2023考研數(shù)學(xué)核心公式大全解

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目錄

CONTENTS

第一部分高等數(shù)學(xué)

第一章極限....................................................2

第二尊一無函數(shù)微分學(xué)...........................................7

第三章一元函數(shù)積分學(xué).........................................15

第四章常微分方程.............................................24

第五章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用................................28

第六章二有積分................................................33

第七章無窮級(jí)數(shù)（僅數(shù)一數(shù)三）..................................36

第八章向量代數(shù)與空間解析幾何（僅數(shù)一）.......................44

第九章三重積分（僅數(shù)一）.......................................49

笫十章線面積分（僅數(shù)一）.......................................53

第二部分線性代數(shù)

第一章彳r列式62

?ni?

第二章矩陣....................................................66

第三章向量....................................................72

第四章線性方程組.............................................77

第五段特征值與特征向址......................................79

第六章二次型..................................................84

附錄向最空間（僅數(shù)一）.........................................88

第三部分概率統(tǒng)計(jì)

第一章隨機(jī)事件和概率.........................................92

第二章一維隨機(jī)變址及其分布..................................96

第三章二維隨機(jī)變量及其分布..................................1（X）

第四章隨機(jī)變址的數(shù)字特征....................................104

第五章大數(shù)定律和中心極限定理................................108

第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念....................................109

第L：章參數(shù)估計(jì)................................................112

第八章假?zèng)]檢驗(yàn)（僅數(shù)一）.......................................116

附錄常用中學(xué)公式

常川中學(xué)公式....................................................12（）

1

?IV?

j-------------------------------------LCKK

第一章極限

L_________________________________________________________________

1.極限

(I)數(shù)列極限存在的充分必要條件

lirn.v,,=aolini.t"/=.=linn、”=a

“TOD91〃F一lFx|"—XIn-x

olim孫“=limx=limx,=a

n?xfi3nfln?xo42

(2)函數(shù)極限的局部保號(hào)性

如果lim/(x)=上且A〉0(或，<0),那么存在常數(shù)5>0.使得

當(dāng)時(shí),有或

0<|x-x0|<5/(x)>0(/(K)<0).

(3)無窮小的比較

設(shè)lin】a(x)=0,lin)^B(.v)=0,^3(.v)/0,

①若lim的斗=0,則。(叫是比萬(比高階的無窮小,記為Q(N)=

p(-v)

o(3(x)].

2若lim罄W*=c(C).則a(i)與)8(x)是同階無窮小.

尸(工)

特殊地.若。=1時(shí),則。(叫與伙與是等價(jià)無窮小,?為。(殊~

伙?')

(4)常見等價(jià)無窮小

當(dāng)A—*0時(shí),sin.v~lain~an-siitv?cinlanx~hi(1+工)~-1~.t.

u-I~vlnn,I-cosv~,(I4-v),—I-,

?o?

第一部分高等數(shù)學(xué)Alpass一笑而過

一3一戈

sinx?4-x,x-arcsinx-；J.-tanx?-%_

o63

1

arctan.v~

(5)常見函數(shù)的〃階麥克勞林公式

2

Ie'=I+x+^—+???+^—+o(xn).

2!〃！

1n

v-/_iv*-Y

②In(1+x)=x-父+…+---------+o(x").

2n

2

(3J-=I-.v+x+(—X)+o(x").

1+x

(1\nZn4I

-I)%./2”+I、

⑸sinx=t-2+…+~7^--------+o(x).

(2〃+1)

(1)”/

⑥cos.v=

(6)洛必達(dá)法則

設(shè)(l)lin/，屈于;或巴型；

(2)在小的某去心領(lǐng)域內(nèi).廣(X),/(K)都存在］L/(%)X0;

(3)linT^-7p4=1或oc；

則lin】"')二liiiJJ=4或8.

'?“)&(1)(.。V)

(7)夾逼準(zhǔn)則

如果數(shù)列：及；如滿足下列條件:從某項(xiàng)起，即于％

使得當(dāng)")時(shí),那么數(shù)

￡N,?n>(有)“W.r“w，.11,lim=limzM=a

?3?

