2023-2024學(xué)年山東省濟南市章丘區(qū)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案1

2023-2024學(xué)年山東省濟南市章丘區(qū)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案本試題分選擇題和非選擇題兩部分．選擇題部分共2頁，滿分為40分；非選擇題部分共6頁，滿分為110分．本試題共8頁，滿分為150分．考試時間120分鐘．本考試不允許使用計算器．選擇題部分共40分一．選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每個小題給出四個選項中，只有一項符合題目要求）1.如圖所示的四個幾何體中，俯視圖是三角形的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)俯視圖是從上邊看到的圖形即可得到答案．【詳解】三棱柱的俯視圖是三角形，故選項A符合題意；圓柱的俯視圖是圓，故選項B不符合題意；四棱錐的俯視圖四邊形中間有一個點，故選項C不符合題意；圓錐的俯視圖是圓中間有一點，故選項D不符合題意．故選：A．【點睛】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，熟記常見幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵．2.若點在反比例函數(shù)的圖象上，則該圖象也過點（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而得到在反比例函數(shù)圖象上的點橫縱坐標(biāo)的乘積為，由此即可得到答案．【詳解】解：∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，∴在反比例函數(shù)圖象上的點橫縱坐標(biāo)的乘積為，∵四個選項中只有D選項滿足橫縱坐標(biāo)的乘積為，故選D．【點睛】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確得到在反比例函數(shù)圖象上的點橫縱坐標(biāo)的乘積為是解題的關(guān)鍵．3.計算的值等于（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值即可求出答案．【詳解】解：故選：C．【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，本題屬于基礎(chǔ)題型．4.一元二次方程根的情況是（）A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.只有一個實數(shù)根C.有兩個相等的實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根【答案】A【解析】【分析】本題主要考查根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當(dāng)時，方程無實數(shù)根．計算出判別式的值即可得出答案．【詳解】解：，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．5.關(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)圖象的開口向下 B.函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是C.當(dāng)時，y隨x的增大而減小 D.該函數(shù)圖象與y軸的交點坐標(biāo)是【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可一一判定．【詳解】解：，函數(shù)圖象的開口向上，故A錯誤，不符合題意；函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是，故B錯誤，不符合題意；當(dāng)時，y隨x的增大而增大，故C錯誤，不符合題意；令，則，故該函數(shù)圖象與y軸的交點坐標(biāo)是，故D正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握和運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．6.在一個不透明的袋子中裝有除顏色外其它均相同的3個紅球和2個白球，從中任意摸出一個球，則摸出白球的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】從中任意摸出一個球共有5種可能的情況，其中摸出白球的情況有2種，由此可得結(jié)論.【詳解】解：∵袋子中裝有除顏色外其它均相同的3個紅球和2個白球，∴從中任意摸出一個球共有5種可能的情況，其中摸出白球的情況有2種，∴摸出白球的概率是，故答案為B.【點睛】本題考查隨機事件的概率.關(guān)鍵是熟悉概率的公式，根據(jù)公式求解即可.7.如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象大致可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象．根據(jù)、的取值，分別判斷出兩個函數(shù)圖象所過的象限，要注意分類討論．【詳解】解：若，，則經(jīng)過一、二、三象限，反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，若，，則經(jīng)過一、三、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，若，，則經(jīng)過一、二、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，若，，則經(jīng)過二、三、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，故選：C．8.如圖，已知，那么添加下列一個條件后，仍無法判定的是（） B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定定理．由，得到，然后根據(jù)相似三角形的判定定理逐項判斷判定即可．