2021屆湖南省婁底市婁星區(qū)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

第第頁(yè)2020-2021學(xué)年湖南省婁底市婁星區(qū)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題時(shí)量：120分鐘分值：150分一、選擇題（本大題共8小題，總分40分）1.定義集合運(yùn)算：A*B=z|z=xy,x∈A,y∈B.設(shè)A.0 B.2 C.3 D.62.已知函數(shù)f(x)=log2x,x>0,2x,xA.(-∞,-1) B.(0,23.若不等式|x-1|<a成立的充分條件為0<x<4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.a|a≥3 B.a|a≥14.如圖在梯形ABCD中，BC=2AD，DE=EC，設(shè)BA=a,BCA.12a+14bB.5.已知向量a=(x,2),b=(2,y),則|A.3 B.10 C.11 D.26.已知函數(shù)f(x)=ex+e-x，若a=f(21.1)A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a7.A4紙是生活中最常用的紙規(guī)格．A系列的紙張規(guī)格特色在于：①A0、A1、A2…、A5，所有尺寸的紙張長(zhǎng)寬比都相同；②在A系列紙中，前一個(gè)序號(hào)的紙張以兩條長(zhǎng)邊中點(diǎn)連線為折線對(duì)折裁剪分開(kāi)后，可以得到兩張后面序號(hào)大小的紙，比如1張A0紙對(duì)裁后可以得到2張A1紙，1張A1紙對(duì)裁可以得到2張A2紙，依此類推．這是因?yàn)锳系列紙張的長(zhǎng)寬比為2A.14.8厘米 B.21.0厘米 C.29.7厘米 D.42.0厘米8.若函數(shù)fx=3sinx+cosx在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)，且f(a)=-A.是增函數(shù) B.是減函數(shù)

C.可以取得最大值2 D.可以取得最小值-二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題滿分5分，每小題少選按2分計(jì)算，多選或選錯(cuò)按0分計(jì)算）9.已知某樣本的容量為50，平均數(shù)為70，方差為75.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時(shí)，其中的兩個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，一個(gè)錯(cuò)將80記錄為60，另一個(gè)錯(cuò)將70記錄為90.在對(duì)錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為x，方差為s2A.x=70 B.x>70， C.10.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若(a2+c2A.π6 B.π3 C.2π11.某工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求雜質(zhì)含量不得超過(guò)0.1％，而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為2％，現(xiàn)進(jìn)行過(guò)濾，已知每過(guò)濾一次雜質(zhì)含量減少13，則使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求的過(guò)濾次數(shù)可以為(參考數(shù)據(jù)：lgA.6 B.9 C.8 D.712.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+9,x≤1x+4A.1 B.2 C.3 D.4三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.為了求函數(shù)f(x)=2x+3x-7的一個(gè)零點(diǎn)，某同學(xué)利用計(jì)算器得到自變量xx1.251.31251.3751.43751.51.5625f(x)0.021010.328430.64115則方程2x+3x=7的近似解(精確度0.1)14.已知方程cos2x+4sinx-a=0在x∈[0,π]時(shí)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍________．

15.已知函數(shù)f(-π8)的值為_(kāi)_______．

16.已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)镈，若滿足①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[a,b]?D上的值域?yàn)閇a2,b2]，那么就稱y=f(x)且a≠1)是“半保值函數(shù)”，則t三、解答題（本大題共6小題，共70分，第17題滿分10分，其余每題滿分12分）17.已知a=(1,0)，b(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka-b與a+2b共線QUOTE(2)若AB=2a+3b，且A，B，C18.已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是z，i是虛數(shù)單位，且滿足z+2z(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若復(fù)數(shù)z(2-mi)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)19.已知．(1)化簡(jiǎn)f(α)；(2)若α是第三象限角，且，求f(α)的值；(3)若α=-31π320.中國(guó)“一帶一路”倡議提出后，某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來(lái)的機(jī)遇，決定開(kāi)發(fā)生產(chǎn)一款大型電子設(shè)備，生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本為500萬(wàn)元，每生產(chǎn)x臺(tái)需要另投入成本C(x)(萬(wàn)元).當(dāng)年產(chǎn)量不足80臺(tái)時(shí)，Cx=12x2+40x(萬(wàn)元)，當(dāng)年產(chǎn)量不小于80(1)求年利潤(rùn)y(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式．(2)年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一電子設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？并求出這個(gè)最大利潤(rùn)．

