第七章 相關(guān)與回歸分析

項目七相關(guān)與回歸分析學(xué)習(xí)目的和要求

目的：掌握相關(guān)與回歸分析的基本理論和方法，以便在實際工作中能對具有相關(guān)關(guān)系的社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行有效的分析，為管理層的預(yù)測和決策服務(wù)。要求：首先要了解相關(guān)與回歸分析的概念、特點，相關(guān)分析與回歸分析的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)而掌握相關(guān)分析的定性和定量分析方法，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步掌握回歸模型的擬合方法、對回歸方程擬合精度的測定和評價的方法。

學(xué)習(xí)重點相關(guān)分析的方法和回歸分析的方法。在具體應(yīng)用時要根據(jù)給定的數(shù)據(jù)資料，列示統(tǒng)計計算表，進(jìn)而據(jù)以計算。掌握簡捷計算法公式。學(xué)習(xí)難點理解并掌握有關(guān)計算公式和應(yīng)用條件

基本內(nèi)容任務(wù)一相關(guān)與回歸分析的基本概念任務(wù)二簡單線性回歸分析

任務(wù)一相關(guān)與回歸分析的基本概念一、相關(guān)關(guān)系的概念

1．函數(shù)關(guān)系它反映現(xiàn)象之間存在著嚴(yán)格的數(shù)量依存關(guān)系，在這種關(guān)系中，對于某一變量的每一個數(shù)值，都有另一個變量的確定值與之相對應(yīng)，并且這種關(guān)系可以用一個數(shù)學(xué)表達(dá)式反映出來。如：圓的面積與半徑之間的關(guān)系，即2．相關(guān)關(guān)系它反映現(xiàn)象之間確實存在的，但關(guān)系數(shù)值不固定的相互依存關(guān)系。這一概念表明：（1）相關(guān)關(guān)系是指現(xiàn)象之間確實存在數(shù)量上的相互依存關(guān)系。（2）現(xiàn)象之間數(shù)量依存關(guān)系的具體數(shù)值不是固定的。一、相關(guān)關(guān)系的概念3．相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的聯(lián)系

由于有觀察或測量誤差等原因，函數(shù)關(guān)系在實際中往往通過相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)出來。在研究相關(guān)關(guān)系時，又常常要使用函數(shù)關(guān)系的形式來表現(xiàn)，以便找到相關(guān)關(guān)系的一般數(shù)量表現(xiàn)形式。一、相關(guān)關(guān)系的概念二、相關(guān)關(guān)系的種類二、相關(guān)關(guān)系的種類二、相關(guān)關(guān)系的種類二、相關(guān)關(guān)系的種類各類相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形態(tài)圖

相關(guān)分析：相關(guān)分析是研究現(xiàn)象之間是否存在某種依存關(guān)系，并對具體有依存關(guān)系的現(xiàn)象探討其相關(guān)方向以及相關(guān)程度?；貧w分析：就是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個或兩個以上變量之間數(shù)量變化的一般關(guān)系進(jìn)行測定，確立一個相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以便從一個已知量來推測另一個未知量，為估算預(yù)測提供一個重要的方法。三、相關(guān)分析與回歸分析相關(guān)分析和回歸分析的聯(lián)系相關(guān)分析是回歸分析的基礎(chǔ)和前提，回歸分析則是相關(guān)分析的深入和繼續(xù)。相關(guān)分析需要依靠回歸分析來表現(xiàn)變量之間數(shù)量相關(guān)的具體形式，而回歸分析則需要依靠相關(guān)分析來表現(xiàn)變量之間數(shù)量變化的相關(guān)程度。只有當(dāng)變量之間存在高度相關(guān)時，進(jìn)行回歸分析尋求其相關(guān)的具體形式才有意義。1.在相關(guān)分析中，不必確定自變量和因變量；而在回歸分析中，必須事先確定哪個為自變量，哪個為因變量，而且只能從自變量去推測因變量，而不能從因變量去推斷自變量。2.相關(guān)分析不能指出變量間相互關(guān)系的具體形式；而回歸分析能確切的指出變量之間相互關(guān)系的具體形式。相關(guān)分析與回歸分析的區(qū)別四、相關(guān)關(guān)系的測定要判別現(xiàn)象之間有無相關(guān)關(guān)系，一是定性分析，二是定量分析。定性分析是依據(jù)研究者的理論知識、專業(yè)知識和實踐經(jīng)驗，對客觀現(xiàn)象之間是否存在相關(guān)關(guān)系，以及有何種相關(guān)關(guān)系做出判斷。并可在定性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，編制相關(guān)表、繪制相關(guān)圖，以便直觀地判斷現(xiàn)象之間相關(guān)的方向、形態(tài)及大致的密切程度。四、相關(guān)關(guān)系的測定（一）相關(guān)表相關(guān)表是一種反映變量之間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計表。將某一變量按其取值的大小排列，然后再將與其相關(guān)的另一變量的對應(yīng)值平行排列，便可得到簡單的相關(guān)表。例1：某地區(qū)某企業(yè)近8年產(chǎn)品產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用的相關(guān)情況如表8-1所示：表8-1產(chǎn)品產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用相關(guān)表從上表可看出，產(chǎn)品產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用之間存在一定的正相關(guān)關(guān)系。（二）相關(guān)圖