【詳解】解：∵，，∴，A、若添加，可用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，證明，故本選項不符合題意；B、添加，已知的角不是成比例的兩邊的夾角，故本選項符合題意；C、添加，可用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，證明，故本選項不符合題意；D、添加，可用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，證明，故本選項不符合題意．故選：B．9.如圖，在中，是上的一條弦，直徑，連接，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】連接，根據(jù)圓周角定理，垂徑定理即可求解；解：連接，是上的一條弦，直徑，，，，，，．故選：B．【點睛】本題主要考查圓周角定理，垂徑定理，正確做出輔助線是解本題的關(guān)鍵．10.已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2+1（m為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足-3≤x≤-1時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為5，則m的值為（）A.1或-3 B.-3或-5 C.1或-5 D.1或-1【答案】C【解析】【分析】利用配方法可得出：當(dāng)x=m時，y的最小值為1．分m＜-3，-3≤m≤-1和m＞-1三種情況考慮：當(dāng)m＜-3時，由y的最小值為5可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其較小值；當(dāng)-3≤m≤-1時，y的最小值為1，舍去；當(dāng)m＞-1時，由y的最小值為5可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其較大值．綜上，此題得解．【詳解】∵y=x2-2mx+m2+1=（x-m）2+1，∴當(dāng)x=m時，y的最小值為1．當(dāng)m＜-3時，在-3≤x≤-1中，y隨x的增大而增大，∴9+6m+m2+1=5，解得：m1=-5，m2=-1（舍去）；當(dāng)-3≤m≤-1時，y的最小值為1，舍去；當(dāng)m＞-1時，在-3≤x≤-1中，y隨x的增大而減小，∴1+2m+m2+1=5，解得：m1=-3（舍去），m2=1．∴m的值為-5或1．故選C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值以及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，分m＜-3，-3≤m≤-1和m＞-1三種情況求出m的值是解題的關(guān)鍵．非選擇題部分共110分二．填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11.關(guān)于x的方程的一個根是2，則________．【答案】6【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的解定義，掌握一元二次方程的解定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的解定義，將代入關(guān)于x的方程，然后解關(guān)于a的一元一次方程即可．【詳解】解：將代入方程得：解得：故答案為：.12.已知，則的值為______．【答案】4【解析】【分析】本題考查了比例，先把化簡為，再代入，進(jìn)行化簡，即可作答．【詳解】解：依題意，則兩邊都乘以，得，即，故答案為：4．13.矩形的對角線和相交于點，若，則________．【答案】10【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)；根據(jù)矩形的對角線相等即可得出結(jié)果．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，．故答案為：10．14.如圖，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它們重合部分的面積是△DEF面積的，若AB＝6，則△DEF移動的距離AD＝________．【答案】2【解析】【分析】如圖，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，則可判斷，利用相似三角形的性質(zhì)可計算出，則AE，然后計算DE﹣AE即可．【詳解】解：如圖所示，AC與EF的交于點G，∵△DEF沿DE平移到△ABC的位置，∴，，∴△AEG∽△DEF，，，，．故答案為：2．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，也考查了相似三角形面積與比相似比間的關(guān)系，將題中給出的面積比轉(zhuǎn)化為相似比是解題的關(guān)鍵．15.如圖，過軸正半軸上一點作軸的平行線，分別與反比例函數(shù)和圖象相交于點A和點，是軸上一點．若的面積為4，則的值為________．【答案】5【解析】【分析】由題意可知軸，，根據(jù)反比例函數(shù)值的幾何意義，，，所以，求解即可．【詳解】解：連接，如圖所示，軸，，反比例函數(shù)圖像上點與坐標(biāo)軸及原點圍成三角形面積，，，，，解得；故答案為：5．【點睛】本題考查反比例函數(shù)比例系數(shù)k值得幾何意義，掌握反比例函數(shù)圖像上的點與坐標(biāo)軸及原點圍成三角形面積是解題的關(guān)鍵，解題難點是構(gòu)造同底等高的三角形面積相等．16.如圖，菱形對角線相交于點O，，，點P為邊上一點，且P不與B、C重合．過P作于E，于F，連接，則的最小值等于______．【答案】2.4【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)可得，由勾股定理可求的長，可證四邊形是矩形，可得時，有最小值，由面積法可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：∵四邊形是菱形，，∴，在中，∴,∵，∴四邊形是矩形，∴，∵當(dāng)時，有最小值，此時，∴的最小值為2.4，故答案為：2.4．