guān)系來(lái)解決.

,2

【訓(xùn)練3】（1）（2020?全國(guó)n卷）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線4=。與雙曲線C：5=1（。＞0,

比＞0）的兩條漸近線分別交于。，E兩點(diǎn).若AODE的面積為8,則C的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

o2

（2）已知點(diǎn)（1,2）是雙曲線，一卓=1（心0,比＞0）上一點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.（1,鄧）B.（1,明

C.（小，+oo）D.（坐,H-oo'j

答案(1)B(2)C

解析(1)不妨設(shè)。位于第一象限，雙曲線的漸近線方程為丁=備，分別與x=a聯(lián)立，可得

D(a,b)tE(m-b),

則|￡>E|=2b.

:40DE=^xa^\DE\=px2Z?=ab=S,

：.ci=a2-^-b2>2ab=\6.

當(dāng)且僅當(dāng)《=b=2啦時(shí)，等號(hào)成立.

????的最小值為16,???c的最小值為4,

AC的焦距的最小值為2x4=8.

d?I4*力2

⑵已知點(diǎn)(1⑵是雙曲線于一百=l(a>0,6>0)上一點(diǎn)，得薩一鏟=1,即薩=從+4,

所以e=2=1/1+4=、護(hù)+5>\后,所以。\行.

、課后鞏固作業(yè),分層訓(xùn)練?提升能力

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.(2019?北京卷)已知雙曲線示一)2=l(a>0)的離心率是小，則〃=()

A.A/6B.4C.2D.1

答案D

解析由雙曲線方程，一)2=1,得〃=],.?./=/+]

?一，dM+l1

??5=e=招=丁=1+丞.

結(jié)合￡7>0,解得6(=2-

2.若雙曲線接一5=13>0,">0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心

率為(

A.于B.5C.^2D.2

答案A

解析由題意知焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，雙曲線的漸近線方程為、號(hào)=0,即

bx±ay=0,

\bc\

???2。==6.又/+/=c2,，5。2=/.

/='=5,，6=於

3.以橢圓，+]=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程為()

29

A.M—?=1B.y—y2=1

C.X2—'^=1D.]—q=]

答案A

解析設(shè)要求的雙曲線方程為，一務(wù)=1(。＞0,比＞0),由橢圓3+^=1,得橢圓焦點(diǎn)為(土1,0),

在x軸上的頂點(diǎn)為(±2,0).所以雙曲線的頂點(diǎn)為(±1,0),焦點(diǎn)為(±2,0).所以。=1,c=2,所

2

以護(hù)=/一/=3,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/一1=1.故選A.

4.已知B，巳為雙曲線C：f-V=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上尸外|=2仍以，則8s/F\PF?

=()

A-4B-5C-4D-5

答案C

解析由』一產(chǎn)=2,知a=b=幣,c=2.由雙曲線定義知，|PQ|一|PF2l=2a=26，又|PQ|

=2|PF2|,

???|P尸I|=4限,|P尸d=2啦,

在△PBB中，|QBI=2c=4,由余弦定理，得

“IPF『+|P&|2一3

cos-

NF1PF2—2\PFi\-\PF2\4-

5.(2020?浙江卷)已知點(diǎn)0(0,0),4(一2,0),8(2,0).設(shè)點(diǎn)尸滿足照|一匹用=2,且尸為函數(shù)y

=3N4一一圖象上的點(diǎn),則|0?1=()

A.孽B.呼C.巾D.V10

答案D

解析由題意，知點(diǎn)P的軌跡是以2為實(shí)軸長(zhǎng)，4為焦距的雙曲線的一支，

對(duì)應(yīng)的方程為f^IgO).①

函數(shù)y=344—f可轉(zhuǎn)化為

f+號(hào)=4。川).②

聯(lián)立①②，解得工=挈，)=柏，

即娉,蝸,如圖.

