2024年山東省泰安市中考數學真題卷及答案解析

試題PAGE1試題泰安市2024年年初中學業(yè)水平考試數學試題一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個，均記零分）1.的相反數是（）A. B. C. D.2.下列運算正確的是（）A. B.C. D.3.下面圖形中，中心對稱圖形個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個4.據泰山景區(qū)2024年1月4日消息，2023年泰山景區(qū)累計接待進山游客超860萬人次，同比增長301.36%，刷新了歷年游客量最高記錄，數據860萬用科學記數法表示為（）A. B. C. D.5.如圖，直線，等邊三角形的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若，則的度數是（）A. B. C. D.6.如圖，是的直徑，，是上兩點，平分，若，則的度數為（）A. B. C. D.7.關于的一元二次方程有實數根，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.8.我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內容如下：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，…，…，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？若設買甜果x個，買苦果y個，列出符合題意二元一次方程組：．根據已有信息，題中用“…，…”表示的缺失的條件應為（）A.甜果九個十一文，苦果七個四文錢 B.甜果七個四文錢，苦果九個十一文C.甜果十一個九文，苦果四個七文錢 D.甜果四個七文錢，苦果十一個九文9.如圖，中，，分別以頂點A，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點和點，作直線分別與，交于點和點；以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點和點，再分別以點，點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線，若射線恰好經過點，則下列四個結論：①；②垂直平分線段；③；④．其中，正確結論的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個10.兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個直徑端點與半圓的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（）A. B. C. D.11.如圖所示是二次函數的部分圖象，該函數圖象的對稱軸是直線，圖象與軸交點的縱坐標是2，則下列結論：①；②方程一定有一個根在和之間；③方程一定有兩個不相等的實數根；④．其中，正確結論的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個12.如圖，菱形中，，點是邊上的點，，，點是上的一點，是以點為直角頂點，為角的直角三角形，連結．當點在直線上運動時，線段的最小值是（）A.2 B. C. D.4二、填空題（本大題共6小題，滿分24分．只要求填寫最后結果，每小題填對得4分）13.單項式的次數是________．14.某學校在4月23日世界讀書日舉行“書香校園，全員閱讀”活動．小明和小穎去學校圖書室借閱書籍，小明準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機選擇一本，小潁準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機選擇一本，小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率是__________．15.在綜合實踐課上，數學興趣小組用所學數學知識測量大汶河某河段的寬度，他們在河岸一側的瞭望臺上放飛一只無人機，如圖，無人機在河上方距水面高60米的點處測得瞭望臺正對岸A處的俯角為，測得瞭望臺頂端處的俯角為，已知瞭望臺高12米（圖中點，，，在同一平面內），那么大汶河此河段的寬為__________米．（參考數據：，，，）16.如圖，小明的父親想用長為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園，已知房屋外墻長40米，則可圍成的菜園的最大面積是__________平方米．

17.如圖，是的直徑，是的切線，點為上任意一點，點為的中點，連接交于點，延長與相交于點，若，，則的長為__________．18.如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”．按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第__________個“小屋子”中圖形“○”個數是圖形“●”個數的3倍．三、解答題（本大題共7小題，滿分8分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）19.（1）計算：；（2）化簡：．20.