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．三．解答題（本大題共10小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.計算：．【答案】【解析】【分析】此題考查了實數(shù)的混合運算能力．先計算特殊角的三角函數(shù)、二次根式、絕對值和零次冪，再計算乘法，最后計算加減．【詳解】解：．18.在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．（1）以點為位似中心，作出的位似圖形，使△和位似比為，并寫出點的坐標(biāo)；（2）作出繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后的圖形；則點B所經(jīng)過的路徑長為．【答案】（1）見解析，（2）【解析】【分析】本題考查了作圖位似變換：熟練掌握畫位似圖形的一般步驟是解決問題的關(guān)鍵．也考查了旋轉(zhuǎn)變換．（1）延長到使，延長到使，則滿足條件；（2）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出、的對應(yīng)點、，從而得到，然后根據(jù)弧長公式計算點所經(jīng)過的路徑長．【小問1詳解】解：如圖，為所作，點的坐標(biāo)為；故答案為：；【小問2詳解】解：如圖，為所作，，所以點所經(jīng)過的路徑長．故答案為：．19.如圖，是矩形的邊上的一點，于點，，，．求的長度．【答案】．【解析】【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)、勾股定理求出，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，由此即可得出答案．【詳解】∵四邊形是矩形，∴，∵∴∵，，∴在和中，∴∴，即解得即的長度為．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20.【綜合與實踐】數(shù)學(xué)來源于生活，同時數(shù)學(xué)也可以服務(wù)于生活．【知識背景】如圖，校園中有兩面直角圍墻（兩邊足夠長），墻角內(nèi)的處有一棵古樹與墻、的距離分別是15米和6米，在美化校園的活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組想借助圍墻（兩邊足夠長），用28米長的籬笆圍成一個矩形花園（籬笆只圍、兩邊），設(shè)米．【方案設(shè)計】設(shè)計一個矩形花園，使之面積最大，且要將古樹P圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細(xì)）．【解決問題】思路：把矩形的面積與邊長（即的長）的函數(shù)解析式求出，并利用函數(shù)的性質(zhì)來求面積的最大值即可．（1）請用含有x的代數(shù)式表示的長：；（2）求面積S與x的函數(shù)解析式，寫出x的取值范圍；并求當(dāng)x為何值時，花園面積S最大，最大面積為多少？【答案】（1）（2），當(dāng)米時，面積最大，最大為195平方米【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)最值求法，得出與的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意，由米，總長米，計算即可得解；（2）依據(jù)題意，結(jié)合（1）可得，再由在點與，的距離分別是米和米，可得的范圍；由所得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)增減性進(jìn)行計算可以得解．【小問1詳解】解：由題意，米，米，故答案為：；【小問2詳解】解：．在點與，的距離分別是米和米，．．面積與的函數(shù)解析式為：；，拋物線的開口向下，對稱軸為直線，當(dāng)時，隨的增大而增大．當(dāng)時，取到最大值，即當(dāng)米時，花園面積最大，最大為195平方米．21.小王同學(xué)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)后，通過觀察廣場的臺階與信號塔之間的相對位置，他認(rèn)為利用臺階的可測數(shù)據(jù)與在點、處測出點的仰角度數(shù)，可以求出信號塔的高．如圖，的長為5米，高為3米．他在點處測得點的仰角為，在點處測得點的仰角為．、、、、在同一平面內(nèi)．設(shè)塔的高度為米．（1）用含有x的式子表示線段的長：；（2）你認(rèn)為小王同學(xué)能求出信號塔的高嗎？若能，請求出信號塔的高；若不能，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】（1）（2）能，信號塔的高約為31米．【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得：，，然后在中，利用勾股定理求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答；（2）過點作，垂足為，根據(jù)題意可得：米，米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后根據(jù)，列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計算即可解答．【小問1詳解】解：由題意得：，，在中，米，米，（米，在中，，米，（米，米，故答案為：；【小問2詳解】解：我認(rèn)為小王同學(xué)能求出信號塔的高，理由：過點作，垂足為，由題意得：米，米，在中，，米，，，解得：，米，信號塔的高約為31米．22.如圖，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，CD與⊙O相切于點C，過點A作AD⊥DC，連接AC，BC．（1）求證：AC是∠DAB的角平分線；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的長．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OCD＝90°，再根據(jù)AD⊥DC，和半徑線段即可證明AC是∠DAB的角平分線；（2）利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，再證明Rt△ADC∽Rt△ACB，對應(yīng)邊成比例即可求出AC的長．