離散數(shù)學(xué)課堂習(xí)題及答案

1.1命題及其表示法1.下列陳述句中，（）不是命題。A.2013年國慶節(jié)是星期天。B.火星上有生物。C.月球距離地球近。D.上海是大城市。2.下列命題中，（）是復(fù)合命題。A.江山代有人才出。B.我花開時(shí)百花殺。C.春江水暖鴨先知。D.萬紫千紅總是春。3.下列命題中，（）是原子命題。A.燕子飛回南方，春天來了。B.天才是煉成的，而不是天生的。C.暮春三月，江南草長。D.哥白尼指出地球繞太陽轉(zhuǎn)。4.下列命題中，（）是原子命題。A.王芳與王菲是姐妹。B.王芳與王菲是三好學(xué)生。C.王芳與王菲持有駕照。D.王芳與王菲喜歡早睡早起。5.下列命題中，（）是原子命題。A.數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，而數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇后。B.數(shù)學(xué)使人精細(xì)，邏輯使人善辯。C.較大的偶數(shù)都可表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和。D.數(shù)學(xué)是一種語言，也是一種工具。6.判斷一個(gè)語句是否為命題，首先看它是否為陳述句，然后再看它是否具有唯一的真值。1.C2.B3.D4.A5.C6.陳述句，真值1.2命題聯(lián)結(jié)詞1.命題“如果我休假，我將去美麗的黃山旅游?！钡姆穸杀硎緸?.命題“每個(gè)學(xué)生都要考試。”的否定可表示為3.命題“1既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)?！钡姆穸杀硎緸?.命題“如果我是你，那么太陽從西邊出?！钡恼嬷禐?.命題“如果時(shí)間倒流，那么我們將長生不老?！钡恼嬷禐?.命題“2是偶數(shù)或3是奇數(shù)?！钡姆穸杀硎緸椋ǎ?。A.2不是偶數(shù)或3不是奇數(shù)。B.2不是偶數(shù)且3不是奇數(shù)。C.2不是偶數(shù)或3是奇數(shù)。D.2不是偶數(shù)且3是奇數(shù)。7.設(shè)P:中國地處亞洲。Q:大熊貓產(chǎn)在中國。R:太陽從西邊升起。求下列復(fù)合命題的真值。（1）(P?Q)→R（2）（R→(P∧Q))?┐P（3）┐R→(┐P∨┐Q∨R)（4）(┐P↑Q)↓(Q↑┐R)8.命題“我善良、正直、勤奮、感恩、有責(zé)任、有尊嚴(yán)，所以我幸福?！钡姆穸杀硎觥?.我休假且我不將去美麗的黃山旅游。2.有的學(xué)生不要考試。3.1是素?cái)?shù)或合數(shù)。4.1或T5.1或T6.B7.（1）0或F（2）0或F（3）0或F（4）0或F8.我善良、正直、勤奮、感恩、有責(zé)任、有尊嚴(yán)，并且我不幸福。1.3命題公式及其真值表1.命題公式(P→Q)∧((Q→R)→(P→R))的類型為（）。A重言式B矛盾式C可滿足式D不確定2.命題公式(P→Q)→R的類型為（）。A重言式B矛盾式C可滿足式D不確定3.命題公式((P∧Q)∨(P∧R)∨(Q∧R))?((P∨Q)∧(P∨R)∧(Q∨R))的類型為（）。A重言式B矛盾式C可滿足式D不確定4.設(shè)P：它占據(jù)空間。Q：它有質(zhì)量。R：它不斷變化。S：它是物質(zhì)。命題“占據(jù)空間的，有質(zhì)量的而且不斷變化的叫做物質(zhì)?！狈g為。命題“占據(jù)空間的有質(zhì)量的叫做物質(zhì)，而且物質(zhì)是不斷變化的。”翻譯為。5.命題公式┐(P∧Q)→R的成真賦值為。6.命題公式（P∨Q∨R)?┐R的成真賦值為。7.翻譯下列命題（1）辱罵和恐嚇決不是戰(zhàn)斗。（2）我們要做到德、智、體、美全面發(fā)展，為祖國建設(shè)而奮斗。（3）上海到北京的D27次列車是下午五點(diǎn)半或六點(diǎn)開。（4）如果你有時(shí)間，那就陪我去度假。（5）如果爸爸和媽媽不同意，那我就不去探險(xiǎn)。（6）喝酒不開車，開車不喝酒。1.C2.C3.A4.(P∧Q∧R)?S，((P∧Q)?S)∧(S→R)5.001，011，101，110，1116.010，100，1107.（1）P∨Q，其中P：辱罵不是戰(zhàn)斗。Q：恐嚇不是戰(zhàn)斗。（2）(A∧B∧C∧D)?P，其中A：我們要做到德育發(fā)展。B：我們要做到智育發(fā)展。C：我們要做到體育發(fā)展。D：我們要做到美育發(fā)展。P：我們?yōu)樽鎳ㄔO(shè)而奮斗。（3）PQ，其中P：上海到北京的D27次列車是下午五點(diǎn)半開。Q：上海到北京的D27次列車是下午六點(diǎn)開。（4）P→Q，其中P：你有時(shí)間。Q：你陪我去度假。（5）(┐P∨┐Q)→┐R，其中P：爸爸同意。Q：媽媽同意。R：我去探險(xiǎn)。（6）(P→┐Q)∨(Q→┐P)，其中P：喝酒Q：開車1.4邏輯等價(jià)1.化簡命題公式A∨(┐A∨(B∧┐B))。2.化簡命題公式((A→B)?(┐B→┐A))∧CC。3.化簡命題公式(A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)。4.已知三元命題公式A(P1,P2,P3)是重言式，則A(┐P1,┐P2,┐P3)是重言式；A(┐P1,P2,P3)是式。5.已知三元命題公式A(P1,P2,P3)是矛盾式，則A(┐P1,┐P2,P3)是矛盾式；A(P1,P2,┐P3)是式。6.由三個(gè)命題變?cè)芙M成個(gè)不等價(jià)的命題公式。7.已知A是B的充分條件，B是C的必要條件，D是B的必要條件，A是D的條件。8.設(shè)P與Q是命題變?cè)?，則德·摩根律可表示為；吸收律可表示為。9.下列語句中，（）正確。A．若P∧RQ∧R，則PQB．若P∨RQ∨R，則PQC．若P→RQ→R，則PQD．若P?RQ?R，則PQ10.下列式子中，（）不正確。A．┐(P↑Q)┐P↓┐QB．┐(P↓Q)┐P↑┐QC．┐(P?Q)┐P?┐QD．P?Q┐P?┐Q1.T或12.C3.B∧C4.重言式或永真式，重言式或永真式5.矛盾式或永假式，矛盾式或永假式6.7.充分8.┐(P∧Q)┐P∨┐Q，┐(P∨Q)┐P∧┐Q；P∧(P∨Q)P，P∨(P∧Q)P9.D10.C1.5聯(lián)結(jié)詞的全功能集合1.下列式子中，（）不正確。A.P→(Q→R)T(P→Q)→(P→R)B.P→(Q→R)T(P→Q)→RC.P→(Q→R)Q→(P→R)D.P→(Q→R)(P∧Q)→R2.下列語句中，（）不正確。A.若PTQ，RTS，則P∧RTQ∧S。B.若PTQ，PTR，則PTQ∧R。C.若PTQ，RTQ，則P∧RTQ。D.若PTQ，QTR，則PTR。3.如果PTQ，則下列式子中，（）成立。A.┐PT┐QB.┐QT┐PC.PT┐QD.┐PTQ4.如果A∨BA∨C，┐A∨B┐A∨C，則BC。其對(duì)偶命題為。5.命題公式P↓┐Q的對(duì)偶式可表示為或。6.已知命題公式┐P→┐Q，其逆換式是為；其反換式是為；其逆反式是為。1.B2.C3.B4.如果A∧BA∧C，┐A∧B┐A∧C，則BC。5.P↑┐Q，┐P∨Q6.┐Q→┐P；P→Q；Q→P1.6蘊(yùn)含與對(duì)偶1.