《函數(shù)極限》課件

函數(shù)極限函數(shù)極限是微積分學(xué)的基礎(chǔ)概念之一，它描述了函數(shù)在自變量趨于某個值時，函數(shù)值的變化趨勢。函數(shù)極限的概念無限趨近當(dāng)自變量x無限趨近于某個特定值a時，函數(shù)值f(x)也無限趨近于某個特定值L。極限值這個特定值L就是函數(shù)f(x)當(dāng)x趨近于a時的極限，用符號lim(x->a)f(x)=L表示。本質(zhì)函數(shù)極限反映的是函數(shù)值在自變量無限趨近于某一點時的變化趨勢。函數(shù)極限的性質(zhì)和的極限函數(shù)極限的和等于函數(shù)極限的和。積的極限函數(shù)極限的積等于函數(shù)極限的積。商的極限函數(shù)極限的商等于函數(shù)極限的商，前提是分母函數(shù)的極限不為零。一側(cè)極限1左側(cè)極限當(dāng)自變量x趨近于a時，函數(shù)值無限接近于A，那么A就是函數(shù)在x=a處的左側(cè)極限。2右側(cè)極限當(dāng)自變量x趨近于a時，函數(shù)值無限接近于B，那么B就是函數(shù)在x=a處的右側(cè)極限。兩側(cè)極限1左側(cè)極限當(dāng)自變量x從左側(cè)無限接近a時，函數(shù)f(x)的極限值，記作limx→a-f(x)。2右側(cè)極限當(dāng)自變量x從右側(cè)無限接近a時，函數(shù)f(x)的極限值，記作limx→a+f(x)。無窮小與無窮大無窮大當(dāng)自變量無限增大時，函數(shù)的值也無限增大。無窮小當(dāng)自變量無限增大時，函數(shù)的值無限趨近于0。無窮小的運算加減法兩個無窮小的和或差仍然是無窮小。乘法無窮小與有界函數(shù)的積仍然是無窮小。除法兩個無窮小的商，如果分母不是零無窮小，則商仍然是無窮小。比較無窮小定義若lim(x→a)f(x)=0且lim(x→a)g(x)=0,則稱f(x)和g(x)都是x→a時的無窮小.比較如果lim(x→a)[f(x)/g(x)]=c(c為有限非零常數(shù)),則稱f(x)與g(x)是同階無窮小.高階如果lim(x→a)[f(x)/g(x)]=0,則稱f(x)是比g(x)高階的無窮小.低階如果lim(x→a)[f(x)/g(x)]=∞,則稱f(x)是比g(x)低階的無窮小.洛必達法則1前提條件當(dāng)兩個函數(shù)在某個點趨于零或無窮大時，可以使用洛必達法則。2導(dǎo)數(shù)存在要求兩個函數(shù)在該點可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)存在。3極限存在原始函數(shù)的極限必須存在，才能使用洛必達法則求解。函數(shù)極限的應(yīng)用求導(dǎo)數(shù)函數(shù)極限是求導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，例如求導(dǎo)數(shù)的定義式就用到了極限的概念。研究函數(shù)的性質(zhì)利用函數(shù)極限可以判斷函數(shù)在某一點處的連續(xù)性，以及函數(shù)的漸近線等性質(zhì)。解決實際問題函數(shù)極限可以應(yīng)用于物理、化學(xué)、經(jīng)濟等各個領(lǐng)域，例如計算物體運動的速度、計算化學(xué)反應(yīng)的速率等。重要極限計算lim(x->0)sin(x)/x=1lim(x->0)(1+x)^(1/x)=elim(x->∞)(1+1/x)^x=elim(x->0)(e^x-1)/x=1lim(x->∞)(1+a/x)^x=e^alim(x->0)ln(1+x)/x=1課后習(xí)題一練習(xí)題本章節(jié)的練習(xí)題旨在幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識，并提升對函數(shù)極限的理解和應(yīng)用能力。思考題思考題側(cè)重于引導(dǎo)學(xué)生深入思考函數(shù)極限的概念和性質(zhì)，并探索其更深層次的應(yīng)用。拓展題拓展題旨在擴展學(xué)生的知識面，并引導(dǎo)他們探索函數(shù)極限在其他學(xué)科和領(lǐng)域中的應(yīng)用。課堂反饋老師可以引導(dǎo)學(xué)生進行課堂互動，及時了解學(xué)生對知識點的掌握情況，并針對學(xué)生問題進行講解和引導(dǎo)。同時，也可以鼓勵學(xué)生提出問題，并進行答疑解惑。函數(shù)間斷的概念定義如果函數(shù)在一個點處沒有定義，或者在該點處的極限不存在，或者在該點處的極限值不等于函數(shù)值，那么該函數(shù)在該點處稱為間斷點。類型間斷點可以分為三類：可去間斷點、跳躍間斷點和無窮間斷點。重要性理解函數(shù)間斷點對于分析函數(shù)的性質(zhì)、求解極限和積分至關(guān)重要。間斷點的分類可去間斷點當(dāng)極限存在且等于函數(shù)值時，稱該點為可去間斷點。這意味著函數(shù)在該點處可以“修復(fù)”為連續(xù)的，通過重新定義函數(shù)值即可消除間斷。跳躍間斷點當(dāng)極限存在但左右極限不相等時，稱該點為跳躍間斷點。這意味著函數(shù)在該點處有明顯的“跳躍”，無法通過重新定義函數(shù)值來消除間斷。無窮間斷點當(dāng)極限不存在或為無窮大時，稱該點為無窮間斷點。