QIpQSS一笑而過考研數(shù)學(xué)核心公式大全解

列1工“I的極限存在.且lin】陽,=a.

H>X

(8)單調(diào)有界準(zhǔn)則

①若數(shù)列單調(diào)有界，那么數(shù)列收斂.

②若數(shù)列1冊(cè)！單調(diào)增加有上界,那么數(shù)列卜〃1收斂.

③若數(shù)列單調(diào)減少有下界,那么數(shù)列1茁」收斂.

3.連續(xù)與間斷點(diǎn)

(1)連續(xù)

函數(shù))=/(.v)在點(diǎn)?%連續(xù)olirn/(x)=/(x)0/(。)=/(.%)

-**'O0

=/(%?).

(2)間斷點(diǎn)

設(shè)x=%是間斷點(diǎn)，

①若lim/(冤)都存在.則稱工二%為第一類間斷點(diǎn),

If(:I-l(f

此時(shí),

乂lirn/(.v)=lim/(x),則稱.*=x是可去間斷點(diǎn),

r*NT0

乂lim/(x)#lim/(.t),則稱工=,v0是跳躍間斷點(diǎn).

②若lim/(x).至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)稱為第二類

if：?-Mf

間斷點(diǎn).此時(shí).

乂lim/(x)=8或lirn/(x)=oo,則稱x=x0是無窮間斷點(diǎn),

乂lim/(x)不存在且極限值上下振蕩，則稱x=.%是振蕩間斷點(diǎn).

???()

4.漸近線-

］若liin/(.\)=8或lim/(x)=8,則欠=,v為曲線.=/(x)的

、?一?-?<r(l

?4?

第一部分高等數(shù)學(xué)^Ipass一笑而過

垂直漸近線.

②若=弧則)?八為曲線y=/(%)的水平漸近線.

③若A=li]i[y(貝I]),=是曲線y=

，"),I,=mx)-kx],kx+b

1—?xXx—x

/(%)的斜漸近線.

(經(jīng)典題型1)求極限1叫(U-l)

所以，原式二e二.

(經(jīng)典題型2)

(I)證叨方程…+K=1(〃為大卜1的整數(shù))在區(qū)間

(泉)內(nèi)仃H.僅不.?個(gè)實(shí)根；

([1)2(I)中的實(shí)根為.1〃，證明1加3存在，并求此極限.

H?X

?5?

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【證】令/（X）=.d+X〃7+…+.T-1則/（X）在忖-，1］上連

續(xù),H

故由閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知./（'）住區(qū)叫；，D內(nèi)至少有一個(gè)

零點(diǎn)，即方程…在區(qū)間（十,）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

n2

乂/'（X）=nx'"'+（/?-!）.v+???+2*+1>0.Kw（；.1）,

故/（.v）在"內(nèi)單調(diào)增加，可知/（.i）在區(qū)間（入內(nèi)只有一個(gè)'專

點(diǎn)，從面方程.—在區(qū)間（￡?^內(nèi)有且僅有.一個(gè)實(shí)根.

（11）由于I）,所以數(shù)列入」有界.乂

端+.??+、〃=1,《:；+E:+…+芭…=1,而.、：：；〉（）,

所以?I+…+X”?I<1：+,即/（.r..1）</（.1〃）.

乂/（.、?）在卜；,1卜內(nèi)不調(diào)增加，所以（-<、“.即數(shù)列門〃!不調(diào)

遞減.

綜I：.數(shù)列I:單調(diào)有界，故卜/收斂,設(shè)I=lim.v,,.

n??

由于、：+.';「+…+.'“=1,即中一力=1.

今〃-X,并注意到;<.'?〃<I,則有占=L解得1=;，即

hi心“=—.

,6?

第二章一元函數(shù)微分學(xué)

I.導(dǎo)數(shù)

(1)導(dǎo)致定義

5\../(?%+△、)-/(%)../(X)-/(%)

/(.r0)=hm--------；---------=Inn-------------.

“⑷Ar?-1()x-,v()

(2)曲線的切線與法線方程

曲線/(篤)在點(diǎn)5處的切線方程：、=/'(4)(冕-.%)+/(%);

曲線/(、)在點(diǎn)％處的法線方程：？二-TTT'-TCV-.VJ+/(.%).