僅用聯(lián)結(jié)詞↓表達(dá)下列命題公式┐P；P∨Q；P∧Q。2.命題聯(lián)結(jié)詞、、、、、的運(yùn)算均滿足交換律。3.列舉六個(gè)命題最小全功能集合為，，，，，。4.僅用聯(lián)結(jié)詞↓表達(dá)命題公式P→Q；僅用聯(lián)結(jié)詞↑表達(dá)命題公式P→Q。5.試證明{┐,→}，{┐,}，{↑}，{↓}均是最小全功能集合。6.下列式子中（）不正確。A．┐(P↑Q)┐P↓┐QB．┐(P↓Q)┐P↑┐QC．P∧(QR)(P∧Q)(P∧R)D．P∨(QR)(P∨Q)(P∨R)1.P↓P；(P↓Q)↓(P↓Q)；(P↓P)↓(Q↓Q)2.∧、∨、?、↑、↓、3.{┐，∧}，{┐，∨}，{↑}，{↓}，{┐，→}，{┐，}4.P↑(Q↑Q)；((P↓P)↓Q)↓((P↓P)↓Q)5.例1.6.1已證明{┐，∨}是最小全功能集合。由于P∨Q┐P→Q，即僅用聯(lián)結(jié)詞┐與→就可表示┐與∨，故{┐，→}是最小全功能集合。由于P∨Q┐(┐P∧┐Q)┐(┐PQ)，即僅用聯(lián)結(jié)詞┐與就可表示┐與∨，故{┐，}是最小全功能集合。由于┐PP↑P，所以P∨Q(P↑P)↑(Q↑Q)，即僅用聯(lián)結(jié)詞↑就可表示┐與∨，故{↑}是最小全功能集合。由于┐PP↓P，所以P∨Q(P↓P)↓(Q↓Q)，即僅用聯(lián)結(jié)詞↓就可表示┐與∨，故{↓}是最小全功能集合。6.D1.7命題公式的范式1.命題公式(P→(Q∧R))∧(┐P?(┐Q∧┐R))的主合取范式為（）。A．∑(0,7)B．∑(1,2,3,4,5,6)C．∏(0,7)D．∏(1,2,3,4,5,6)2.命題公式(P→(Q∧R))∧(┐P?(┐Q∧┐R))的主析取范式為（）。A．∑(0,7)B．∑(1,2,3,4,5,6)C．∏(0,7)D．∏(1,2,3,4,5,6)3.命題公式(P→(Q∧R))∧(┐P?(┐Q∧┐R))的類型為（）。A．重言式B．矛盾式C．可滿足式D．不確定4.命題公式P∨(┐P∧┐Q∧R)∨(P∧┐R)的主合取范式為（）。A．∑(1,4,5,6,7)B．∑(0,2,3)C．∏(1,4,5,6,7)D．∏(0,2,3)5.命題公式P∨(┐P∧┐Q∧R)∨(P∧┐R)的主析取范式為（）。A．∑(1,4,5,6,7)B．∑(0,2,3)C．∏(1,4,5,6,7)D．∏(0,2,3)6.命題公式P∨(┐P∧┐Q∧R)∨(P∧┐R)的類型為（）。A．重言式B．矛盾式C．可滿足式D．不確定7.命題公式┐P∧(P∨┐Q∨R)∧(┐P∨┐Q)的主合取范式為（）。A．∑(2,4,5,6,7)B．∑(0,1,3)C．∏(2,4,5,6,7)D．∏(0,1,3)8.命題公式┐P∧(P∨┐Q∨R)∧(┐P∨┐Q)的主析取范式為（）。A．∑(2,4,5,6,7)B．∑(0,1,3)C．∏(2,4,5,6,7)D．∏(0,1,3)9.命題公式┐P∧(P∨┐Q∨R)∧(┐P∨┐Q)的類型為（）。A．重言式B．矛盾式C．可滿足式D．不確定表1.7.6PQRA(P,Q,R)B(P,Q,R)C(P,Q,R)00001100100101001001101010010010110011011111111010.關(guān)于命題公式┐(P∧Q)?(Q∧R)的范式，下列結(jié)論中（）正確。A．只有主合取范式。B．既有主合取范式又有主析取范式。C．只有主析取范式。D．既沒有主合取范式又沒有主析取范式。11.已知三元命題公式A(P,Q,R)，B(P,Q,R)，C(P,Q,R)的真值表如表1.7.6所示，它們的最簡形式分別表示為A(P,Q,R)，B(P,Q,R)，C(P,Q,R)。1.D2.A3.C4.D5.A6.C7.C8.B9.C10.B11.P；(┐P∨Q∨┐R)；(┐P∧┐Q)∨(P∧Q∧┐R)1.8命題邏輯的推理理論1.前提┐P∨Q，┐Q∨P，┐R的有效結(jié)論是（）。題目好像有問題A．QB．┐PC．P∨QD．┐Q→R2.前提S→┐Q，S∨R，┐R，┐P?Q的有效結(jié)論是（）。A．PB．RC．┐PD．┐S3.下列命題公式中，（）不是前提P,P→Q的有效結(jié)論。A．P∨QB．P∨┐QC．┐P∨QD．┐P∨┐Q4.證明下列各式。（1）P∨Q，P→R，Q→STS∨R（2）P→(Q→R)，S∨P，QTS∨R（3）R→┐Q，R∨S，S→┐Q，P→QT┐P（4）S→┐Q，S∨R，┐R，┐P?QTP（5）┐(P→Q)→┐(R∨S)，(Q→P)∨┐R，RTP?Q（6）P→(Q∧R)，┐Q∨S，(E→┐F)→┐S，Q→(P∧┐E)TQ→E5.對(duì)下面的每一組前提，寫出可能導(dǎo)出的有效結(jié)論及所應(yīng)用的推理規(guī)則。（1）若甲獲勝，則乙失??；若丙獲勝，則乙也獲勝；若甲不獲勝，則丁不失??；而丙獲勝。（2）如果我設(shè)計(jì)的程序運(yùn)行通過，那么我很興奮。如果我很興奮，那么笑容是燦爛的，歌聲是燎亮的。而我很想哭還很想罵人。6.構(gòu)造下列推理的證明。若x是實(shí)數(shù)，則它不是有理數(shù)就是無理數(shù)。若x不能表示成分?jǐn)?shù)，則它不是有理數(shù)。x是實(shí)數(shù)且不能表示成分?jǐn)?shù)。所以x是無理數(shù)。1.？2.A3.D4.（1）①P→RP②Q→SP③P∨Q→R∨QT，①，I14④Q∨R→S∨RT，②，I14⑤P∨Q→S∨RT，③④合取，I10⑥P∨QP⑦S∨RT，⑤⑥合取，I7（2）①P→(Q→R)P②Q→(P→R)T，①，E17③QP④P→RT，②③合取，I7⑤S∨PP⑥┐S→PT，⑤，E11⑦┐S→RT，④⑥合取，I10⑧S∨RT，⑦，E11（3）①R∨SP②R→┐QP③S→┐QP④┐QT，①②③合取，I11⑤P→QP⑥┐PT，④⑤合取，I8另外，用歸謬法證明①PP（附加）②P→QP③QT，①②合取，I7④R→┐QP⑤R∨SP⑥S→┐QP⑦┐QT，④⑤⑥合取，I11⑧0T，③⑦合取，E10（4）①S∨RP②┐RP③ST，①②合取，I9④S→┐QP⑤┐QT，③④合取，I7⑥┐P?QP⑦(┐P→Q)∧(Q→P)T，⑥，E12⑧┐P→QT，⑦，I1⑨PT，⑤⑧合取，I8（5）①(Q→P)∨┐RP②RP③Q→PT，①②合取，I9④┐(P→Q)→┐(R∨S)P⑤(R∨S)→(P→Q)T，④，E15⑥R∨ST，②，I2⑦P→QT，⑤⑥合取，I7⑧(Q→P)∧(P→Q)T，③⑦合取，I16⑨P?QT，⑧，E12（6）用CP規(guī)則證明①Q(mào)P（附加）②┐Q∨SP③ST，①②合取，I9④(E→┐F)→┐SP⑤┐(E→┐F)T，③④合取，I7⑥┐(E∨┐F)T，⑤，E11⑦E∧FT，⑥，E7⑧ET，⑦，I15.（1）設(shè)A：甲獲勝。B：乙獲勝。C：丙獲勝。D：丁獲勝。前提：A→┐B，C→B，┐A→D，C①A→┐BP②B→┐AT，①，E15③C→BP④C→┐AT，②③合取，I10⑤┐A→DP⑥C→DT，④⑤合取，I10⑦CP⑧DT，⑥⑦合取，I7結(jié)論：D，丁獲勝。（2）設(shè)A：我設(shè)計(jì)的程序運(yùn)行通過。B：我很興奮。C：笑容是燦爛的。D：歌聲是燎亮的。前提：A→B，B→(C∨D)，┐C，┐D①A→BP②B→(C∨D)P③A→(C∨D)T，①②合取，I10④┐CP⑤┐DP⑥┐C∧┐DT，④⑤合取，I16⑦┐(C∨D)T，⑥，E7⑧┐AT，③⑦合取，I8結(jié)論：┐A，我設(shè)計(jì)的程序運(yùn)行沒通過。