專題03指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)（考點串講）高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點大串講（北師大版2019）

高一數(shù)學(xué)上學(xué)期·期末復(fù)習(xí)大串講專題03指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)北師大版（2019）010203目

錄押題預(yù)測題型剖析考點透視10大?？键c：知識梳理

14個題型典例剖析+技巧點撥精選10道期末真題對應(yīng)考點練考點透視01考點透視考點1.

根式的定義(1)a的n次方根的定義：一般地，如果xn＝a，那么x叫做____________，其中n＞1，且n∈N＋.(2)a的n次方根的表示①當(dāng)n是奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)．a(chǎn)的n次方根用符號_______表示；②當(dāng)n是偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)．正數(shù)a的正的n次方根用符號_______表示，負的n次方根用符號______表示．正的n次方根與負的n次方根可以合并寫成____________；a的n次方根考點透視考點2.根式的性質(zhì)沒有0根指數(shù)被開方數(shù)aa|a|考點透視考點3.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義0沒有意義提示考點透視考點4.有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)ar＋sarsarbr考點透視考點5.指數(shù)函數(shù)的定義知識點

一般地，____________________________________________________________________．[想一想]指數(shù)函數(shù)中為什么要規(guī)定a>0，且a≠1?函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R提示考點透視考點6.指數(shù)增長模型知識點

在實際問題中，經(jīng)常會遇到指數(shù)增長模型：設(shè)原有量為N，每次的增長率為p，經(jīng)過x次增長，該量增長到y(tǒng)，則y＝_______________．形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函數(shù)是刻畫指數(shù)增長或指數(shù)衰減變化規(guī)律的非常有用的函數(shù)模型．N(1＋p)x(x∈N)考點透視考點7.指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域____值域_____________過定點過定點________，即x＝___時，y＝___函數(shù)值的變化當(dāng)x>0時，____；當(dāng)x<0時，________當(dāng)x>0時，________；當(dāng)x<0時，____單調(diào)性是R上的增函數(shù)是R上的減函數(shù)對稱性y＝ax與y＝a－x的圖象關(guān)于y軸對稱R(0，＋∞)(0，1)01y>10<y<10<y<1y>1考點透視考點8.不同底指數(shù)函數(shù)圖象的相對位置

[點撥]

(1)函數(shù)圖象只出現(xiàn)在x軸上方．(2)當(dāng)a>1時，x→－∞，y→0；當(dāng)0<a<1時，x→＋∞，y→0.(3)任意底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．知識點

指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示，則0<c<d<1<a<b.考點透視考點9.指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

(1)關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調(diào)性由兩點決定，一是底數(shù)a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調(diào)性．它由兩個函數(shù)y＝au，u＝f(x)復(fù)合而成．(2)若y＝f(u)，u＝g(x)，則函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性有如下特點：u＝g(x)y＝f(u)y＝f(g(x))增增增增減減減增減減減增題型剖析題型10.無理數(shù)指數(shù)冪

實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)知識點

(1)對于無理數(shù)指數(shù)冪，我們只需要了解兩點：①它是一個確定的實數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)冪無限逼近的結(jié)果．(2)定義了無理數(shù)指數(shù)冪之后，冪的指數(shù)就由原來的有理數(shù)范圍擴充到了實數(shù)范圍．知識點

(1)aras＝_____(a>0，r，s∈R)．(2)(ar)s＝____(a>0，r，s∈R)．(3)(ab)r＝____(a>0，b>0，r∈R)．[拓展]

＝ar－s(a>0，r，s∈R)．[提醒]

實數(shù)指數(shù)冪中一定要有a>0.ar＋sarsarbr題型剖析02題型剖析題型1n次方根與根式答案解析題型剖析題型2.根式化簡與求值解題型剖析題型3.根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化解題型剖析題型4.有理數(shù)指數(shù)冪的運算題型剖析題型4.有理數(shù)指數(shù)冪的運算解題型剖析題型5.實際問題中的指數(shù)運算答案解析【例題5【某種細菌在培養(yǎng)過程中，每15分鐘分裂1次(由1個分裂成2個)，則這種細菌由1個分裂成4096個需經(jīng)過_____小時．解析：設(shè)細菌由1個分裂成4096個分裂了x次，則2x＝4096＝212，則x＝12，即需分裂12次，需12×15＝180(分鐘)，即3小時．3題型剖析題型6.指數(shù)冪運算中的條件求值解題型剖析題型7.指數(shù)函數(shù)的概念