相關(guān)圖又稱散點圖，它是將相關(guān)表中的觀測值在平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)點描繪出來，以表明相關(guān)點的分布狀況。通過相關(guān)圖，可以大致看出兩個變量之間有無相關(guān)關(guān)系以及相關(guān)的形態(tài)、方向和密切程度。例2：以表8-1為例，用EXCEL繪制相關(guān)圖如下產(chǎn)品產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用相關(guān)圖

（三）相關(guān)系數(shù)

1．相關(guān)系數(shù)的定義相關(guān)系數(shù)是用來說明變量之間在直線相關(guān)條件下相關(guān)關(guān)系密切程度和方向的統(tǒng)計分析指標(biāo)。其定義公式為：式中：表示數(shù)據(jù)項數(shù)，為自變量，為因變量。相關(guān)系數(shù)公式的涵義理解

（1）兩個變量之間的相關(guān)程度和方向，取決于兩個變量離差乘積之和，當(dāng)它為0時，為0；當(dāng)它為正時，為正；當(dāng)它為負(fù)時，為負(fù)。（2）相關(guān)程度的大小與計量單位無關(guān)。為了消除積差中兩個變量原有計量單位的影響，將各變量的離差除以該變量數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差，使之成為相對積差，即，所以相關(guān)系數(shù)是無量綱的數(shù)量。2．相關(guān)系數(shù)的計算

根據(jù)相關(guān)系數(shù)定義的公式推導(dǎo)得簡化公式：

例3：以表8-1為例，用EXCEL計算相關(guān)系數(shù)見表8-2。表8-2相關(guān)系數(shù)計算表

于是：

=0.96973．相關(guān)系數(shù)的意義相關(guān)系數(shù)一般可以從正負(fù)符號和絕對數(shù)值的大小兩個層面理解。正負(fù)說明現(xiàn)象之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)。絕對數(shù)值的大小說明兩現(xiàn)象之間線性相關(guān)的密切程度。（1）r的取值在-1到+1之間。（2）r=+1，為完全正相關(guān)；r=-1為完全負(fù)相關(guān)。表明變量之間為完全線性相關(guān)，即函數(shù)關(guān)系。（3）r=0，表明兩變量無線性相關(guān)關(guān)系。（4）r>0,表明變量之間為正相關(guān)；r<0，表明變量之間為負(fù)相關(guān)。（5）r的絕對值越接近于1，表明線性相關(guān)關(guān)系越密切；r越接近于0，表明線性相關(guān)關(guān)系越不密切。相關(guān)程度可分為以下幾種情況：

