1.3-與三角形有關(guān)的角 帶解析-2023年升初二人教版暑假銜接教材

?1.3與三角形有關(guān)的角（1）考點(diǎn)先知考點(diǎn)先知知識考點(diǎn)三角形的內(nèi)角和1.利用三角形的內(nèi)角和求角度2.求角度（平行線問題）3.求角度（三角板問題）4.求角度（折疊問題）直角三角形的兩個銳角互余5.根據(jù)互余求角度6.余角的個數(shù)題型精析題型精析知識點(diǎn)一三角形的內(nèi)角和定理知識點(diǎn)一三角形的內(nèi)角和定理內(nèi)容三角形的內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于______.【注意】三角形的三個內(nèi)角中的最大角必須大于等于60°，最小角必須小于等于60°.題型一三角形內(nèi)角和的證明題型一三角形內(nèi)角和的證明例1例1小學(xué)我們就知道三角形內(nèi)角和是，學(xué)習(xí)了平行線之后，可以證明三角形內(nèi)角和是，證明方法如下：如圖1，已知：三角形．求證：．證法一：如圖2，過點(diǎn)A作直線，∵，∴（）∵∴，即三角形內(nèi)角和是．證法二：如圖3，延長至M，過點(diǎn)C作…．（1）證法一的思路是先用平行線的性質(zhì)得到，此處，括號內(nèi)應(yīng)填寫的理由是（），再將三角形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為一個平角，進(jìn)而得到三角形內(nèi)角和是，這種方法主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是______；A．?dāng)?shù)形結(jié)合思想B．分類思想C．轉(zhuǎn)化思想（2）將證法二補(bǔ)充完整；（3）思考：同學(xué)們是否還能想到其他的證明方法？【答案】(1)兩直線平行，內(nèi)錯角相等；C(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可；（2）延長至M，過點(diǎn)C作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再由，即可求證．【詳解】（1）證法一：如圖2，過點(diǎn)A作直線，∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵∴，即三角形內(nèi)角和是．這種方法主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想；故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；C（2）證明：延長至M，過點(diǎn)C作，∴，∵∴，即三角形內(nèi)角和是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，通過作適當(dāng)?shù)妮o助線把三角形的三個內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為一個平角是解題的關(guān)鍵．例2在解決下面三個問題時，運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略的是（）例2①計(jì)算5÷時，可以這樣算：5÷=5×；②探究圓的面積；③求三角形的內(nèi)角和．A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③都是【答案】D【分析】根據(jù)轉(zhuǎn)化策略的概念求解即可．【詳解】解：①根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則，甲數(shù)除以乙（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)，把除法“轉(zhuǎn)化”為乘法計(jì)算；②把圓的面積轉(zhuǎn)化為長方形面積計(jì)算；③把三角形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為平角計(jì)算．綜上所述，運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略的有①②③，故選：D．變1如圖，在證明“△ABC內(nèi)角和等于180°”時，延長BC至D，過點(diǎn)C作CEAB，得到∠ABC=∠ECD，∠BAC=∠ACE，由于∠BCD=180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，這個證明方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）變1A．?dāng)?shù)形結(jié)合B．特殊到一般C．一般到特殊D．轉(zhuǎn)化【答案】D【分析】根據(jù)證明過程，是利用平行線的性質(zhì)將三角形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為平角定義證明這一數(shù)學(xué)思想，即可作出判斷．【詳解】解：延長BC至D，過點(diǎn)C作CEAB，∴∠ABC=∠ECD，∠BAC=∠ACE，∵∠BCD=180°，即∠ECD+∠ACB+∠ACE=180°，∴∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，這個證明方法體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，故選：D．變2在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如圖所示的四種輔助線，其中能證明“的內(nèi)角和是180°”的有（）變2A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】C【分析】本題運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想作出相應(yīng)的平行線，把三角形的內(nèi)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平角的定義解決此題．