(3)基本求導(dǎo)公式

①C=0(C為常數(shù))(V)

(/)'=r'(In|xI)r=—

.v

2(sin.v)'=c<)s.x(cos.v)r=—sin.v(tan.v)'=sec".v

(cot.v)'=一CS<-'A(S<?(A)'=sec.vkin.v(csc.v)'=一cscxvotx

甘［)n(.v+{￡+〃2)］，=或三fln(v+，x;_//)］，=——

Jq+a2\/.x2

4(circsin.v)'=---1一(arccosi)’---^zrrzz.

\1—~\1-A-

(iiKkiin)'=--~~?(cineolv)'=-----T

1+.v-1+.1

?7?

Alpass—笑而過考研數(shù)學(xué)核心公式大全解

(4)求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則

①(〃±〃)'=〃'士，；

②(〃好)'=u'v+uvr；

產(chǎn)(V0).

(5)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

設(shè)y=/(〃)，〃二3(芯)，如果3(五)在.1處可導(dǎo)，/(〃)在時(shí)應(yīng)點(diǎn)、〃

處可■導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=/l3(、)］在“處可悖，口有

工=匯.石=/［少⑴)?W(“)?

(6)隱函數(shù)求導(dǎo)

設(shè)函數(shù))=/(工)由方程產(chǎn)(工，,)=0確定，把方程中的'看作

的函數(shù)/(.E).在方程、)=。兩邊對(duì).'求導(dǎo).得含有乎的一個(gè)方

(1.V

程，解出》即可.

(\x

(7)參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)(僅數(shù)一數(shù)二)

設(shè)函數(shù))=/(%)由參數(shù)方程「一”“確定，/是參數(shù).貝I］

I.F=”(，)

(〃(

1>:一?'.-/--)---

<l.v<l.v/(k3'(/)'

d\［Idj/"l“，(/),(/)-“'(/)/'(/)

(l'2(蟲)/"(/)

(8)變限函數(shù)求導(dǎo)

若/(?、)在［〃.幻1］連續(xù),叭C,)在［〃，/門［二可導(dǎo).則

,8,

第一部分高等數(shù)學(xué)Qlpciss一笑而過

廣/(t)ck?“'(》)-/[<?(#)]?3'(％).

&A)

(9)微分公式

若/(若可導(dǎo),則"#)=/'(%)也

2.微分中值定理

(1)羅爾定理

設(shè)函數(shù)/(數(shù)在[仁川上連續(xù),在(〃，〃)內(nèi)可導(dǎo),/(〃)=/(〃).

則至少存在一點(diǎn)5￡(〃?〃)，使得/'(§)=().

(2)拉格朗日中值定理

設(shè)函數(shù)/(%)滿足(1)在閉區(qū)間[〃,一上連續(xù);(2)在開區(qū)間(”,

6)內(nèi)可導(dǎo);則存在“(a,〃),使得

I)-a

有時(shí)也寫成,存在夕￡(。，1),使得"十一/⑷=/'(§),其中

b-a

=a+0(b-a),

(3)泰勒中值定理

若函數(shù)/(-V)在斯的某個(gè)領(lǐng)域U(5)內(nèi)具有(〃+數(shù)階導(dǎo)數(shù),則對(duì)

任一、eU(x()),有

/"(-”).

./(A)=/(.%)+/'(.0)(.《-.%)+—yj—(x-?%)~+???

+------；—(:E-翼0)+R"(X),

〃！

其中此(K)1竄(?■.%)"!這里專是冗。與無之間的某個(gè)值.

(〃+1)!

?9?

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3.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

(1)極值

①定義:設(shè)函數(shù)/(、)在點(diǎn)飛的某鄰域〃(%)內(nèi)有定義，如果對(duì)

于去心領(lǐng)域0(陽))內(nèi)的任一X,有/(工)</(.%)(或/(.V)>/(X())).那

么就稱人項(xiàng)))是函數(shù)/(")的一個(gè)極大值(或極小值)，稱飛為函數(shù)

/(X)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn)).

②必要條件：設(shè)函數(shù)/(冤)在小處可導(dǎo)，且在小處取得極值，

則廣(與)=0.

