2024-2025學(xué)年廣東省廣州市龍濤教育集團(tuán)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年廣東省廣州市龍濤教育集團(tuán)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選擇項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）下列是小紅借助旋轉(zhuǎn)、平移或軸對稱設(shè)計(jì)的四個圖案，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列說法中，正確的是（）A．隨機(jī)事件發(fā)生的概率為 B．概率很小的事件不可能發(fā)生 C．投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)一定為50次 D．不可能事件發(fā)生的概率為03．（3分）如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于P，∠APD＝75°，則∠B＝（）A．15° B．40° C．35° D．75°4．（3分）已知拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個交點(diǎn)為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+2024的值為（）A．2023 B．2024 C．2025 D．20265．（3分）下列四個命題：（1）垂直于弦的直徑平分弦；（2）全等的三角形是相似三角形；（3），它們所對的弧也相等；（4）等弧所對的圓心角相等．其中真命題有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個6．（3分）下列y關(guān)于x的函數(shù)中，當(dāng)x＞0時，函數(shù)值y隨x的值增大而減小的是（）A．y＝x2 B． C． D．y＝﹣x2+27．（3分）若兩個連續(xù)奇數(shù)的積為63，則這兩個數(shù)的和為（）A．16 B．17 C．±16 D．±178．（3分）已知二次函數(shù)y＝3（x+2）2的圖象上有三點(diǎn)A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y19．（3分）如圖，AD是⊙O的直徑，BC是弦，AC與OB相交于點(diǎn)P，下列結(jié)論錯誤的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB10．（3分）如圖所示是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，該函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝1；②方程ax2+bx+c＝0一定有一個根在﹣2和﹣1之間；③方程ax2+bx+c﹣＝0一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；④b﹣a＜2．其中（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11．（3分）下列方程中，屬于一元二次方程的有（填題號）．①2x2﹣3y﹣5＝0；②x2﹣5＝0；③x2＝2x；④+4＝x2；⑤y2﹣y﹣3＝012．（3分）將拋物線y＝﹣2x2向上平移3個單位長度，再向右平移5個單位長度，所得拋物線解析式為．13．（3分）若點(diǎn)M（3，a﹣2），N（b，a）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則a+b＝．14．（3分）如果一元二次方程（m﹣2）x2+4x+m2﹣4＝0有一個根為0，則m的值為．15．（3分）如圖，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，若△PCD的周長是20，則PA的長是16．（3分）如圖，若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，PA＝3，PC＝，求∠APB的度數(shù)．三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．（6分）解下列方程：（1）（x﹣1）2＝9（2）x2﹣3x+2＝018．（4分）如圖，AD＝CB，求證：AB＝CD．19．（6分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDC．若點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，且∠ACB＝20°20．（6分）已知關(guān)于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有兩個實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且﹣4，求實(shí)數(shù)k的值．21．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)分別是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把△ABC向左平移4個單位后得到對應(yīng)的△A1B1C1，請畫出平移后的△A1B1C1；（2）畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對稱的△A2B2C2；（3）觀察圖形可知，△A1B1C1與△A2B2C2關(guān)于點(diǎn)中心對稱．（寫出坐標(biāo)）22．（8分）如圖，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，連接OB，DB．若AB＝4，求△BOD的面積．23．（10分）某網(wǎng)店銷售一種小商品，成本為每件20元，銷售大數(shù)據(jù)分析表明：當(dāng)每件商品的售價為30元時，則月銷售量就減少10件．設(shè)每件商品的售價為x元，月銷售數(shù)量為y件（1）求y與x、w與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若月銷售利潤2640元，求x的值；（3）月銷售利潤是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時x的值．