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文檔簡介
第03講三角形一邊的平行線
【知識梳理】
1、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理
平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的對應(yīng)線段成比例.
AnAP
如圖,已知AA8C,直線〃/8C,且與AB、AC所在直線交于點(diǎn)。和點(diǎn)E,那么一=—.
DBEC
2、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論
平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.
如圖,點(diǎn)。、石分別在AA8C的邊44、AC上,
DE//BC,—=—=—
3、三角形的重心
定義:三角形三條中線交于一點(diǎn),三條中線交點(diǎn)叫三角形的重心.
性質(zhì):三角形重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離,等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對邊中點(diǎn)的距離的兩倍.
4、三角形一邊的平行線判定定理
如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.
5、三角形一邊的平行線判定定理推論
如果一條直線截三角形的兩邊的延長線(這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè))所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直
線平行于三角形的第三邊.
AnAp
如圖,在A48C中,直線/與44、AC所在直線交于點(diǎn)。和點(diǎn)£,如果——=——那么/〃3c.
DBEC
6、平行線分線段成比例定理
兩條直線被三條平行的直線所截,截得的對應(yīng)線段成比例.
如圖,直線/"兒/兒,直線〃,與直線〃被直線4、所截,那么竺=空.
FBGC
7、平行線等分線段定理
兩條直線被三條平行的直線所截,如果一條直線上截得的線段相等,那么另一條直線上截得的線段也相等.
【考點(diǎn)剖析】
一.三角形的重心(共13小題)
1.(2023?青浦區(qū)一模)三角形的重心是()
A.三角形三條角平分線的交點(diǎn)
B.三角形三條中線的交點(diǎn)
C.三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)
D.三角形三條高的交點(diǎn)
2.(2023?奉賢區(qū)一模)在△A8C中,AD是BC邊上的中線,G是重心.如果/W=6,那么線段。G的長是
3.(2022秋?楊浦區(qū)期末)如圖,△ABC中,N84C=90°,點(diǎn)G是△ABC的重心,如果AG=4,那么8。的長
為
A
4.(2022秋?青浦區(qū)校級期末)如圖,已知在RtZ\A4C中,NC=9D°,點(diǎn)G是△A8C的重心,GELAC,垂足為
E,如果C8=10,則線段GE的長為()
5.(2021秋?松江區(qū)期末)如圖,已知點(diǎn)G是△48C的重心,那么S“CG:SZ^BC等于()
6.(2022秋?楊浦區(qū)校級期末)如圖,G是△A8C的重心,延長BG交4c于點(diǎn)。,延長CG交A8于點(diǎn)七,P、。分
別是△3CE和△6CO的重心,6c長為6,則FQ的長為
7.(2022秋?徐匯區(qū)期末)在RtZVWC中,ZB=90c,N84C=30°,BC=1,以AC為邊在AAHC外作等邊4
ACD,設(shè)點(diǎn)£、尸分別是△48C和△4CO的重心,則兩重心后與小之間的距離是
8.(2022秋?黃浦區(qū)月考)已知點(diǎn)G是△48C的重心,那么SMBG:SMBC=.
9.(2023?金山區(qū)一模)如圖,△A4C為等腰直角三角形,NA=90‘,AB=6,Gi為△ABC的重心,E為線段AB
上任意一動(dòng)點(diǎn),以CE為斜邊作等腰口△CO石(點(diǎn)/)在直線BCH勺上方),G2為RtZ\CO£的重心,設(shè)Gi、G2兩
點(diǎn)的距離為4,那么在點(diǎn)石運(yùn)動(dòng)過程中〃的取值范圍是.
SG
10.(2023?松江區(qū)一模)已知△ABC,P是邊6C_L一點(diǎn),△笈8、△辦C的重心分別為3、Gz,那么------」的
SAABC
值為.
11.(2022秋?徐匯區(qū)期中)已知點(diǎn)G是等腰直角三角形ABC的重心,AC=BC=6,那么AG的長
為?
12.(2018?寶山區(qū)校級自主招生)G為重心,QE過重心,SaA3C=l,求S“OE的最值,并證明結(jié)論.
13.(2019秋?嘉定區(qū)校級月考)如圖,點(diǎn)G是△A4C的重心,過點(diǎn)G作E產(chǎn)〃8C,分別交人〃、AC于點(diǎn)石、F,且
EF+BC=72cm,求歡?的長.