6.設(shè)P：x是實(shí)數(shù)。Q：x是有理數(shù)。R：x是無理數(shù)。S：x能表示成分?jǐn)?shù)。前提：P→(┐Q→R)，┐S→┐Q，P，┐S結(jié)論：R①PP②P→(┐Q→R)P③┐Q→RT，①②合取，I10④┐S→┐QP⑤┐S→RT，③④合取，I10⑥┐SP⑦RT，⑤⑥合取，I72.1個(gè)體與謂詞1.命題“李明是王芳和王菲的教練?！钡膫€(gè)體為（）。A．李明B．王芳，王菲C．王菲D．李明，王芳，王菲2.命題“5＋6＝11?！钡膫€(gè)體為（）。A．11B．5，6C．5D．5，6，113.命題“長江和黃河都流經(jīng)安徽境內(nèi)。”的個(gè)體為，謂詞為，該謂詞刻畫了個(gè)體的，且其真值為。4.命題“九華山是著名的佛教圣地?！钡膫€(gè)體為，謂詞為。該謂詞刻畫了個(gè)體的。5.翻譯下列命題。（1）上海不是中國的最大城市。（2）外星人曾訪問過地球且今天是雨天。（3）如果王芳和王菲是朋友，那么2＋5＝6。（4）王菲是優(yōu)秀共產(chǎn)黨員或三好學(xué)生。（5）太陽從東方升起，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)厍蚶@太陽轉(zhuǎn)。（6）王菲是計(jì)算機(jī)學(xué)院老師，他生于1968年，他是教授或博導(dǎo)。（7）中國地大物博，人口眾多，是發(fā)展中國家。1.D2.D3.長江，黃河，安徽；…和…流經(jīng)…境內(nèi)；關(guān)系；0或F4.九華山；是著名的佛教圣地；性質(zhì)5.（1）┐P(a)，其中P：是中國的最大城市a：上海（2）P(a)∧Q(b)，其中P：訪問過地球a：外星人Q：是雨天b：今天（3）P(a,b)→Q(2,5,6)，其中P：…和…是朋友Q：…＋…＝…a：王芳b：王菲（4）P(a)∨Q(a)，其中P：是優(yōu)秀共產(chǎn)黨員Q：是三好學(xué)生a：王菲（5）P(b)?Q(a,b)，其中P：從東方升起Q：…繞…轉(zhuǎn)a：地球繞b：太陽（6）P(a)∧Q(a)∧(R(a)∨S(a))，其中P：是計(jì)算機(jī)學(xué)院老師Q：生于1968年R：是教授S：是博導(dǎo)a：王菲（7）P(a)∧Q(a)∧R(a)，其中P：地大物博Q：人口眾多R：是發(fā)展中國家a：中國2.2命題函數(shù)與量詞1.令F(x)：x是金屬。G(y)：y是液體。H(x,y)：x可以溶解在y中。則命題“任何金屬可以溶解在某種液體中?！笨煞g為（）。A．x(F(x)∧y(G(y)∧H(x,y)))B．xy(F(x)→(G(y)→H(x,y)))

C．x(F(x)→y(G(y)∧H(x,y)))D．x(F(x)→y(G(y)→H(x,y)))2.令F(x)：x是火車。G(y)：y是汽車。H(x,y)：x比y快。則命題“某些汽車比所有火車慢。”可翻譯為（）。A.y(G(y)→x(F(x)∧H(x,y)))B.y(G(y)∧x(F(x)→H(x,y)))C.xy(G(y)→(F(x)∧H(x,y)))D.y(G(y)→x(F(x)→H(x,y)))3.設(shè)F(x,y):x有y。M(x)：x是人。G(x)：x是缺點(diǎn)。則F(x,y)稱為，x與y稱為；M(x)與G(x)稱為，x稱為。命題“每個(gè)人都有缺點(diǎn)?！狈g為。4.設(shè)P(x)：x是人。Q(x)：x犯錯(cuò)誤。命題“沒有不犯錯(cuò)誤的人，每個(gè)人都犯錯(cuò)誤?！痹谌倐€(gè)體域上翻譯為，取人類集合為論域翻譯為。5.設(shè)P(x)：x是人。Q(x)：x聰明。命題“盡管有人聰明，但未必一切人都聰明?！痹谌倐€(gè)體域上翻譯為，取人類集合為論域翻譯為。6.令F(x)：x是汽車。G(y)：y是火車。H(x,y)：x比y快。命題“有些汽車比某些火車快。”可翻譯為。命題“有些汽車比所有火車快。”可翻譯為。命題“所有汽車比所有火車快?！笨煞g為。命題“所有汽車比某些火車快。”可翻譯為。7.翻譯下列命題（1）計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生都要學(xué)離散數(shù)學(xué)。（2）每個(gè)人都要學(xué)習(xí)和工作。（3）并非一切推理都能用計(jì)算機(jī)完成。（4）任何自然數(shù)都有唯一的一個(gè)后繼數(shù)。（5）是金子都閃光，但閃光的未必是金子。（6）每個(gè)實(shí)數(shù)的平方都不小于0。（7）凡是實(shí)數(shù)，不是大于0就是等于0或小于0。（8）對(duì)于所有的實(shí)數(shù)x與y，均有x2＋y2≥2xy。（9）有的自然數(shù)既是質(zhì)數(shù)又是合數(shù)，沒有自然數(shù)既不是質(zhì)數(shù)又不是合數(shù)。（10）每個(gè)人恰有一個(gè)最好的朋友。（11）有位美國人游覽過中國每個(gè)城市的各個(gè)景點(diǎn)。（12）這只大紅書柜擺滿了那些唐朝時(shí)期的古書。（13）有些大學(xué)生不欽佩歌星。（14）所有運(yùn)動(dòng)員都?xì)J佩某些教練。(15)沒有一位女同志既是國家選手又是家庭婦女。1.C2.B3.二元謂詞；個(gè)體變量；一元謂詞；個(gè)體變量；x(M(x)→G(x))4.┐x(P(x)∧┐Q(x))∧x(P(x)→Q(x))；┐x┐Q(x)∧xQ(x))5.x(P(x)∧Q(x))∧┐x(P(x)→Q(x))；xQ(x)∧┐xQ(x))6.xy(F(x)∧G(y)∧H(x,y))；x(F(x)∧y(G(y)→H(x,y)))；x(F(x)→y(G(y)→H(x,y)))；x(F(x)→y(G(y)∧H(x,y)))7.（1）x(P(x)→Q(x))，其中P(x)：x是計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生。Q(x)：x要學(xué)離散數(shù)學(xué)。（2）x(M(x)→(P(x)∧Q(x))，其中M(x)：x是人。P(x)：x要學(xué)習(xí)。Q(x)：x要工作。（3）┐x(P(x)→y(Q(y)∧F(x,y))，其中P(x)：x是推理。Q(x)：x是計(jì)算機(jī)。F(x,y)：x能由y完成。（4）取論域：自然數(shù)集xyz(F(x,y)∧(F(x,z)→(y＝z)))，其中F(x,y)：y是x的后繼。（5）x(P(x)→Q(x))∧x(Q(x)∧┐P(x))，其中P(x)：x是金子。Q(x)：x閃光。（6）x(P(x)→┐F(f(x),0)，其中P(x)：x是實(shí)數(shù)。f(x)：x的平方。F(x,y)：x小于y。（7）x(P(x)→(B(x)∨C(x)∨D(x)))其中P(x)：x是實(shí)數(shù)。B(x)：x大于0。C(x)：x等于0。D(x)：x小于0。（8）xy((P(x)∧P(y))→(x2＋y2≥2xy))，其中P(x)：x是實(shí)數(shù)。（9）x(P(x)∧Q(x)∧R(x))∧┐x(P(x)∧Q(x)∧┐R(x))其中P(x)：x是自然數(shù)。