2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章不等式7.3基本不等式及不等式的應(yīng)用講義

高考數(shù)學(xué)

(江蘇省專用)§7.3基本不等式及不等式的應(yīng)用1.(2017江蘇,10,5分)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運費為6萬元/次,一年的總存

儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x的值是

.A組自主命題·江蘇卷題組五年高考答案30解析本題考查基本不等式及其應(yīng)用.設(shè)總費用為y萬元,則y=

×6+4x=4

≥240.當(dāng)且僅當(dāng)x=

,即x=30時,等號成立.易錯警示1.a+b≥2

(a>0,b>0)中“=”成立的條件是a=b.2.本題是求取最值時變量x的值,不要混同于求最值.答案82.(2016江蘇,14,5分)在銳角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,則tanAtanBtanC的最小值是

.解析∵sinA=2sinBsinC,∴sin(B+C)=2sinBsinC,即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,亦即tanB+tanC=2tanBtanC,∵tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-

=

,又△ABC為銳角三角形,∴tanA=

>0,∵tanB+tanC>0,∴tanBtanC>1,∴tanAtanBtanC=

·tanB·tanC=

,令tanBtanC-1=t,則t>0,∴tanAtanBtanC=

=2

≥2×(2+2)=8,當(dāng)且僅當(dāng)t=

,即tanBtanC=2時,取“=”.∴tanAtanBtanC的最小值為8.考點基本不等式及不等式的應(yīng)用1.(2017山東文,12,5分)若直線

+

=1(a>0,b>0)過點(1,2),則2a+b的最小值為

.B組

統(tǒng)一命題·省(區(qū)、市)卷題組答案8解析本題考查基本不等式及其應(yīng)用.由題設(shè)可得

+

=1,∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)

=2+

+

+2≥4+2

=8

.故2a+b的最小值為8.2.(2017天津文改編,8,5分)已知函數(shù)f(x)=

設(shè)a∈R,若關(guān)于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立,則a的取值范圍是

.答案[-2,2]解析令g(x)=

,當(dāng)a≤0時,如圖1所示,若f(x)≥g(x)恒成立,則g(0)≤2,得a≥-2,∴-2≤a≤0;

圖1當(dāng)a>0,x≥1時,如圖2所示,f(x)=x+

,則f'(x)=1-

,由f'(x)=

,得x=2,此時y=3,即點B(2,3),則g(2)=

+a≤3,得a≤2,∴0<a≤2.

圖2綜上可知,-2≤a≤2.思路分析作出函數(shù)y=f(x)的圖象,借助于圖象的直觀性求出f(x)≥

在R上恒成立時a的取值范圍.方法總結(jié)解決含絕對值不等式恒成立的問題,往往將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下

位置關(guān)系問題,從而利用數(shù)形結(jié)合得出滿足條件的不等式,進而求出參數(shù)a的值.3.(2017天津理改編,8,5分)已知函數(shù)f(x)=

設(shè)a∈R,若關(guān)于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立,則a的取值范圍是

.答案

解析本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用及不等式恒成立問題.①當(dāng)x≤1時,關(guān)于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立等價于-x2+x-3≤

+a≤x2-x+3在R上恒成立,即有-x2+

x-3≤a≤x2-

x+3在R上恒成立.由y=-x2+

x-3圖象的對稱軸為x=

,可得在x=

處取得最大值-

;由y=x2-

x+3圖象的對稱軸為x=

,可得在x=

處取得最小值

,則-

≤a≤

.②當(dāng)x>1時,關(guān)于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立等價于-

≤

+a≤x+

在R上恒成立,即有-

≤a≤

+

在R上恒成立,由于x>1,所以-

≤-2

=-2

,當(dāng)且僅當(dāng)x=

時取得最大值-2

;因為x>1,所以

x+

≥2

=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取得最小值2,則-2

≤a≤2.由①②可得-

≤a≤2.思路分析討論當(dāng)x≤1時,運用絕對值不等式的解法和分離參數(shù),可得-x2+

x-3≤a≤x2-

x+3,再由二次函數(shù)的最值求法,可得a的取值范圍;討論當(dāng)x>1時,同樣可得-

≤a≤

+

,再利用基本不等式可得最值,從而可得a的取值范圍,求交集即可得到所求范圍.4.(2013山東理改編,12,5分)設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當(dāng)

取得最大值時,

+

-

的最大值為

.答案1解析由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2,∴

=

=

.又x、y、z為正實數(shù),∴

+

≥4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取等號,此時z=2y2.∴

+

-

=

+

-

=-

+

=-

+1,當(dāng)

=1,即y=1時,上式有最大值1.5.(2016山東理,16,12分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知2(tanA+tanB)=

+

.(1)證明:a+b=2c;(2)求cosC的最小值.解析(1)由題意知2

=

+

,化簡得2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,即2sin(A+B)=sinA+sinB.因為A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC.從而sinA+sinB=2sinC.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=