二.平行線分線段成比例(共19小題)
14.(2022秋?徐匯區(qū)期末)在△A8C中,點(diǎn)。、E分別在邊48和8c上,AD=2,。8=3,BC=\O,要使。E〃
AC,那么BE必須等于.
15.(2022秋?閔行區(qū)期末)如圖,已知A4〃C?!ㄆ甙怂鼈円来谓恢本€八、/2于點(diǎn)A、C、£和點(diǎn)3、D、F,如果
AC:CE=3:I,8產(chǎn)=10,那么力尸等于()
±Ax忸
E/卜
A.—B.—C.—D.—
3325
16.(2023?寶山區(qū)一模)在△48。中,點(diǎn)。、E分別在邊48、AC上,如果AQ:BD=\:3,那么下列條件中能判
斷Z)E〃8c的是()
A.^=1B,膽=2C.D,述」
AC4EC4AB4BC4
17.(2022秋?嘉定區(qū)校級期末)如果點(diǎn)從G分別在△?!晔械倪?。E和。尸上,那么不能判定HG〃石廠的比例式
是()
A.DH:EH=DG:GFB.HG:EF=DH:DE
C.EH:DE=GF:DFD.DE:DF=DH:DG
18.(2023?徐匯區(qū)一模)如圖,a//b//c,若需存,則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()
一。
AAD3RBC3rAl32口BC3
AF5CE2ElF3BE5
19.(2021秋?嘉定區(qū)期末)如圖,已知A8〃CO〃EF,AC:AE=3:5,那么下列結(jié)論正確的是()
A/
A.BD:DF=2t3B.AB:CD=2:3C.CD:EF=3:5D.DF:BF=2:5
20.(2023?長寧區(qū)一模)如圖,AD//BE//Cb\已知DE=6,AC=13,那么N”的長等于
21.(2023?松江區(qū)一模)如圖,已知直線AD//BE//CF,如果膽=2,。后=3,那么線段EF的長
BC3
是_____________________
22.(2022秋?松江區(qū)月考)如圖,在△ABC中,點(diǎn)。在45上,點(diǎn)E在AC上,DE//BC.AD=3,48=4.AC
=6,求EC.
23.(2022秋?松江區(qū)月考)如圖,DE//BC,EF//CG,AD:AI3=\:3,AE=3.
(1)求EC的值;
(2)求證:AO?4G=AF?AB.
24.(2023?崇明區(qū)一模)四邊形A4CD中,點(diǎn)F在邊A。上,破的延長線交CO的延長線于E點(diǎn),下列式子中能
判斷的式子是()
AID=EDB空=坦c膽=建D
,BCEC,DFEF?麗麗,BEEC
25.(2022秋?楊浦區(qū)校級期末)如圖,已知A8〃CO〃EF,AD:4產(chǎn)=3:5,BE=24,那么8c的長等于()
A.4B.—C.—D.8
55
26.(2022秋?浦東新區(qū)期末)如圖,DF//AC,DE//BC,下列各式中正確的是()
BD_ABRAD_BFrAD_CEnAE_BF
CE"AC-BD"FC'DE"BD'CE'CF
27.(2022秋?青浦區(qū)校級期末)如圖,已知直線/1、/2、/3分別交直線/4于點(diǎn)A、B、C,交直線/5于點(diǎn)。、E、F,
且/1〃/2〃/3,45=6,8c=3,。尸=12,則。E=
28.(2022?寶山區(qū)二模)已知:如圖,點(diǎn)。、E、尸分別在△A8C的邊48、AC、BC上,DF//AC,BD=2AD,AE
=2EC.
(1)如果4B=2AC,求證:四邊形AQFE是菱形;
(2)如果AB=&AC,且BC=1,聯(lián)結(jié)。石,求DE的長.
29.(2021秋?楊浦區(qū)校級月考)如圖,點(diǎn)。為△A8C中內(nèi)部一點(diǎn),點(diǎn)E、F、G分別為線段A8、AC.AD上一點(diǎn),
W.EG//BD,GF//DC.
(1?求證:EF//BC;
A
30.(2021秋?寶山區(qū)校級月考)如圖,已知直線八、h?、/3分別截直線/4于點(diǎn)A、B、C,截直線K于點(diǎn)。、E、F,
且」〃/2〃/3.
(1)如果AB=4,BC=8,E尸=12,求OE的長.