【詳解】解：①．由，則，．由，得，故符合題意．②．由，則，．由，得，故符合題意．③．由于，則，無法證得三角形內(nèi)角和是，故不符合題意．④．由，得，．由，得，，那么．由，得，故符合題意，共有：①②④符合條件，故選：C．題型二利用三角形內(nèi)角和求角度題型二利用三角形內(nèi)角和求角度例1在△ABC例1（1）若∠A：∠B：∠C=4：5：6，則∠C=______°．（2）若∠A=∠B=∠C，則∠A=______°．【分析】（1）設(shè)∠A=4x°，則∠B=5x°，∠C=6x°，利用三角形內(nèi)角和定理，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再將其代入∠C=6x°中即可求出∠C的度數(shù)；（2）設(shè)∠A=y°，則∠B=2y°，∠C=3y°，利用三角形內(nèi)角和定理，即可得出關(guān)于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，再將其代入∠B=2y°中即可求出∠B的度數(shù)．【解答】解：（1）設(shè)∠A=4x°，則∠B=5x°，∠C=6x°，依題意得：4x+5x+6x=180，解得：x=12，∴∠C=6x°=72°．故答案為：72．（2）120．例2∠A是∠B的2倍，∠C等于∠A加∠B，則△ABC是______例2【答案】直角【分析】設(shè)∠B=x，則∠A=2x，則∠C=3x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到答案.【詳解】解：設(shè)∠B=x，則∠A=2x，∴∠C=x+2x=3x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴,解得：，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形；故答案為直角.變1在△ABC中，∠B=∠C，∠A+∠B=115°，則∠B=______.變1【答案】65°【分析】首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出,再結(jié)合已知條件求出；【詳解】又故答案是：.變2若，則按角分的形狀是______．變2【答案】直角三角形【分析】設(shè)∠A=x，則∠B=2x，∠C=3x，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出x的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】∵在△ABC中，，∴設(shè)∠A=x，則∠B=2x，∠C=3x．∵∠A＋∠B＋∠C=180，即x＋2x＋3x=180，解得x=30，∴∠C=3x=90，∴△ABC是直角三角形．故答案為：直角三角形．例3如圖，，，則的度數(shù)是（）例3A．35°B．55°C．65°D．75°【答案】A【分析】根據(jù)題意及三角形內(nèi)角和可得∠D=∠A，故問題得解．【詳解】解：∠AOB=∠DOC，，，，，；故選A．例4如圖，在中，．且．則的度數(shù)為（）例4A．B．C．D．【答案】D【分析】設(shè)∠B=α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列方程求解，即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)∠B=α，∴∠A+∠C=180°-α，∵∠AFE=∠AEF，∠CFD=∠CDF，∴∠A+2∠AFE=180°①，∠C+2∠CFD=180°②，由①+②得：∠A+∠C+2∠AFE+2∠CFD=360°，∴2∠AFE+2∠CFD=180°+α，∴∠AFE+∠CFD=90°+α，∴∠EFD=180°-（∠AFE+∠CFD）=180°-（90°+α），∵∠EFD=30°，∴180°-（90°+α）=30°，∴α=120°，∴∠B的度數(shù)為120°，故選：D．變3如圖，已知交于點(diǎn)，且，則______．變3【答案】64°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出答案；【詳解】解：：∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠COB=180°，∠AOD=∠COB∴∠A+∠D=∠C+∠B，∴∠D=∠C+∠B-∠A=64°；故答案為：64°；變4如圖，在中，為延長線上一點(diǎn)，于，，，則的度數(shù)為（）變4A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】C【分析】先根據(jù)△ADE中三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)△ABC中三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．【詳解】∵CE⊥AF于E，∴∠AED=90°，∵∠D=20°，∴∠A=180°?∠AED?∠D=180°?90°?20°=70°，∵∴=180°?∠A?∠C=180°?70°?40°=70°．故選：C．變5在中，，按圖中虛線將剪去后，等于（）變5A．B．C．D．【答案】C【分析】利用補(bǔ)角的定義可知：，，由三角形內(nèi)角和定理可知：，代入即可求出．【詳解】解：假設(shè)虛線為DE，∵，，∴，∵，∴，∴，故選：C．知識點(diǎn)二三角形內(nèi)角和與平行線知識點(diǎn)二三角形內(nèi)角和與平行線內(nèi)容平行線的性質(zhì)1.兩直線平行，同位角______；2.兩直線平行，內(nèi)錯角______；3.兩直線平行，同旁內(nèi)角______.題型三求角度（平行線問題）題型三求角度（平行線問題）例1如圖，在中，，，，則的度數(shù)為（）例1A．90°B．85°C．60°D．55°【答案】C【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵，，∴，又∵，∴，故選C．