1.3-與三角形有關的角 帶解析-2023年升初二人教版暑假銜接教材

?1.3與三角形有關的角（1）考點先知考點先知知識考點三角形的內(nèi)角和1.利用三角形的內(nèi)角和求角度2.求角度（平行線問題）3.求角度（三角板問題）4.求角度（折疊問題）直角三角形的兩個銳角互余5.根據(jù)互余求角度6.余角的個數(shù)題型精析題型精析知識點一三角形的內(nèi)角和定理知識點一三角形的內(nèi)角和定理內(nèi)容三角形的內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于______.【注意】三角形的三個內(nèi)角中的最大角必須大于等于60°，最小角必須小于等于60°.題型一三角形內(nèi)角和的證明題型一三角形內(nèi)角和的證明例1例1小學我們就知道三角形內(nèi)角和是，學習了平行線之后，可以證明三角形內(nèi)角和是，證明方法如下：如圖1，已知：三角形．求證：．證法一：如圖2，過點A作直線，∵，∴（）∵∴，即三角形內(nèi)角和是．證法二：如圖3，延長至M，過點C作…．（1）證法一的思路是先用平行線的性質得到，此處，括號內(nèi)應填寫的理由是（），再將三角形內(nèi)角和問題轉化為一個平角，進而得到三角形內(nèi)角和是，這種方法主要體現(xiàn)的數(shù)學思想是______；A．數(shù)形結合思想B．分類思想C．轉化思想（2）將證法二補充完整；（3）思考：同學們是否還能想到其他的證明方法？【答案】(1)兩直線平行，內(nèi)錯角相等；C(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可；（2）延長至M，過點C作，根據(jù)平行線的性質可得，再由，即可求證．【詳解】（1）證法一：如圖2，過點A作直線，∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵∴，即三角形內(nèi)角和是．這種方法主要體現(xiàn)的數(shù)學思想是轉化思想；故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；C（2）證明：延長至M，過點C作，∴，∵∴，即三角形內(nèi)角和是．【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質，三角形內(nèi)角和定理，通過作適當?shù)妮o助線把三角形的三個內(nèi)角和轉化為一個平角是解題的關鍵．例2在解決下面三個問題時，運用轉化策略的是（）例2①計算5÷時，可以這樣算：5÷=5×；②探究圓的面積；③求三角形的內(nèi)角和．A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③都是【答案】D【分析】根據(jù)轉化策略的概念求解即可．【詳解】解：①根據(jù)分數(shù)除法的計算法則，甲數(shù)除以乙（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)，把除法“轉化”為乘法計算；②把圓的面積轉化為長方形面積計算；③把三角形的內(nèi)角和轉化為平角計算．綜上所述，運用轉化策略的有①②③，故選：D．變1如圖，在證明“△ABC內(nèi)角和等于180°”時，延長BC至D，過點C作CEAB，得到∠ABC=∠ECD，∠BAC=∠ACE，由于∠BCD=180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，這個證明方法體現(xiàn)的數(shù)學思想是（）變1A．數(shù)形結合B．特殊到一般C．一般到特殊D．轉化【答案】D【分析】根據(jù)證明過程，是利用平行線的性質將三角形的內(nèi)角和轉化為平角定義證明這一數(shù)學思想，即可作出判斷．【詳解】解：延長BC至D，過點C作CEAB，∴∠ABC=∠ECD，∠BAC=∠ACE，∵∠BCD=180°，即∠ECD+∠ACB+∠ACE=180°，∴∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，這個證明方法體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，故選：D．變2在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時，綜合實踐小組的同學作了如圖所示的四種輔助線，其中能證明“的內(nèi)角和是180°”的有（）變2A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】C【分析】本題運用轉化的思想作出相應的平行線，把三角形的內(nèi)角進行轉化，再根據(jù)平角的定義解決此題．【詳解】解：①．由，則，．由，得，故符合題意．②．由，則，．由，得，故符合題意．③．由于，則，無法證得三角形內(nèi)角和是，故不符合題意．④．由，得，．由，得，，那么．由，得，故符合題意，共有：①②④符合條件，故選：C．題型二利用三角形內(nèi)角和求角度題型二利用三角形內(nèi)角和求角度例1在△ABC例1（1）若∠A：∠B：∠C=4：5：6，則∠C=______°．（2）若∠A=∠B=∠C，則∠A=______°．