Q(x)：x是質(zhì)數(shù)。R(x)：x是合數(shù)。（10）取論域：人類集合xyz(F(x,y)∧(F(x,z)→(y≠z)))，其中F(x,y)：y是x的最好朋友。（11）x(P(x)∧y(Q(y)→z(R(z)→F(x,y,z)))，其中P(x)：x是美國人。Q(x)：x是中國城市。R(x)：x是景點(diǎn)。F(x,y,z)：x游覽過y的z。（12）A(a)∧B(a)∧C(a)∧F(a,b)∧P(b)∧Q(b)∧R(b)，其中A(x)：x是大的。B(x)：x是紅的。C(x)：x是書柜。P(y)：y是唐朝時(shí)期的。Q(y)：y是古老的。R(y)：y是書。F(x,y)：x擺滿了y。a：這只b：那些（13）x(P(x)∧y(Q(y)→┐F(x,y))，其中P(x)：x是大學(xué)生不欽佩。Q(x)：x是歌星。F(x,y)：x欽佩y。（14）x(P(x)→y(Q(y)∧F(x,y))，其中P(x)：x是運(yùn)動(dòng)員。Q(x)：x是教練。F(x,y)：x欽佩y。(15)┐x(P(x)∧Q(x)∧R(x))，其中P(x)：x是女同志。Q(x)：x是國家選手。R(x)：x是家庭婦女。2.3謂詞公式與約束變?cè)?.設(shè)論域?yàn)閷?shí)數(shù)集，下列謂詞公式中，（）是0元謂詞。A．xy(x＋y＝5)B．x(x＋y＝5)C．xy(x＋y＋z＝5)D．y(x＋y＝5)2.設(shè)論域?yàn)榉秦?fù)整數(shù)集，下列謂詞公式中，（）的真值為真。A．xy(xy＝0)B．xy(xy＝1)C．xy(xy＝2)D．xyz(x－y＝z)3.設(shè)論域?yàn)檎麛?shù)集，下列謂詞公式中，（）的真值為真。A．xy(x＋y＝0)B．yx(x＋y＝0)C．┐xy(x＋y＝0)D．xy(x＋y＝0)4.在論域{2,3}中，（）與xyP(x,y)等價(jià)。A．(P(2,2)∧P(2,3))∨(P(3,2)∧P(3,3))B．(P(2,2)∨P(2,3))∧(P(3,2)∨P(3,3))C．P(2,2)∨P(2,3)∨P(3,2)∨P(3,3)D．P(2,2)∧P(2,3)∧P(3,2)∧P(3,3)5.謂詞公式xP(x,y)→(zQ(x,z)∧yR(x,y))中變?cè)獂（）。A．是自由變?cè)皇羌s束變?cè)?。B．是約束變?cè)皇亲杂勺冊(cè)?。C．既不是自由變?cè)膊皇羌s束變?cè)?。D．既是自由變?cè)质羌s束變?cè)?.取論域{2,3}，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，L(x,y)的真值為1；當(dāng)x≠y時(shí)，L(x,y)的真值為0。則xyL(x,y)的真值為（）。A．1B．0C．1或0D．不確定7.謂詞公式x┐(P(x)→xR(x,y))∧Q(x,y)中，x的轄域?yàn)椋ǎ?。A．P(x)B．P(x)→xR(x,y)C．xR(x,y)D．┐(P(x)→xR(x,y))8．謂詞公式xy(P(x,y)∧Q(y,z))→xR(x,y)中，x的轄域?yàn)?，y的轄域?yàn)?，x的轄域?yàn)椤?.謂詞公式x(P(x,y)∧xQ(x,y))∧yP(x,y)中的自由變?cè)獮椋s束變?cè)獮?，量詞x的約束變?cè)獮椤?0.對(duì)謂詞公式x(P(x,y)∧xQ(x,y))∧yP(x,y)實(shí)施約束變?cè)獡Q名規(guī)則得，實(shí)施自由變?cè)艘?guī)則得。11.給定謂詞公式x(P(x)∨yQ(y))，其中P(x)：x＝1，Q(y)：y＝2，取論域?yàn)閧1,2}，其真值為；取論域?yàn)閧0,1,3}，其真值為。1.A2.A3.A4.B5.D6.A7.D8.y(P(x,y)∧Q(y,z))；P(x,y)∧Q(y,z)；R(x,y)9.x與y；x與y；P(x,y)中個(gè)體變量x10.t(P(t,y)∧sQ(s,y))∧yP(x,y)；x(P(x,a)∧xQ(x,a))∧yP(b,y)11.T或1；F或02.4謂詞演算等價(jià)式與蘊(yùn)含式1．設(shè)論域?yàn)榉秦?fù)整數(shù)集，下列謂詞公式中（）為永真式。A．xy(xy＝0)B．xy(xy＝1)C．yx(xy＝2)D．xyz(x－y＝z)2．設(shè)論域?yàn)檎麛?shù)集，下列謂詞公式中（）為永真式。A．xy(x＋y＝0)B．yx(x＋y＝0)C．┐xy(x＋y＝0)D．xy(x＋y＝0)3．謂詞演算中，下列各式（）不正確。A．x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)B．x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)C．x(A(x)∨B(x))TxA(x)∨xB(x)D．x(A(x)∧B(x))TxA(x)∧xB(x)4．謂詞演算中，下列各式（）不正確。A．xyP(x,y)TxyP(x,y)B．xyP(x,y)TyxP(x,y)C．xyP(x,y)TxyP(x,y)D．yxP(x,y)TxyP(x,y)5．設(shè)B是不含變量x的謂詞公式，謂詞公式x(A(x)→B)等價(jià)（）。A．xA(x)→BB．xA(x)→BC．A(x)→BD．A(x)→B6．下列謂詞公式中（）不是永真式。A．x（┐P(x)→┐P(x)）B．x┐P(x)∨yP(x)C．xP(x)→xP(x)D．P(x)→(yQ(x,y)∧P(x))7．P(x)僅可解釋為“P(x)：x是質(zhì)數(shù)?！被颉癙(x)：x是合數(shù)?！痹谡撚騵3,4}上，謂詞公式P(x)∧xP(x)為（）。A．重言式B．矛盾式C．可滿足式D．蘊(yùn)含式8.解釋R如下：論域?yàn)閷?shí)數(shù)集，a＝0，f(x,y)＝x－y，P(x,y)：x＜y。（）在R上為重言式。A．xyz(P(x,y)→P(f(x,z),f(y,z)))B．xy(P(x,y)→P(f(x,a),a))C．xP(f(a,x),a)D．xyP(f(x,y),x)9.謂詞公式xy(A(x)∧B(y))xA(x)∧yB(y)成立的條件是中不含變量y，且中不含變量x。10.謂詞公式x(F(x,y)∧yG(y))中是自由的，x(F(x)→G(x,y))中是自由的。11.設(shè)論域?yàn)閧2,3}，L(2,2)與L(3,3)的真值均為1，L(2,3)與L(3,2)的真值均為0,則xyL(x,y)的真值均為,yxL(x,y)的真值均為。12.設(shè)論域?yàn)閧2,3,6}，F(xiàn)(x)：x≤3。G(y)：y＞5。則x(F(x)→yG(y))的真值為。1.A2.A3.C4.D5.A6.D7.C8.A9.A(x)；B(y)10.F(x,y)中的y；G(x,y)中的y11.T或1；F或012.T或12.5謂詞演算的推理理論1.取論域{2,3}，（）是xP(x)∧xQ(x)的有效結(jié)論。A．P(2)∧P(3)B．P(2)∧Q(2)C．P(3)∧Q(3)D．Q(2)∧Q(3)2.下列謂詞公式，（）中的變量x對(duì)y是自由的。？A．P(x,y)→yQ(x,y)B．y(P(x,y)∧Q(x,y))C．yxP(x,y)D．P(x,y)∧xQ(x,y)3.下列蘊(yùn)涵式中，（）不成立。A.xyP(x,y,6)TyP(6,y,6)B.xyP(x,y,6)TyP(6,y,6)