【注】導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱作駐點(diǎn).

③第一充分條件：設(shè)函數(shù)/(')在/處連續(xù),且在的某去心

鄰域認(rèn)X。)內(nèi)可導(dǎo).

若xw(冕o-b,)時(shí),/'(x)>。.而-e(%0,x()+<5)時(shí)，/'(x)

<0,則/(%)在/處取得極大值;

若X￡(X。-8,.%)時(shí)，/'(工)<。，而.T￡(.%,M)+8)時(shí)，/'(X)

>0,則/(%)在/處取得極小值;

若工時(shí),廣(冤)的符號(hào)保持不變，則/(工)在陽)處沒有

極值.

④第二充分條件：設(shè)函數(shù)/(工)在/處具有二階導(dǎo)數(shù)且/'(3)

=0,/'(%)X0.則

當(dāng)/〃(?%)<0(或〉0)時(shí),函數(shù)/(“)在3處取得極大值(或極小

值).

(2)閉區(qū)間最值

第一步：求出/(無)在(a,〃)內(nèi)所有駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn);

?1()?

第一部分高等數(shù)學(xué)9dpeISS一笑而過

第二步：計(jì)算/（T）在上述駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值及

/（〃），/⑹；

第三步：比較第二步中諸值的大小，其中最大的便是/（、）在

［〃,川上的最大值,最小的便是/（方）在［右十上的最小值.

（3）曲線凹凸性判定定理

設(shè)/（%）在［。，以上連續(xù).在（*/，）內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，

那么

①若在（〃，〃）內(nèi)/〃（工）＜（）,則曲線）=/（'）在［%刈上的佟1形

是凸的.

②若在（明?內(nèi)廣（若＞0,則曲線y=/U）在［明一上的圖形

是凹的.

（4）拐點(diǎn)

①定義：如果曲線）=/（'）在經(jīng)過（.%,/（?。r(shí),曲線的凹凸

性改變了,那么就稱（5,/（.%））為這曲線的拐點(diǎn).

②必要條件:若（?%./（.%））為拐點(diǎn).且/〃（%）存在,

貝曠"（％）=0.

③第一充分條件：設(shè)函數(shù)/（%）在點(diǎn)小的某去心鄰域》（/）內(nèi)二

階可導(dǎo)，

若/"（"）在點(diǎn)/兩側(cè)異號(hào),則（5，/（3））是/（'）的拐點(diǎn).

若/"⑴在點(diǎn).%兩側(cè)同號(hào)，則（?%,/（.%））不是/⑴的拐點(diǎn).

④第二充分條件：設(shè)函數(shù)/（%）在心處具有三階導(dǎo)數(shù)且

廣（%）二。,則

當(dāng)"（”）#0時(shí)，（%,/（.%））是ZU）的拐點(diǎn).

（5）曲率、曲率半徑、曲率圓（僅數(shù)一數(shù)二）

加率人二」二；曲率半徑尺二:；曲率圓與曲線在切點(diǎn)必

（1+y）''A

^rlpass—笑而過考研數(shù)學(xué)核心公式大全解

有相同的切線、凹凸性和曲率.

4.導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用(僅數(shù)三)

(1)邊際函數(shù)

設(shè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)y=/(1)可導(dǎo),則稱/'(')為/(工)的邊際函數(shù).

①邊際成本。'(。)

經(jīng)濟(jì)意義:當(dāng)已經(jīng)生產(chǎn)了Q件產(chǎn)品時(shí).再生產(chǎn)一件產(chǎn)品所增加

的成本.

②邊際收益*(0)

經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)已經(jīng)銷售了Q單位產(chǎn)品時(shí)，沖銷件一個(gè)單位產(chǎn)品

所增加的收益.

③邊際利潤(rùn)〃(Q)

經(jīng)濟(jì)意義:當(dāng)已經(jīng)生產(chǎn)了。單位產(chǎn)品時(shí).再生產(chǎn):?個(gè)單位產(chǎn)品

所增加的利潤(rùn).

(2)彈性函數(shù)：若>小)可存且,(.1)/().則將乎?工稱為了(.1)

(I.VV

的彈性函數(shù).

