2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案1

2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.sin30°的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【詳解】sin30°=故答案為：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的問(wèn)題，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2.如圖是由一個(gè)圓柱體和一個(gè)長(zhǎng)方體組成的幾何體，其左視圖是（） B. C. D.【答案】A【解析】【分析】找到從左面看所得到的圖形即可．【詳解】解：從左面可看到一個(gè)長(zhǎng)方形和上面一個(gè)長(zhǎng)方形，且兩個(gè)長(zhǎng)方形等長(zhǎng)．∴左視圖是：故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，掌握左視圖是從物體的左面看得到的視圖是解本題的關(guān)鍵．3.二次函數(shù)的最小值是（）A4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題，熟記二次函數(shù)的最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)解答．【詳解】解：，二次函數(shù)有最小值3，故選：B．4.在正方形網(wǎng)格中，以格點(diǎn)O為圓心畫(huà)圓，使該圓經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A，B，并在直線右側(cè)圓弧上取一點(diǎn)C，連接，，則的度數(shù)為（）A. B.C. D.不確定【答案】C【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，故選C．5.已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是1，則方程的另一個(gè)根是（）A.－3 B.2 C.3 D.－4【答案】C【解析】【分析】設(shè)方程的一個(gè)根＝1，另一個(gè)根為，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答即可．【詳解】解：設(shè)方程的一個(gè)根＝1，另一個(gè)根為，根據(jù)題意得：＝3，將＝1代入，得＝3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6.學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)中，運(yùn)動(dòng)員小明與小剛，要從鉛球、跳高兩個(gè)項(xiàng)目中任意選擇一個(gè)項(xiàng)目參加比賽，則兩人恰好都選擇鉛球項(xiàng)目的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的概率，先列出所有的可能性，在找出滿足題意的可能性，根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【詳解】運(yùn)動(dòng)員小明與小剛，要從鉛球、跳高兩個(gè)項(xiàng)目中任意選擇一個(gè)項(xiàng)目參加比賽，共有種等可能情況，其中兩人恰好都選擇鉛球項(xiàng)目是其中一種情況，則兩人恰好都選擇鉛球項(xiàng)目的概率是．故選：C7.已知二次函數(shù)的圖像如圖，則一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是直接利用二次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)的象限得出，，的取值范圍，進(jìn)而利用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)得出答案即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向下，