【例題7】下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是(

)①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2×3x.A．1 B．2C．3 D．0解析①中底數(shù)－8<0，所以不是指數(shù)函數(shù)；②中指數(shù)不是自變量x，而是x的函數(shù)，所以不是指數(shù)函數(shù)；③中底數(shù)a，只有規(guī)定a>0，且a≠1時，才是指數(shù)函數(shù)；④中3x前的系數(shù)是2，而不是1，所以不是指數(shù)函數(shù)．故選D.答案解析題型剖析題型8.指數(shù)函數(shù)的解析式及應(yīng)用答案解析題型剖析題型9.指數(shù)型函數(shù)的實際應(yīng)用

【例題9】目前某縣有100萬人，經(jīng)過x年后為y萬人．如果年平均增長率是1.2%，請回答下列問題：(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)計算10年后該縣的人口總數(shù)(精確到0.1萬人)．題型剖析題型9.指數(shù)型函數(shù)的實際應(yīng)用

解

(1)當(dāng)x＝1時，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；當(dāng)x＝2時，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；當(dāng)x＝3時，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；…故y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝100(1＋1.2%)x(x∈N＋)．(2)當(dāng)x＝10時，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后該縣約有112.7萬人．解題型剖析題型10.指數(shù)函數(shù)的圖象【例題10】如圖是指數(shù)函數(shù)①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關(guān)系為(

)A．a(chǎn)<b<1<c<d B．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<d D．a(chǎn)<b<1<d<c答案題型剖析題型10.指數(shù)函數(shù)的圖象解析解法一：由圖象可知③④的底數(shù)必大于1，①②的底數(shù)必小于1.作直線x＝1，在第一象限內(nèi)直線x＝1與各曲線的交點的縱坐標(biāo)即各指數(shù)函數(shù)的底數(shù)，則1<d<c，b<a<1，從而可知a，b，c，d與1的大小關(guān)系為b<a<1<d<c.解法二：根據(jù)圖象可以先分兩類：③④的底數(shù)大于1，①②的底數(shù)小于1，再由③④比較c，d的大小，由①②比較a，b的大?。?dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1時，圖象上升，且底數(shù)越大時圖象向上越靠近y軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于0且小于1時，圖象下降，底數(shù)越小，圖象向右越靠近x軸．所以a，b，c，d與1的大小關(guān)系為b<a<1<d<c.解析題型剖析【例題11】函數(shù)y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的圖象過定點(

)A．(0，1) B．(3，3)C．(3，4) D．(4，3)解析：解法一：因為指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(0，1)，所以在函數(shù)y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函數(shù)的圖象過定點(3，4)．解法二：將原函數(shù)變形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指數(shù)函數(shù)，所以當(dāng)x－3＝0時，y－3＝1，即x＝3時，y＝4，所以原函數(shù)的圖象過定點(3，4)．答案解析題型11.指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用題型剖析題型12.利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小答案解析題型剖析題型13.利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式解題型剖析題型14.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型剖析題型14.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用解題型剖析題型14.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用解押題預(yù)測031．(2024·寧夏吳忠秦寧中學(xué)高一上月考(二))給出下列函數(shù)，其中為指數(shù)函數(shù)的是(

)A．y＝x4 B．y＝xxC．y＝πx D．y＝－4x解析：因為指數(shù)函數(shù)的形式為y＝ax(a>0，且a≠1)，所以y＝πx是指數(shù)函數(shù)．故選C.答案解析答案解析3．按復(fù)利計算利率的儲蓄，存入銀行2萬元，如果年息3%，5年后支取，本利和應(yīng)為(

)A．2×(1＋0.3)5萬元

B．2×(1＋0.03)5萬元C．2×(1＋0.3)4萬元

D．2×(1＋0.03)4萬元解析：由題意可得，存入銀行2萬元后，一年后本利和為2×(1＋0.03)萬元，兩年后本利之和為2×(1＋0.03)2萬元，…，故5年后支取，本利和應(yīng)為2×(1＋0.03)5萬元．答案解析4.(2024·河南南陽一中高一上月考)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(

)A．a(chǎn)>1，b<0 B．a(chǎn)>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0解析：由函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象可知，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，∴0<a<1，排除A，B；函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象是由y＝ax的圖象向左平移所得，∴－b>0，∴b<0.故選D.答案解析答案解析答案解析答案解析9．若2x＋1<1，則x的取值范圍是(

)A．(－1，1) B．(－1，＋∞)C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)解析：∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是R上的增函數(shù)，∴x＋1<0，∴x<－1.答案解析10．(2024·河北正定中學(xué)高一上月考)如果a>1，