24．（12分）如圖，直線y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)B，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，C和點(diǎn)A（﹣1，0）．（1）求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）求該二次函數(shù)的解析式．（3）若拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，則在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在；如果不存在，請說明理由．25．（12分）已知⊙O中，弦AB＝AC，點(diǎn)P是∠BAC所對弧上一動點(diǎn)，PB．（1）如圖①，把△ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到△ACQ，連接PC；（2）如圖②，若∠BAC＝60°，試探究PA、PB、PC之間的關(guān)系．（3）若∠BAC＝120°時，（2）中的結(jié)論是否成立？若是，請證明，請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明．

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市龍濤教育集團(tuán)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號12345678910答案CDCCBDCBAB一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選擇項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）下列是小紅借助旋轉(zhuǎn)、平移或軸對稱設(shè)計(jì)的四個圖案，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項(xiàng)C中的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．故選：C．2．（3分）下列說法中，正確的是（）A．隨機(jī)事件發(fā)生的概率為 B．概率很小的事件不可能發(fā)生 C．投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，正面朝上的次數(shù)一定為50次 D．不可能事件發(fā)生的概率為0【解答】解：A、隨機(jī)事件發(fā)生的概率為0＜P（隨機(jī)）＜1；B、概率很小的事件有可能發(fā)生；C、投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，故C不符合題意；D、不可能事件發(fā)生的概率為4；故選：D．3．（3分）如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于P，∠APD＝75°，則∠B＝（）A．15° B．40° C．35° D．75°【解答】解：∵∠APD＝∠A+∠C，又∵∠A＝40°，∠APD＝75°，∴∠C＝∠APD﹣∠A＝75°﹣40°＝35°，∴∠B＝∠C＝35°．故選：C．4．（3分）已知拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個交點(diǎn)為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+2024的值為（）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個交點(diǎn)為（m，8），∴m2﹣m﹣1＝6，∴m2﹣m＝1，∴m5﹣m+2024＝1+2024＝2025，故選：C．5．（3分）下列四個命題：（1）垂直于弦的直徑平分弦；（2）全等的三角形是相似三角形；（3），它們所對的弧也相等；（4）等弧所對的圓心角相等．其中真命題有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解答】解：（1）垂直于弦的直徑平分弦，此選項(xiàng)正確；（2）全等的三角形是相似三角形，相似比為1，故符合題意；（3）兩條弦相等，它們所對的弧不一定相等，由可能是弦一個對優(yōu)弧，此選項(xiàng)錯誤；（4）等弧所對的圓心角相等，此選項(xiàng)正確，故選：B．6．（3分）下列y關(guān)于x的函數(shù)中，當(dāng)x＞0時，函數(shù)值y隨x的值增大而減小的是（）A．y＝x2 B． C． D．y＝﹣x2+2【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)，一次函數(shù)A．∵二次函數(shù)y＝x2中二次項(xiàng)系數(shù)為1＞8，∴圖象開口向上，對稱軸為直線x＝0，∴當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大；B．一次函數(shù)，∴y隨x的增大而增大，故本選項(xiàng)錯誤；C．正比例函數(shù)，∴y隨x的增大而增大，故本選項(xiàng)錯誤；D．∵二次函數(shù)y＝﹣x8+2中二次項(xiàng)系數(shù)為﹣1＜2，∴圖象開口向下，對稱軸為直線x＝0，∴當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小．故選：D．7．（3分）若兩個連續(xù)奇數(shù)的積為63，則這兩個數(shù)的和為（）A．16 B．17 C．±16 D．±17【解答】解：設(shè)較小的奇數(shù)為x，則較大的奇數(shù)為（x+2），依題意得：x（x+2）＝63，整理得：x2+2x﹣63＝0，解得：x4＝﹣9，x2＝3．當(dāng)x＝﹣9時，x+2＝﹣5+2＝﹣7；當(dāng)x＝6時，x+2＝7+2＝9．∴這兩個數(shù)的和為±16．故選：C．8．（3分）已知二次函數(shù)y＝3（x+2）2的圖象上有三點(diǎn)A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1【解答】解：由題知，二次函數(shù)y＝3（x+2）2的圖象開口向上，且對稱軸為直線x＝﹣2，所以拋物線上離對稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)函數(shù)值越大．