(2)如果。E:EF=2:3,AB=6,求4c的長.
\pA?/.
31.(2022秋?奉賢區(qū)期中)如圖,已知直線/|〃/2〃/3,1[線AC和£>尸被/】、b、/3所截.若4B=3c〃?,BC=5cm,
EF=4cm.
(1?求。E、OF的長;
⑵如果AD=40cm,C/=80(7〃,求BE的長.
32.(2022秋?浦東新區(qū)校級月考)如圖,已知點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)3、F、。分別是NO兩邊上的點(diǎn),且A3〃EO,BC
//EF,AF.8c交于點(diǎn)M,CD、EF交于點(diǎn)、N.
(1?求證:AF//CDx
(2)若。4:AC:CE=3:2:4,AM=1,求線段ON的長.
E
【過關(guān)檢測】
一、單選題
1.(2023?上海???家荒#┤鐖D,已知AB〃CZ)〃砂,AD:AF=y.5,BE=24,那么AC的長等于()
48
TD.8
2.(2022秋?上海浦東新?九年級??计谥校┰趤V8c中,。、上分別在_A8C的邊A8、AC上,下列條件中不能
判定OE〃次7的是)
ADDEcADAE?ADAE
A.-----=------B.-----=------C.ZAED=ZCD.-----=------
ABBCABACBDEC
3.(2022秋?九年級單元測試)在“SC中,點(diǎn)、E、D、尸分別在邊48、BC、AC上,聯(lián)結(jié)QE、DF,如果
DE//AC,DF//AB.AE:EB=3:2,那么的值是()
A3B-t23
C.—D.-
255
4.(2021秋?上海?九年級??茧A段練習(xí))如圖,點(diǎn)。、點(diǎn)?在.以8C的邊A8上,點(diǎn)七在邊AC上,DE//BC,且
AD4
—要使得E尸〃CD,還需添加一個(gè)條件,這個(gè)條件可以是()
H
DF3AE_4EF_4BD_3
A.D.
~AD7~AC~7~CD~1AD-4
5.(2023?上海浦東新???家荒#┤鐖D,點(diǎn)。、E分別在A3、AC上,以下能推得力七〃8C的條件是()
A.AD:AB=DE:BCB.AD:DB=DE:BC
C.AD:DB=AE:ECD.AE:AC=AD:DB
6.(2022秋?上海崇明?九年級校考期口)在一A8c中,點(diǎn)。、E分別在邊AB、AC上,如果AO=2,BD=3,那
么由下列條件能夠判定?!辍?C的是()
aDE2AE2AE2CE2
A.=—B.——=—?C.=—D.
BC5AC5AD5~AC5
二、填空題
7.(2022秋?上海嘉定?九年級??计诳冢┰?ABe中,點(diǎn)。、£分別在線段A3、AC的延長線上,OE平行于
BC,AB=1,BD=3,AC=2,那么AE=
8.(2022春?上海普陀?九年級校考期口)如圖,YA5CQ中,E是邊A。的中點(diǎn),砥交對角線4c于點(diǎn)P,那么
9.(2022秋?上海黃浦?九年級統(tǒng)考期中)如圖,AD.相交于點(diǎn)。,點(diǎn)E、尸分別在BC、AO上,
AB//CD//EF,如果CE=6,E。=4,40=5,4F=6,那么AD=.
10.(2022秋?上海奉賢?九年級校聯(lián)考期中)如圖,四邊形人8c。中,AD//BC//EF,如果
則的長足
11.(2022秋?上海寶山?九年級統(tǒng)考期中)在SBC中,點(diǎn)。、E分別在直線A3、AC上,如果。石〃BC,
AC=2,4)=3,那么CE
12.(2022秋?上海浦東新?九年級統(tǒng)考期中)在58C中,點(diǎn)。、£分別在邊/W、4c上,AD:AB=2:3,
AE=4,當(dāng)AC=.時(shí),DE〃BC.
13.(2022秋?上海長寧?九年級校考期中)如圖,點(diǎn)。、尸在線段43上,點(diǎn)E、G在線段4C上,
DE//FG//BC,AD:DF:FB=2:3:4,如果EG=4,那么4c的長為.