C.xyP(x,y,6)TyP(x,y,6)D.xyP(x,y,6)TzxyP(x,y,z)4.翻譯下列命題并推證其結(jié)論。（1）所有的人都是要死的，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底是要死的。（2）每個(gè)有理數(shù)是實(shí)數(shù)，有些有理數(shù)是整數(shù)，因此有些實(shí)數(shù)是整數(shù)。（3）同事之間總是有工作矛盾的，張明和李明沒有工作矛盾，因而張明和李明不是同事。（4）每個(gè)自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)能被2整除的自然數(shù)才是偶數(shù)，并不是所有的自然數(shù)都能被2整除，因此有的自然數(shù)是奇數(shù)。（5）學(xué)術(shù)委員會(huì)成員都是教授，且都是博導(dǎo)，有些成員還是院士，所以有些成員既是博導(dǎo)又是院士。（6）如果一個(gè)人怕困難，他就不會(huì)取得成功。每個(gè)人或者取得成功，或者曾失敗。有些人曾未失敗，所以有些人不怕困難。（7）任何人違反交通規(guī)則，都要交納罰款。如果沒有人交納罰款，則沒有人違反交通規(guī)則。（8）所有的主持人都很有風(fēng)度，李明是學(xué)生且是主持人。因此有些學(xué)生很有風(fēng)度。（9）如果是計(jì)算機(jī)專業(yè)本科生或研究生，那么一定學(xué)過數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和程序設(shè)計(jì)語言。只要學(xué)過數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)或程序設(shè)計(jì)語言，就會(huì)編程序。因?yàn)橥醴剖怯?jì)算機(jī)專業(yè)本科生，所以王菲會(huì)編程序。（10）會(huì)操作計(jì)算機(jī)的人都認(rèn)識(shí)26個(gè)英文字母。文盲都不認(rèn)識(shí)26個(gè)英文字母。有的文盲很聰明，所以有些聰明的人不會(huì)操作計(jì)算機(jī)。1.A2.D3.B4.（1）設(shè)P(x)：x是人。Q(x)：x是要死的。a：蘇格拉底。前提：x(P(x)→Q(x)，P(a)結(jié)論：Q(a)①x(P(x)→Q(x))P②P(a)→Q(a)US，①③P(a)P④Q(a)T，②③合取，I7（2）設(shè)P(x)：x是有理數(shù)。Q(x)：x是實(shí)數(shù)。R(x)：x是整數(shù)。前提：x(P(x)→Q(x))，x(P(x)∧R(x))結(jié)論：x(Q(x)∧R(x))①x(P(x)→Q(x))P②x(P(x)∧R(x))P③P(a)∧R(a)ES，②④P(a)→Q(a)US，①⑤P(a)T③，I1⑥R(a)T③，I1⑦Q(a)T，④⑤合取，I7⑧Q(a)∧R(a)T，⑥⑦合取，I16⑨x(Q(x)∧R(x))EG，⑧（3）設(shè)P(x,y)：x與y是同事。Q(x,y)：x與y有工作矛盾。a：張明。b：李明。前提：xy(P(x,y)→Q(x,y))，┐Q(a,b)結(jié)論：┐P(a,b)①xy(P(x,y)→Q(x,y))P②y(P(a,y)→Q(a,y))US，①③P(a,b)→Q(a,b)US，②④┐Q(a,b)P⑤┐P(a,b)T，③④合取，I7（4）取論域：自然數(shù)集。P(x)：x是奇數(shù)。Q(x)：x是偶數(shù)。R(x)：x能被2整除。前提：x(┐P(x)→Q(x))，x(R(x)?Q(x))，┐xR(x)結(jié)論：xP(x)①x(R(x)?Q(x))P②x((R(x)→Q(x))∧(Q(x)→R(x)))T，①，E12③x(R(x)→Q(x)∧x(Q(x)→R(x))T，②，E32④x(Q(x)→R(x))T，③，I1⑤┐xR(x)P⑥x┐R(x)T，⑤，E21⑦┐R(a)ES，⑥⑧Q(a)→R(a)ES，④⑨┐Q(a)T，⑦⑧合取，I8⑩x(┐P(x)→Q(x))Peq\o\ac(○,11)┐P(a)→Q(a)US，⑩eq\o\ac(○,12)P(a)T，⑨合取11，I8eq\o\ac(○,13)xP(x)EG，12（5）設(shè)P(x)：x是學(xué)術(shù)委員會(huì)成員。Q(x)：x是教授。R(x)：x是博導(dǎo)。S(x)：x是院士。前提：x(P(x)→(Q(x)∧R(x)))，x(P(x)∧S(x))結(jié)論：x(P(x)∧R(x)∧S(x))①x(P(x)∧S(x))P②P(a)∧S(a)ES，①③x(P(x)→(Q(x)∧R(x)))P④P(a)→(Q(a)∧R(a))US，③⑤P(a)T，②，I1⑥S(a)T，②，I1⑦Q(a)∧R(a)T，④⑤合取，I7⑧R(a)T，⑦，I1⑨P(a)∧R(a)∧S(a)T，⑤⑥⑧合取，I16⑩x(P(x)∧R(x)∧S(x))EG，⑨（6）取論域：人類集合。P(x)：x怕困難。Q(x)：x獲得成功。R(x)：x失敗。前提：x(P(x)→┐Q(x))，x(Q(x)∨R(x))，x┐R(x)結(jié)論：x┐P(x)①x(P(x)→┐Q(x))P②x(Q(x)∨R(x))P③x┐R(x)P④┐R(a)ES，③⑤P(a)→┐Q(a)US，①⑥Q(a)∨R(a)US，②⑦Q(a)T，④⑥合取，I9⑧┐P(a)T，⑤⑦合取，I8⑨x┐P(x)EG，⑧（7）設(shè)A(x,y)：x違反y。B(x,z)：x交納z。取x的論域：人類集合。y的論域：交通規(guī)則。z的論域：罰款。前提：xy(A(x,y)→zB(x,z))結(jié)論：┐xzB(x,z)→┐xyA(x,y)用CP規(guī)則證明①xy(A(x,y)→zB(x,z))P②xyz(A(x,y)→B(x,z))T，①，E30③yz(A(x,y)→B(x,z))US，②④z(A(x,y)→B(x,z))US，③⑤A(x,y)→B(x,a)ES，④⑥┐xzB(x,z)P（附加）⑦xz┐B(x,z)T，⑥，E22⑧z┐B(x,z)US，⑦⑨┐B(x,a)ES，⑧⑩┐A(x,y)T，⑤⑨合取，I8eq\o\ac(○,11)y┐A(x,y)UG，⑩eq\o\ac(○,12)xy┐A(x,y)UG，11eq\o\ac(○,13)┐xyA(x,y)T，12，E22（8）設(shè)P(x)：x是主持人。Q(x)：x有風(fēng)度。R(x)：x是學(xué)生。a：李明。前提：x(P(x)→Q(x))，R(a)∧P(a)結(jié)論：x(R(x)∧Q(x))①x(P(x)→Q(x))P②P(a)→Q(a)US，①③R(a)∧P(a)P④P(a)T，③，I1⑤R(a)T，③，I1⑥Q(a)T，②④合取，I7⑦R(a)∧Q(a)T，⑤⑥合取，I16⑧x(R(x)∧Q(x))EG，⑦（9）取論域：人類集合。P(x)：x是計(jì)算機(jī)專業(yè)本科生。Q(x)：x是計(jì)算機(jī)專業(yè)研究生。R(x)：x學(xué)過數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。S(x)：x學(xué)過程序設(shè)計(jì)語言。