【注】需求量。關(guān)于價(jià)格〃的彈性稱作需求價(jià)格彈性，按彈性函數(shù)

定義是?與由于這個(gè)值小于零，所以倘若題目要求需求

(1/(/

價(jià)格彈性大于零，則要寫成「$*(.

(1/Q

(3)最大利潤(rùn)的條件

①〃0)取得最大值的必要條件:"(0)=0.即

②卬。)取得最大值的充分條件:〃(Q)=0,L!\Q)<0.

l

(經(jīng)典題型3)已知方程17r~L=L在區(qū)間(o.1)內(nèi)有實(shí)

\n(1+A)A

?12?

第一部分高等數(shù)學(xué)Alpass一笑而過

根，確定常數(shù)”的取值范圍.

【解】記/(?、)—;--,Ve(0,I),

ln(I+.v)x

則lim/(.i)=；/(「)=上-l.

I4>*21必

r,/、1I(I+X)In2(I+X)-x2

A2(I+x)In2(I+x)x2(I+A)In2(1+.t)

設(shè)《(.')=(l+-r)ln2(1+.E)-x2,則有

g'(.r)=hr(1+A)+21n(1+.\)-2v,

邛3」_2=21可+-

1+冥I+xI+x

所以g'(五)單調(diào)減少，又g'(0)=0,所以/(*)</(0)=0,故

K(.r)單調(diào)減少.

又g(0)=0,所以*(.、)<8(())=0.進(jìn)而知/'(.')<(),故/(4)

單調(diào)減少，且其值域?yàn)?上-1,J)

綜上欲使原方程有實(shí)根，即使得曲線/(、)=—1—與水

ln(I+V)x

平線丫二A有交點(diǎn)，只需A￡(卷-?，；),

(經(jīng)典題型4)設(shè)函數(shù)/(.I)在區(qū)間[(),I]1二具有2階導(dǎo)數(shù),且

/(I)>0,lim^^-<0.證明:

A4)?X

(1)方程/()=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根;

(H)方程/(%)/”(化)+(/'(”)了=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存住

兩個(gè)不同實(shí)根.

【證】(I)由期殳知/(.1)連續(xù)且1加乂立存在，所以/(())=().

i4)?.V

?13?

侖IpQSS—笑而過考研數(shù)學(xué)核心公式大全解

由1而3<。與極限的保號(hào)性知,存在?！辏ǎǎ?1）,使得小1

?4）*X〃

<0,即/（a）<0.

又/（1）〉0,根據(jù)零點(diǎn)定理，至少存在一點(diǎn)〃￡（〃，DC（0,1）

使得/"）=0,即方程/（冥）=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根?

（n）記尸（％）—）/'（%）.

由（I）知/（。）:/（〃）=（）,根據(jù)羅爾定理，存在?！辏?,/））,使

得/（c）=0.所以F（0）=F（c）=F（6）=0.

乂產(chǎn)㈠）在區(qū)間［0,口上可導(dǎo)，根據(jù)羅爾定理,存在《￡（0,

c）,7?e",〃），使得廣（§）二尸（7?）=。，即。4是方程

/（x）/"（x）+（/'（靠））2=0在區(qū)間（（）,I）內(nèi)的兩個(gè)不同實(shí)根.

?14?

第三章一元函數(shù)積分學(xué)

1.不定積分

(1)原函數(shù)與不定積分的概念

若存在尸(4)能滿足尸'(霓)=/(%),\/五￡/,則稱/(')為/(*)在

區(qū)間/的原函數(shù)，同時(shí)把函數(shù)/(%)在區(qū)間/中帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函

數(shù)稱為/⑴在區(qū)間/的不定積分，記作［/.(?)&.

(2)不可積的不定積分

(3)基本積分公式

P<IA=心+C(JIJ|U為常數(shù))

f.vn<l.v=5二+。(”六-I.實(shí)常數(shù))

〃(卜=--a+C(a>().(/#1)

t*'(Lv=e'+d(,os.vd.v=sin.v+('

cos.v+(:

?15?