∴，

∵該拋物線對(duì)稱軸位于軸的右側(cè)，

∴，∴，

∵拋物線交軸的負(fù)半軸，

∴，

∴一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，反比例函數(shù)的圖像在二、四象限．

故選：B．8.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，，連接交于點(diǎn)F，則的面積與的面積之比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，證明，利用相似三角形的性質(zhì)得到，然后利用等高的三角形面積之比等于對(duì)應(yīng)底邊之比求解即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，則，∴．9.如圖，菱形中，，，E，F(xiàn)，P分別是，，上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值等于（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握“將軍飲馬”等模型．作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，連接，作，作，可推出，而，再進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】解：作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，連接，作于，作交于，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴點(diǎn)G在上，，，∵，∴最小值為：，故選B．10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的交點(diǎn)記為，當(dāng)為銳角三角形時(shí)，則的取值范圍是（）A. B.C.或 D.【答案】D【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，依據(jù)題意，當(dāng)為銳角三角形時(shí)，則，進(jìn)而計(jì)算可以得解．能根據(jù)銳角三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，∵直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得：，∴，，∴，∵過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的交點(diǎn)記為，當(dāng)時(shí)，，解得：或，∴點(diǎn)，∵為銳角三角形，∴，∴．故選：D．二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）11.已知，則的值為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積；合比性質(zhì)；分比性質(zhì)；合分比性質(zhì)；等比性質(zhì)）是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，根據(jù)合比性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：，故答案為：．12.在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個(gè)，這些球除顏色外都相同．小明通過(guò)多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則袋子中黃球的個(gè)數(shù)可能是_____個(gè)．【答案】15【解析】【分析】本題考查利用頻率估計(jì)概率，明確題意，利用概率公式計(jì)算出紅球的個(gè)數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)紅球出現(xiàn)的頻率和球的總數(shù)，求出紅球的個(gè)數(shù)，再計(jì)算出黃球的個(gè)數(shù)即可．【詳解】解：∵摸出紅球的頻率穩(wěn)定在左右，∴摸出紅球的概率為，∴袋子中紅球的個(gè)數(shù)為（個(gè)），∴袋子中黃球的個(gè)數(shù)為（個(gè)），故答案是：15．13.有個(gè)大小相同的小正方形，恰好如圖放置在中，則的值等于__________．【答案】##【解析】【分析】本題考查解直角三角形，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為，依題意可得，，，繼而得到，進(jìn)而得，根據(jù)正切的定義可求出答案．解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握正方形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)和正切的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，∵有個(gè)大小相同的小正方形，恰好如圖放置在中，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為，∴，，，∴，∴，∴．故答案為：．14.如圖，在的內(nèi)接正方形中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，得到，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】本題考查扇形面積的計(jì)算，正方形的性質(zhì)以及正多邊形與圓，根據(jù)對(duì)稱性將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為，根據(jù)勾股定理求出圓的半徑，再由扇形面積、弓形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理以及扇形面積的計(jì)算公式是正確解答的前提．【詳解】解：如圖，連接，∵正方形是的內(nèi)接正方形，，∴，，∴是的直徑，，∴的半徑為，又∵圓和正方形都是軸對(duì)稱圖形，∴，∴圖中陰影部分的面積為．故答案為：．15.如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，過(guò)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)且，連接交軸于點(diǎn)，連接．若的面積為，則的值為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，設(shè)，則，，由，的面積為得出，的面積為，即可得出，求解即可．得到關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)，∴，，∵，的面積為，∴，的面積為，∴的面積為：，∴的面積為：，∴，解得：．故答案為：．16.如圖，在正方形中，，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到（點(diǎn)E在正方形內(nèi)部），連接，，，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______________．【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)A作交于H，過(guò)點(diǎn)E作交于F，利用互余逐步得出，，可證得，，結(jié)合全等三角形和相似三角形的性質(zhì)，利用勾股定理，可求得，的長(zhǎng)，然后再次利用勾股定理即可求得的長(zhǎng)．【詳解】解：如下圖，過(guò)點(diǎn)A作交于H，過(guò)點(diǎn)E作交于F，由翻折性質(zhì)得：；四邊形是正方形，，，是等腰三角形，(三線合一)；，；又，，；，，即得：；，(AAS)，(勾股定理)；又，；，，；．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，翻折性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，借助輔助線構(gòu)造三角形全等及相似轉(zhuǎn)化線段之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．