函數(shù)的單調(diào)性講解知識分享

函數(shù)的單調(diào)性年生產(chǎn)總值統(tǒng)計(jì)表年份生產(chǎn)總值（億元）高等學(xué)校在校學(xué)生數(shù)統(tǒng)計(jì)表年份人數(shù)（萬人）OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上為增函數(shù)。Oxy如何用x與f(x)來描述上升的圖象？如何用x與f(x)來描述下降的圖象？函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上為減函數(shù)。Oxy函數(shù)單調(diào)性的概念：1.如果對于屬于這個區(qū)間的自變量的任意稱函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)。2.如果對于屬于這個區(qū)間的自變量的任意稱函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)。一般地，對于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x)：-5Ox

y12345-1-2-3-4123-1-2例:下圖是定義在[－5，5]上的函數(shù)y＝f（x）的圖象，根據(jù)圖象說出y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，y＝f（x）是增函數(shù)還是減函數(shù).解：y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間有[－5，－2），[－2，1）[1，3），[3，5].其中y＝f（x）在[－5，－2），[1，3）上是減函數(shù)，在[－2，1），[3，5）上是增函數(shù).作圖是發(fā)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性的方法之一.單調(diào)遞增區(qū)間：單調(diào)遞減區(qū)間：xy21o證明：（條件）（論證結(jié)果）（結(jié)論）圖象法、定義法判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法：1.取值用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：即設(shè)x1,x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，x1<x2

2.作差變形

即作差f(x1)-f(x2)（或f(x2)-f(x1)），并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形。3.定號

確定差f(x1)-f(x2)（或f(x2)-f(x1)）的符號，當(dāng)符號不確定時，可以進(jìn)行分類討論。4.判斷根據(jù)定義作出結(jié)論證明：設(shè)x1，x2∈R，且x1＜x2，則f（x1）＜f（x2）f（x1）－f（x2）＜0f（x1）＝3x1＋2f（x2）＝3x2＋2f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（3x2＋2）＝3（x1－x2）由x1＜x2，得x1－x2＜0

另證：設(shè)x1，x2∈R，且x1＜x2，則3x1＜3x2

3x1+2＜3x2+2即f（x1）＜f（x2）a＜b，c＞0

ac＜bc

a＜b

a＋c＜b＋c證明：設(shè)x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，則1－1－1Ox

y1f（x）在定義域

上是減函數(shù)嗎？減函數(shù)f（x）在定義域

上是減函數(shù)嗎？

取x1=-1，x2=1

f（-1）=-1

f（1）=1

-1＜1

f（-1）＜f（1）例4.判斷函數(shù)f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并給予證明。Ox

y11解：函數(shù)f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函數(shù).下面給予證明：設(shè)x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2∴函數(shù)f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函數(shù).（1）函數(shù)單調(diào)性的概念；（2）判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法；（2）作業(yè)（1）(3)用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性-小結(jié)（3）增函數(shù)減函數(shù)圖象圖象特征自左至右，圖象上升.自左至右，圖象下降.數(shù)量

特征y隨x的增大而增大.當(dāng)x1＜x2時，y1＜y