F(x)：x會(huì)編程序。a：王菲前提：x((P(x)∨Q(x))→(R(x)∧S(x)))，x((R(x)∨S(x))→F(x))，P(a)結(jié)論：F(a)①x((P(x)∨Q(x))→(R(x)∧S(x)))P②x((R(x)∨S(x))→F(x))P③(P(a)∨Q(a))→(R(a)∧S(a))US，①④(R(a)∨S(a))→F(a)US，②⑤P(a)P⑥P(a)∨Q(a)T，⑤，I2⑦R(a)∧S(a)T，③⑥合取，I7⑧R(a)T，⑦，I1⑨R(a)∨S(a)T，⑧，I2⑩F(a)T，④⑨合取，I7（10）取論域：人類集合。P(x)：x會(huì)操作計(jì)算機(jī)。Q(x)：x認(rèn)識(shí)26個(gè)英文字母。R(x)：x是文盲。S(x)：x聰明。前提：x(P(x)→Q(x))，x(R(x)→┐Q(x))，x(R(x)∧S(x))結(jié)論：x(S(x)∧┐P(x))①x(P(x)→Q(x))P②x(R(x)→┐Q(x))P③x(R(x)∧S(x))P④R(a)∧S(a)ES，③⑤P(a)→Q(a)US，①⑥R(a)→┐Q(a)US，②⑦┐Q(a)→┐P(a)T，⑤，E15⑧R(a)→┐P(a)T，⑥⑦合取，I10⑨R(a)T，④，I1⑩S(a)T，④，I1eq\o\ac(○,11)┐P(a)T，⑧⑨合取，I7eq\o\ac(○,12)S(a)∧┐P(a)T，⑩合取11，I16eq\o\ac(○,13)x(S(x)∧┐P(x))EG，123.1集合的概念與運(yùn)算1.設(shè)集合A＝{1,2,…,10}，Bi是A的子集，由B17所表達(dá)的子集是；B37所表達(dá)的子集是；規(guī)定子集{2,6,7}為；規(guī)定子集{1,8}為。2.設(shè)P()為空集的冪集，則P(P(P()))＝。3.設(shè)P()為空集的冪集，且B＝P(P())，則下列論斷中（）不正確。A．∈B，BB．{}∈B，{}BC．{{}}∈B，{{}}BD．{,{}}∈B，{,{}}B4.下列論斷中（）不正確。A．B．∈C．{}D．∈{}5.下列論斷中（）不正確。A．{1}{1}B．{1}{1,{1}}C．{1}∈{1}D．{1}∈{1,{1}}6.設(shè)A，B，C為任意集合，下列論斷正確的是（）。A．若A∈B，BC，則A∈CB．若A∈B，BC，則ACC．若AB，B∈C，則A∈CD．若AB，B∈C，則ACE．若AB，B∈C，則ACF．若A∈B，B不是C的子集，則AC7.設(shè)P(A)為集合A的冪集，則下列論斷中（）不正確。A．若AB，則P(A)P(B)B．若P(A)＝P(B)，則A＝BC．P(A∩B)＝P(A)∩P(B)D．P(A∪B)＝P(A)∪P(B)E．P(A－B)＝P(A)－P(B)8.設(shè)A、B、C為任意集合，下列論斷不正確的是（）。A．A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C)B．A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C)C．A∩(B－C)＝(A∩B)－(A∩C)D．A∪(B－C)＝(A∪B)－(A∪C)9.設(shè)A、B、C為任意集合，下列論斷正確的是（）。A．若A∩B＝A∩C，則B＝CB．若A∪B＝A∪C，則B＝CC．若A－B＝A－C，則B＝CD．若AB＝AC，則B＝C10.設(shè)A、B、C為任意集合，下列論斷不正確的是（）。A．(A－B)－C＝A－(B∪C)B．(A－B)－C＝(A－C)－(B－C)C．(A－B)－C＝(A－C)－BD．(A－B)－C＝A－(B－C)11.設(shè)P(A)為集合A的冪集，下列論斷正確的是（）。A．A∈P(A)B．A∩P(A)＝AC．AP(A)D．A∪P(A)＝P(A)12.設(shè)A、B為任意集合，若A∪B＝A，則；若A∩B＝A，則；若A－B＝A，則；若A－B＝B，則；若A－B＝B－A，則；若(A－B)∪(B－A)＝A，則；若AB＝A，則；若A－B＝，則。13.設(shè)A、B、C為任意集合，(A－B)∪(A－C)＝A當(dāng)且僅當(dāng)；(A－B)∪(A－C)＝當(dāng)且僅當(dāng)；(A－B)∩(A－C)＝當(dāng)且僅當(dāng)；(A－B)(A－C)＝當(dāng)且僅當(dāng)。14.設(shè)A＝{x︱f(x)＝0}，B＝{x︱g(x)＝0}，則方程f(x)g(x)＝0的解集為。15.化簡∩{}＝；化簡{,{}}－＝；化簡{,{}}－{}＝。16.設(shè)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{0,3,6}，則A∩B＝；A∪B＝；A－B＝；B－A＝；AB＝。17.若A－B＝{1,5,7,8}，B－A＝{2,10}，A∩B＝{3,6,9}，則A＝；B＝。1.{6,10}，{5,8,10}，B280，B5162.{,{},{{}},{,{}}}3.C與D4.B5.C6.A7.D與E8.D9.D10.D11.A12.BA；AB；A∩B＝；A＝B＝；A＝B；B＝；B＝；AB13.B∩C～A；AB∩C；AB∪C；A－B＝A－C14.A∪B15.；{,{}}；{{}}16.{3}；{0,1,2,3,4,5,6}；{1,2,4,5}；{0,6}；{0,1,2,4,5,6}17.{1,3,5,6,7,8,9}；{2,3,6,9,10}；3.2序偶與笛卡兒積1.設(shè)A、B、C為任意集合，下列論斷中（）正確。A．若A×A＝B×B，則A＝BB．若A×B＝A×C，則B＝CC．若A×BA×C，則BCD．若A×BB×C，則ABC2.設(shè)A、B、C為任意集合，下列等式中正確的有（）個(gè)。A．A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)B．A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)C．A×(B－C)＝(A×B)－(A×C)D．A×(BC)＝(A×B)(A×C)3.設(shè)A＝{1,2}，則A×P(A)＝。4.已知<x＋2,4,z－3>＝<5,2x＋y,y>，則x＝，y＝，z＝。5.設(shè)R為實(shí)數(shù)集，S＝{<x,y>︱x,y∈R,y＝2x}的幾何意義為。6.設(shè)A＝{1,2,3}，B＝{x,y}，試求A×B，B×A，A2，B3，B×A×B1.A2.A,B,C與D3.{<1,>,<1,{1}>,<1,{2}>,<1,A>,<2,>,<2,{1}>,<2,{2}>,<2,A>}4.3，－2，15.直線y＝2x6.A×B＝{<1,x>,<1,y>,<2,x>,<2,y>,<3,x>,<3,y>}B×A＝{<x,1>,<x,2>,<x,3>,<y,1>,<y,2>,<y,3>}A2＝{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>}B3＝{<x,x,x>,<x,x,y>,<x,y,x>,<x,y,y>,<y,x,x>,<y,x,y>,<y,y,x>,<y,y,y>}B×A×B＝{<x,1,x>,<x,1,y>,<x,2,x>,<x,2,y>,<x,3,x>,<x,3,y>,<y,1,x>,<y,1,y>,<y,2,x>,<y,2,y>,<y,3,x>,<y,3,y>}3.3關(guān)系的表示及其性質(zhì)1.