【詳解】解：（1）證明：連接OC，如圖，∵CD與⊙O相切于點C，∴∠OCD＝90°，∴∠ACD+∠ACO＝90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠ACO＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC是∠DAB的角平分線；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠D＝∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠BAC，∴Rt△ADC∽Rt△ACB，∴，∴AC2＝AD?AB＝2×3＝6，∴AC＝【點睛】本題主要考查切線的性質(zhì)和圓周角定理，解題關(guān)鍵是連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OCD＝90°.23.第31屆世界大學(xué)生運動會將于2023年7月28日至8月8日在成都舉行，某校開展了“愛成都，迎大運”系列活動，增設(shè)籃球，足球，柔道，射擊共四個課外活動項目．為了解全校1500名同學(xué)對增設(shè)的四個活動項目的喜愛情況，在全校范圍內(nèi)隨機抽取了若干名同學(xué)，對他們喜愛的項目（每人限選一項）進(jìn)行了問卷調(diào)查，將數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計，并繪制成了如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，請回答下列問題：（1）參加問卷調(diào)查的同學(xué)共名，補全條形統(tǒng)計圖；（2）估計該校1500名同學(xué)中喜愛籃球運動的人數(shù)；（3）學(xué)校準(zhǔn)備組建一支?；@球隊，某班甲，乙，丙，丁四名同學(xué)平時都很喜歡籃球運動，現(xiàn)決定從這四人中任選兩名同學(xué)加入球隊，請你用樹狀圖或列表法求恰好選中甲，乙兩名同學(xué)的概率．【答案】（1），圖見解析（2）人（3）【解析】【分析】（1）用喜愛足球的人數(shù)除以其所占的百分比可得參加問卷調(diào)查的同學(xué)的人數(shù)；用參加問卷調(diào)查的同學(xué)的人數(shù)分別減去喜愛籃球、足球、射擊的人數(shù)，求出喜愛柔道的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可．（2）根據(jù)用樣本估計總體，用1500乘以參加問卷調(diào)查的同學(xué)中喜愛籃球運動的人數(shù)的百分比，即可得出答案．（3）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和恰好選中甲、乙兩名同學(xué)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【小問1詳解】解：參加問卷調(diào)查的同學(xué)的人數(shù)為（名）．故答案為：60．喜愛柔道的人數(shù)為（名）．補全條形統(tǒng)計圖如圖所示．【小問2詳解】（人）．∴該校1500名同學(xué)中喜愛籃球活動的人數(shù)大約450人．小問3詳解】畫樹狀圖如下：由圖可知，共有12種等可能結(jié)果，其中恰好選中甲、乙兩名同學(xué)的結(jié)果有2種，∴恰好選中甲、乙兩名同學(xué)的概率為．【點睛】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，能夠理解條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及用樣本估計總體是解答本題的關(guān)鍵．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于第一、三象限內(nèi)的，兩點，與軸交于點．（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式；（2）在軸上找一點使最大，求的最大值及點的坐標(biāo)；（3）直接寫出當(dāng)時，的取值范圍．【答案】（1），；（2）的最大值為，；（3）或【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，即可得到反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)一次函數(shù)y1=x+2，求得與y軸的交點P，此交點即為所求；（3）根據(jù)AB兩點的橫坐標(biāo)及直線與雙曲線的位置關(guān)系求x的取值范圍．【詳解】（1）∵在反比例函數(shù)上∴∴反比例函數(shù)的解析式為把代入可求得∴把代入為解得∴一次函數(shù)的解析式為（2）的最大值就是直線與兩坐標(biāo)軸交點間的距離.設(shè)直線與軸的交點為令，則，解得，∴令，則∴∴，∴的最大值為（3）根據(jù)圖象的位置和圖象交點的坐標(biāo)可知：當(dāng)時的取值范圍為：或．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，根據(jù)點的坐標(biāo)求線段長，正確掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25.如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，連接，點在拋物線上．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點D在第一象限內(nèi)的拋物線上，連接，，請求出面積的最大值；（3）點在拋物線上移動，連接，存在，請直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）4（3）點的坐標(biāo)為：或．【解析】【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）由面積，即可求解；（3）當(dāng)點在軸上方時，則點和點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，即可求解；當(dāng)點在軸下方時，由，求出點，即可求解．