例2如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（）例2A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】B【分析】首先利用平行線的性質(zhì)求出∠ABD的度數(shù)，接著利用角平分線的定義求出∠ABC，再利用三角形的內(nèi)角和求出∠A的度數(shù)．【詳解】解：∵DEAB，∠BDE=50°，∴∠ABD=∠BDE=50°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD=100°，∴∠A=180°?∠C?∠ABC=180°?30°?100°=50°．故選：B．例3如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，EF∥BC交BD于點(diǎn)G，若∠BEG=130°，則∠DGF=______例3【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠EBG=∠CBG，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EGB=∠CBG，等量代換得到∠EBG=∠EGB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和對頂角的性質(zhì)于是得到結(jié)論．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EGB=∠CBG，∵BD平分∠ABC，∴∠EBG=∠CBG，∴∠EBG=∠EGB，∵∠BEG=130°，∴∠EGB=180°?130°∴∠DGF=∠EGB=25°．故答案為：25．變1如圖，直線，平分，若，則的度數(shù)是（）變1A．27°B．36°C．54°D．72°【答案】D【分析】利用，內(nèi)錯角相等得，由角平分線的定義得，則．【詳解】解：∵，∴，∵BC平分∠ABD，∴，∴，∵，∴．故選：D．變2如圖，直線，是直線上一點(diǎn)，是直線外一點(diǎn)，若，，則的度數(shù)為______．變2【答案】##120度【分析】直接利用平行線的性質(zhì)并結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．【詳解】解：延長交于點(diǎn)，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴的度數(shù)為．故答案為：．變3如圖，△EFG的三個頂點(diǎn)E，G和F分別在平行線AB，CD上，F(xiàn)H平分∠EFG，交線段EG于點(diǎn)H，若∠AEF=36°，∠BEG=57°，則∠EHF的大小為______．變3【分析】首先根據(jù)∠AEF=36°，∠BEG=57°，求出∠FEH的大小；然后根據(jù)AB∥CD，求出∠EFG的大小，再根據(jù)FH平分∠EFG，求出∠EFH的大??；最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出∠EHF的大小為多少即可．【解答】解：∵∠AEF=36°，∠BEG=57°，∴∠FEH=180°﹣36°﹣57°=87°；∵AB∥CD，∴∠EFG=∠AEF=36°，∵FH平分∠EFG，∴∠EFH=12∠EFG=1∴∠EHF=180°﹣∠FEH﹣∠EFH=180°﹣87°﹣18°=75°．故答案為：75°．例4如圖，在△ABC中，∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作DF∥BC，交AB于點(diǎn)D，且EC平分∠BEF例4（1）若∠ADE=50°，求∠BEC的度數(shù)；（2）若∠ADE=α，則∠AED=______（含α的代數(shù)式表示）．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC=∠ADE=50°，根據(jù)角平分線的定義∠EBC=25°，根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得∠BEC=∠C，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵DF∥BC，∴∠ADE=∠ABC=50°，∠CEF=∠C，∵BE平分∠ABC，∴∠DEB=∠EBC=25°，∵EC平分∠BEF，∴∠CEF=∠BEC=∠C，∵∠BEC+∠C+∠EBC=180°，∴∠BEC=77.5°；（2）∵DF∥BC，∴∠ADE=∠ABC=α，∵BE平分∠ABC，∴∠DEB=∠EBC=1∵EC平分∠BEF，∴∠AED=∠CEF=12（180°?12α）故答案為：90°?1變4如圖，在四邊形中，，，平分，是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)．變4（1）求的大?。唬?）若，求的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即可算出的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義可得的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出答案；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由已知和三角形的內(nèi)角和定理，即可算出的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）解：，，，，平分，，；（2）解：，，，，，，，．知識點(diǎn)三三角形內(nèi)角和與三角板知識點(diǎn)三三角形內(nèi)角和與三角板內(nèi)容三個角由小到大分別為______，______，______.三個角由小到大分別為______，______，______.題型四求角度（三角板問題）題型四求角度（三角板問題）例1如圖所示，將一副三角尺疊放在一起，則的大小為（）例1A．B．C．D．【答案】A【分析】如圖所示，根據(jù)直角三角板的特點(diǎn)，可知，，，在中，根據(jù)兩銳角互余即可求解．【詳解】解：一副三角尺，如圖所示，∴，，，∴，在中，，故選：．