設(shè)I為整數(shù)集，R＝{<x,y>︱x,y∈I,x＋2y＝6}，求關(guān)系R的前域dom(R)，值域ran(R)和域FLD(R)。2.設(shè)A＝{1,2,3,4}，R＝{<x,y>︱x,y∈A,y＝2x}，則R的逆關(guān)系R-1＝，R的絕對(duì)補(bǔ)～R＝。3.設(shè)A＝{1,2,3,4}，關(guān)系R＝{<x,y>︱x,y∈A,y＝x2}，S＝{<x,y>︱x,y∈A,x－y＝1}，則dom(R∪S)，ran(R－S)，F(xiàn)LD(RS)。4.設(shè)集合A的基數(shù)為4，則A上有個(gè)關(guān)系，A上有個(gè)自反關(guān)系，A上有個(gè)反自反關(guān)系，A上有個(gè)對(duì)稱關(guān)系，A上有個(gè)反對(duì)稱關(guān)系。5.設(shè)R為實(shí)數(shù)集，H＝{<x,y>︱x,y∈R,y＝2x＋1}，S＝{<x,y>︱x,y∈R,x2＋y2＝4}，則H的幾何意義為，S的幾何意義為。6.設(shè)集合A＝{1,2,3,4}，B＝{a,b,c,d,e}，關(guān)系R＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<2,3>}，S＝{<1,a>,<1,b>,<1,c>,<1,d>,<2,b>}，求關(guān)系R與S的關(guān)系矩陣和關(guān)系圖。1.{x︱x＝－2k＋6,k∈I}，{y︱y＝,k∈I}，{x︱x＝－2k＋6或,k∈I}2.{<x,y>︱x,y∈A,x＝}＝{<2,1>,<4,2>}，A×A－{<2,1>,<4,2>}3.{1,2,3,4}，{1,4}，{1,2,3,4}4.216，212，212(24－1)，210，210＋265.直線y＝2x＋1，圓周x2＋y2＝46.圖3.4d.1R的關(guān)系圖圖3.4d.1S的關(guān)系圖1.設(shè)R與S均是集合A上的自反關(guān)系，則（）不一定是A上的自反關(guān)系。A．R∩SB．R∪SC．R－SD．RS2.設(shè)R與S均是集合A上的反自反關(guān)系，則（）不一定是A上的反自反關(guān)系。A．R∩SB．R∪SC．R－SD．RS3.設(shè)R與S均是集合A上的對(duì)稱關(guān)系，則（）不一定是A上的對(duì)稱關(guān)系。A．R∩SB．R∪SC．R－SD．RS4.設(shè)R與S均是集合A上的傳遞關(guān)系，則（）一定是A上的傳遞關(guān)系。A．R∩SB．R∪SC．R－SD．RS5.給定集合A＝{1,2,3,4}，則下列關(guān)系中（）不是A上的傳遞關(guān)系。A．R1＝{<1,2>,<1,3>,<2,3>}B．R3＝{<3,1>}C．R2＝{<1,2>,<3,2>,<3,4>}D．R4＝{<2,3>,<3,3>,<3,4>}6.設(shè)集合A＝{1,2,3,4}，給定A上的關(guān)系R＝，使R既是非自反關(guān)系又是非反自反關(guān)系；給定A上的關(guān)系R＝，使R既是非對(duì)稱關(guān)系又是非反對(duì)稱關(guān)系；給定A上的關(guān)系R＝，使R既是對(duì)稱關(guān)系又是反對(duì)稱關(guān)系；給定A上的關(guān)系R＝，使R既是對(duì)稱關(guān)系又是傳遞關(guān)系。7.設(shè)集合A＝{1,2,3,4,5}，給定A上的關(guān)系R＝，使R是相容關(guān)系；給定A上的關(guān)系R＝，使R是等價(jià)關(guān)系；給定A上的關(guān)系R＝，使R是偏序關(guān)系；給定A上的關(guān)系R＝，使R是擬序關(guān)系。8.設(shè)R為實(shí)數(shù)集，R1與R2均是R×R上的關(guān)系，且<a,b>R1<c,d>當(dāng)且僅當(dāng)a－c＝b－d，則R1幾何解釋為；且<a,b>R2<c,d>當(dāng)且僅當(dāng)≤10，則R2幾何解釋為。9.設(shè)I+是正整數(shù)集，在I+×I+上定義關(guān)系R：<a,b>R<c,d>當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc，證明R是等價(jià)關(guān)系。10.設(shè)I是整數(shù)集，在I×I上定義關(guān)系R：<a,b>R<c,b>當(dāng)且僅當(dāng)a＋b＝b＋c，證明R是等價(jià)關(guān)系。11.設(shè)R是A上的自反關(guān)系，證明：R是A上的等價(jià)關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)若<a,b>∈R且<a,c>∈R時(shí)，則<b,c>∈R。12.集合A上的空關(guān)系，一定不是A上的（）。A．自反關(guān)系B．反自反關(guān)系C．對(duì)稱關(guān)系D．反對(duì)稱關(guān)系13.集合A上的恒等關(guān)系，一定不是A上的（）。A．自反關(guān)系B．反自反關(guān)系C．對(duì)稱關(guān)系D．反對(duì)稱關(guān)系14.集合A上的全域關(guān)系，一定不是A上的（）。A．自反關(guān)系B．反自反關(guān)系C．對(duì)稱關(guān)系D．傳遞關(guān)系15.集合A上的全域關(guān)系，一定不是A上的（）。A．自反關(guān)系B．反對(duì)稱關(guān)系C．對(duì)稱關(guān)系D．傳遞關(guān)系1.C2.D3.D4.A5.D6.{<1,1>}，{<1,2>,<2,1>,<2,3>}，{<1,1>,<2,2>}，{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}7.{<2,3>,<3,2>}∪IA，{<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<4,5>,<5,4>}∪IA，{<5,1>,<5,2>,<5,3>,<5,4>,<3,1>,<2,1>}∪IA，{<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<2,3>,<4,5>}∪IA8.直線x－y＝k（k為常數(shù)）上任兩點(diǎn)具有關(guān)系R1；兩點(diǎn)間距離不大于10的兩點(diǎn)具有關(guān)系R29.任取<a,a>∈I+×I+，由于aa＝bb，故<a,a>R<a,a>，所以R為I+×I+上的自反關(guān)系。設(shè)<a,b>R<c,d>，則ad＝bc，從而cb＝da，于是<c,d>R<a,b>，即R為I+×I+上對(duì)稱關(guān)系。設(shè)<a,b>R<c,b>且<c,d>R<e,f>，則ad＝bc且cf＝de，從而adcf＝bcde，于是af＝be，故<a,b>R<e,f>，即R為I+×I+上的傳遞關(guān)系。10.任取<a,a>∈I×I，由于a＋a＝a＋a，故<a,a>R<a,a>，所以R為I×I上的自反關(guān)系。