【小問1詳解】解：拋物線的表達(dá)式為：，則，解得：，則拋物線的表達(dá)式為：①；【小問2詳解】解：過點作軸交于點，由點、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，設(shè)點，則點，則面積，，故面積有最大值，當(dāng)時，面積的最大值為4；【小問3詳解】解：當(dāng)點在軸上方時，所以平行于x軸則點和點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，則點；當(dāng)點在軸下方時，設(shè)交軸于點，設(shè)點，，則，則，解得：，即點，由點、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：②，聯(lián)立①②得：，解得：（舍去）或，即點的坐標(biāo)為：；綜上，點的坐標(biāo)為：或．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到等腰三角形的性質(zhì)、面積的計算等，分類求解是解題的關(guān)鍵．26.如圖1，在中，，點，分別為，的中點，連接．將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)（），連接并延長與直線交于點．（1）若，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，則線段與的數(shù)量關(guān)系是______；（2）若（），將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，則（1）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請就圖3所示的情況加以證明；若不成立，請寫出正確的結(jié)論，并說明理由；（3）若，，將旋轉(zhuǎn)至?xí)r，請求出此時的長．【答案】（1）（2）此時（1）的結(jié)論不成立，與的數(shù)量關(guān)系為，理由見解析（3）【解析】分析】（1）根據(jù)題意易得，然后可證，進(jìn)而問題可求解；（2）由題意易得，，然后可得，進(jìn)而問題可求解；（3）由題意易得，根據(jù)勾股定理可得，然后由（2）可求得，進(jìn)而問題可求解．【小問1詳解】解：∵，點，分別為，的中點，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故答案為；【小問2詳解】解：此時（1）的結(jié)論不成立，與的數(shù)量關(guān)系為.理由如下：點，分別為，的中點，，，，，，.，；【小問3詳解】解：，，在中，，由（2）知，，，，，又，四邊形是矩形，，．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)與判定、勾股定理及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)與判定、勾股定理及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

2023-2024學(xué)年山東省濟南市章丘區(qū)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案本試題分選擇題和非選擇題兩部分．選擇題部分共2頁，滿分為40分；非選擇題部分共6頁，滿分為110分．本試題共8頁，滿分為150分．考試時間120分鐘．本考試不允許使用計算器．選擇題部分共40分一．選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每個小題給出四個選項中，只有一項符合題目要求）1.如圖所示的四個幾何體中，俯視圖是三角形的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)俯視圖是從上邊看到的圖形即可得到答案．【詳解】三棱柱的俯視圖是三角形，故選項A符合題意；圓柱的俯視圖是圓，故選項B不符合題意；四棱錐的俯視圖四邊形中間有一個點，故選項C不符合題意；圓錐的俯視圖是圓中間有一點，故選項D不符合題意．故選：A．【點睛】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，熟記常見幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵．2.若點在反比例函數(shù)的圖象上，則該圖象也過點（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而得到在反比例函數(shù)圖象上的點橫縱坐標(biāo)的乘積為，由此即可得到答案．【詳解】解：∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，∴在反比例函數(shù)圖象上的點橫縱坐標(biāo)的乘積為，∵四個選項中只有D選項滿足橫縱坐標(biāo)的乘積為，故選D．【點睛】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確得到在反比例函數(shù)圖象上的點橫縱坐標(biāo)的乘積為是解題的關(guān)鍵．3.計算的值等于（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值即可求出答案．【詳解】解：故選：C．【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，本題屬于基礎(chǔ)題型．4.一元二次方程根的情況是（）A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.只有一個實數(shù)根C.有兩個相等的實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根【答案】A【解析】【分析】本題主要考查根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當(dāng)時，方程無實數(shù)根．計算出判別式的值即可得出答案．【詳解】解：，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．5.