①，為無線性相關(guān)；②0.3≤＜0.5，為低度線性相關(guān)；③0.5≤＜0.8，為顯著線性相關(guān)；④≥0.8，一般稱為高度線性相關(guān)。以上說明必須建立在相關(guān)系數(shù)通過顯著性檢驗的基礎(chǔ)之上。4．相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗相關(guān)系數(shù)是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的，具有一定隨機(jī)性，能否真實地表現(xiàn)變量總體的相關(guān)情況受到隨機(jī)因素和樣本容量大小的影響。故需要對其進(jìn)行檢驗。樣本相關(guān)系數(shù)的檢驗包括兩類檢驗：（1）對總體相關(guān)系數(shù)是否等于0進(jìn)行檢驗；（2）對總體相關(guān)系數(shù)是否等于某一給定的不為0的數(shù)值進(jìn)行檢驗。對總體相關(guān)系數(shù)是否等于0的檢驗

總體相關(guān)系數(shù)的檢驗統(tǒng)計上用t檢驗。其步驟如下：第一步，提出原假設(shè)和備擇假設(shè)。假設(shè)樣本相關(guān)系數(shù)r是抽自具有零相關(guān)的總體，即第二步，規(guī)定顯著性水平，并依據(jù)自由度（n-2）確定臨界值；第三步，計算檢驗的統(tǒng)計量：第四步，做出判斷。將計算的統(tǒng)計量與臨界值對比，若統(tǒng)計量大于或等于臨界值，表明變量間線性相關(guān)在統(tǒng)計上是顯著的，若統(tǒng)計量小于臨界值，則說明相關(guān)關(guān)系在統(tǒng)計上并不顯著。例4：對例3中產(chǎn)品產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用之間的相關(guān)系數(shù)檢驗

①提出原假設(shè)和備擇假設(shè)。②取顯著性水平，根據(jù)自由度查分布表得=2.4469③計算檢驗的統(tǒng)計量：

=9.7236④由于，則拒絕，表明變量間線性相關(guān)在統(tǒng)計上是顯著的。即產(chǎn)品產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用之間的相關(guān)系數(shù)是顯著的。任務(wù)二簡單線性回歸分析

一、回歸分析的概念和特點1．回歸分析的概念回歸分析就是對具有相關(guān)關(guān)系的變量之間數(shù)量變化的一般關(guān)系進(jìn)行測定，確定一個相關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以便于進(jìn)行估計或預(yù)測的統(tǒng)計方法。（1）在變量之間，必須根據(jù)研究目的具體確定哪些是自變量，哪個是因變量。（2）回歸方程的作用在于，在給定自變量的數(shù)值情況下來估計因變量的可能值。一個回歸方程只能做一種推算。推算的結(jié)果表明變量之間具體的變動關(guān)系。（3）直線回歸方程中，自變量的系數(shù)為回歸系數(shù)?；貧w系數(shù)的符號為正時，表示正相關(guān)；回歸系數(shù)的符號為負(fù)時，表示負(fù)相關(guān)。2．回歸分析的特點二、回歸分析的種類三、一元線性回歸分析

1．一元線性回歸模型的確定設(shè)有兩個變量和，變量的取值隨變量取值的變化而變化，我們稱為因變量，為自變量；反之亦然。一般來說，對于具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量，可以用一條直線方程來表示它們之間的關(guān)系，即：倚回歸方程：倚回歸方程：例【8.2】江海電器有限公司2007年1－10月份產(chǎn)量與制造費(fèi)用資料見教材表8–3。解：分析制造費(fèi)用對產(chǎn)量之間的數(shù)量關(guān)系。設(shè)回歸方程為y=a+bx，x為產(chǎn)量，y為制造費(fèi)用，計算如下：a=24821.62b=0.753171故有制造費(fèi)用對產(chǎn)量的回歸方程y=24827.62+0.753171x。

四、回歸估計標(biāo)準(zhǔn)誤差回歸方程的一個重要作用在于根據(jù)自變量的已知值估計因變量的理論值（估計值）。而理論值yc與實際值y存在著差距，這就產(chǎn)生了推算結(jié)果的準(zhǔn)確性問題。如果差距小，說明推算結(jié)果的準(zhǔn)確性高；反之，則低。為此，分析理論值與實際值的差距很有意義。為了度量y的實際水平和估計值離差的一般水平，可計算估計標(biāo)準(zhǔn)誤差。（一）估計標(biāo)準(zhǔn)誤差的計算估計標(biāo)準(zhǔn)誤差是衡量回歸直線代表性大小的統(tǒng)計分析指標(biāo)，它說明觀察值圍繞著回歸直線的變化程度或分散程度。