例2把一副三角板放在水平桌面上，擺放成如圖所示形狀，若，則的度數(shù)為（）例2A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)三角板得到，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，最后利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，和交于點(diǎn)G，由三角板可知：，，∵，∴，∴,故選A．例3小明把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，則等于（）例3A．B．C．D．【答案】C【分析】由對頂角相等和三角形內(nèi)角和定理可得，又由,即可得到答案．【詳解】解：如圖，，，∵,．故選：C例4一副三角板如圖方式擺放，BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，則∠BMD的度數(shù)為（例4A．102°B．107.5°C．112.5°D．115°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和和角平分線的定義解答即可．【解答】解：∵BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，∴∠MBD=12∠ABD=1∴∠BMD=180°﹣∠MBD﹣∠BDM=180°﹣30°﹣37.5°=112.5°，故選：C．變1一副直角三角板按如圖所示方式擺放，圖中的度數(shù)為（）變1A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用三角板的角度以及外角性質(zhì)即可求得，進(jìn)而得出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，故選．變2如圖是一副三角尺拼成的圖案，則的度數(shù)為______．變2【答案】【分析】根據(jù)三角尺的特殊角的度數(shù)可求的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角和定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，一副三角尺，∴，，∴，且，∵是的外角，∴，故答案為：．變3將直角三角板和直角三角板按如圖方式擺放（直角頂點(diǎn)重合），已知，則的度數(shù)是（）變3A．20°B．30°C．45°D．60°【答案】D【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】解：∵，，∴．∵，∴，∴．故選D．變4將兩塊分別含有30°和45°角的直角三角板按如圖所示疊放，若∠1=∠2，則∠3=______°．變4【分析】根據(jù)等角的余角相等得到∠3=∠4，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和∠5的度數(shù)即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠5=45°，∴∠3=∠4=12（180°﹣45°）故答案為：67.5．知識點(diǎn)四三角形內(nèi)角和與折疊知識點(diǎn)四三角形內(nèi)角和與折疊內(nèi)容折疊前后兩個圖形是能夠完全重合的，所以解決折疊問題的關(guān)鍵在于找到折疊前后相等的角.題型五求角度（折疊問題）題型五求角度（折疊問題）例1如圖，四邊形中，，將四邊形沿對角線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，則為（）例1A．B．C．D．【答案】C【分析】由平行線得到，由折疊得到，由三角形的內(nèi)角和求得的度數(shù)．【詳解】解：，，，由折疊得，，，，，故選：C．變1如圖，中，，沿折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)E處．若，則等于（）變1A．42°B．66°C．65°D．75°【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出【詳解】∵在中，，，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，∴故選：C例2如圖，將紙片沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，已知，則的度數(shù)等于（）例2A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)翻折不變性和三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)解答．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知，，∵，∴，∴，∴．故選C．例3如圖所示，將沿著折疊到所在平面內(nèi)，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是，若，則（）例3A．B．C．D．【答案】B【分析】先根據(jù)折疊求出和的補(bǔ)角，再求即可．【詳解】∵將沿著折疊到所在平面內(nèi)，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是，∴的補(bǔ)角為，的補(bǔ)角為，∵，∴，∴，∴，故選B．變2如圖所示，將三角形紙片沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，已知，則是______度．變2【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，利用平角是，求出與的和，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)．【詳解】解：將紙片沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，，，，，又，，．故答案是：．變3如圖，中，，點(diǎn)、在、上，沿向內(nèi)折疊，得，則圖中等于______．變3【答案】##120度【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于求出的度數(shù)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求出的度數(shù)，然后根據(jù)平角等于解答．