Qlpass一笑而過考研數(shù)學(xué)核心公式大全解

src2.v(lx=f------<l.v=tan.v+(:

JCOSA

,??f1?/,

(?SC-A(I.V=-~—<lv=-cot.v+C

Jsin'.v

kin.vsrc.vd.v=s<*c.v+(:

Jcot.vcsc.vd.v=-cscrv+C

jtan.vd.v=-InCOSAi+C

Jcotxdx=In|sinx|+C

JSCCAXIA=InIsecx+tan.rI+C

jcsc.vd.v=In|CSCA-cotA+C

—=lt)i\+\/x2±a2|+C'(〃>0)

J-土J

((l.VIX/、/八、

--------7=——arctan——+6(a>())

J(C+a(i

[-3^=+(：(a>0)

JK—(12.(1X+(I

(4)常見湊微分公式

IJsin.y/(cosx)d.t=-J/(cos.r)dcos.v.

②J-f(In.v)(lx=J/(\nx)dln.v.

3出口卜=-Mv)dp

?16?

第一部分高等數(shù)學(xué)Alpass一笑而過

IJ[/(，')<lv=2J/(J.\)<1v.

v.1

5卜T/(N")<lv=—J/(m(n#()).

(5)三角換元與無理換元

被積函數(shù)所含根號(hào)的形式所作換元示意圖（用于回代）

?x="sin/

/22

7a-A

J'=〃「必山

?1/Q

J,

令,v=nl;in/

/J+F

<l.v=asfc/(!/

3[

令A(yù)=asvvt

\-a'(.V>0)

<li=r/scc/km/dt

令/二八+h

s/n.v+

b,Ill1./"-/>

(l.V=----------(1/x=-------

a

（6）分部積分法

I公式：沒〃（.'）.，（、）均仃連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則p/<lr=ur-p（l/z.

2選〃的順存口認(rèn)：、'反、對(duì)、林、三、指二

（7）有理函數(shù)枳分

?17?

9dpQSS一笑而過----------------------考研數(shù)學(xué)核心公式大全解

(2)f-,工：B—(|x=gin|ax2+bx+c|

Jax'+bx+c2a

+(_?+/"—.

\2(i'Jax~+bx+c

其中——可以先對(duì)分母配方(如果需要).再代人基本積分

Jax~+bx+c

公式.

2.定積分

(1)定積分定義求數(shù)列極限

(2)定積分比較大小

如果在區(qū)間［〃，幻上/(X)這g(x),那么［7(X)(lxfg(.t)(l.t

(a<b).

特殊地,J/(x)dxWf|

/(X)(I.V((1<1)).

(3)定積分中值定理

如果/(')在［a,網(wǎng)上連續(xù),那么存在《［a,b|,使［J\x)d.v

=/(《)(〃-a).

(4)定積分的奇偶性

①若/(文)為奇函數(shù)，則「/(x)<lx=0；

②若/("為偶函數(shù).則/./(.v)<l,v=2f/"(x)(lv.

J(1

IS

第一部分高等數(shù)學(xué)QIpCISS一笑而過

(5)沃利斯公式

〃-3

〃為偶,

n-2J

瀉…宗L23且為奇.

(6)牛頓一萊布尼茨公式

如果函數(shù)尸(動(dòng)是連續(xù)函數(shù)/(x)在區(qū)間［。,/)］上的一個(gè)原函數(shù),

b

那么//(X)(1.V=F(x)=F(b)-F(a).

(7)無窮限反常積分

①設(shè)尸(方)為/(為在+8)上的一個(gè)原函數(shù),若lini/(%)

■一?X

存在.則反常積分

[+X/(x)(lx=F(x)+X=limF(x)-F\a).

②設(shè)/(')為/(')在(-8,以上的一個(gè)原函數(shù),若limF(x)

l--X

存在，則反常積分

/f(x)dx=F(x)''=F(b)-limF(x).

J-X-x??-?

③設(shè)/(X)為/(x)在(-8,+8)上的一個(gè)原函數(shù)，若

lim尸(x)與lim儀*)均存在，則反常積分

V—??XV*-X

f/(x)(IV=F(x)=limF(.t)-limF(x).

J-X-X?'.-X

(8)無界函數(shù)反常積分

①設(shè)篤二〃為/八)的瑕點(diǎn)，在(〃.川I：r(A)=/(.r),若

lim尸(%)存在，則反常積分

i，”?

f/(x)d,v=F(.v)=F(I))-limF(x).