關(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)圖象的開口向下 B.函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是C.當(dāng)時，y隨x的增大而減小 D.該函數(shù)圖象與y軸的交點坐標(biāo)是【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可一一判定．【詳解】解：，函數(shù)圖象的開口向上，故A錯誤，不符合題意；函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是，故B錯誤，不符合題意；當(dāng)時，y隨x的增大而增大，故C錯誤，不符合題意；令，則，故該函數(shù)圖象與y軸的交點坐標(biāo)是，故D正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握和運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．6.在一個不透明的袋子中裝有除顏色外其它均相同的3個紅球和2個白球，從中任意摸出一個球，則摸出白球的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】從中任意摸出一個球共有5種可能的情況，其中摸出白球的情況有2種，由此可得結(jié)論.【詳解】解：∵袋子中裝有除顏色外其它均相同的3個紅球和2個白球，∴從中任意摸出一個球共有5種可能的情況，其中摸出白球的情況有2種，∴摸出白球的概率是，故答案為B.【點睛】本題考查隨機事件的概率.關(guān)鍵是熟悉概率的公式，根據(jù)公式求解即可.7.如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象大致可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象．根據(jù)、的取值，分別判斷出兩個函數(shù)圖象所過的象限，要注意分類討論．【詳解】解：若，，則經(jīng)過一、二、三象限，反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，若，，則經(jīng)過一、三、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，若，，則經(jīng)過一、二、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，若，，則經(jīng)過二、三、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，故選：C．8.如圖，已知，那么添加下列一個條件后，仍無法判定的是（） B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定定理．由，得到，然后根據(jù)相似三角形的判定定理逐項判斷判定即可．【詳解】解：∵，，∴，A、若添加，可用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，證明，故本選項不符合題意；B、添加，已知的角不是成比例的兩邊的夾角，故本選項符合題意；C、添加，可用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，證明，故本選項不符合題意；D、添加，可用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，證明，故本選項不符合題意．故選：B．9.如圖，在中，是上的一條弦，直徑，連接，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】連接，根據(jù)圓周角定理，垂徑定理即可求解；解：連接，是上的一條弦，直徑，，，，，，．故選：B．【點睛】本題主要考查圓周角定理，垂徑定理，正確做出輔助線是解本題的關(guān)鍵．10.已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2+1（m為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足-3≤x≤-1時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為5，則m的值為（）A.1或-3 B.-3或-5 C.1或-5 D.1或-1【答案】C【解析】【分析】利用配方法可得出：當(dāng)x=m時，y的最小值為1．分m＜-3，-3≤m≤-1和m＞-1三種情況考慮：當(dāng)m＜-3時，由y的最小值為5可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其較小值；當(dāng)-3≤m≤-1時，y的最小值為1，舍去；當(dāng)m＞-1時，由y的最小值為5可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其較大值．綜上，此題得解．【詳解】∵y=x2-2mx+m2+1=（x-m）2+1，∴當(dāng)x=m時，y的最小值為1．當(dāng)m＜-3時，在-3≤x≤-1中，y隨x的增大而增大，∴9+6m+m2+1=5，解得：m1=-5，m2=-1（舍去）；當(dāng)-3≤m≤-1時，y的最小值為1，舍去；當(dāng)m＞-1時，在-3≤x≤-1中，y隨x的增大而減小，∴1+2m+m2+1=5，解得：m1=-3（舍去），m2=1．∴m的值為-5或1．故選C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值以及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，分m＜-3，-3≤m≤-1和m＞-1三種情況求出m的值是解題的關(guān)鍵．非選擇題部分共110分二．填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11.關(guān)于x的方程的一個根是2，則________．【答案】6【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的解定義，掌握一元二次方程的解定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的解定義，將代入關(guān)于x的方程，然后解關(guān)于a的一元一次方程即可．