福建省南平市浦城縣第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

/福建省南平市浦城縣第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ﹣2﹣10123P若，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A．4＜x≤9 B．4≤x＜9 C．x＜4或x≥9 D．x≤4或x＞9參考答案：A【考點(diǎn)】CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】由隨機(jī)變量ξ的分布列，知ξ2的可能取值為0，1，4，9，分別求出相應(yīng)的概率，由此利用P（ξ2＜x）=，求出實(shí)數(shù)x的取值范圍．【解答】解：由隨機(jī)變量ξ的分布列，知：ξ2的可能取值為0，1，4，9，且P（ξ2=0）=，P（ξ2=1）=+=，P（ξ2=4）=+=，P（ξ2=9）=，∵P（ξ2＜x）=，∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是4＜x≤9．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．2.已知命題：,，則是（

）（A）R,（B）R,（C）R,（D）R,參考答案：C3.設(shè)點(diǎn)F1、F2是雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），以O(shè)為圓心，|F1F2|為直徑的圓交雙曲線于點(diǎn)M（第一象限）．若過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足恰為線段OF2的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是（）A．﹣1 B． C．+1 D．2參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意M的坐標(biāo)為M（，），代入雙曲線方程可得e的方程，即可求出雙曲線的離心率．【解答】解：由題意點(diǎn)F1、F2是雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），以O(shè)為圓心，|F1F2|為直徑的圓交雙曲線于點(diǎn)M（第一象限）．若過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足恰為線段OF2的中點(diǎn)，△OMF2是正三角形，M的坐標(biāo)為M（，），代入雙曲線方程可得﹣=1∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+2∴e=+1．故選：C．4.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列{an}，定義：若，稱數(shù)列為數(shù)列{an}的一階差分?jǐn)?shù)列；若，稱數(shù)列為數(shù)列{an}的二階差分?jǐn)?shù)列．若數(shù)列{an}的二階差分?jǐn)?shù)列的所有項(xiàng)都等于1，且，則（

）A.2018 B.1009 C.1000 D.500參考答案：C【分析】根據(jù)題目給出的定義，分析出其數(shù)列的特點(diǎn)為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求解.【詳解】依題意知是公差為的等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，則，即，利用累加法可得，由于，即解得，，故．選C【點(diǎn)睛】本題考查新定義數(shù)列和等差數(shù)列，屬于難度題.6.某射手的一次射擊中,射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.2、0.3、0.1,則此射手在一次射擊中成績(jī)不超過8環(huán)的概率為A．

B．

C．

D．參考答案：C7.設(shè)S為半徑等于1的圓內(nèi)接三角形的面積，則函數(shù)4S+的最小值是（

）（A）

（B）5

（C）7

（D）參考答案：C8.若直線l1：（t為參數(shù)）與直線l2：（s為參數(shù)）垂直，則k的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2參考答案：B【考點(diǎn)】QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】將直線l1與直線l2化為一般直線方程，然后再根據(jù)垂直關(guān)系求解即可．【解答】解：∵直線l1：（t為參數(shù)）∴y﹣2=﹣（x﹣1），直線l2：（s為參數(shù)）∴2x+y=1，∵兩直線垂直，∴﹣×（﹣2）=﹣1，得k=﹣1，故選：B．9.（統(tǒng)計(jì)）如某校高中三年級(jí)的300名學(xué)生已經(jīng)編號(hào)為0，1，……，299，為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，要抽取一個(gè)樣本數(shù)為60的樣本，用系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽取，若第60段所抽到的編號(hào)為298，則第1段抽到的編號(hào)為（

）A．2

B．3

C．4

D．5

參考答案：B略10.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—中，若點(diǎn)P是棱上一點(diǎn)，則滿足＋的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（

）ks5u4

6

8

12參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓E：+=1內(nèi)有一點(diǎn)P（2，1），則經(jīng)過P并且以P為中點(diǎn)的弦所在直線方程為．參考答案：x+2y﹣4=0【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】設(shè)所求直線與橢圓相交的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)差法求得直線的斜率，最后代入直線方程的點(diǎn)斜式得答案．【解答】解：設(shè)所求直線與橢圓相交于A（x1，y1），B（x2，y2），則，．兩式相減得．又x1+x2=4，y1+y2=2，∴kAB=．因此所求直線方程為y﹣1=﹣（x﹣2），即x+2y﹣4=0．故答案為：x+2y﹣4=0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了點(diǎn)差法求與中點(diǎn)弦有關(guān)的問題，是中檔題．12.已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為18，把它沿圖中的虛線折成正四棱柱，則這個(gè)正四棱柱的外接球表面積的最小值為

．參考答案：36π【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積．【分析】正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為x，高為y，則4x+y=18，0＜x＜4.5，求出正四棱柱的外接球的半徑的最小值，即可求出外接球的表面積的最小值．【解答】解：設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為x，高為y，則4x+y=18，0＜x＜4.5，正四棱柱的外接球半徑為=，當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)，半徑的最小值=3，∴外接球的表面積的最小值為4π×9=36π．故答案為36π．13.設(shè)α,β為兩個(gè)不重合的平面,為兩兩不重合的直線,給出下列四個(gè)命題:①若α∥β,

,則∥②若,

,∥β,∥β，則α∥β；③若∥α,⊥β,則α⊥β;④若,且⊥m,⊥n,則⊥α.