J“?I?”?

?19?

侖Ipass一笑而過考研數(shù)學(xué)核心公式大全解

②設(shè)為/(?)的瑕點(diǎn)，在［〃，段上廣(.')=/('),若

lim尸(X)存在.則反常積分

I?/1?

-////-

I/'(x)d,v=F(x)=litnA(.r)-F(a).

Jaa\

(9)常見反常積分的收斂性

收斂<平>

>0).

發(fā)散<>〃W

收斂—p>1("

②「而樂叫>1).

發(fā)散一〃w?

.3/收斂f>0

(〃>0).

I發(fā)散…人W0

④/二?。諗?平<

發(fā)散?平

3.定積分的應(yīng)用

(1)宜角坐標(biāo)系下的面積公式(2)極坐標(biāo)系卜的面積公式

(2)弧長(zhǎng)(僅數(shù)一數(shù)二)

①直角坐標(biāo)系：設(shè)光滑曲線y=y(i).xe[</,〃],弧長(zhǎng)

?2()?

第一部分高等數(shù)學(xué)9dpQSS一笑而過

，------7-

s=I\I+\

（2）極坐標(biāo)系：設(shè)光滑|11|線「=「（，），G.弧K、=

I，/（，）+/1”川松

J〃

X=（r（/）,

Y",則

{V="/（/）,

弧氏A-=f\if"（，）+"”（/）山.

（3）旋轉(zhuǎn)體體枳

已知平面圖形Diii曲線、=v（.t）（曲線a,x.r,//）與一線

-V=〃，K=A和工袖圍成，則平?面圖形〃

J繞t軸旋依一周的體積I：=ITIy2（.v）（l.v；

JU

⑵繞〕軸旋轉(zhuǎn)-周的體枳I：=2nf.v_v（.v）（l,v.

J”

（4）旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積（僅數(shù)一數(shù)二）

曲線〕二）（］）N（）（uWAW/，）繞.v軸旋轉(zhuǎn)?周向成的旋狀曲面的

面積S=f2TTV（A）\1+v,2（A）（l.v.

Jfl

（5）平面圖形I）的形心

jj.v（l.v<lvj^vd.vdv

形心坐標(biāo)（R『），H中f=勺——=匕——.

〃〃

（經(jīng)典題型5）

Iearcsinv1-e2'd.v=.

^Ipass一笑而過考研數(shù)學(xué)核心公式大全解

(經(jīng)典題型6)設(shè)函數(shù)/(#),g(K)在區(qū)間［〃.一上連續(xù).H/(A)

單調(diào)增加，OWg(x)W1.證明：

(1)0Wfg(/)(1/X-a.XG［aJ)_；

J〃

r”?I心

(n)I"/(.v)dx/(x)(,v)(h.

J〃J”g

【證】(I)因?yàn)镺wg(.*)wi,所以當(dāng)H時(shí),有

f0(1/這fg(/)(1/f1d,,即0與fg(/)d，這K一a.

JflJ?fJ〃J“

?fg(/)<i/

(II)令”(.1)="/(/)(!/-|/(/)g(/)<l/,.xe［a,b］.

JaJ”

因?yàn)?(%).g(x)在區(qū)間［〃，6］上連續(xù),所以尸(、)在［%6］上可

導(dǎo)，且

“'(、)=/'(a+fg(z)<l/)?g(.v)-/(x)g(.v)

J〃

=&(K)/(〃+Ig(/)(Q-/(.')?

J”

|ll(I)知〃+j?(/)由W.r,乂因?yàn)?(1)單調(diào)增加.LLg(.i)N(),

Jfl

所以F'(K)這0.從而可知r(x)在［〃.所上單調(diào)減少.

乂?(〃)=0,故/(6)W「(a)=0,即仃

?22?

第一部分高等數(shù)學(xué)Qlpciss一笑而過

I)?i/j

I“./(V)(I.VW(/'(.x)g(A)(lx.

J〃J“

[A=/(/)/F\

(經(jīng)典題型7)(僅數(shù)一數(shù)二)已知曲線憶,卜).