4F1
4(2。22秋?上海奉賢?九年級校聯(lián)考期中)如圖,己知AQ為乂8c角平分線,小〃3如果元=屋
AB=6,那么DE=
15.(2017秋?上海?九年級校考期中)如圖,直線a〃b〃c,直線。4與這三條平行線分別交于點(diǎn)AB,C和點(diǎn)
D,E,F.若AB:BC=1:2,DE=3,則的長為.
16.(2022秋?上海青浦?九年級??计谥校┤鐖D,在梯形A8c。中,AD//BC,對角線AC、8。相較于點(diǎn)O,己知
△AZX)的面積為2,△“心的面積為4,那么AO:8C=
17.(2022秋?上海奉賢?九年級??计谥校┤鐖D,四邊形A8CO中,AD//BC//EF,如果AE=3,AB=8,
C/)=10,則C尸的長是.
18.(2023?上海長寧?統(tǒng)考一模)如圖AO〃8E〃B,已知A8=5,DE=6,4c=15,那么EF的長等于
19.(2019秋?上海?九年級??茧A段練習(xí))已知:如圖,點(diǎn)。、尸在A3上,點(diǎn)E在邊4c上,&EFHDC,
ADAF八
麗=而.求證:QE//8C.
20.(2021秋?上海寶山?九年級統(tǒng)考期中)如圖,已知直線小〃、/3分別截直線"于點(diǎn)A、8、C,截直線/5于點(diǎn)
D、E、F,且乙佻外
(1)如果4B=3,BC=6,DE=4,求Ef的長;
(2)如果OE:EF=2:3,AC=2S,求AB的長.
/5(4
/1
DA
A
E\/B
h
21.(2022秋?上海寶山?九年級??茧A段練習(xí))我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進(jìn)行測量的方法,在至今仍有
借鑒意義.
⑴如圖1已知小明的身高是1.6米,他在路燈人8下的影子長為2米,此時(shí)小明距路燈燈桿的底部3米,求燈桿
AB的高?度;
(2)如圖2現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿A8前\測得其影長?!?米,再將木桿沿著4C方向移動(dòng)L8
米至OE的位置,此時(shí)測得其影長。尸為3米,求燈桿A3的高度.
22.(2022秋?上海嘉定?九年級統(tǒng)考期中)如圖,已知A8〃CO,AC與8。相交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在線段8c上,
⑴求證:AB//EF;
(2)求48:即:CD.
23.(2022秋?上海楊浦?九年級統(tǒng)考期中)如圖,點(diǎn)。、£分別在的邊A3、AC上,DE//BC.如果
SAADE=2,S^BCE=7.5.求SMDE?
24.(2022秋?上海松江?九年級??茧A段練習(xí))如圖,在財(cái)中,點(diǎn)。在人8上,點(diǎn)E在4C上,且。E〃8C,
AD=3,A4=4,AC=6,求七C.
25.(2022秋?上海奉賢?九年級校聯(lián)考期中)如圖,已知直線4〃4"4,直線AC和。尸被《、44所截.若
AB=3cm,BC=5cm,EF=4cm.
(1)求OE、。廠的長;
⑵如果A£>=40cm,C"=80cm,求電的長.
26.(2022秋?上海徐匯?九年級??计谥?如圖,正方形A8CO的邊長為5,點(diǎn)E是邊。>上的一點(diǎn).
⑴當(dāng)小=2時(shí),求點(diǎn)4到直線AE的距離;
⑵將正方形A8C。沿直線AE翻折后,點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)屏,連接8交正方形A8CQ的一邊于點(diǎn)A如I果
AF=CE,求AF的長.
第03講三角形一邊的平行線
【知識梳理】
1、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理
平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的對應(yīng)線段成比例.
AnAP
如圖,已知AA8C,直線〃/8C,且與AB、AC所在直線交于點(diǎn)。和點(diǎn)E,那么一=—.
DBEC
2、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論
平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.
如圖,點(diǎn)。、石分別在AA8C的邊44、AC上,
DEAD
DnEm///BaC,那到“么==AE.
BCABAC
3、三角形的重心
定義:三角形三條中線交于一點(diǎn),三條中線交點(diǎn)叫三角形的重心.
性質(zhì):三角形重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離,等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對邊中點(diǎn)的距離的兩倍.
4、三角形一邊的平行線判定定理
如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.
5、三角形一邊的平行線判定定理推論
如果一條直線截三角形的兩邊的延長線(這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè))所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直
線平行于三角形的第三邊.