【分析】（1）設∠A=4x°，則∠B=5x°，∠C=6x°，利用三角形內(nèi)角和定理，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再將其代入∠C=6x°中即可求出∠C的度數(shù)；（2）設∠A=y°，則∠B=2y°，∠C=3y°，利用三角形內(nèi)角和定理，即可得出關于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，再將其代入∠B=2y°中即可求出∠B的度數(shù)．【解答】解：（1）設∠A=4x°，則∠B=5x°，∠C=6x°，依題意得：4x+5x+6x=180，解得：x=12，∴∠C=6x°=72°．故答案為：72．（2）120．例2∠A是∠B的2倍，∠C等于∠A加∠B，則△ABC是______例2【答案】直角【分析】設∠B=x，則∠A=2x，則∠C=3x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到答案.【詳解】解：設∠B=x，則∠A=2x，∴∠C=x+2x=3x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴,解得：，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形；故答案為直角.變1在△ABC中，∠B=∠C，∠A+∠B=115°，則∠B=______.變1【答案】65°【分析】首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出,再結合已知條件求出；【詳解】又故答案是：.變2若，則按角分的形狀是______．變2【答案】直角三角形【分析】設∠A=x，則∠B=2x，∠C=3x，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出x的值，進而可得出結論．【詳解】∵在△ABC中，，∴設∠A=x，則∠B=2x，∠C=3x．∵∠A＋∠B＋∠C=180，即x＋2x＋3x=180，解得x=30，∴∠C=3x=90，∴△ABC是直角三角形．故答案為：直角三角形．例3如圖，，，則的度數(shù)是（）例3A．35°B．55°C．65°D．75°【答案】A【分析】根據(jù)題意及三角形內(nèi)角和可得∠D=∠A，故問題得解．【詳解】解：∠AOB=∠DOC，，，，，；故選A．例4如圖，在中，．且．則的度數(shù)為（）例4A．B．C．D．【答案】D【分析】設∠B=α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列方程求解，即可得到結論．【詳解】解：設∠B=α，∴∠A+∠C=180°-α，∵∠AFE=∠AEF，∠CFD=∠CDF，∴∠A+2∠AFE=180°①，∠C+2∠CFD=180°②，由①+②得：∠A+∠C+2∠AFE+2∠CFD=360°，∴2∠AFE+2∠CFD=180°+α，∴∠AFE+∠CFD=90°+α，∴∠EFD=180°-（∠AFE+∠CFD）=180°-（90°+α），∵∠EFD=30°，∴180°-（90°+α）=30°，∴α=120°，∴∠B的度數(shù)為120°，故選：D．變3如圖，已知交于點，且，則______．變3【答案】64°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出答案；【詳解】解：：∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠COB=180°，∠AOD=∠COB∴∠A+∠D=∠C+∠B，∴∠D=∠C+∠B-∠A=64°；故答案為：64°；變4如圖，在中，為延長線上一點，于，，，則的度數(shù)為（）變4A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】C【分析】先根據(jù)△ADE中三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)△ABC中三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．【詳解】∵CE⊥AF于E，∴∠AED=90°，∵∠D=20°，∴∠A=180°?∠AED?∠D=180°?90°?20°=70°，∵∴=180°?∠A?∠C=180°?70°?40°=70°．故選：C．變5在中，，按圖中虛線將剪去后，等于（）變5A．B．C．D．【答案】C【分析】利用補角的定義可知：，，由三角形內(nèi)角和定理可知：，代入即可求出．【詳解】解：假設虛線為DE，∵，，∴，∵，∴，∴，故選：C．知識點二三角形內(nèi)角和與平行線知識點二三角形內(nèi)角和與平行線內(nèi)容平行線的性質1.兩直線平行，同位角______；2.兩直線平行，內(nèi)錯角______；3.兩直線平行，同旁內(nèi)角______.題型三求角度（平行線問題）題型三求角度（平行線問題）例1如圖，在中，，，，則的度數(shù)為（）例1A．90°B．85°C．60°D．55°【答案】C【分析】先根據(jù)平行線的性質求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵，，∴，又∵，∴，故選C．例2如圖，在中，，平分交于點，，交于點，若，則的度數(shù)是（）例2A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】B【分析】首先利用平行線的性質求出∠ABD的度數(shù)，接著利用角平分線的定義求出∠ABC，再利用三角形的內(nèi)角和求出∠A的度數(shù)．