【詳解】解：將代入方程得：解得：故答案為：.12.已知，則的值為______．【答案】4【解析】【分析】本題考查了比例，先把化簡為，再代入，進(jìn)行化簡，即可作答．【詳解】解：依題意，則兩邊都乘以，得，即，故答案為：4．13.矩形的對角線和相交于點，若，則________．【答案】10【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)；根據(jù)矩形的對角線相等即可得出結(jié)果．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，．故答案為：10．14.如圖，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它們重合部分的面積是△DEF面積的，若AB＝6，則△DEF移動的距離AD＝________．【答案】2【解析】【分析】如圖，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，則可判斷，利用相似三角形的性質(zhì)可計算出，則AE，然后計算DE﹣AE即可．【詳解】解：如圖所示，AC與EF的交于點G，∵△DEF沿DE平移到△ABC的位置，∴，，∴△AEG∽△DEF，，，，．故答案為：2．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，也考查了相似三角形面積與比相似比間的關(guān)系，將題中給出的面積比轉(zhuǎn)化為相似比是解題的關(guān)鍵．15.如圖，過軸正半軸上一點作軸的平行線，分別與反比例函數(shù)和圖象相交于點A和點，是軸上一點．若的面積為4，則的值為________．【答案】5【解析】【分析】由題意可知軸，，根據(jù)反比例函數(shù)值的幾何意義，，，所以，求解即可．【詳解】解：連接，如圖所示，軸，，反比例函數(shù)圖像上點與坐標(biāo)軸及原點圍成三角形面積，，，，，解得；故答案為：5．【點睛】本題考查反比例函數(shù)比例系數(shù)k值得幾何意義，掌握反比例函數(shù)圖像上的點與坐標(biāo)軸及原點圍成三角形面積是解題的關(guān)鍵，解題難點是構(gòu)造同底等高的三角形面積相等．16.如圖，菱形對角線相交于點O，，，點P為邊上一點，且P不與B、C重合．過P作于E，于F，連接，則的最小值等于______．【答案】2.4【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)可得，由勾股定理可求的長，可證四邊形是矩形，可得時，有最小值，由面積法可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：∵四邊形是菱形，，∴，在中，∴,∵，∴四邊形是矩形，∴，∵當(dāng)時，有最小值，此時，∴的最小值為2.4，故答案為：2.4．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．三．解答題（本大題共10小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.計算：．【答案】【解析】【分析】此題考查了實數(shù)的混合運算能力．先計算特殊角的三角函數(shù)、二次根式、絕對值和零次冪，再計算乘法，最后計算加減．【詳解】解：．18.在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．（1）以點為位似中心，作出的位似圖形，使△和位似比為，并寫出點的坐標(biāo)；（2）作出繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后的圖形；則點B所經(jīng)過的路徑長為．【答案】（1）見解析，（2）【解析】【分析】本題考查了作圖位似變換：熟練掌握畫位似圖形的一般步驟是解決問題的關(guān)鍵．也考查了旋轉(zhuǎn)變換．（1）延長到使，延長到使，則滿足條件；（2）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出、的對應(yīng)點、，從而得到，然后根據(jù)弧長公式計算點所經(jīng)過的路徑長．【小問1詳解】解：如圖，為所作，點的坐標(biāo)為；故答案為：；【小問2詳解】解：如圖，為所作，，所以點所經(jīng)過的路徑長．故答案為：．19.如圖，是矩形的邊上的一點，于點，，，．求的長度．【答案】．【解析】【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)、勾股定理求出，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，由此即可得出答案．【詳解】∵四邊形是矩形，∴，∵∴∵，，∴在和中，∴∴，即解得即的長度為．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20.【綜合與實踐】數(shù)學(xué)來源于生活，同時數(shù)學(xué)也可以服務(wù)于生活．【知識背景】如圖，校園中有兩面直角圍墻（兩邊足夠長），墻角內(nèi)的處有一棵古樹與墻、的距離分別是15米和6米，在美化校園的活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組想借助圍墻（兩邊足夠長），用28米長的籬笆圍成一個矩形花園（籬笆只圍、兩邊），設(shè)米．【方案設(shè)計】設(shè)計一個矩形花園，使之面積最大，且要將古樹P圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細(xì)）．【解決問題】思路：把矩形的面積與邊長（即的長）的函數(shù)解析式求出，并利用函數(shù)的性質(zhì)來求面積的最大值即可．（1）請用含有x的代數(shù)式表示的長：；（2）求面積S與x的函數(shù)解析式，寫出x的取值范圍；并求當(dāng)x為何值時，花園面積S最大，最大面積為多少？