AnAp
如圖,在A48C中,直線/與44、AC所在直線交于點(diǎn)。和點(diǎn)£,如果——=——那么/〃3c.
DBEC
6、平行線分線段成比例定理
兩條直線被三條平行的直線所截,截得的對應(yīng)線段成比例.
如圖,直線/"兒/兒,直線〃,與直線〃被直線4、所截,那么竺=空.
FBGC
7、平行線等分線段定理
兩條直線被三條平行的直線所截,如果一條直線上截得的線段相等,那么另一條直線上截得的線段也相等.
【考點(diǎn)剖析】
一.三角形的重心(共13小題)
1.(2023?青浦區(qū)一模)三角形的重心是()
A.三角形三條角平分線的交點(diǎn)
B.三角形三條中線的交點(diǎn)
C.三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)
D.三角形三條高的交點(diǎn)
【分析】根據(jù)三角形的重心概念作出回答,結(jié)合選項(xiàng)得出結(jié)果.
【解答】解:三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn).
故選:B.
【點(diǎn)評】考查了三角形的重心的概念.三角形的外心是三角形的三條垂直平分線的交點(diǎn);三角形的內(nèi)心是三角形
的三條角平分線的交點(diǎn).
2.(2023?奉賢區(qū)一模)在中,AO是8C邊上的中線,G是重心.如果40=6,那么線段OG的長是2.
【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)三角形的重心到一頂點(diǎn)的距離等于到對邊中點(diǎn)距離的2倍,直接求得結(jié)果.
【解答】解:???三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是其到對邊中點(diǎn)的距離的2倍,
:-DG---AG-2.
故答案為:2.
【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的重心,熟知心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2:1是解題的關(guān)鍵.
3.(2022秋?楊浦區(qū)期木)如圖,△八/SC中,NZMC=90°,點(diǎn)G是△?!"’的重心,如果AG=4,那么4c的長為
12.
【分析】延長AG交BC于點(diǎn)Q,杈據(jù)重心的性質(zhì)可知點(diǎn)。為BC的中點(diǎn),且4G=2OG=4,則AD=6,再根據(jù)
直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解.
【解答】解:如圖,延長AG交8c于點(diǎn)。.
???點(diǎn)G是△A8C的重心,AG=4,
???點(diǎn)。為8C的中點(diǎn),且AG=2OG=4,
???OG=2,
:.AD=AG+DG=6,
1△ABC中,N8AC=90°,AO是斜邊的中線,
:.BC=2AD=\2.
故答案為12.
【點(diǎn)評】本題考杳了三角形重心的定義及性質(zhì),三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn),重心到頂點(diǎn)的距離與重
心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2:1.同時(shí)考查了直角三角形的性質(zhì).
4.(2022秋?青浦區(qū)校級期末)如圖,已知在RtZXABC中,NC=9D°,點(diǎn)G是△45。的重心,GELAC,垂足為
E,如果CB=10,則線段GE的長為()
【分析】因?yàn)辄c(diǎn)G是△ABC的重心,根據(jù)三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)以及重心的性質(zhì):重心到頂點(diǎn)
的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比是2:1,可知點(diǎn)。為8C的中點(diǎn),至上,根據(jù)GE_LAC,可得NA£G=
GD1
90°,進(jìn)而證得△AEGSAA。。,從而得到毀“,代入數(shù)值即可求解.
CDAD
【解答】解:如圖,連接AG并延長交4c于點(diǎn)Q.
???點(diǎn)G是△ABC的重心,
???點(diǎn)。為BC的中點(diǎn),也上,
GD1
VCB=1(),
?'CD=BD聿C=5,
?:GE±ACt
???NAEG=90°,
VZC=90°,
AZ4EG=ZC=90°,
?:ZEAG=ZCAD(公共角),
/.叢AEGs4ACD,
?EGAG
??—'9
CDAD
..AG__2
,GDT
?AG2
AD3
?.?EG二AG一二一2,
5AD3
故選:D.
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),三角形的重心的定義及其性質(zhì),熟練運(yùn)用三角形重心的性質(zhì)是解
題的關(guān)鍵.
5.(2021秋?松江區(qū)期末)如圖,已知點(diǎn)G是△A8C的重心,那么S“CG:SAABC等于()
A
【分析】連接AG延長交8c于點(diǎn)D,由G是重心可得。是BC的中點(diǎn),所以S/..A肘)=S/\ACQ,S/\BG=Saax;,又
由重心定理可4G=2G。,則2s△8G/)=5,58G,進(jìn)而得到3s△BQG=S,MHC,即可求解.