【詳解】解：∵DEAB，∠BDE=50°，∴∠ABD=∠BDE=50°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD=100°，∴∠A=180°?∠C?∠ABC=180°?30°?100°=50°．故選：B．例3如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，EF∥BC交BD于點G，若∠BEG=130°，則∠DGF=______例3【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠EBG=∠CBG，根據(jù)平行線的性質得到∠EGB=∠CBG，等量代換得到∠EBG=∠EGB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和對頂角的性質于是得到結論．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EGB=∠CBG，∵BD平分∠ABC，∴∠EBG=∠CBG，∴∠EBG=∠EGB，∵∠BEG=130°，∴∠EGB=180°?130°∴∠DGF=∠EGB=25°．故答案為：25．變1如圖，直線，平分，若，則的度數(shù)是（）變1A．27°B．36°C．54°D．72°【答案】D【分析】利用，內(nèi)錯角相等得，由角平分線的定義得，則．【詳解】解：∵，∴，∵BC平分∠ABD，∴，∴，∵，∴．故選：D．變2如圖，直線，是直線上一點，是直線外一點，若，，則的度數(shù)為______．變2【答案】##120度【分析】直接利用平行線的性質并結合三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．【詳解】解：延長交于點，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴的度數(shù)為．故答案為：．變3如圖，△EFG的三個頂點E，G和F分別在平行線AB，CD上，F(xiàn)H平分∠EFG，交線段EG于點H，若∠AEF=36°，∠BEG=57°，則∠EHF的大小為______．變3【分析】首先根據(jù)∠AEF=36°，∠BEG=57°，求出∠FEH的大?。蝗缓蟾鶕?jù)AB∥CD，求出∠EFG的大小，再根據(jù)FH平分∠EFG，求出∠EFH的大??；最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出∠EHF的大小為多少即可．【解答】解：∵∠AEF=36°，∠BEG=57°，∴∠FEH=180°﹣36°﹣57°=87°；∵AB∥CD，∴∠EFG=∠AEF=36°，∵FH平分∠EFG，∴∠EFH=12∠EFG=1∴∠EHF=180°﹣∠FEH﹣∠EFH=180°﹣87°﹣18°=75°．故答案為：75°．例4如圖，在△ABC中，∠ABC的角平分線交AC于點E，過點E作DF∥BC，交AB于點D，且EC平分∠BEF例4（1）若∠ADE=50°，求∠BEC的度數(shù)；（2）若∠ADE=α，則∠AED=______（含α的代數(shù)式表示）．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質得到∠ABC=∠ADE=50°，根據(jù)角平分線的定義∠EBC=25°，根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質可得∠BEC=∠C，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結論；（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質以及三角形的內(nèi)角和定理即可得到結論．【解答】解：（1）∵DF∥BC，∴∠ADE=∠ABC=50°，∠CEF=∠C，∵BE平分∠ABC，∴∠DEB=∠EBC=25°，∵EC平分∠BEF，∴∠CEF=∠BEC=∠C，∵∠BEC+∠C+∠EBC=180°，∴∠BEC=77.5°；（2）∵DF∥BC，∴∠ADE=∠ABC=α，∵BE平分∠ABC，∴∠DEB=∠EBC=1∵EC平分∠BEF，∴∠AED=∠CEF=12（180°?12α）故答案為：90°?1變4如圖，在四邊形中，，，平分，是上一點，交于點．變4（1）求的大?。唬?）若，求的大?。敬鸢浮?1)(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質可得，即可算出的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義可得的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質即可得出答案；（2）根據(jù)平行線的性質可得，由已知和三角形的內(nèi)角和定理，即可算出的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質即可得出答案．【詳解】（1）解：，，，，平分，，；（2）解：，，，，，，，．知識點三三角形內(nèi)角和與三角板知識點三三角形內(nèi)角和與三角板內(nèi)容三個角由小到大分別為______，______，______.三個角由小到大分別為______，______，______.題型四求角度（三角板問題）題型四求角度（三角板問題）例1如圖所示，將一副三角尺疊放在一起，則的大小為（）例1A．B．C．D．