某超市打算購進一批蘋果，現(xiàn)從甲、乙兩個供應商供應的蘋果中各隨機抽取10個，測得它們的直徑（單位：mm），并制作統(tǒng)計圖如下：根據以上信息，解答下列問題：（1）統(tǒng)計量供應商平均數中位數眾數甲8080乙76則__________，__________，__________．（2）蘋果直徑方差越小，蘋果的大小越整齊，據此判斷，__________供應商供應的蘋果大小更為整齊．（填“甲”或“乙”）（3）超市規(guī)定直徑（含）以上蘋果為大果，超市打算購進甲供應商的蘋果2000個，其中，大果約有多少個？21.直線與反比例函數的圖象相交于點，，與軸交于點．（1）求直線的表達式；（2）若，請直接寫出滿足條件的的取值范圍；（3）過點作軸的平行線交反比例函數的圖象于點，求的面積．22.隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國各地的農產品有了更廣闊的銷售空間，某農產品加工企業(yè)有甲、乙兩個組共名工人．甲組每天加工件農產品，乙組每天加工件農產品，已知乙組每人每天平均加工的農產品數量是甲組每人每天平均加工農產品數量的倍，求甲、乙兩組各有多少名工人？23.綜合與實踐為了研究折紙過程蘊含的數學知識，某校九年級數學興趣小組的同學進行了數學折紙?zhí)骄炕顒樱咎骄堪l(fā)現(xiàn)】（1）同學們對一張矩形紙片進行折疊，如圖1，把矩形紙片翻折，使矩形頂點對應點恰好落在矩形的一邊上，折痕為，將紙片展平，連結，與相交于點．同學們發(fā)現(xiàn)圖形中四條線段成比例，即，請你判斷同學們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由．【拓展延伸】（2）同學們對老師給出的一張平行四邊形紙片進行研究，如圖2，是平行四邊形紙片的一條對角線，同學們將該平行四邊形紙片翻折，使點的對應點，點的對應點都落在對角線上，折痕分別是和，將紙片展平，連結，，，同學們探究后發(fā)現(xiàn)，若，那么點恰好是對角線的一個“黃金分劇點”，即．請你判斷同學們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由．24.如圖1，在等腰中，，，點，分別在，上，，連接，，取中點，連接．（1）求證：，；（2）將繞點順時針旋轉到圖2的位置．①請直接寫出與的位置關系：___________________；②求證：．25.如圖，拋物線的圖象經過點，與軸交于點A，點．（1）求拋物線的表達式；（2）將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線，求拋物線的表達式，并判斷點是否在拋物線上；（3）在軸上方的拋物線上，是否存在點，使是等腰直角三角形．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．泰安市2024年年初中學業(yè)水平考試數學試題一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個，均記零分）1.的相反數是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據只有符號不同的兩個數互為相反數進行求解即可．【詳解】解：的相反數是．故選：D．【點睛】本題考查了求一個數的相反數，熟練掌握相反數的概念以及求解方法是解題的關鍵．2.下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據合并同類項法則、單項式除以單項式法則、平方差公式、積的乘方進行判斷即可求解．【詳解】解：A、與不是同類項，不能合并同類項，故不符合題意；B、，故不符合題意；C、，故不符合題意；D、，故符合題意；故選：D．【點睛】本題考查合并同類項法則、單項式除以單項式法則、平方差公式、積的乘方，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．3.下面圖形中，中心對稱圖形的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形的概念，熟練掌握概念是解題的關鍵．根據中心對稱圖形的概念對各圖形分析判斷即可求解．【詳解】解：第一個是中心對稱圖形，符合題意；第二個是是中心對稱圖形，符合題意；第三個是是中心對稱圖形，符合題意；第四個不是中心對稱圖形，不符合題意；所以符合題意的有3個．故選：C．4.據泰山景區(qū)2024年1月4日消息，2023年泰山景區(qū)累計接待進山游客超860萬人次，同比增長301.36%，刷新了歷年游客量最高記錄，數據860萬用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查科學記數法的表示方法，科學記數法的表示形式為的形式，其中為整數，正確確定a的值以及n的值是解題的關鍵．直接運用科學記數法的定義解答即可．【詳解】解：860萬．故選：D．5.如圖，直線，等邊三角形的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若，則的度數是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查平行線的性質、等邊三角形的性質，根據平行線的性質可得，從而可得，再根據等邊三角形的性質可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，即，∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，故選：B．6.