設(shè)<a,b>R<c,b>，則a＋b＝b＋c，從而c＋b＝d＋a，于是<c,b>R<a,b>，即R為I×I上的對(duì)稱關(guān)系。設(shè)<a,b>R<c,b>且<c,b>R<e,b>，則a＋b＝b＋c且c＋b＝b＋e，從而a＋b＝b＋e，于是<a,b>R<e,b>，即R為I×I上的傳遞關(guān)系。11.（必要性）設(shè)<a,b>∈R且<a,c>∈R，由R是A上的等價(jià)關(guān)系知，必有<b,a>∈R且<a,c>∈R，從而<b,c>∈R。（充分性）只要證明R是對(duì)稱關(guān)系與傳遞關(guān)系即可。設(shè)<a,b>∈R，由R是A上的自反關(guān)系知，必有<a,a>∈R，從而<b,a>∈R，故R是A上的對(duì)稱關(guān)系。設(shè)<a,b>∈R且<b,c>∈R，從而<b,a>∈R且<b,c>∈R，于是<a,c>∈R，故R是A上的傳遞關(guān)系。12.A13.B14.B15.B3.4等價(jià)關(guān)系與劃分1.設(shè)A＝{1,2,…,10}，R是A上的模5同余關(guān)系，則[0]R＝，[2]R＝。2.設(shè)R是A上的等價(jià)關(guān)系，[a]R＝[b]R當(dāng)且僅當(dāng)；[a]R∩[b]R＝當(dāng)且僅當(dāng)。3.設(shè)A是非空集合，A的最大劃分確定的A上的等價(jià)關(guān)系為；A的最小劃分確定的A上的等價(jià)關(guān)系為。4.設(shè)I是整數(shù)集，R＝{<x,y>︱x,y∈I且是整數(shù)}是I上的關(guān)系，由R確定I的劃分為。5.設(shè)A＝{1,2,3,4}，則A上有個(gè)關(guān)系，A上有個(gè)等價(jià)關(guān)系。6.設(shè)C*是實(shí)數(shù)部分非零的全體復(fù)數(shù)組成的集合，C*上的關(guān)系R定義為：(a＋bi)R(c＋di)當(dāng)且僅當(dāng)ac＞0，證明R是等價(jià)關(guān)系，并給出關(guān)于R的等價(jià)類的幾何說明。7.設(shè)R是集合A上的自反關(guān)系和傳遞關(guān)系，證明R∩R-1是A上的等價(jià)關(guān)系。8.設(shè)R與S均是集合A上的等價(jià)關(guān)系，證明R∩S是A上的等價(jià)關(guān)系，并用關(guān)于R與S的等價(jià)類描述其等價(jià)類。9.設(shè)I為整數(shù)集，R為I上的模k同余關(guān)系，即R＝{<x,y>︱x,y∈I,x≡y(modk)}，證明R為I上的等價(jià)關(guān)系，并求模k同余類。10.設(shè)R與S均是集合A上的等價(jià)關(guān)系，并分別有秩n和m，即︱A／R︱＝n，︱A／S︱＝m。證明等價(jià)關(guān)系R∩S的秩最多為nm。11.設(shè)R是集合A上的等價(jià)關(guān)系，問R-1一定是A上的等價(jià)關(guān)系嗎？12.設(shè)A是非空集合，則A上的（空關(guān)系，全域關(guān)系，恒等關(guān)系）是等價(jià)關(guān)系。13.設(shè)R是實(shí)數(shù)集，下列關(guān)系中（）是R上的等價(jià)關(guān)系。A．{<x,y>︱x,y∈R,x2＋y2＝1}B．{<x,y>︱x,y∈R,y＝3x}C．{<x,y>︱x,y∈R,y＝(x＋1)2}D．{<x,y>︱x,y∈R,y＝x}14.設(shè)A＝{1,2,3,4,5,6}，下列關(guān)系中（）不是A上的等價(jià)關(guān)系。A．{<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>,<3,1>,<3,2>}∪IAB．{<2,5>,<2,6>,<4,2>,<4,6>,<6,2>,<6,4>}∪IAC．{<1,3>,<1,5>,<3,1>,<3,5>,<5,1>,<5,3>}∪IAD．{<2,3>,<3,2>,<4,5>,<5,4>,<5,6>,<6,5>}∪IA15.下列關(guān)系中（）不是等價(jià)關(guān)系。A．實(shí)數(shù)集上的等于關(guān)系。B．平面三角形集合上的全等關(guān)系。C．冪集上的包含于關(guān)系。D．北大學(xué)生集合上住在同公寓的關(guān)系16.設(shè)R與S均是集合A上的等價(jià)關(guān)系，下列關(guān)系中（）是等價(jià)關(guān)系。A．(A×A)－RB．R－SC．RRD．r(R－S)17.設(shè)R與S是集合A的兩個(gè)不同劃分，下列式子中（）是A的劃分。A．R－SB．R∩SC．R∪SD．R18.設(shè)R與S均是集合A上的等價(jià)關(guān)系，下列關(guān)系中（）是等價(jià)關(guān)系。A．R－SB．R∩SC．R∪SD．RS1.{5,10}，{7}2.<a,b>∈R，<a,b>R3.全域關(guān)系，恒等關(guān)系4.等價(jià)，{{…,－6,－3,0,3,6,…},{…,－5,－2,1,2,5,…},{…,－4,－1,2,5,8,…}}5.216，156.任取a＋bi∈C*，由于a≠0，故a2＞0，從而(a＋bi)R(a＋bi)。即R是C*上的自反關(guān)系。設(shè)(a＋bi)R(c＋di)，則ac＞0，從而ca＞0，于是(c＋di)R(a＋bi)，即R是C*上的對(duì)稱關(guān)系。設(shè)(a＋bi)R(c＋di)，(c＋di)R(e＋fi)，則ac＞0且ce＞0，從而ae＞0，故(a＋bi)R(e＋fi)，即R是C*上的傳遞關(guān)系。任取a＋bi∈C*，[a＋bi]R＝{x＋yi︱x＋yi∈C*，(a＋bi)R(x＋yi)}＝{x＋yi︱x＋yi∈C*，ax＞0}，所以等價(jià)類即為復(fù)平面上第一、四象限（不含y軸）上的點(diǎn)集合，或第二、三象限不含y軸）上的點(diǎn)集合。7.任取a∈A，則<a,a>∈R，從而<a,a>∈R-1，于是<a,a>∈R∩R-1，故R∩R-1是A上的自反關(guān)系。設(shè)<a,b>∈R∩R-1，則<a,b>∈R且<a,b>∈R-1，于是<b,a>∈R且<b,a>∈R-1，從而<b,a>∈R∩R-1，故R∩R-1是A上的對(duì)稱關(guān)系。由于R是A上的傳遞關(guān)系，則R-1是A上的傳遞關(guān)系。再設(shè)<a,b>,<b,c>∈R∩R-1，，則<a,b>,<b,c>∈R且<a,b>,<b,c>∈R-1，從而<a,c>∈R且<a,c>∈R-1，于是<a,c>∈R∩R-1，故R∩R-1是A上的傳遞關(guān)系。8.任取a∈A，則<a,a>∈R且<a,a>∈S，從而<a,a>∈R∩S，故R∩S是A上的自反關(guān)系。設(shè)<a,b>∈R∩S，則<a,b>∈R且<a,b>∈S，于是<b,a>∈R且<b,a>∈S，從而<b,a>∈R∩S，故R∩S是A上的對(duì)稱關(guān)系。設(shè)<a,b>,<b,c>∈R∩S，則<a,b>,<b,c>∈R且<a,b>,<b,c>∈S，從而<a,c>∈R且<a,c>