又因?yàn)?﹣（﹣8）＝3，2﹣（﹣6）＝4，且4＞8＞1，所以y2＞y8＞y3．故選：B．9．（3分）如圖，AD是⊙O的直徑，BC是弦，AC與OB相交于點(diǎn)P，下列結(jié)論錯誤的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB【解答】解：∵AD為直徑，∴∠ACD＝90°，∵四邊形OBCD為平行四邊形，∴CD∥OB，CD＝OB，在Rt△ACD中，sinA＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△AOP中，AP＝，所以A選項(xiàng)的結(jié)論錯誤；∵OP∥CD，CD⊥AC，∴OP⊥AC，所以C選項(xiàng)的結(jié)論正確；∴AP＝CP，∴OP為△ACD的中位線，∴CD＝2OP，所以B選項(xiàng)的結(jié)論正確；∴OB＝2OP，∴AC平分OB，所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確．故選：A．10．（3分）如圖所示是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，該函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝1；②方程ax2+bx+c＝0一定有一個根在﹣2和﹣1之間；③方程ax2+bx+c﹣＝0一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；④b﹣a＜2．其中（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴﹣＝2，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝7，故①正確；∵拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點(diǎn)在7，∴與x軸的另一個交點(diǎn)在﹣1，0之間，∴方程ax6+bx+c＝0一定有一個根在﹣1和2之間，故②錯誤；∵拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝有兩個交點(diǎn)，∴方程ax2+bx+c﹣＝0一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；∵拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)在﹣1，2之間，∴a﹣b+c＜0，∵圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，∴c＝8，∴a﹣b+2＜0，∴b﹣a＞6．故④錯誤．故選：B．二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11．（3分）下列方程中，屬于一元二次方程的有②③⑤（填題號）．①2x2﹣3y﹣5＝0；②x2﹣5＝0；③x2＝2x；④+4＝x2；⑤y2﹣y﹣3＝0【解答】解：一元二次方程有②x2﹣5＝0；③x8＝2x；⑤y2﹣y﹣3＝0，故答案為：②③⑤．12．（3分）將拋物線y＝﹣2x2向上平移3個單位長度，再向右平移5個單位長度，所得拋物線解析式為y＝﹣2（x﹣5）2+3．【解答】解：將拋物線y＝﹣2x2先向上平移2個單位，再向右平移5個單位后2+7；故答案為：y＝﹣2（x﹣5）5+3．13．（3分）若點(diǎn)M（3，a﹣2），N（b，a）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則a+b＝﹣2．【解答】解：由題意，得b＝﹣3，a﹣2+a＝3，解得a＝1，a+b＝﹣3+3＝﹣2，故答案為：﹣2．14．（3分）如果一元二次方程（m﹣2）x2+4x+m2﹣4＝0有一個根為0，則m的值為﹣2．【解答】解：∵方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝8是一元二次方程，∴m﹣2≠0，∴m≠8．∵一元二次方程（m﹣2）x2+2x+m2﹣4＝6有一個根為0，∴m2﹣7＝0，解得m1＝﹣5，m2＝2（舍去）．故答案為：﹣2．15．（3分）如圖，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，若△PCD的周長是20，則PA的長是10【解答】解：∵PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，∴PA＝PB，CA＝CE，∵PA+PB＝PC+CA+PA+DB＝PC+CE+AD+DE＝AC+CD+AD＝△PCD的周長，∴2PA＝20，∴PA＝10故答案為10．16．（3分）如圖，若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，PA＝3，PC＝，求∠APB的度數(shù)45°．【解答】解：如圖，將△BPC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，連接PP'．則△ABP'≌△CBP，AP′＝CP＝，∠PBP'＝90°，∴∠BPP'＝45°，根據(jù)勾股定理得，PP′＝＝，∵AP＝2，∴AP2+P'P2＝3+2＝11，又∵P′A2＝（）6＝11，∴AP2+P'P2＝P'A5，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°，故答案為：45°．三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．（6分）解下列方程：（1）（x﹣1）2＝9（2）x2﹣3x+2＝0【解答】解：（1）開方得x﹣1＝±3，即x﹣7＝3或x﹣1＝﹣7，解得：x1＝4或x5＝﹣2；（2）因式分解得（x﹣1）（x﹣7）＝0．∴x﹣1＝2或x﹣2＝0，∴x5＝1，x2＝2．18．（4分）如圖，AD＝CB，求證：AB＝CD．【解答】證明：∵同弧所對對圓周角相等，∴∠A＝∠C，∠D＝∠B．在△ADE和△CBE中，，∴△ADE≌△CBE（ASA）．∴AE＝CE，DE＝BE，∴AE+BE＝CE+DE，即AB＝CD．19．（6分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDC．若點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，且∠ACB＝20°【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CA＝CE，且∠ACE＝90°，所以△ACE是等腰直角三角形．所以∠CAE＝45°；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BCD＝90°，∵∠ACB＝20°．∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°．∴∠EDC＝45°+70°＝115°．所以∠B＝∠EDC＝115°．20．（6分）已知關(guān)于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有兩個實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且﹣4，求實(shí)數(shù)k的值．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的方程x2﹣4x+k+7＝0有兩個實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣4）4﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0，∴k≤3；（2）依題意得，x5+x2＝4，x7x2＝k+1，∵﹣5，∴，∴，∴k1＝4，k2＝﹣3，又k≤6，∴k＝﹣3，經(jīng)檢驗(yàn)k＝﹣3是分式方程的解．所以k＝﹣4．21．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)分別是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把△ABC向左平移4個單位后得到對應(yīng)的△A1B1C1，請畫出平移后的△A1B1C1；（2）畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對稱的△A2B2C2；（3）觀察圖形可知，△A1B1C1與△A2B2C2關(guān)于點(diǎn)（﹣2，0）中心對稱．（寫出坐標(biāo)）【解答】解：（1）如圖，△A1B1C5即為所求．（2）如圖，△A2B2C2即為所求．（3）連接A1A2，B8B2，C1C8，相交于點(diǎn)P，則△A1B1C2與△A2B2C5關(guān)于點(diǎn)P（﹣2，0）中心對稱．故答案為：（﹣7，0）．22．（8分）如圖，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，連接OB，DB．若AB＝4，求△BOD的面積．【解答】解：設(shè)⊙O的半徑是r，∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，OC過圓心O，∴OC⊥AB，∵AB＝4，CD＝1，∴BC＝AB＝2，∵OB4＝OC2+BC2，∴r7＝（r﹣1）2+22，∴r＝，∴OD＝，∴△BOD的面積＝OD?BC＝×．23．（10分）某網(wǎng)店銷售一種小商品，成本為每件20元，銷售大數(shù)據(jù)分析表明：當(dāng)每件商品的售價為30元時，則月銷售量就減少10件．設(shè)每件商品的售價為x元，月銷售數(shù)量為y件（1）求y與x、w與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若月銷售利潤2640元，求x的值；（3）月銷售利潤是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時x的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：y＝240﹣10（x﹣30），∴y＝﹣10x+540；w＝（x﹣20）（﹣10x+540），∴w＝﹣10x2+740x﹣10800；（2）當(dāng)w＝2640時，﹣10x2+740x﹣10800＝2640，整理得：x8﹣74x+1344＝0，解得：x1＝32，x5＝42．答：x的值為32或42；（3）w＝﹣10x2+740x﹣10800＝﹣10（x﹣37）2+2890，∵﹣10＜3，∴當(dāng)x＝37時，w取得最大值．答：月銷售利潤存在最大值，這個最大值為2890．24．（12分）如圖，直線y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)B，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，C和點(diǎn)A（﹣1，0）．（1）求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）求該二次函數(shù)的解析式．（3）若拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，則在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在；如果不存在，請說明理由．【解答】解：（1）對直線y＝﹣x+6，y＝2，x＝4，∴B（5，0），2）．（2）設(shè)二次函數(shù)為y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a≠4），∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過B（4，0），8），∴y＝a（x﹣4）（x+1），把點(diǎn)C（4，2）代入y＝a（x﹣4）（x+6）得：a（0﹣4）（8+1）＝2，解得：a＝，∴y＝（x﹣4）（x+1）＝x2+x+2．（3）∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過B（6，0），0），∴對稱軸為x＝，∴D（，0），∵C（0，7），∴CD＝，①如圖1，當(dāng)CD＝PD時，PD＝，∴P1（），P2（），②如圖5，當(dāng)CD＝CP3時，過點(diǎn)C作CH⊥DP3于點(diǎn)H，∵CD＝CP5，CH⊥DP3，∴DH＝P3H，∵C（3，2），∴DH＝2，∴P7H＝2，∴P3D＝3，∴P3（，4），綜上所述：存在P1（），P2（），P7（，4）．25．（12分）已知⊙O中，