如圖，是的直徑，，是上兩點，平分，若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查圓周角定理、角平分線的定義、三角形的內角和定理，先根據角平分線的定義得到根據圓周角定理得到，再根據圓周角定理得到，，然后利用三角形的內角和定理求解即可．【詳解】解：∵平分，∴，∵是的直徑，，∴，，則，∴，故選：A．7.關于的一元二次方程有實數根，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了判別式與一元二次方程根的情況，熟知一元二次方程有實數根的條件是解題的關鍵．根據一元二次方程有實數根的條件是，據此列不等式求解即可．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有實數根，∴，解得．故選B．8.我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內容如下：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，…，…，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？若設買甜果x個，買苦果y個，列出符合題意的二元一次方程組：．根據已有信息，題中用“…，…”表示的缺失的條件應為（）A.甜果九個十一文，苦果七個四文錢 B.甜果七個四文錢，苦果九個十一文C.甜果十一個九文，苦果四個七文錢 D.甜果四個七文錢，苦果十一個九文【答案】A【解析】【分析】根據可得甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，【詳解】解：根據，可得甜果九個十一文，苦果七個四文錢，故選A【點睛】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是明確題意，根據方程組找出等量關系．9.如圖，中，，分別以頂點A，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點和點，作直線分別與，交于點和點；以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點和點，再分別以點，點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線，若射線恰好經過點，則下列四個結論：①；②垂直平分線段；③；④．其中，正確結論的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】本題主要考查作圖-復雜作圖、角平分線的性質、線段的垂直平分線的性質等知識，讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題是解題的關鍵．由作圖可知垂直平分線段、平分，進而證明可判定①；再說明可得垂直平分線段可判定②；根據直角三角形的性質可得可判定③，根據三角形的面積公式即可判定④．【詳解】解：由作圖可知垂直平分線段，∴，∴，由作圖可知平分，∴，∵，∴，故①正確，∴，∵，∴，∴垂直平分線段，故②正確，∵，∴，故③正確，∴，∵，∴，∴，故④正確．故選：D．10.兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個直徑端點與半圓的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了扇形的面積公式的運用、三角形的面積公式的運用等知識點，熟練掌握扇形的面積公式是關鍵．如圖：連接，作于點B，得三角形是等邊三角形，求出，再根據，即可解答．【詳解】解：如圖：連接，作于點B，∵，∴三角形是等邊三角形，∴，∴∴,∴．故選：A．11.如圖所示是二次函數的部分圖象，該函數圖象的對稱軸是直線，圖象與軸交點的縱坐標是2，則下列結論：①；②方程一定有一個根在和之間；③方程一定有兩個不相等的實數根；④．其中，正確結論的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】本題主要考查的是圖象法求一元二次方程的近似值、拋物線與x軸的交點、二次函數圖象與系數的關系、二次函數與方程的關系等知識點，掌握二次函數的性質、二次函數圖象與系數的關系是解題的關鍵．根據拋物線與坐標軸的交點情況、二次函數與方程的關系、二次函數的性質逐個判斷即可．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∴,∴，故①正確；∵拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個交點在2、3之間，∴與x軸的另一個交點在、0之間，∴方程一定有一個根在和0之間，故②錯誤；∵拋物線與直線有兩個交點，∴方程一定有兩個不相等的實數根，故③正確；∵拋物線與x軸的另一個交點在，0之間，∴，∵圖象與y軸交點的縱坐標是2，∴，∴，∴．故④錯誤．綜上，①③正確，共2個．故選：B．12.如圖，菱形中，，點是邊上點，，，點是上的一點，是以點為直角頂點，為角的直角三角形，連結．當點在直線上運動時，線段的最小值是（）A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】如圖：過E作于點M，作于點H，作于點I，則點E、M、F、G四點共圓，從而得到，因為，所以求出的值即可解答．【詳解】解：如圖，過E作于點M，作于點H，作于點I，∵，∴點E、M、F、G四點共圓，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴最小值是．故選：C．