,所以cosC=

=

=

-

≥

,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.故cosC的最小值為

.疑難突破利用切化弦將已知等式等價轉(zhuǎn)化,最終轉(zhuǎn)化為三角形三角正弦之間的關(guān)系,從而結(jié)合

正弦定理得出三角形三邊之間的關(guān)系.一、填空題(每題5分,共25分)1.(2017江蘇南通、揚州、泰州第三次模擬考試,11)若正實數(shù)x,y滿足x+y=1,則

+

的最小值是

.三年模擬A組2015—2017年高考模擬·基礎(chǔ)題組(時間：45分鐘分值：50分)答案8解析因為x+y=1,且x>0,y>0,所以

+

=

+

=

+

+4≥2

+4=4+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)

=

,即y=2x時取“=”.所以

+

的最小值為8.2.(2017無錫普通高中期中,9)已知正實數(shù)a,b滿足a+3b=7,則

+

的最小值為

.答案

解析

+

=

[(a+1)+3(2+b)]

=

≥

,當(dāng)且僅當(dāng)

=

,即a+1=

(b+2)時取等號.故答案為

.3.(2017揚州上學(xué)期期中,11)若a>0,b>2,且a+b=3,則使得

+

取得最小值的實數(shù)a=

.答案

解析因為a+b=3,所以a+b-2=1,又a>0,b>2,所以

+

=

+

=4+

+

+1≥9,當(dāng)且僅當(dāng)

=

時取等號,此時a=2(b-2),結(jié)合a+b=3,解得b=

,a=

.4.(2016江蘇蘇州一模,13)已知ab=

,a,b∈(0,1),則

+

的最小值為

.答案4+

解析

+

=

+

=2+

=2+

=2+2+

,由題意得4a-1>0,4-4a>0,所以原式≥4+

×2×

=4+

,當(dāng)且僅當(dāng)

=

時取等號.5.(2016江蘇泰州一模,13)若正實數(shù)x,y滿足(2xy-1)2=(5y+2)(y-2),則x+

的最大值為

.答案

-1解析令x+

=t(t>0),則(2yt-2)2=(5y+2)(y-2),(4t2-5)y2+(8-8t)y+8=0,因此Δ=(8-8t)2-32(4t2-5)≥0?2t2+4t-7≤0?0<t≤-1+

,當(dāng)t=-1+

時,y=

=

>0,x=

>0,因此x+

的最大值為

-1.6.(2015江蘇四市三模,8)已知常數(shù)a>0,函數(shù)f(x)=x+

(x>1)的最小值為3,則a的值為

.答案1解析∵x>1,∴x-1>0,又a>0,∴f(x)=x+

=x-1+

+1≥2

+1,∴2

+1=3,∴a=1,此時,x-1=

,即x=2.7.(2015江蘇連云港二模,13)設(shè)x,y,z均為大于1的實數(shù),且z為x和y的等比中項,則

+

的最小值為

.答案

解析由題意得z2=xy,lgx>0,lgy>0,∴

+

=

+

=

+

+

+

=

+

+

≥

+2

=

,當(dāng)且僅當(dāng)

=

,即lgy=2lgx,即y=x2時取等號.二、解答題(共15分)8.(2016江蘇揚州中學(xué)期中,18)有一塊三角形地,如圖中△ABC,其中AB=8百米,AC=6百米,∠A=60°.某市為迎接2500年城慶,欲利用這塊地修一個三角形形狀的草坪(圖中△AEF)供市民休閑,其

中點E在邊AB上,點F在邊AC上.規(guī)劃部門要求△AEF的面積占△ABC的面積的一半,記△AEF的

周長為l(百米).(1)如果要對草坪進行灌溉,需沿△AEF的三邊安裝水管,求水管總長度的最小值;(2)如果沿△AEF的三邊修建休閑長廊,求長廊總長度的最大值,并確定此時E、F的位置.

解析(1)設(shè)AE=x(百米),∵S△AEF=

S△ABC,∴

AE·AF·sinA=

×

AB·AC·sinA.∵AB=8,AC=6,∴AF=

.∵

∴4≤x≤8.∵△AEF中,EF2=x2+

-2x·

cos60°=x2+

-24,∴l(xiāng)=x+

+

,x∈[4,8].∵l=x+

+

≥2

+

=6

,當(dāng)且僅當(dāng)x=2

時取“=”,∴l(xiāng)min=6

.故水管總長度的最小值為6

百米.(2)由(1)知:l=x+

+

,x∈[4,8].令t=x+

,x∈[4,8],∴t'=1-

=

=

.列表得:x(4,2?)2?(2?,8)t'-0+t↘極小值4?↗且x=4時,t=10;x=8時,t=11,故t∈[4

,11].l=t+

在[4

,11]上單調(diào)遞增,∴當(dāng)t=11時,lmax=18,此時x=8,

=3.故當(dāng)點E在B處,點F是線段AC的中點時,長廊總長度的最大值為18百米.一、填空題(每題5分,共40分)1.(2017江蘇蘇北四市聯(lián)考,11)若實數(shù)x,y滿足xy+3x=3