21.如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，BC//AD，CE⊥AD，垂足為E，AD=3BC=3，EC=1.將?DEC沿EC折起到ΔD1EC的位置，如圖2(Ⅰ)連結(jié)BE，證明：AB⊥平面D(Ⅱ)在棱AD1上是否存在點(diǎn)G，使得BG//平面D1EC，若存在，直接指出點(diǎn)G的位置(不必說(shuō)明理由22.設(shè)函數(shù)f(x)=kax-2a-x(a>0,a≠1,k∈R)，f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．

(1)確定k的值；

(2)若f(1)=3，函數(shù)g(x)=a2x+在，請(qǐng)求出所有的正整數(shù)λ；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2021年上學(xué)期高一期中考試數(shù)學(xué)答案一、選擇題（本大題共8小題，共40分）定義集合運(yùn)算：A*B=z|z=xy,x∈A,y∈B.設(shè)A.0 B.2 C.3 D.6【答案】D【解析】本題考查了元素的性質(zhì)，元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，結(jié)合題目的新運(yùn)算法則，可得集合A*B中的元素可能的情況；再由集合元素的互異性，可得集合A*B，進(jìn)而可得答案．

【解答】

解：依題意，當(dāng)x=1，y=0時(shí)，z=0，

當(dāng)x=1，y=2時(shí)，z=2，

當(dāng)x=2，y=0時(shí)，z=0，

當(dāng)x=2，y=2時(shí)，z=4，

則A*B={0,2，4}，其所有元素之和為6，

故選已知函數(shù)f(x)=log2x,x>0,2x,x≤0,則f(a)<1A.(-∞,-1)B.(0,2)【答案】D【解析】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)和分段函數(shù)不等式求解，屬于基礎(chǔ)題．分區(qū)間討論不等式的解集，取兩者之并即可得出原不等式的解集．

【解答】

解：由題意，若a>0，則不等式f(a)<12可化為log2a<12，解得a∈0,2，

若a?0，則不等式f(a)<12若不等式|x-1|<a成立的充分條件為0<x<4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

A.a|a≥3 B.a|a≥1【答案】A【解析】本題考查充分條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．

由已知中不等式|x-1|<a成立的充分條件是0<x<4，令不等式的解集為A，可得x|0<x<4?A，可以構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解不等式組即可得到答案．

【解答】

解：∵不等式|x-1|<a成立的充分條件是0<x<4，

設(shè)不等式的解集為A，則x|0<x<4?A，

當(dāng)a≤0時(shí)，A=?，不滿足要求；

當(dāng)a>0如圖在梯形ABCD中，BC=2AD，DE=EC，設(shè)BA=a,BC=b，則BE=

A.12a+14bB.【答案】D【解析】本題考查的是向量的運(yùn)算以及平面向量基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，難度不大．

本題利用三角形法則，將所求向量通過(guò)轉(zhuǎn)化最后用已知向量表示出來(lái)即可．

【解答】

解：取BC中點(diǎn)F，連接FA，

因?yàn)樵谔菪蜛BCD中，BC=2AD，所以四邊形ADCF是平行四邊形，

所以FA//CD，F(xiàn)A=CD，

則BE=BC+CE=BC+12CD已知向量a=(x,2),b=(2,y),c=(2,-4),且A.3 B.10 C.11 D.2【答案】B【解析】【分析】本題考查向量的數(shù)量積，考查向量平行及垂直的判斷與證明，考查向量的模，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

由題已知計(jì)算可得x=-1，y=1，即可得a-b=(-3,1)，即可得到答案．

【解答】解：由題得向量a=(x,2)，b=(2,y)，c=(2,-4)，

且a//c，，

∴a//c?已知函數(shù)f(x)=ex+e-x，若a=f(21.1)，b=f(A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a【答案】D【解析】【分析】

本題考查指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，屬于中檔題，首先根據(jù)f(-x)=f(x)知f(x)為偶函數(shù)，因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，然后根據(jù)對(duì)數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可．

【解答】

解：由f(-x)=f(x)，知f(x)為偶函數(shù)，

因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，

又由2=log24>log23，1=log2?27.A4紙是生活中最常用的紙規(guī)格．A系列的紙張規(guī)格特色在于：①A0、A1、A2…、A5，所有尺寸的紙張長(zhǎng)寬比都相同；②在A系列紙中，前一個(gè)序號(hào)的紙張以兩條長(zhǎng)邊中點(diǎn)連線為折線對(duì)折裁剪分開(kāi)后，可以得到兩張后面序號(hào)大小的紙，比如1張A0紙對(duì)裁后可以得到2張A1紙，1張A1紙對(duì)裁可以得到2張A2紙，依此類推．這是因?yàn)锳系列紙張的長(zhǎng)寬比為2:1這一特殊比例，所以具備這種特性．已知A0A.14.8厘米 B.21.0厘米 C.29.7厘米 D.42.0厘米【答案】C【解析】【分析】