【點睛】本題主要考查了菱形的性質、解直角三角形、垂線段最短、圓內接四邊形對角互補等知識點，熟練掌握相關知識點和添加合適的輔助線是解題關鍵．二、填空題（本大題共6小題，滿分24分．只要求填寫最后結果，每小題填對得4分）13.單項式的次數是________．【答案】【解析】【分析】根據單項式次數的定義進行解答即可．【詳解】解：單項式中，的指數是，的指數是，∴此單項式的次數為：．故答案為：．【點睛】本題考查單項式的次數，一個單項式中所有字母的指數的和叫做單項式的次數．理解和掌握單項式次數的定義是解題的關鍵．14.某學校在4月23日世界讀書日舉行“書香校園，全員閱讀”活動．小明和小穎去學校圖書室借閱書籍，小明準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機選擇一本，小潁準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機選擇一本，小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率是__________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查列表法與樹狀圖法、概率公式等知識，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．先列表可得出所有等可能的結果數以及小明和小穎恰好選中書名相同的書的結果數，再利用概率公式計算即可．【詳解】解：將《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》、《朝花夕拾》分別記為A，B，C，D，列表如下：

ABDA（A，A）（A，B）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）共有9種等可能的結果，其中小明和小穎恰好選中書名相同的書的結果有2種，∴小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率為．故答案為：．15.在綜合實踐課上，數學興趣小組用所學數學知識測量大汶河某河段的寬度，他們在河岸一側的瞭望臺上放飛一只無人機，如圖，無人機在河上方距水面高60米的點處測得瞭望臺正對岸A處的俯角為，測得瞭望臺頂端處的俯角為，已知瞭望臺高12米（圖中點，，，在同一平面內），那么大汶河此河段的寬為__________米．（參考數據：，，，）【答案】74【解析】【分析】本題主要考查解直角三角形的應用—仰角、俯角問題等知識點，熟練掌握解直角三角形是解題關鍵．根據題意可得，則，再通過解直角三角形求得和，最后根據線段的和差即可解答．【詳解】解：由題知,∴,在，∴,∴,在中，,∴,∴．故答案為：74．16.如圖，小明的父親想用長為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園，已知房屋外墻長40米，則可圍成的菜園的最大面積是__________平方米．

【答案】450【解析】【分析】本題主要考查了二次函數的應用，熟練掌握并能靈活運用二次函數的性質是解題的關鍵．設垂直于墻的邊長為x米，則平行于墻的邊長為米，又墻長為40米，從而可得，故，又菜園的面積，進而結合二次函數的性質即可解答．【詳解】解：由題意，設垂直于墻的邊長為x米，則平行于墻的邊長為米，又墻長40米，∴．∴．菜園的面積，∴當時，可圍成的菜園的最大面積是450，即垂直于墻的邊長為15米時，可圍成的菜園的最大面積是450平方米．故答案為：450．17.如圖，是的直徑，是的切線，點為上任意一點，點為的中點，連接交于點，延長與相交于點，若，，則的長為__________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質、切線的性質、圓周角定理等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵．先證可得從而得到，求得，再運用勾股定理可得，再根據圓周角定理以及角的和差可得，最后根據等角對等邊即可解答．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵點為的中點，∴，∴，∵，∴，即，∴．故答案為：．18.如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”．按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第__________個“小屋子”中圖形“○”個數是圖形“●”個數的3倍．【答案】12【解析】【分析】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律、一元二次方程的應用等知識點，能根據所給圖形發(fā)現(xiàn)“〇”和“●”的個數變化規(guī)律是解題的關鍵．根據所給圖形，依次求出“〇”和“●”的個數，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再利用規(guī)律列出一元二次方程求解即可．【詳解】解：由所給圖形可知，第1個“小屋子”中圖形“〇”的個數為：，“●”的個數為：；第2個“小屋子”中圖形“〇”的個數為：，“●”的個數為：；第3個“小屋子”中圖形“〇”的個數為：，“●”的個數為：；第4個“小屋子”中圖形“〇”個數為：，“●”的個數為：；…，所以第n個“小屋子”中圖形“〇”的個數為：，“●”的個數為：；由題知，解得，又n為正整數，則，即第12個“小屋子”中圖形“〇”個數是圖形“●”個數的3倍．故答案為：12．