【答案】A【分析】如圖所示，根據(jù)直角三角板的特點，可知，，，在中，根據(jù)兩銳角互余即可求解．【詳解】解：一副三角尺，如圖所示，∴，，，∴，在中，，故選：．例2把一副三角板放在水平桌面上，擺放成如圖所示形狀，若，則的度數(shù)為（）例2A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)三角板得到，，再根據(jù)平行線的性質得到，最后利用三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】解：如圖，和交于點G，由三角板可知：，，∵，∴，∴,故選A．例3小明把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，則等于（）例3A．B．C．D．【答案】C【分析】由對頂角相等和三角形內(nèi)角和定理可得，又由,即可得到答案．【詳解】解：如圖，，，∵,．故選：C例4一副三角板如圖方式擺放，BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，則∠BMD的度數(shù)為（例4A．102°B．107.5°C．112.5°D．115°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和和角平分線的定義解答即可．【解答】解：∵BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，∴∠MBD=12∠ABD=1∴∠BMD=180°﹣∠MBD﹣∠BDM=180°﹣30°﹣37.5°=112.5°，故選：C．變1一副直角三角板按如圖所示方式擺放，圖中的度數(shù)為（）變1A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用三角板的角度以及外角性質即可求得，進而得出結果．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，故選．變2如圖是一副三角尺拼成的圖案，則的度數(shù)為______．變2【答案】【分析】根據(jù)三角尺的特殊角的度數(shù)可求的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角和定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，一副三角尺，∴，，∴，且，∵是的外角，∴，故答案為：．變3將直角三角板和直角三角板按如圖方式擺放（直角頂點重合），已知，則的度數(shù)是（）變3A．20°B．30°C．45°D．60°【答案】D【分析】根據(jù)三角形的外角的性質和三角形內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】解：∵，，∴．∵，∴，∴．故選D．變4將兩塊分別含有30°和45°角的直角三角板按如圖所示疊放，若∠1=∠2，則∠3=______°．變4【分析】根據(jù)等角的余角相等得到∠3=∠4，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和∠5的度數(shù)即可得到結論．【解答】解：如圖，∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠5=45°，∴∠3=∠4=12（180°﹣45°）故答案為：67.5．知識點四三角形內(nèi)角和與折疊知識點四三角形內(nèi)角和與折疊內(nèi)容折疊前后兩個圖形是能夠完全重合的，所以解決折疊問題的關鍵在于找到折疊前后相等的角.題型五求角度（折疊問題）題型五求角度（折疊問題）例1如圖，四邊形中，，將四邊形沿對角線折疊，使點落在點處，若，則為（）例1A．B．C．D．【答案】C【分析】由平行線得到，由折疊得到，由三角形的內(nèi)角和求得的度數(shù)．【詳解】解：，，，由折疊得，，，，，故選：C．變1如圖，中，，沿折疊，使點B恰好落在邊上的點E處．若，則等于（）變1A．42°B．66°C．65°D．75°【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，根據(jù)翻折變換的性質求出的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出【詳解】∵在中，，，∴，由折疊的性質可得：，∴故選：C例2如圖，將紙片沿折疊，點A落在點F處，已知，則的度數(shù)等于（）例2A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)翻折不變性和三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質解答．【詳解】解：由折疊的性質知，，∵，∴，∴，∴．故選C．例3如圖所示，將沿著折疊到所在平面內(nèi)，點A的對應點是，若，則（）例3A．B．C．D．【答案】B【分析】先根據(jù)折疊求出和的補角，再求即可．【詳解】∵將沿著折疊到所在平面內(nèi)，點A的對應點是，∴的補角為，的補角為，∵，∴，∴，∴，故選B．變2如圖所示，將三角形紙片沿折疊，點A落在點P處，已知，則是______度．變2【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質可知，，利用平角是，求出與的和，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)．