【詳解】解：，，沿向內(nèi)折疊，得，，．故答案為：．變4如圖，把紙片沿折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形內(nèi)部時，則與之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，這個關(guān)系是（）變4A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平角的定義先得到，再由三角形內(nèi)角和定理得到，由此即可得到結(jié)論．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，∴，由三角形內(nèi)角和定理可知，∴，∴，∴故選：A．例4如圖，將沿著平行于的直線折疊，得到，若，則的度數(shù)是（）例4A．45°B．40°C．55°D．50°【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由題意得，，又∵，∴，∵，∴，故選：B．例5如圖，把沿對折，疊合后的圖形如圖所示．若，，則的度數(shù)為（）例5A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得，，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為，可得，即可求解．【詳解】解：∵沿對折，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故選：D．變5如圖，在中，點(diǎn)D，E分別在邊上，將沿折疊至位置，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為F．若，，則的度數(shù)為（）變5A．B．C．D．【答案】B【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)平角的定義求出，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理求出，則．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，∵，∴，∴，∴，故選B．變6如圖△ABC中，將邊BC沿虛線翻折，若∠1+∠2=110°，則∠A的度數(shù)是______度．變6【分析】延長B'E，C'F，交于點(diǎn)D，依據(jù)∠A=∠D，∠AED+∠AFD=250°，即可得到∠A的度數(shù)．【解答】解：如圖，延長B'E，C'F，交于點(diǎn)D，由折疊可得，∠B=∠B'，∠C=∠C'，∴∠A=∠D，又∵∠1+∠2=110°，∴∠AED+∠AFD=360°﹣110°=250°，∴四邊形AEDF中，∠A=12（360°﹣250°）故答案為：55．例6如圖，在中，，點(diǎn)D、E分別在上，將沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處．則（）例6A．20°B．30°C．40°D．50°【答案】D【分析】分別利用折疊的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出，，由此即可得到答案．【詳解】解：∵在中，，∴，由折疊的性質(zhì)可知，∴，∵，∴，∴，∴，故選D．例7如圖，有一個三角形紙片，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在外，若，則∠1的度數(shù)為（）例7A．B．C．D．【答案】C【分析】在中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠C的度數(shù)，由折疊的性質(zhì)，可知：，結(jié)合∠2的度數(shù)可求出∠CED的度數(shù)，在△CDE中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠CDE的度數(shù)，再由即可求出結(jié)論．【詳解】解：在中，，∴．由折疊，可知：，∴，∴，∴．故選：C．變7如圖，點(diǎn)、分別在、上，將紙片沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，，則是______°．變7【答案】【分析】根據(jù)折疊可以得到，，再根據(jù)平角可得，因此可得，．【詳解】解：根據(jù)折疊可以得到，，，，，，，，．故答案為：．變8如圖所示，中，邊上有一點(diǎn)D，使得，將沿翻折得，此時，則______度．變8【答案】90【分析】根據(jù)可得，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和求解即可．【詳解】解：∵，∴．∵沿翻折得，∴，．∵，∴．∵，∴．∴．∴．故答案為：90．知識點(diǎn)五直角三角形兩銳角互余知識點(diǎn)五直角三角形兩銳角互余內(nèi)容直角三角形兩個銳角互余，即_____.【注意】1.同角的余角相等；2.等角的余角相等.題型六直角三角形兩銳角互余題型六直角三角形兩銳角互余類型一類型一根據(jù)性質(zhì)求角度例1如圖，在中，于點(diǎn)，．則的度數(shù)為（）例1A．52°B．42°C．32°D．28°【答案】B【分析】根據(jù)垂直的定義，直角三角形的兩個銳角互余，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故選：B．例2在中，，，則（）例2A．60°B．30°C．45°D．90°【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余解答即可．【詳解】解：在中，，，，，，，故選A．變1如圖，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAD=32°，則∠C的度數(shù)是（）變1A．28°B．30°C．32°D．36°【答案】C【分析】在Rt△BAD中可先算出∠B的度數(shù)，在Rt△BAC，即可求出∠C．【詳解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠B=90°-∠BAD=90°-32°=58°，∵∠BAC=90°，∴∠C=90°-∠B=32°．