【解答】解:連接AG延長交8C于點(diǎn)£>,
???G是△人BC的重心,
是4c的中點(diǎn),
:?S&ABD=S&ACD,SABDG=SKDG,
-:AG=2GD,
?*.2s△BDG=S&ABG,
:.3s△BGD=S/、ABD,
.*.35ZXWDG=S/4BC?
:?SABDG:S^ABC=1:3,
故選:B.
【點(diǎn)評】本題考杳三角形的重心,熟練掌握三角形重心定理.,利用等底、等高三角形面積的特點(diǎn)求解是解題的關(guān)
鍵.
6.(2022秋?楊浦區(qū)校級期末)如圖,G是△/WC的重心,延長BG交AC于點(diǎn)。,延長CG交A8于點(diǎn)E,P、。分
別是△4CE和△8C。的重心,BC長為6,則為。的長為1.
【分析】連接。E,由G是△ABC的重心,可證。E是△ABC的中位線,從而可求出。E的長.延長EP交8c
于F點(diǎn),連接DF,利用三角形重心的定義和性質(zhì)得到EP=2PF,DQ=2QF,再證明△尸PQs△尸f。得到
品嗡《即可?
【解答】解:連接延長EP交8c于尸點(diǎn),連接。F,如圖,
?;G是△ABC的重心,
:?D、E分別是AB、4C的中點(diǎn),
???QE是的中位線,
???DE】BC=3?
乙
???0點(diǎn)是的重心,
???”點(diǎn)為8c的中點(diǎn),EP=2PF,
???Q點(diǎn)是△BC。的重心,
二點(diǎn)。在中線。F上,DQ=2QF,
:ZPQS4FED,
?
??PQ,=FP'=?1-9
EDFE3
:?PQ=4ED=P
O
故答案為:1.
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的重心,三角形的中位線,相似三角形的判定與性質(zhì).三角形的重心是三角形三邊中
線的交點(diǎn);重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2:1.
7.(2022秋?徐匯區(qū)期末)在RiZVlBC中,Z5=90°,NR4C=30°,BC=1,以AC為邊在△ABC外作等邊4
ACD,設(shè)點(diǎn)£、尸分別是△A8C和△ACO的重心,則兩重心£與尸之間的距離是_近_.
3
【分析】取AC中點(diǎn)O,連接。8、OD、BD、EF.根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AC=28C=2,利川
勾股定理得出A8=?,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出CO=AQ=AC=2,ZCAD=60a,那么NBAO=NBAC+
ZCAD=90°,利用勾股定理求出BOU“?.然后證明△EOf's/^80。,得出后尸=工8D=近.
33
【解答】解:如圖,取AC中點(diǎn)。連接03、0D.BD、EF.
在RtZ\ABC中,N8=90°,ZBXC=30°,BC=\,
2=2=
?'.AC=2BC=2tAB=VAC-BC^^2-1^,
???△AC。是等邊三角形,
:.CD=AD=AC=2,
/.ZCAD=60o,
.??N84O=NBAC+NCAO=90°,
??BD=JAB2+AD2=YS+4=V7?
,1點(diǎn).E、F分別是△A6C和△ACO的重心,
.OE=OF=1
**0BOD3,
又/EOF=/BOD,
:,4EOFs叢BOD,
?EFOEOF1
**BD=OB=OD=
.?.EF=2BQ=近.
33
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),三角形重
心的定義與性質(zhì),掌握重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2:I是解題的關(guān)鍵.
8.(2022秋?黃?浦區(qū)月考)已知點(diǎn)G是△A3C的重心,那么&ABG:SABC=1:3.
【分析】三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn),重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2:1,由
此即可計(jì)算.
【解答】解:延長AG交8C于。,
:,BD=CD,AG:DG=2:1,
???AG:40=2:3,
:.S&ABG:S^ABD=2:3,
S^ABDzSL.ABC=\:2,
S^ABG:S^ABC=1:3.
故答案為:1:3.
【點(diǎn)評】本題考查三角形的重心,關(guān)鍵是掌握三角形重心的性質(zhì).