這意味著函數(shù)在該點處“發(fā)散”到無窮大，無法通過任何方式消除間斷。間斷點處的極限1左極限當(dāng)x從左側(cè)趨近于a時，函數(shù)f(x)的極限值2右極限當(dāng)x從右側(cè)趨近于a時，函數(shù)f(x)的極限值3極限存在當(dāng)且僅當(dāng)左極限等于右極限時，極限存在Heine定理序列收斂任何一個收斂于點的序列，其函數(shù)值也收斂于該點的函數(shù)極限。函數(shù)極限如果序列的函數(shù)值收斂于一個值，則函數(shù)在該點處存在極限。閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1有界性在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有界，即存在常數(shù)M，使得對于任意x屬于閉區(qū)間，|f(x)|<=M。2最大值最小值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得最大值和最小值，即存在x1,x2屬于閉區(qū)間，使得對于任意x屬于閉區(qū)間，f(x1)<=f(x)<=f(x2)。3介值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)≠f(b)，則對于介于f(a)和f(b)之間的任意實數(shù)y，存在x0屬于[a,b]，使得f(x0)=y。介值定理連續(xù)性介值定理指出，若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在該區(qū)間內(nèi)取遍所有介于函數(shù)值之間的值。應(yīng)用介值定理在數(shù)學(xué)分析、微積分、數(shù)值分析等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，例如，它可以用來證明方程解的存在性。例子例如，函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，因此，它在該區(qū)間內(nèi)取遍所有介于f(0)=0和f(1)=1之間的值。最大值最小值定理連續(xù)函數(shù)如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么它一定在這個閉區(qū)間上取得最大值和最小值。最大值最小值最大值和最小值可以在區(qū)間端點或區(qū)間內(nèi)部取得。單調(diào)性與連續(xù)性單調(diào)遞增函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)，隨著自變量的增大，函數(shù)值也隨之增大。單調(diào)遞減函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)，隨著自變量的增大，函數(shù)值也隨之減小。連續(xù)函數(shù)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)圖形沒有間斷，圖像可以不間斷地畫出來。微分中值定理定義設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)幾何意義在曲線y=f(x)上取兩點A(a,f(a))和B(b,f(b))，則存在一點C(ξ,f(ξ))，使得過點A和B的割線與過點C的切線平行。課后習(xí)題二練習(xí)題鞏固本節(jié)知識，掌握微分中值定理的應(yīng)用。思考題拓展思考，深入理解微分中值定理的本質(zhì)和應(yīng)用場景。應(yīng)用題將微分中值定理應(yīng)用于實際問題，解決實際問題。課堂反饋請同學(xué)們積極思考，踴躍提問，共同探討學(xué)習(xí)中的難點和疑惑！知識點總結(jié)1函數(shù)極限概念了解函數(shù)極限的定義、性質(zhì)和計算方法。2一側(cè)極限與兩側(cè)極限掌握一側(cè)極限和兩側(cè)極限的概念，并能判斷函數(shù)在某點是否存在極限。3無窮小與無窮大理解無窮小與無窮大的定義，并能進行無窮小的運算和比較。4函數(shù)間斷的概念學(xué)習(xí)函數(shù)間斷點的分類，并能判斷函數(shù)在某點是否連續(xù)。拓展思考應(yīng)用場景函數(shù)極限在數(shù)學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，如微積分、微分方程、概率論等。聯(lián)系與區(qū)別函數(shù)極限與函數(shù)連續(xù)性、函數(shù)導(dǎo)數(shù)等概念密切相關(guān)，需要理解其聯(lián)系與區(qū)別。課堂小結(jié)函數(shù)極限是微積分的基礎(chǔ),了解函數(shù)極限的性質(zhì)和計算方法，有助于更好地理解和應(yīng)用微積分理論。掌握洛必達法則等重要極限計算技巧，能夠有效提高解題效率。函數(shù)間斷點分析和閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)和微分奠定基礎(chǔ)。題目練習(xí)我們來做幾道習(xí)題鞏固所學(xué)知識。例如，計算函數(shù)極限：lim(x→1)(x2-1)/(x-1)并分析其結(jié)果。同學(xué)們可以嘗試獨立完成，然后我們一起討論答案。作業(yè)布置課本習(xí)題