,則

+

的最小值為

.B組2015—2017年高考模擬·綜合題組(時間：45分鐘分值：50分)答案8解析∵實數(shù)x,y滿足xy+3x=3

,∴x=

∈

,∴y>3.則

+

=y+3+

=y-3+

+6≥2

+6=8,當(dāng)且僅當(dāng)y-3=

,即y=4

時取等號.思路分析實數(shù)x,y滿足xy+3x=3

,可得x=

∈

,可得y>3,則

+

=y+3+

=y-3+

+6,利用基本不等式可求得結(jié)果.2.(2017江蘇儀征中學(xué)第二學(xué)期期初檢測,13)已知正數(shù)x,y滿足

=4xy,那么y的最大值為

.答案

解析

=4xy得4x-y=16x2y+12xy2,即(4-12y2)x=(1+16x2)y,∴

=

=16x+

≥8

當(dāng)且僅當(dāng)16x=

,即x=

時等號成立

,故4-12y2≥8y,即3y2+2y-1≤0,所以-1≤y≤

,故y的最大值為

.3.(2017鹽城第三次模擬考試,12)若a,b均為非負(fù)實數(shù),且a+b=1,則

+

的最小值為

.答案3解析由a+b=1,可得

+

=

+

,

[(1+b)+(2-b)]

=

,因為a,b均為非負(fù)實數(shù),且a+b=1,所以0≤b≤1,則

≥3,當(dāng)且僅當(dāng)

=

,即b=0時等號成立.故

+

的最小值為3.思路分析根據(jù)a+b=1,把

+

轉(zhuǎn)化為含一個變量的表達式,再結(jié)合基本不等式求解.4.(2017蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研(二))已知a,b均為正數(shù),且ab-a-2b=0,則

-

+b2-

的最小值為

.答案7解析由已知可得2b+a=ab,由a>0,b>0可得2

≤2b+a=ab,所以ab≥8,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時等號成立.所以

-

+b2-

=

-

=

-1≥ab-1≥7,故所求最小值為7.5.(2016江蘇蘇北四市調(diào)研,12)設(shè)a,b,c是正實數(shù),滿足b+c≥a,則

+

的最小值為

.答案

-

解析∵b+c≥a,∴2b+c≥a+b,∵a,b,c是正實數(shù),∴

≥

,∴

≥

,∴

+

≥

+

,令t=

,則t>0,且

+

=t+

=

+

-

≥2

-

=

-

,當(dāng)且僅當(dāng)t=

時取“=”,則

+

的最小值為

-

.6.(2016江蘇蘇北四市調(diào)研,13)已知A(0,1),B(1,0),C(t,0),t為正整數(shù),點D是直線AC上的動點,若AD

≤2BD恒成立,則t的最小值為

.答案4解析由題意知直線AC的方程為y=-

x+1,設(shè)D

,∵AD≤2BD,∴

≤2

,化簡得

x2-

x+8≥0對任意x總成立,則

-4×8×

≤0,化簡得t2-4t+1≥0,解得t≥2+

或t≤2-

,結(jié)合t為正整數(shù)得t的最小值為4.7.(2015南京三模,12)已知x,y為正實數(shù),則

+

的最大值為

.答案

解析令m=4x+y,n=x+y,則m>0,n>0且

∴

+

=

+

=

-

≤

-

=

,當(dāng)且僅當(dāng)m=2n,即y=2x時取等號.8.(2015江蘇南通三模,14)已知正實數(shù)x,y滿足x+

+3y+

=10,則xy的取值范圍為

.答案

解析令t=xy,則t>0,且題中等式可化為x+

+

+

=10,即

x+

=10,∴10=

x+

≥2

=2

,∴3t2-11t+8≤0,∴1≤t≤

,即1≤xy≤

.二、解答題(共10分)9.(2016江蘇宿遷三校調(diào)研,19)如圖,公路AM,AN圍成的是一塊頂角為α的角形耕地,其中tanα=-2.

在該塊土地中P處有一小型建筑,經(jīng)測量,它到公路AM,AN的距離分別為3km,

km.現(xiàn)要過點P修建一條公路BC,將三條公路圍成的區(qū)域ABC建成一個工業(yè)園.為盡量減少耕地占用,試確定B點

的位置,使得該工業(yè)園區(qū)的面積最小,并求最小面積.

解析如圖,過點P作PE⊥AM,PF⊥AN,垂足分別為E,F,連接PA.設(shè)AB=x,AC=y,則x>0,y>0.

因為P到AM,AN的距離分別為3,

,所以PE=3,