故選：C．變2在中，，則的度數(shù)為______．變2【答案】或##或【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)時，由，可得；當(dāng)時，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及，可得．【詳解】解：分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)時，∵，∴；當(dāng)時，，又∵，∴，∴；綜上，的度數(shù)為或．類型二余角個數(shù)問題類型二余角個數(shù)問題例1如圖，已知，，垂足是D，則圖中與互余的角有（）例1A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和互余的定義，即可得出結(jié)果．【詳解】解：，，，，，圖中與互余的角有2個，故選B．例2如圖，在中，，，垂足為．下列說法不正確的是（）例2A．與互余的角只有B．點(diǎn)B到的距離是的長C．D．若，則【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余和等角或同角的余角相等對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：、，，，，與互余的角有與兩個角，故本選項(xiàng)錯誤；B、點(diǎn)到的距離是的長，故本選項(xiàng)正確；C、，，，故本選項(xiàng)正確；D、，，解得，故本選項(xiàng)正確．故選：A．變1如圖，在中，，是邊上的高，下列判斷一定正確的是（）變1A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)高線的定義得到，利用余角的性質(zhì)可得相應(yīng)結(jié)論，從而判斷．【詳解】解：∵是邊上的高，∴，∴，，∵，∴，∴，，故選項(xiàng)C正確，故選C．變2如圖，CA⊥BE于點(diǎn)A，AD⊥BF于點(diǎn)D，則下列說法中正確的是（）變2A．∠α的余角只有∠BB．∠α的補(bǔ)角是∠DACC．∠α與∠ACF互補(bǔ)D．∠α與∠ACF互余【答案】C【分析】根據(jù)題意CA⊥BE于點(diǎn)A，AD⊥BF于點(diǎn)D，結(jié)合圖形可得∠α的余角與補(bǔ)角，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】∵CA⊥BE于A，AD⊥BF于D，∴∠B+∠α=∠DAC+∠α=90°，所以A不正確；∴∠α+∠DAE=180°，所以B也不正確；∵∠DAC+∠ACD=∠DAC+∠α=90°，∴∠ACD=∠α，∵∠ACD+∠ACF=180°，∴∠ACF與α互補(bǔ)．故C正確，D不正確．故選C．課后強(qiáng)化課后強(qiáng)化1.如圖，在中，，點(diǎn)在上，，若，則的度數(shù)為______．【答案】##70度【分析】利用平角的定義可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)知，再由內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：．2.在中，，若，則的度數(shù)是______．【答案】25°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求解．【詳解】∵在中，，，∴∠A=180°-∠C-∠B=25°故答案為：25°．3.在中，，，則這個三角形是______三角形．【答案】鈍角【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠C即可判斷．【詳解】在中，，，∴∴這個三角形是鈍角三角形，故答案為：鈍角．4.如圖，直線AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，則∠E等于______．【答案】90°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠B=50°，由三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)CD和BE的夾角為∠1，∵AB∥CD，∴∠1=∠B=50°；∵∠C=40°，∴∠E=180°﹣∠B﹣∠1=90°．故答案為：90°．5.如圖，，則______．【答案】100°##100度【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角和為180°，以及∠2，∠3的比例，可求出∠2的度數(shù)，根據(jù)∠2與∠1的比例可求出∠1的度數(shù)，進(jìn)而可求出∠4的度數(shù)．【詳解】解：∵，且，∴，∴，∴故答案為：100°．6.已知：如圖，，求∠BCD的度數(shù)．【答案】30°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EGC=∠ABC=75°，由鄰補(bǔ)角的定義得到∠EDC=180°?135°=45°，再利用三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB∥EF，∠ABC=75°，∴∠EGC=∠ABC=75°．∵∠CDF=135°，∴∠EDC=180°－∠CDF=180°－135°=45°．又∵∠EGC=∠BCD＋∠EDC，∴∠BCD=75°－45°=30°．7.如圖，，點(diǎn)在上．求證：．【答案】證明見解析【分析】由題意依據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)以及等式的性質(zhì)和角的等量代換進(jìn)行分析求證即可．【詳解】解：在中，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．8.把一副三角板的兩個直角三角形如圖疊放在一起，則的度數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先根據(jù)三角板的特征得出及的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】解