其中正確命題的序號(hào)是-_______________.參考答案：（1）（3）14.數(shù)列的前項(xiàng)和則它的通項(xiàng)公式是__________；參考答案：15.設(shè),其中實(shí)數(shù)滿足,若的最大值為12,則實(shí)數(shù)*****

.參考答案：2略16.二項(xiàng)式的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)是

參考答案：17.下列四個(gè)正方體圖形中，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出的圖形的序號(hào)是_______．參考答案：①③三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P，過P作x軸的垂線段，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記線段PD中點(diǎn)M的軌跡為C．（Ⅰ）求軌跡C的方程；（Ⅱ）設(shè)，試判斷（并說明理由）軌跡C上是否存在點(diǎn)Q，使得成立．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程．【分析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），P（x0，y0），則D（x0，0），由于點(diǎn)M為線段的PD中點(diǎn)，推出P的坐標(biāo)代入圓的方程求解即可．（Ⅱ）軌跡C上存在點(diǎn)Q，使得成立，方法一：假設(shè)軌跡C上存在點(diǎn)Q（a，b），使得．得到a，b關(guān)系式，又Q（a，b）在上，然后求解a，b說明存在或使得成立．方法二：由（Ⅰ）知軌跡C的方程為，假設(shè)軌跡C上存在點(diǎn)Q（a，b），使得，即以AB為直徑的圓與橢圓要有交點(diǎn)，則必須滿足c≥b，得到結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），P（x0，y0），則D（x0，0），由于點(diǎn)M為線段的PD中點(diǎn)則即點(diǎn)P（x，2y）…所以點(diǎn)P在圓x2+y2=4上，即x2+4y2=4，即．…（Ⅱ）軌跡C上存在點(diǎn)Q，使得成立．…方法一：假設(shè)軌跡C上存在點(diǎn)Q（a，b），使得．因?yàn)?，，所以…①…又Q（a，b）在上，所以…②…聯(lián)立①②解得，即存在或使得成立．…方法二：由（Ⅰ）知軌跡C的方程為，焦點(diǎn)恰為，．…假設(shè)軌跡C上存在點(diǎn)Q（a，b），使得，即以AB為直徑的圓與橢圓要有交點(diǎn)，…則必須滿足c≥b，這顯然成立，即軌跡C上存在點(diǎn)Q（a，b），使得．…19.（本小題滿分13分）對(duì)某校高二年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率100.252420.05合計(jì)1

（Ⅰ）求出表中及圖中的值；（Ⅱ）若該校高二學(xué)生有240人，試估計(jì)該校高二學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（Ⅲ）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率.參考答案：（Ⅰ）由分組內(nèi)的頻數(shù)是，頻率是知，，所以.

……2分因?yàn)轭l數(shù)之和為，所以，.

……………3分.

……………………4分因?yàn)槭菍?duì)應(yīng)分組的頻率與組距的商，所以.

………6分（Ⅱ）因?yàn)樵撔８叨W(xué)生有240人，分組內(nèi)的頻率是，所以估計(jì)該校高二學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為人.

………8分（Ⅲ）這個(gè)樣本參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生共有人，

………9分設(shè)在區(qū)間內(nèi)的人為，在區(qū)間內(nèi)的人為.則任選人共有，15種情況，

……11分而兩人都在內(nèi)只能是一種，

………12分所以所求概率為.

………13分20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q．（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：（1）（2）沒有解：(1)由已知條件知直線l的方程為y＝kx＋，代入橢圓方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.①直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>，即k的取值范圍為∪.(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①得x1＋x2＝－.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，③而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)，所以＋與共線等價(jià)于x1＋x2＝－(y1＋y2)．將②③代入上式，解得k＝.由(1)知k<－或k>，故沒有符合題意的常數(shù)k.21.（12分

）袋中有大小相同的紅、黃兩種顏色的球各1個(gè)，從中任取1只，有放回地抽取3次．求：(1)3只全是紅球的概率；(2)3只顏色全相同的概率；(3)3只顏色不全相同的概率。

參考答案：解法一：由于是有放回地取球，因此袋中每只球每次被取到的概率均為．(1)3只全是紅球的概率為P1＝··＝．（4分）(2)3只顏色全相同的概率為P2＝2·P1＝2·＝．（8分）(3)3只顏色不全相同的概率為P3＝1－P2＝1－＝．（12分）解法二：利用樹狀圖我們可以列出有放回地抽取3次球的所有可能結(jié)果：，由此可以看出，抽取的所有可能結(jié)果為8種．

（6分）(1)3只全是紅球的概率為P1＝．（8分）(2)3只顏色全相同的概率為P2＝＝．