本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意設(shè)A4紙的長(zhǎng)度為x，118.9x=(2)4=4，可求解答案．

【解答】

解：設(shè)A4紙的長(zhǎng)度為x8.若函數(shù)fx=3sinx+cosx在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)，且f(a)=-A.是增函數(shù) B.是減函數(shù)

C.可以取得最大值2 D.可以取得最小值-【答案】C【解析】【分析】

本題考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，涉及輔助角公式和誘導(dǎo)公式，屬于中檔題．

由題意和輔助角公式以及誘導(dǎo)公式得出g(x)的圖象由f(x)得圖象向左平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度所得，然后由圖像變換可得答案．

【解答】

解：f(x)=3sinx+cosx=2sin(x+π6)，g(x)=3cosx-sinx=2cos(x+π6)=2sin(x+π6+π2)，

9.已知某樣本的容量為50，平均數(shù)為70，方差為75.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時(shí)，其中的兩個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，一個(gè)錯(cuò)將80記錄為60，另一個(gè)錯(cuò)將70記錄為90.在對(duì)錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為x，方差為s2A.x=70 B.x>70， C.【答案】AC【解析】本題主要考查了平均數(shù)，方差，屬于基礎(chǔ)題．

先求出平均數(shù)，再70-602+70-902=500因?yàn)?0-602+70所以s2故選AC．10.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若(a2+A.π6 B.π3 C.2π【答案】BC【解析】本題主要考查考查解三角形，余弦定理，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式及余弦定理即可求解．

【解答】

解：由余弦定理得a2+c2-b2=2accosB，

因?yàn)?a2+c211.某工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求雜質(zhì)含量不得超過(guò)0.1％，而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為2％，現(xiàn)進(jìn)行過(guò)濾，已知每過(guò)濾一次雜質(zhì)含量減少13，則使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求的過(guò)濾次數(shù)可以為(參考數(shù)據(jù)：A.6 B.9 C.8 D.7【答案】BC【解析】本題考查實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，設(shè)至少需要過(guò)濾n次，則0.02×(23)n≤0.001，進(jìn)而可建立不等式，由此可得結(jié)論．

【解答】

解：設(shè)至少需要過(guò)濾n次，則0.02×(23)n≤0.001，

即(23)n≤120，

所以nlg23≤lgA.1 B.2 C.3 D.4【答案】BCD【解析】本題考查分段函數(shù)的最值問(wèn)題，處理時(shí)應(yīng)對(duì)每段函數(shù)進(jìn)行分類討論，找到每段的最小值，屬中檔題．

當(dāng)x>1時(shí)，利用基本不等式可知f(x)min=4+a，當(dāng)x?1時(shí)，若f(1)為最小值，需使得對(duì)稱軸滿足x=a?1，且由分段函數(shù)，f(1)?4+a，進(jìn)而求解即可．

【解答】

解：當(dāng)x>1，f(x)=x+4x+a?4+a，

當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，等號(hào)成立；

當(dāng)x?1時(shí)，f(x)=x2-2ax+9為二次函數(shù)，要想在x=1處取最小，

則對(duì)稱軸要滿足x=a?1，且f(1)?4+a，

即1-2a+9?a+4，解得a?2，

結(jié)合選項(xiàng)可知a的值可以是213.為了求函數(shù)f(x)=2x+3x-7x1.251.31251.3751.43751.51.5625f(x)0.021010.328430.64115則方程2x+3x=7的近似解(精確度【答案】1.4【解析】【分析】

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)存在定理、用二分法求方程的近似解的相關(guān)知識(shí)，試題難度較易．

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理、用二分法求方程的近似解的相關(guān)知識(shí)，代值求解即可．

【解答】

解：由題表知f(1.375)·f(1.4375)<0，且1.4375-1.375=0.0625<0.1，

所以方程的一個(gè)近似解可取為1.4，

故答案為1.4．

14.已知方程cos2【答案】[1,4]【解析】本題主要考查了三角函數(shù)的同角公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，方程得零點(diǎn)，屬于中檔題．