【答案】（1）（2），當(dāng)米時，面積最大，最大為195平方米【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)最值求法，得出與的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意，由米，總長米，計算即可得解；（2）依據(jù)題意，結(jié)合（1）可得，再由在點與，的距離分別是米和米，可得的范圍；由所得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)增減性進(jìn)行計算可以得解．【小問1詳解】解：由題意，米，米，故答案為：；【小問2詳解】解：．在點與，的距離分別是米和米，．．面積與的函數(shù)解析式為：；，拋物線的開口向下，對稱軸為直線，當(dāng)時，隨的增大而增大．當(dāng)時，取到最大值，即當(dāng)米時，花園面積最大，最大為195平方米．21.小王同學(xué)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)后，通過觀察廣場的臺階與信號塔之間的相對位置，他認(rèn)為利用臺階的可測數(shù)據(jù)與在點、處測出點的仰角度數(shù)，可以求出信號塔的高．如圖，的長為5米，高為3米．他在點處測得點的仰角為，在點處測得點的仰角為．、、、、在同一平面內(nèi)．設(shè)塔的高度為米．（1）用含有x的式子表示線段的長：；（2）你認(rèn)為小王同學(xué)能求出信號塔的高嗎？若能，請求出信號塔的高；若不能，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】（1）（2）能，信號塔的高約為31米．【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得：，，然后在中，利用勾股定理求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答；（2）過點作，垂足為，根據(jù)題意可得：米，米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后根據(jù)，列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計算即可解答．【小問1詳解】解：由題意得：，，在中，米，米，（米，在中，，米，（米，米，故答案為：；【小問2詳解】解：我認(rèn)為小王同學(xué)能求出信號塔的高，理由：過點作，垂足為，由題意得：米，米，在中，，米，，，解得：，米，信號塔的高約為31米．22.如圖，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，CD與⊙O相切于點C，過點A作AD⊥DC，連接AC，BC．（1）求證：AC是∠DAB的角平分線；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的長．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OCD＝90°，再根據(jù)AD⊥DC，和半徑線段即可證明AC是∠DAB的角平分線；（2）利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，再證明Rt△ADC∽Rt△ACB，對應(yīng)邊成比例即可求出AC的長．【詳解】解：（1）證明：連接OC，如圖，∵CD與⊙O相切于點C，∴∠OCD＝90°，∴∠ACD+∠ACO＝90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠ACO＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC是∠DAB的角平分線；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠D＝∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠BAC，∴Rt△ADC∽Rt△ACB，∴，∴AC2＝AD?AB＝2×3＝6，∴AC＝【點睛】本題主要考查切線的性質(zhì)和圓周角定理，解題關(guān)鍵是連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OCD＝90°.23.第31屆世界大學(xué)生運動會將于2023年7月28日至8月8日在成都舉行，某校開展了“愛成都，迎大運”系列活動，增設(shè)籃球，足球，柔道，射擊共四個課外活動項目．為了解全校1500名同學(xué)對增設(shè)的四個活動項目的喜愛情況，在全校范圍內(nèi)隨機抽取了若干名同學(xué)，對他們喜愛的項目（每人限選一項）進(jìn)行了問卷調(diào)查，將數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計，并繪制成了如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，請回答下列問題：（1）參加問卷調(diào)查的同學(xué)共名，補全條形統(tǒng)計圖；（2）估計該校1500名同學(xué)中喜愛籃球運動的人數(shù)；（3）學(xué)校準(zhǔn)備組建一支?；@球隊，某班甲，乙，丙，丁四名同學(xué)平時都很喜歡籃球運動，現(xiàn)決定從這四人中任選兩名同學(xué)加入球隊，請你用樹狀圖或列表法求恰好選中甲，乙兩名同學(xué)的概率．【答案】（1），圖見解析（2）人（3）【解析】【分析】（1）用喜愛足球的人數(shù)除以其所占的百分比可得參加問卷調(diào)查的同學(xué)的人數(shù)；用參加問卷調(diào)查的同學(xué)的人數(shù)分別減去喜愛籃球、足球、射擊的人數(shù)，求出喜愛柔道的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可．（2）根據(jù)用樣本估計總體，用1500乘以參加問卷調(diào)查的同學(xué)中喜愛籃球運動的人數(shù)的百分比，即可得出答案．（3）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和恰好選中甲、乙兩名同學(xué)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【小問1詳解】解：參加問卷調(diào)查的同學(xué)的人數(shù)為（名）．故答案為：60．喜愛柔道的人數(shù)為（名）．補全條形統(tǒng)計圖如圖所示．【小問2