【詳解】解：將紙片沿折疊，點落在點處，，，，，又，，．故答案是：．變3如圖，中，，點、在、上，沿向內(nèi)折疊，得，則圖中等于______．變3【答案】##120度【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于求出的度數(shù)，再根據(jù)折疊的性質求出的度數(shù)，然后根據(jù)平角等于解答．【詳解】解：，，沿向內(nèi)折疊，得，，．故答案為：．變4如圖，把紙片沿折疊，當點A落在四邊形內(nèi)部時，則與之間有一種數(shù)量關系始終保持不變，這個關系是（）變4A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質和平角的定義先得到，再由三角形內(nèi)角和定理得到，由此即可得到結論．【詳解】解：由折疊的性質可知，∴，由三角形內(nèi)角和定理可知，∴，∴，∴故選：A．例4如圖，將沿著平行于的直線折疊，得到，若，則的度數(shù)是（）例4A．45°B．40°C．55°D．50°【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，結合三角形內(nèi)角和定理可得，最后根據(jù)平行線的性質求解即可．【詳解】解：由題意得，，又∵，∴，∵，∴，故選：B．例5如圖，把沿對折，疊合后的圖形如圖所示．若，，則的度數(shù)為（）例5A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得，，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為，可得，即可求解．【詳解】解：∵沿對折，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故選：D．變5如圖，在中，點D，E分別在邊上，將沿折疊至位置，點A的對應點為F．若，，則的度數(shù)為（）變5A．B．C．D．【答案】B【分析】先根據(jù)折疊的性質得到，根據(jù)平角的定義求出，進而利用三角形內(nèi)角和定理求出，則．【詳解】解：由折疊的性質可知，∵，∴，∴，∴，故選B．變6如圖△ABC中，將邊BC沿虛線翻折，若∠1+∠2=110°，則∠A的度數(shù)是______度．變6【分析】延長B'E，C'F，交于點D，依據(jù)∠A=∠D，∠AED+∠AFD=250°，即可得到∠A的度數(shù)．【解答】解：如圖，延長B'E，C'F，交于點D，由折疊可得，∠B=∠B'，∠C=∠C'，∴∠A=∠D，又∵∠1+∠2=110°，∴∠AED+∠AFD=360°﹣110°=250°，∴四邊形AEDF中，∠A=12（360°﹣250°）故答案為：55．例6如圖，在中，，點D、E分別在上，將沿折疊，使點A落在點F處．則（）例6A．20°B．30°C．40°D．50°【答案】D【分析】分別利用折疊的性質和三角形內(nèi)角和定理求出，，由此即可得到答案．【詳解】解：∵在中，，∴，由折疊的性質可知，∴，∵，∴，∴，∴，故選D．例7如圖，有一個三角形紙片，將紙片的一角折疊，使點C落在外，若，則∠1的度數(shù)為（）例7A．B．C．D．【答案】C【分析】在中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠C的度數(shù)，由折疊的性質，可知：，結合∠2的度數(shù)可求出∠CED的度數(shù)，在△CDE中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠CDE的度數(shù)，再由即可求出結論．【詳解】解：在中，，∴．由折疊，可知：，∴，∴，∴．故選：C．變7如圖，點、分別在、上，將紙片沿折疊，點落在點處，，則是______°．變7【答案】【分析】根據(jù)折疊可以得到，，再根據(jù)平角可得，因此可得，．【詳解】解：根據(jù)折疊可以得到，，，，，，，，．故答案為：．變8如圖所示，中，邊上有一點D，使得，將沿翻折得，此時，則______度．變8【答案】90【分析】根據(jù)可得，再根據(jù)翻折的性質可得，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和求解即可．【詳解】解：∵，∴．∵沿翻折得，∴，．∵，∴．∵，∴．∴．∴．故答案為：90．知識點五直角三角形兩銳角互余知識點五直角三角形兩銳角互余內(nèi)容直角三角形兩個銳角互余，即_____.【注意】1.同角的余角相等；2.等角的余角相等.題型六直角三角形兩銳角互余題型六直角三角形兩銳角互余類型一類型一根據(jù)性質求角度例1如圖，在中，于點，．則的度數(shù)為（）例1A．52°B．42°C．32°D．28°【答案】B【分析】根據(jù)垂直的定義，直角三角形的兩個銳角互余，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故選：B．例2在中，，，則（）例2A．60°B．30°C．45°D．90°【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余解答即可．【詳解】解：在中，，，，，，，故選A．變1如圖，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，∠BAD=32°，則∠C的度數(shù)是（）變1A．28°B．30°C．32°D．