方程cos2x+4sinx-a=0在x∈[0,π]時(shí)有解，轉(zhuǎn)化為y=cos2x+4sinx，x∈[0,π]與y=a有交點(diǎn)，求出函數(shù)的值域即可得出a的取值范圍．

【解答】

解：方程cos2x+4sinx-a=0在x∈[0,π]時(shí)有解，

轉(zhuǎn)化為y=【答案】-2【解析】【分析】

本題考查考查函數(shù)的奇偶性，三角函數(shù)的性質(zhì)，輔助角公式，屬于中檔題．是解題的關(guān)鍵，結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)求出，進(jìn)而可得答案．

【解答】

解：由題設(shè)得是定義在R上的奇函數(shù)，則，

由，得

則，．

故答案為-2．

16.已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)镈，若滿足①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[a,b]?D使f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇a2,b2]，那么就稱y=f(x)為“半保值函數(shù)”，若函數(shù)f(x)=loga(ax+【答案】(【解析】解：∵函數(shù)f(x)=loga(ax+t2)(a>0且a≠1)是“半保值函數(shù)”，

由a>1時(shí)，z=ax+t2在R上遞增，

y=logaz在(0,+∞)遞增，可得f(x)為R上的增函數(shù)；

當(dāng)0<a<1時(shí)，z=ax+t2在R上遞減，

y=logaz在(0,+∞17.已知a=(1,0)，b(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka-b與a+2b共線QUOTE(2)若AB=2a+3b，且A，B，C【答案】解：(1)ka-b因?yàn)閗a-b與a+2b(2)因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，

所以AB=λBC(λ∈R)，即2a【解析】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線的充要條件．

(1)結(jié)合已知易得ka-b=k-2,-1,a+2b=5,2，再結(jié)合向量共線定理可得2(k-2)-(-1)×5=0，解方程即可求出k(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若復(fù)數(shù)z(2-mi)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)【答案】解：(1)設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)，則于是x+yi+2(x-yi)=(5+i)(1-所以3x=3-y=-2，解得故|z|=1(2)由(1)得z(2-由于復(fù)數(shù)z(2-所以2+2m>04-m>0，

解得-1<m<4.

所以【解析】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的幾何意義,共軛復(fù)數(shù),屬于基礎(chǔ)題．

(1)設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等求得x，y，即可得到復(fù)數(shù)(2)由(1)求得復(fù)數(shù)z(2-mi)的實(shí)部和虛部，由實(shí)部和虛部都大于0解得19.已知

f(1)化簡(jiǎn)f(α)；(2)若α是第三象限角，且cosα-3π(3)若α=-31π3【答案】解：(1)fα(2)∵cosα又α是第三象限的角，∴cosα=-(3)f-【解析】【試題解析】

本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值和證明的相關(guān)知識(shí)，試題難度一般．

(1)直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可；

(2)利用誘導(dǎo)公式可得sinα=-15，然后利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出結(jié)果；

(3)利用誘導(dǎo)公式求解即可．

20.中國(guó)“一帶一路”倡議提出后，某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來(lái)的機(jī)遇，決定開(kāi)發(fā)生產(chǎn)一款大型電子設(shè)備，生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本為500萬(wàn)元，每生產(chǎn)x臺(tái)需要另投入成本C(x)(萬(wàn)元).當(dāng)年產(chǎn)量不足80臺(tái)時(shí)，Cx=12x2+40x((1)求年利潤(rùn)y(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式．(2)年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一電子設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？并求出這個(gè)最大利潤(rùn)．【答案】解：(1)當(dāng)0<x<80時(shí)，y=100x-(12x2+40x)-500=-12x2+60x-500，

當(dāng)x≥80時(shí)，y=100x-(101x+8100x-2180)-500=1680-(x+8100x)，

于是y=-12【解析】本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查基本不等式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．

(1)通過(guò)利潤(rùn)=銷售收入-成本，分0<x<80、x≥80兩種情況討論即可；

(2)通過(guò)(1)配方可知當(dāng)0<x<80時(shí)，當(dāng)x=60時(shí)y取得最大值為1300(萬(wàn)元)，利用基本不等式可知當(dāng)x≥80時(shí)，當(dāng)x=90時(shí)y取最大值為1500(萬(wàn)元)，比較即得結(jié)論．

21.如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，BC//AD，CE⊥AD，垂足為E，AD=3BC=3，EC=1.將?DEC沿EC折起到ΔD(Ⅰ)連結(jié)BE，證明：AB⊥平面D(Ⅱ)在棱AD1上是否存在點(diǎn)G，使得BG//平面