（一）估計標(biāo)準(zhǔn)誤差的計算通常用Se代表估計標(biāo)準(zhǔn)誤差，其計算公式為：

（一）估計標(biāo)準(zhǔn)誤差的計算用表8–3的資料說明估計平均誤差的計算方法。可列出計算表8–4。將計算表的有關(guān)資料代入公式（8–6）得：結(jié)果表明估計標(biāo)準(zhǔn)差是1000.546元。五、回歸方程的顯著性檢驗

對于回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗基于以下兩點：第一，在根據(jù)樣本數(shù)據(jù)擬合回歸方程時，我們首先假設(shè)變量與之間存在著線性關(guān)系，但這種假設(shè)是否成立？就必須通過檢驗才能證實；第二，樣本回歸方程中的、是對總體回歸方程中參數(shù)的最小二乘估計值，樣本回歸系數(shù)能否作為總體回歸系數(shù)的估計值，還需要對總體回歸系數(shù)的顯著性進(jìn)行檢驗。回歸方程的檢驗一般包括兩個方面的內(nèi)容：

一是線性關(guān)系的檢驗；

二是回歸系數(shù)的檢驗。1、線性關(guān)系的檢驗具體方法是將回歸離差平方和（SSR）同剩余離差平方和（SSE）加以比較，應(yīng)用F檢驗來分析二者之間的差別是否顯著。檢驗的具體步驟如下：第一步，提出假設(shè)。

H0：β=0，H1：β≠0：第二步，計算檢驗統(tǒng)計量F。

可以證明，在原假設(shè)成立的情況下，F(xiàn)統(tǒng)計量服從F分布，第一自由度為1，第二自由度為n-2，即F~F（1，n-2）。例4：以表8-1的資料為例，對其回歸模型作F檢驗

F檢驗的步驟：2、回歸系數(shù)的檢驗2、回歸系數(shù)的檢驗計算公式如下：例5：以表8-1為例，對回歸模型做回歸系數(shù)檢驗

④由于=9.72345>，拒絕，表明樣本回歸系數(shù)是顯著的，生產(chǎn)費(fèi)用與產(chǎn)品產(chǎn)量之間確實存在著線性關(guān)系，產(chǎn)品產(chǎn)量是影響生產(chǎn)費(fèi)用的顯著因素。于是，=128.9599/13.26277=9.72345③取顯著性水平=0.05，并根據(jù)自由度=6，查分布表得相應(yīng)的臨界值。以表8-1的資料為例，處理的簡要步驟與結(jié)果如下：在EXCEL主頁面中，從[工具]——[數(shù)據(jù)分析]——[回歸]進(jìn)入回歸分析的窗口做相應(yīng)處理得如下圖所示結(jié)果。六、一元線性回歸問題的EXCEL處理

由上圖可知：相關(guān)系數(shù)R=0.9697，F(xiàn)檢驗回歸方程顯著，t檢驗回歸系數(shù)P值小于0.05，說明回歸系數(shù)是顯著的，于是有可預(yù)測的回歸方程：。

八、回歸預(yù)測

例6：以表8-1所建的回歸方程為例，取產(chǎn)量為10千噸，試計算生產(chǎn)費(fèi)用在95%的預(yù)測區(qū)間

于是，值的預(yù)測區(qū)間為：1802.83±2.4469×85.87即，1518.32≤≤2087.35以上預(yù)測區(qū)間說明，我們可以95%的概率保證，當(dāng)產(chǎn)量為10千噸時，生產(chǎn)費(fèi)用在1518.32到2087.35千元之間。

單元小節(jié)相關(guān)關(guān)系的概念：相關(guān)關(guān)系是指客觀現(xiàn)象之間確實存在的，但數(shù)量上不是嚴(yán)格對應(yīng)的依存關(guān)系。在這種關(guān)系中，對于某一現(xiàn)象的每一數(shù)值，可以有另一現(xiàn)象的若干數(shù)值與之相對應(yīng)。相關(guān)關(guān)系類型：按照相關(guān)關(guān)系涉及變量（或因素）的多少分為：單相關(guān)、復(fù)相