9.(2023?金山區(qū)一模)如圖,AABC為等腰直角三角形,/A=90:4B=6,Gi為的重心,E為線段
上任意一動(dòng)點(diǎn),以CE為斜邊作等腰口△(7/%(點(diǎn)。在直線BC的上方),S為RtZXCOE的重心,設(shè)Gi、S兩
點(diǎn)的距離為d,那么在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中d的取值范圍是OWdwVIU.
【分析】分別求出〃的最小值和最大值,即可得到d的取值范圍.
【解答】解:當(dāng)E與B重合時(shí),G與G2重合,此時(shí)"最小為0,
當(dāng)E與人重合時(shí),G1G2最大,連接并延長AG1交于,,連接并延長。G2交AC于K,連接“K,過G2作
VGi為等腰直角三角形ABC的重心,
???”為8c中點(diǎn),
???NA/78=NA”C=90°,
:.4ABH和△AC"是等腰直角三角形,
???BH=CH=AH=^=3^2,
,:AG\=2G\Hf
:.AG\=2^2,G\H=近,
VG2是為等腰RtACDE的重心,
???K為AC中點(diǎn),
;?4AKD=NCKD=90°,NAKH=NCKH=90°,
???NAKO+/AK〃=I80°,
???£>,K,一共線,
':AK=CK=DK=^AC=—AB=3=HK,
22
:.G?K=LDK=1,G1D=DK-G2K=2,
3
:?G2H=G2K+HK=4,
*:TG2//ED,
?TG2_TH_HG2_4-2即TG2_TH_2
ADAHHD4+233723723
:.TGi=2?,TH=2限,
:.TG\=TH-GiH=近,
***GQ=JTG12+TG22=,
:.G\G2最大值為,
AGIG2的范圍是OWG1G2W413,
故答案為:
【點(diǎn)評】本題考查三角形的重心,涉及等腰直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是掌握三角形重心的性質(zhì).
SAAG.G,
10.(2D23?松江區(qū)一模)己知△A8C,戶是邊8。上一點(diǎn),△秒13、△以C的重心分別為Gi、Gi,那么一^——
SAABC
的值為2.
-9-
【分析】由重心的性質(zhì):重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2:1,得到△AGIQS/XA。&推出
△4G1G2的面積:△4OE的面積=4:9,而的面積=2義ZVIBC的面積,即可解決問題.
2
【解答】解:延長4G1交P8于。,延長AG2交PC于E,
’:叢PAB、△E4C的重心分別為Gi、G2,
:.AG\:AD=AG2:AE=2:3,。是PB中點(diǎn),E是尸C中點(diǎn),
VZGiAG2=ZDAt,
,zMGiG2sZUOE,
???△4G1G2的面積:△4OE的面積=4:9,
???。是PB中點(diǎn),E是尸C中點(diǎn),
A^ADE的面積的面積,
2
S
AAGtG.o
A——」的值為3.
'△ABC9
故答案為:1.
9
【點(diǎn)評】本題考查三角形的重心,三角形的面積,相似三角形的判定和性質(zhì),關(guān)鍵是掌握三角形重心的性質(zhì).
11.(2。22秋?徐匯區(qū)期中)已知點(diǎn)G是等腰直角三角形A8C的重心,AC=BC=6,那么AG的長為」函
【分析】根據(jù)三角形的重心到頂點(diǎn)的距離等于到對邊中點(diǎn)的距離的2倍解答即可.
【解答】解::G是等腰直角AA6c的重心,AC=6C=6,
.?.8=28c=3,
2
由公股定理得:4。=而奇=3遙,
:.AG=—X375=275,
3
故答案為:275.
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的重心,熟記三角形的重心到頂點(diǎn)的矩離等于到對邊中點(diǎn)的距離的2倍是解題的關(guān)
鍵.
12.(2。18?寶山區(qū)校級自主招生)G為重心,OE過重心,SMBC=1,求的最值,并證明結(jié)論.
【分析】設(shè)AQ=〃M8,AE=nAC,由G為△A8C重心得工十工=3,再由當(dāng)2=工=3時(shí),工??!有最大值9,
mnmn2mn4
則〃以有最小值且,而無論。、E任何移動(dòng),加〃《工,即可求出S”城的最值.
9
【解答】解:*楨£的最大值為工,最小值為3.
29
證明:假設(shè)△4BC面積為Si,△4DE面積為S2,
^AD=mAB,AE=nAC,
1G為△ART重心.