V=cos/12)

其中函數(shù)/(，)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/(0)=0.廣⑺>0(。</(介若

曲線/，的切線與K軸的交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離恒為1,求函數(shù)/(/)的表達(dá)

式.并求以曲線L及X軸和)軸為邊界的區(qū)域的面積.

【解】曲線人在切點(diǎn)坐標(biāo)(/(/),以刈)處的切線斜率為-/六，切線

方程為

)-COS/__/,(/)[../(1)]

令丁=0,得切線與K軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.%

sin/

由題意得+(,(*)=1.

\sin/)

■,

又/'(/)〉()，所以/'(/)=出口，從而

(,08/

.2

/(/)=卜<1/=ln(se<7+tan/)-sin/+C,

Jcost

由/(0)=0得。=0,故/(/)=ln(sec/+tan/)-〈in/.

當(dāng)/=0時(shí)，x=/'(())=(),當(dāng)/一(-y-j時(shí)，.r—?+8,可知以曲線/,

及.、軸，)軸為邊界的的區(qū)域是介于曲線/,和V軸之間的一塊無窮區(qū)

l[x=⑺代入,得

域,其面積為S=y(k.以曲線/,的方布

V=cost

R1T

S=]//(/)cos/(l/=J(—----cos/jcos/d/=1T

J

?23?

第四章常微分方程

1.一階線性微分方程

（1）一階線性齊次方程

形如=（）的方程.

公式：.）?=0-網(wǎng)小，其中力心）（卜只要一個(gè)政函數(shù)即川.

（2）一階線性非齊次方程

形如./+〃（.V）V=（/（V）（（/（.V）-0）的力程.

公式：）?=1＞八?。ǎ?（"+（.[.

2.二階線性微分方程

二階線件齊次方程：

二階線性M-次方程：

（1）二階線性方程解的結(jié)構(gòu)

VV

1若）?（X）?j）2（）足1"+P（））'+，/（*）V=（）的兩個(gè)不成比例

的解,則）=G.、i（x）+，Kr）是微分方程，"+〃（.'），'+，/（'）的

通解.

2若）「（V）是）"+〃（X）/+（/（.V））=/（.、?）的一個(gè)解,Ci）I（V）

+C12（x）是）"+〃（*）/+，/（、）V=0的通解,則、"+〃（X）/+（1（V）

?24?

第一部分高等數(shù)學(xué)4lpass—笑而過

1

V=/(A)的通解為v=C；)?(A)+(\y2(x)+v(.v).

3疊加原理：設(shè)V)(V)，八(A)分別是「+〃(.')「+q(A)V=

/(X)，『'+〃(?、?))'+,/(、)、二八(、)的特解.則“(N)+〉(、)足、〃+

p(X)Y，+(I(X)}=/|(-V)+/；(')的特解.

(2)./+〃./+=0(二階常系數(shù)線性齊次方程)的通解

寫出特征方程/+”+,/=(),解出特征根.根據(jù)特征根勺I；方程

通解：

(D兩個(gè)不同的實(shí)根八,門,則方程的通解為>(x)=GQ'+3/\

②二重實(shí)根〃二七，則方程的通解為>(、)=(g+J)”.

3一對(duì)共,厄復(fù)根“2=a±僅，則)j程的通解為)(K)=en1

(C；<,0^3(x)+C'sin伙.v)).

(3)丁+”/+仆=匕(x)J的特解形式

①若人不是特征根,則令特解尸(、)=Q“(x)「；

②若A是特征力?程的單根，則令特解］*(.')=工。(、)「;

③若「是特征方程的幣:根?則令特解)?(，?)=/a(、)j；

其中匕(.、)為〃次多項(xiàng)式.a(、)為不缺項(xiàng)的〃次多項(xiàng)式.

(4)［"+〃］'+</、=",〃/(A)coszc.v+Pn(A)sin//\vj的特解杉式

①若人士Hi不是特征根.則令特解、?(.E)=「［此/(&)<OSM；X+

R；(v)siiuzv,

②若A±ici是籽征根，則令特解］.(.'?)=.'「［(.')coszr.v+

(x)sinwx］,

其中〃,