(0,6)的直線為/.若C的一條漸近線與/平行，另一條漸近線與/垂直，則雙曲線C的方程

為()

A-f-f=1B.『一?=]

答案D

解析由題意知拋物線的焦點(diǎn)為尸（10）,直蝮/的斜率

ki=*~7=—^=—^,解得a=l.

U—1a

又??3（一與=一1,：.b=a=\,

???雙曲線。的方程為/一）?=1.故選D.

二、填空題

7.已知〃＞加＞0,橢圓G的方程為E+1=1，雙曲線C2的方程瑜一方=1,G與C2的離

心率之積為坐，則C2的漸近線方程為.

答案x±\{2y=0

解析橢圓G的離心率為巡京，雙曲線C2的離心率為“手，所以卑1%尹=

坐，即/=4/,所以〃=讓〃，所以雙曲線C2的漸近線方程是丁=4/，即啟柩，=0.

8.（2020?北京西城區(qū)模擬）能說(shuō)明“若旭（〃+2）和，則方程'+系=1表示的曲線為橢圓或

雙曲線”是錯(cuò)誤的一組m,〃的值是.

答案當(dāng)加=〃+2X）且％0,〃土一2時(shí)，方程表示的曲線為圓，取力=1,則機(jī)=3（答案不

唯一，滿足要求即可）

9.（2021?太原調(diào)研）已知Q,尸2分別是雙曲線C：J2—f=l的上、下焦點(diǎn)，P是其一條漸近

線上的一點(diǎn)，且以Q尸2為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則尸2的面積為.

答案也

解析設(shè)尸（出，”），不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線C的過(guò)一、三象限的漸近線x—y=o上，因此可

得項(xiàng)一泗=0.凡（0,啦），尸2（0,一啦），所以方尸d=2啦，以吊尸2為直徑的圓的方程為f+

沏一方=0,

9=2,又以長(zhǎng)民為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,所以就+）*=2.由得|對(duì)=1,于是

.京+4=2

SA尸尸尸2=1尸匹卜網(wǎng)=%2mxl=0.

三、解答題

10.(2020?東北三省三校聯(lián)考)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)Fi，后在坐標(biāo)軸上，離心率

為血，且過(guò)點(diǎn)P(4,-Vw).

⑴求雙曲線的方程：

(2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上，求證：濟(jì)已流=0.

⑴解,?7=也，

，可設(shè)雙曲線的方程為/一丁="￥0).

???雙曲線過(guò)點(diǎn)(4,-Vlo),.,.16-10=2,即4=6.

?,?雙曲線的方程為x2—)7=6,即,―3=1.

⑵證明法一由(1)可知，a=b=#,

，c=2小，"(一2小，0),尸2(2小，0),

22

kMFvkMF2=°〃\

9—123

?.?點(diǎn)M(3,血)在雙曲線上，.*.9—.7Z2=6,m2=3,

故kMFvkMF2=~1,：?MFJMP〉，M卻MA=0.

法二由(1)可知，a=b=#,.*.(?=2-73>

?才|(一2小,0),尸2(2小,0),

A7/"I=(—2,\/3—3,一〃?),47^2=(2小—3,—w),

???諾??旗=(3+2小)x(3-2小)+療=-3+小，

1點(diǎn)M(3,6)在雙曲線上，???9一稼=6,即加2—3=0,

???辦??砥=0.

11.(2021?福州模擬)已知雙曲線C的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，其漸近線方程為y=±<2A-,過(guò)點(diǎn)

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)是否存在被點(diǎn)8(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直線，的方程；如果不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

解(1)雙曲線c的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，其漸近線方程為y=m,

設(shè)雙曲線方程為『一曰=，理0),

過(guò)點(diǎn)“4，1),代入可得2=1,

所求雙曲線方程為/一

(2)假設(shè)直線/存在.設(shè)8(1,1)是弦MN的中點(diǎn)，且“(司，ji),Ng”)，則制+及=2,yi

+”=2.

因?yàn)镸,N在雙曲線上，

2xj-yi=2

所以t