北京17高考數(shù)學(xué)試卷

北京17高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.下列函數(shù)中，定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R的是（）

A.$y=\sqrt{x^2+1}$

B.$y=\frac{1}{x}$

C.$y=\log_2(x-1)$

D.$y=\sqrt[3]{x}$

2.已知函數(shù)$f(x)=2x^2-3x+2$，則$f(2)$的值為（）

A.2

B.4

C.6

D.8

3.若$a^2+b^2=1$，則$\sin^2a+\cos^2b$的值為（）

A.1

B.0

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{3}{4}$

4.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(-1,2)$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為（）

A.-1

B.0

C.1

D.3

5.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前三項(xiàng)分別為1，2，3，則該數(shù)列的公差為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

6.已知等比數(shù)列$\{b_n\}$的前三項(xiàng)分別為2，4，8，則該數(shù)列的公比為（）

A.2

B.4

C.8

D.16

7.若一個(gè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則它的表面積為（）

A.8

B.12

C.16

D.24

8.已知圓的方程為$x^2+y^2=4$，則該圓的半徑為（）

A.2

B.4

C.$\sqrt{2}$

D.$\sqrt{4}$

9.若直線的斜率為2，且過點(diǎn)$(1,3)$，則該直線的方程為（）

A.$y=2x+1$

B.$y=2x-1$

C.$y=-2x+1$

D.$y=-2x-1$

10.已知二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,2)$，則$a+b+c$的值為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

二、判斷題

1.在直角坐標(biāo)系中，直線$y=kx+b$的斜率$k$表示直線的傾斜程度，且$k>0$時(shí)，直線從左下方向右上方傾斜。（）

2.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)沒有極值點(diǎn)。（）

3.若兩個(gè)向量的點(diǎn)積為0，則這兩個(gè)向量垂直。（）

4.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以表示為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$為首項(xiàng)，$d$為公差。（）

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$(x,y)$到原點(diǎn)的距離可以表示為$\sqrt{x^2+y^2}$。（）

三、填空題

1.若函數(shù)$f(x)=3x^2-4x+1$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)為0，則該函數(shù)的極值點(diǎn)為______。

2.向量$\vec{a}=(3,4)$和向量$\vec=(1,2)$的夾角余弦值$\cos\theta$等于______。

3.等差數(shù)列$\{a_n\}$的前10項(xiàng)和為110，首項(xiàng)$a_1=1$，則該數(shù)列的第20項(xiàng)$a_{20}$等于______。

4.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，其中$(h,k)$為圓心坐標(biāo)，$r$為半徑。若圓心坐標(biāo)為$(2,-3)$，半徑為5，則該圓的方程為______。

5.若直線$y=mx+b$與$x$軸的交點(diǎn)為$(x_0,0)$，則該直線的斜率$m$可以表示為______。

四、簡(jiǎn)答題

1.簡(jiǎn)述二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像特征，包括頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、開口方向等。

2.舉例說明如何使用向量的點(diǎn)積來判斷兩個(gè)向量的關(guān)系，并說明點(diǎn)積的性質(zhì)。

3.解釋等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，并給出求和公式。

4.討論圓的方程$x^2+y^2=r^2$在平面直角坐標(biāo)系中的幾何意義，并說明如何通過圓的方程找到圓心和半徑。

5.舉例說明如何求一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的切線方程，并說明求切線方程的步驟。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在$x=2$處的導(dǎo)數(shù)。

2.已知向量$\vec{a}=(5,-2)$和向量$\vec=(3,4)$，求向量$\vec{a}$和$\vec$的點(diǎn)積。

3.一個(gè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別是2，5，8，求該數(shù)列的第10項(xiàng)。

4.已知圓的方程為$x^2+y^2-4x-6y+9=0$，求該圓的圓心坐標(biāo)和半徑。

5.求直線$y=2x-3$與圓$x^2+y^2=9$的交點(diǎn)坐標(biāo)。

六、案例分析題

1.案例背景：

小明在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，遇到了一個(gè)函數(shù)$f(x)=-x^2+4x-3$，他想要知道這個(gè)函數(shù)的圖像是什么樣的，并且找到它的最大值。

案例分析：

請(qǐng)根據(jù)小明的需求，分析以下問題：

(1)如何確定函數(shù)$f(x)=-x^2+4x-3$的圖像是開口向下的拋物線？

(2)如何找到函數(shù)的最大值？請(qǐng)給出具體的計(jì)算步驟和結(jié)果。

2.案例背景：

在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有一道題目要求參賽者找出數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式，已知數(shù)列的前五項(xiàng)為1，3，7，13，21。