36°【答案】C【分析】在Rt△BAD中可先算出∠B的度數(shù)，在Rt△BAC，即可求出∠C．【詳解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠B=90°-∠BAD=90°-32°=58°，∵∠BAC=90°，∴∠C=90°-∠B=32°．故選：C．變2在中，，則的度數(shù)為______．變2【答案】或##或【分析】分兩種情況進行討論，當時，由，可得；當時，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及，可得．【詳解】解：分兩種情況進行討論：當時，∵，∴；當時，，又∵，∴，∴；綜上，的度數(shù)為或．類型二余角個數(shù)問題類型二余角個數(shù)問題例1如圖，已知，，垂足是D，則圖中與互余的角有（）例1A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形的性質和互余的定義，即可得出結果．【詳解】解：，，，，，圖中與互余的角有2個，故選B．例2如圖，在中，，，垂足為．下列說法不正確的是（）例2A．與互余的角只有B．點B到的距離是的長C．D．若，則【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余和等角或同角的余角相等對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：、，，，，與互余的角有與兩個角，故本選項錯誤；B、點到的距離是的長，故本選項正確；C、，，，故本選項正確；D、，，解得，故本選項正確．故選：A．變1如圖，在中，，是邊上的高，下列判斷一定正確的是（）變1A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)高線的定義得到，利用余角的性質可得相應結論，從而判斷．【詳解】解：∵是邊上的高，∴，∴，，∵，∴，∴，，故選項C正確，故選C．變2如圖，CA⊥BE于點A，AD⊥BF于點D，則下列說法中正確的是（）變2A．∠α的余角只有∠BB．∠α的補角是∠DACC．∠α與∠ACF互補D．∠α與∠ACF互余【答案】C【分析】根據(jù)題意CA⊥BE于點A，AD⊥BF于點D，結合圖形可得∠α的余角與補角，逐項分析判斷即可求解．【詳解】∵CA⊥BE于A，AD⊥BF于D，∴∠B+∠α=∠DAC+∠α=90°，所以A不正確；∴∠α+∠DAE=180°，所以B也不正確；∵∠DAC+∠ACD=∠DAC+∠α=90°，∴∠ACD=∠α，∵∠ACD+∠ACF=180°，∴∠ACF與α互補．故C正確，D不正確．故選C．課后強化課后強化1.如圖，在中，，點在上，，若，則的度數(shù)為______．【答案】##70度【分析】利用平角的定義可得，再根據(jù)平行線的性質知，再由內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：．2.在中，，若，則的度數(shù)是______．【答案】25°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求解．【詳解】∵在中，，，∴∠A=180°-∠C-∠B=25°故答案為：25°．3.在中，，，則這個三角形是______三角形．【答案】鈍角【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠C即可判斷．【詳解】在中，，，∴∴這個三角形是鈍角三角形，故答案為：鈍角．4.如圖，直線AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，則∠E等于______．【答案】90°【分析】根據(jù)平行線的性質得到∠1=∠B=50°，由三角形的內(nèi)角和即可得到結論．【詳解】解：設CD和BE的夾角為∠1，∵AB∥CD，∴∠1=∠B=50°；∵∠C=40°，∴∠E=180°﹣∠B﹣∠1=90°．故答案為：90°．5.如圖，，則______．【答案】100°##100度【分析】根據(jù)鄰補角和為180°，以及∠2，∠3的比例，可求出∠2的度數(shù)，根據(jù)∠2與∠1的比例可求出∠1的度數(shù)，進而可求出∠4的度數(shù)．【詳解】解：∵，且，∴，∴，∴故答案為：100°．6.已知：如圖，，求∠BCD的度數(shù)．【答案】30°【分析】根據(jù)平行線的性質得到∠EGC=∠ABC=75°，由鄰補角的定義得到∠EDC=180°?135°=45°，再利用三角形外角的性質即可得出結論．【詳解】解：∵AB∥EF，∠ABC=75°，∴∠EGC=∠ABC=75°．∵∠CDF=135°，∴∠EDC=180°－∠CDF=180°－135°=45°．又∵∠EGC=∠BCD＋∠EDC，∴∠BCD=75°－45°=30°．7.如圖，，點在上．求證：．【答案】證明見解析【分析】由題意依據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質以及等式的性質和角的等量代換進行分析求證即可．【詳解】解：在中，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．8.把一副三角板的兩個直角三角形如圖疊放在一起，則的度數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先根據(jù)三角板的特征得出及的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結論．【詳解】解