三、解答題（本大題共7小題，滿分8分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）19.（1）計算：；（2）化簡：．【答案】（1）7；（2）【解析】【分析】本題考查了實數的運算和分式的化簡，實數運算涉及特殊角的三角函數，負指數冪，二次根式和絕對值，熟練掌握相關的法則是解題的關鍵．（1）利用特殊角的三角函數，負指數冪，二次根式和絕對值進行實數的運算；（2）利用分式的運算法則化簡即可．【詳解】解：（1）；；（2）．20.某超市打算購進一批蘋果，現(xiàn)從甲、乙兩個供應商供應的蘋果中各隨機抽取10個，測得它們的直徑（單位：mm），并制作統(tǒng)計圖如下：根據以上信息，解答下列問題：（1）統(tǒng)計量供應商平均數中位數眾數甲8080乙76則__________，__________，__________．（2）蘋果直徑的方差越小，蘋果的大小越整齊，據此判斷，__________供應商供應的蘋果大小更為整齊．（填“甲”或“乙”）（3）超市規(guī)定直徑（含）以上的蘋果為大果，超市打算購進甲供應商的蘋果2000個，其中，大果約有多少個？【答案】（1）80，，（2）甲（3）600【解析】【分析】本題主要考查了平均數、中位數、眾數、方差以及用樣本估計總體等知識點，掌握相關統(tǒng)計量的計算方法是解答本題的關鍵．（1）分別根據算術平均數，中位數和眾數的定義解答即可；（2）根據方差的意義解答即可；（3）利用樣本估計總體，即用2000乘樣本中直徑（含）以上所占比例即可．【小問1詳解】解：由題意得：；把乙的10個蘋果的直徑從小到大排列，排在中間的兩個數分別是79，80，故中位數；甲10個蘋果的直徑中，83出現(xiàn)的次數最多，故眾數．故答案：80，，．【小問2詳解】解：甲的方差為：；乙的方差為：，因為，所以甲供應商供應的蘋果大小更為整齊．故答案為：甲．【小問3詳解】解：（個）．答：大果約有600個．21.直線與反比例函數的圖象相交于點，，與軸交于點．（1）求直線的表達式；（2）若，請直接寫出滿足條件的的取值范圍；（3）過點作軸的平行線交反比例函數的圖象于點，求的面積．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】本題主要考查反比例函數與一次函數的交點問題、根據函數圖像求不等式解集、三角形的面積等知識點，掌握運用待定系數法求解析式及數形結合思想是解題的關鍵．（1）分別將點、點代入，求出m、n的值，再分別代入中即可解答；

（2）根據函數圖像確定不等式的解集即可；

（3）先把代入中，求出點D的坐標，再根據三角形的面積公式計算即可．【小問1詳解】解：分別將點、點代入中，可得：，，解得：，，點坐標為，點坐標為，把A點坐標，點坐標分別代入,可得，解得：，一次函數表達式為．【小問2詳解】解：∵直線與反比例函數的圖象相交于點，∴由圖象可知，當時，或．【小問3詳解】解：把時代入中，得，點坐標為，即，．22.隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國各地的農產品有了更廣闊的銷售空間，某農產品加工企業(yè)有甲、乙兩個組共名工人．甲組每天加工件農產品，乙組每天加工件農產品，已知乙組每人每天平均加工的農產品數量是甲組每人每天平均加工農產品數量的倍，求甲、乙兩組各有多少名工人？【答案】甲組有名工人，乙組有名工人【解析】【分析】本題考查了分式方程的實際應用，設甲組有名工人，則乙組有名工人．根據題意得，據此即可求解．【詳解】解：設甲組有名工人，則乙組有名工人．根據題意得：，解答：，經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，．答：甲組有名工人，乙組有名工人．23.綜合與實踐為了研究折紙過程蘊含的數學知識，某校九年級數學興趣小組的同學進行了數學折紙?zhí)骄炕顒樱咎骄堪l(fā)現(xiàn)】（1）同學們對一張矩形紙片進行折疊，如圖1，把矩形紙片翻折，使矩形頂點的對應點恰好落在矩形的一邊上，折痕為，將紙片展平，連結，與相交于點．同學們發(fā)現(xiàn)圖形中四條線段成比例，即，請你判斷同學們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由．【拓展延伸】（2）同學們對老師給出的一張平行四邊形紙片進行研究，如圖2，是平行四邊形紙片的一條對角線，同學們將該平行四邊形紙片翻折，使點的對應點，點的對應點都落在對角線上，折痕分別是和，將紙片展平，連結，，，同學們探究后發(fā)現(xiàn)，若，那么點恰好是對角線的一個“黃金分劇點”，即．請你判斷同學們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由．【答案】（1）正確，理由見解析；（2）正確，理由見解析【解析】【分析】本題主要考查了矩形性質、平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質、折疊的性質等知識點，掌握相關知識是解題的關鍵．（1）如圖：作于點M，再證可得，再證明四邊形是矩形可得即可證明結論；（2）利用平行線分線段比例可得，再說明，進而得到；再由由平行四邊形及折疊可得，，則即可證明結論．【詳解】解：（1）正確，理由如下，作于點，，，，，，，又，．∴．是矩形，，四邊形是矩形．，．（2）同學們的發(fā)現(xiàn)說法正確，理由如下，，，，由折疊知，，，，由平行四邊形及折疊知，，，，即點為的一個黃金分割點．24.如圖1，在等腰中，，，點，分別在，上，，連接，，取中點，連接．（1）求證：，；（2）將繞點順時針旋轉到圖2