案例分析：

請(qǐng)根據(jù)題目要求，分析以下問題：

(1)通過觀察數(shù)列的前幾項(xiàng)，嘗試找出數(shù)列的規(guī)律，并寫出通項(xiàng)公式的大致形式。

(2)如何驗(yàn)證所得到的通項(xiàng)公式是正確的？請(qǐng)給出具體的驗(yàn)證步驟。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：

小紅在一家商店購(gòu)買了一件商品，原價(jià)為200元，商店提供了兩種優(yōu)惠方案：

方案一：打九折。

方案二：滿100元減20元。

請(qǐng)計(jì)算小紅選擇哪種優(yōu)惠方案可以節(jié)省更多的錢。

2.應(yīng)用題：

一輛汽車以每小時(shí)80公里的速度行駛，行駛了4小時(shí)后，因?yàn)楣收贤＼嚲S修。維修后，汽車以每小時(shí)60公里的速度繼續(xù)行駛，行駛了3小時(shí)后到達(dá)目的地。求汽車從出發(fā)到到達(dá)目的地總共行駛了多少公里。

3.應(yīng)用題：

一個(gè)班級(jí)有學(xué)生40人，男生和女生的比例是3:2。如果從班級(jí)中隨機(jī)抽取10名學(xué)生參加比賽，請(qǐng)計(jì)算至少有2名女生的概率。

4.應(yīng)用題：

一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6cm、4cm和3cm，請(qǐng)計(jì)算這個(gè)長(zhǎng)方體的體積和表面積。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題

1.A

2.C

3.A

4.A

5.B

6.A

7.A

8.B

9.B

10.A

二、判斷題

1.×（直線斜率$k>0$時(shí)，直線從左下方向右上方傾斜）

2.×（函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn)$x=0$，但無最大值或最小值）

3.√

4.√

5.√

三、填空題

1.頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,2)$，對(duì)稱軸為$x=1$，開口向下。

2.$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}|\cdot|\vec|}=\frac{5\cdot3+(-2)\cdot4}{\sqrt{5^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{11}{\sqrt{29}\cdot5}$

3.第10項(xiàng)$a_{10}=a_1+9d=1+9\cdot3=28$

4.圓心坐標(biāo)為$(2,3)$，半徑$r=5$

5.斜率$m=-\frac{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$

四、簡(jiǎn)答題

1.二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像是一個(gè)開口向上或向下的拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(-\frac{2a},f(-\frac{2a}))$，對(duì)稱軸為$x=-\frac{2a}$。當(dāng)$a>0$時(shí)，開口向上，有最小值；當(dāng)$a<0$時(shí)，開口向下，有最大值。

2.向量$\vec{a}$和$\vec$的點(diǎn)積$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}|\cdot|\vec|\cdot\cos\theta$，其中$\theta$是$\vec{a}$和$\vec$之間的夾角。如果$\vec{a}\cdot\vec>0$，則$\vec{a}$和$\vec$同向；如果$\vec{a}\cdot\vec=0$，則$\vec{a}$和$\vec$垂直；如果$\vec{a}\cdot\vec<0$，則$\vec{a}$和$\vec$反向。點(diǎn)積的性質(zhì)包括交換律、結(jié)合律、分配律和$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$。

3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首項(xiàng)，$d$是公差。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1\cdotr^{n-1}$，其中$a_1$是首項(xiàng)，$r$是公比。

4.圓的方程$x^2+y^2=r^2$表示一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，半徑為$r$的圓。圓心坐標(biāo)為$(h,k)$，半徑為$r$的圓的方程為$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$。

5.求函數(shù)在某一點(diǎn)的切線方程，首先計(jì)算該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，即切線的斜率，然后使用點(diǎn)斜式方程$y-y_1=m(x-x_1)$，其中$(x_1,y_1)$是切點(diǎn)坐標(biāo)，$m$是切線斜率。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

-函數(shù)的圖像和性質(zhì)

-向量的點(diǎn)積和幾何意義

-數(shù)列的定義和求和公式

-圓的方程和幾何意義

-切線方程的求法

題型知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：

-選擇題考察了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和運(yùn)用。

-判斷題考察了學(xué)生對(duì)概念的正確判斷能力。

-填空題考察了學(xué)生對(duì)公式的記憶和應(yīng)用。

-簡(jiǎn)答題考察了學(xué)生對(duì)概念的理解和解釋能力。

-計(jì)算題考察了學(xué)生運(yùn)用公式和概念解決問題的能力。

-應(yīng)用題考察了學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題的能力。

示例：

1.計(jì)算函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+x$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)