?"」=3,
mn
.\S2=-AD^AE^sinA=^^-nlAB?llAC^sh\A=mnS\,
22
當(dāng)[=2=3時(shí),工有最大值2,則〃甘?有最小值七,
mn2mn49
而無論。、E任何移動(dòng),〃加《工,
2
??.&IWS2W4,
92
???5以"的最大值為《,最小值為2.
29
【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì),解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)G為△48C重心得到工」
mn
13.(2019秋?嘉定區(qū)校級月考)如圖,點(diǎn)G是△ABC的重心,過點(diǎn)G作E尸〃8C,分別交A3、4c于點(diǎn)E、凡且
EF+BC=72cm,求BC的長.
【分析】如果連接AG并延長,交BC于點(diǎn)P,由三角形的重心的性質(zhì)可知AG=2G尸,則AG:AP=2:3.又EF
//BC,根據(jù)相似三角形的判定可知△AG”sZMPC,得出AF:AC=2:3,最后由EF//BC,得出
從而求出BC=AF:AC=2t3,結(jié)合E"+8C=7.2cm來求BC的長度.
【解答】解:如圖,連接4G并延長,交8c于點(diǎn)P.
?.?。為4人以:的重心,
:.AG=2GP,
:.AGzAP=2:3,
???£/過點(diǎn)6且£“〃8。,
???△AG尸s/\APC,
?MF:AC=AG:AP=2:3.
又
:.XkEfsXkBC,
.EF=AF=_2
**BCAC~3'
又EF+BC=1.2cm,
8c=4.32c〃?.
【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的重心的性質(zhì),相似三角形的判定及性質(zhì).三角形三邊的中線相交于一點(diǎn),這點(diǎn)
叫做三角形的重心.重心到頂點(diǎn)的電離等于它到對邊中點(diǎn)距離的兩倍.平行于一:角形一邊的直線截其它兩邊,所
得三角形與原三角形相似.相似三角形的三邊對應(yīng)成比例.
二.平行線分線段成比例(共19小題)
14.(2022秋?徐匯區(qū)期末)在△ABC中,點(diǎn)。、E分別在邊48和BC上,40=2,。8=3,8c=10,要使。E〃
AC,那么BE必須等于6.
【分析】此題主要考查了平行線分線段成比例定理的逆定理,根據(jù)題意得出要使。七〃AC,必須型M即可得
CEAD
出BE的長.
【解答】解:???在△"(?中,點(diǎn)0、E分別在邊協(xié)和8C上,4)=2,DB=3,8c=10,
???要使。E〃AC,
?BEDB
??,
CEAD
,BE_3
??lO-BEW
解得:BE=6.
故答案為:6.
B
【點(diǎn)評】此題主要考查了平行線分線段成比例定理的逆定理,根據(jù)題意得出要使。E〃AC,必須些M是解決
CEAD
問題的關(guān)鍵.
15.(2022秋?閔行區(qū)期末)如圖,已知它們依次交直線“、力于點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)8、D、F,如果
【分析】由可得出巫=雪,代入AC=3C£,BF=\O,即可求出力”的長.
BFAE
【解答】解:???4B〃C£)〃ER
.DF=CE
??麗AE*
即竺=—更—
103CE+CE
工。尸二苴.
2
故選:C.
【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例,牢記“三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)
鍵.
16.(2023?寶山區(qū)一模)在△ABC中,點(diǎn)。、E分別在邊A3、AC±.,如果A。:80=1:3,那么下列條件中能判
斷Z)E〃BC的是()
AAE1RAE1rAD1nDE1
AC4EC4AB4BC4
【分析】如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形
的第三邊,進(jìn)而可得出結(jié)論.
【解答】解:?.泡。:BD=\:3,
,AD1
??二一
AB4
蘭理時(shí),AD^AE
AC4
J.DE//BC,故4選項(xiàng)能夠判斷DE//BC;
而C,B,。選項(xiàng)不能判斷。石〃BC.
故選:A.
【點(diǎn)評】本題主要考查了由平行線分線段成比例來判定兩條直線是平行線的問題,能夠熟練掌握并運(yùn)用.
17.(2022秋?嘉定區(qū)校級期末)如果點(diǎn)〃、G分別在中的邊。E和。尸上,那么不能判定〃環(huán)的比例式
是()
A.DH:EH=DG:GFB.HG:EF=DH:DE
C.E
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