三、解答題（共10小題，滿分86分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次根式的性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及絕對(duì)值的代數(shù)意義將原式化簡(jiǎn)，再進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算即可．【詳解】解：．18.解方程：x2﹣2x﹣15＝0．【答案】x1＝5，x2＝﹣3．【解析】【分析】利用十字相乘法將方程左邊的多項(xiàng)式分解因式，利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【詳解】解：x2﹣2x﹣15＝0，分解因式得：（x﹣5）（x+3）＝0，可得x﹣5＝0或x+3＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣3．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程時(shí)，首先將方程右邊化為0，左邊化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解．19.如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形是矩形；（2）連接，若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）的長(zhǎng)是【解析】【分析】（1）根據(jù)四邊形是平行四邊形，可得，再證，即可證明四邊形是平行四邊形，又，可證明四邊形是矩形；（2）根據(jù)四邊形是矩形得出，，，證明是等邊三角形，再根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)．【小問(wèn)1詳解】證明：，，，，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形；【小問(wèn)2詳解】解：四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，，，，，是等邊三角形，，，，，，的長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)．20.為提高學(xué)生的法律意識(shí)，某中學(xué)開(kāi)展了一系列的法律進(jìn)校園活動(dòng)，組織九年級(jí)全體學(xué)生進(jìn)行了《法律知識(shí)知多少》知識(shí)競(jìng)答，學(xué)校隨機(jī)抽取m名學(xué)生的競(jìng)答成績(jī)，對(duì)成績(jī)（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析，成績(jī)劃分為，，，，四個(gè)等級(jí)，并制作出不完整的統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示．已知：等級(jí)數(shù)據(jù)（單位：分）：80、80、81、82、85、86、86、87、88、89；根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）填空：，；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）抽取的名學(xué)生中，成績(jī)的中位數(shù)是分，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，等級(jí)扇形圓心角的度數(shù)是；（4）這所學(xué)校共有2100名學(xué)生，若全部參加這次競(jìng)答，請(qǐng)你估計(jì)成績(jī)能達(dá)到等級(jí)及以上的學(xué)生人數(shù)．【答案】（1）50，20（2）見(jiàn)解析（3）85.5，（4）成績(jī)能達(dá)到等級(jí)及以上的學(xué)生人數(shù)約為1260名【解析】【分析】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖的信息關(guān)聯(lián)、求中位數(shù)、求扇形統(tǒng)計(jì)圖圓心角度數(shù)、由樣本估計(jì)總體，從不同的統(tǒng)計(jì)圖得出必要的信息是解此題的關(guān)鍵．（1）由等級(jí)有人，占，可求，從而求出的值；（2）求出等級(jí)的人數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）把數(shù)據(jù)按從小到大排列后，中間兩個(gè)數(shù)是、，即可求出中位數(shù)，用乘以等級(jí)人數(shù)的占比即可得出圓心角度數(shù)；（4）用總?cè)藬?shù)乘以成績(jī)能達(dá)到等級(jí)及以上的學(xué)生人數(shù)的占比即可得出答案．【小問(wèn)1詳解】解：由圖可得：等級(jí)有人，占，，，，故答案為：，；【小問(wèn)2詳解】解：等級(jí)的人數(shù)為：（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：；【小問(wèn)3詳解】解：把數(shù)據(jù)按從小到大排列后，中間兩個(gè)數(shù)是、，中位數(shù)是，，故答案：，；【小問(wèn)4詳解】解：（人），績(jī)能達(dá)到等級(jí)及以上的學(xué)生人數(shù)為人．21.如圖，學(xué)校課外興趣活動(dòng)小組準(zhǔn)備利用長(zhǎng)為的墻和一段長(zhǎng)為的籬笆圍建一個(gè)矩形苗圃園．如果矩形苗圃園的一邊由墻和一節(jié)籬笆構(gòu)成，另三邊由籬笆圍成，設(shè)平行于墻一邊長(zhǎng)為．（1）當(dāng)苗圃園的面積為時(shí)，求的值．（2）當(dāng)為何值時(shí)，所圍苗圃園的面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）（2）當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，所圍苗圃園的面積最大，最大面積是【解析】【分析】本題考查列代數(shù)式，一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，（1）用含的式子表示，根據(jù)“苗圃園的面積為”列出關(guān)于的方程，求解即可；（2）設(shè)苗圃園的面積為，根據(jù)面積公式可得到二次函數(shù)，通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值；本題的關(guān)鍵是利用含x的式子表示線段長(zhǎng)度，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解題．【小問(wèn)1詳解】解：∵籬笆的總長(zhǎng)為，平行于墻一邊長(zhǎng)為，∴垂直于墻一邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意得：，解得：（不符合題意，舍去），，∴的值為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)苗圃園的面積為，依題意，得：，∴，∴當(dāng)時(shí)，，答：當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，所圍苗圃園的面積最大，最大面積是．22.如圖，在中，為直徑，與相切于點(diǎn)C，切點(diǎn)為，連接、，若．（1）求證：；（2）若，求的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)定理、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)垂直定義可得，從而可得，進(jìn)而可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而利用等量代換可得，即可解答；（2）連接，則，所以，而，即可證明，得，求得，由勾股定理得，則，所以的半徑是．【小問(wèn)1詳解】證明：連接，與相切于點(diǎn)，，，，，，，，；【小問(wèn)2詳解】解：連接，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的半徑是．23.某臨街店鋪在窗戶上方安裝如圖所示的遮陽(yáng)棚，其側(cè)面如圖所示，遮陽(yáng)棚展開(kāi)長(zhǎng)度，遮陽(yáng)棚前端自然下垂邊的長(zhǎng)度，遮陽(yáng)棚固定點(diǎn)距離地面高度，遮陽(yáng)棚與墻面的夾角．如圖所示，靠墻放置一張圓桌，高度，直徑，當(dāng)太陽(yáng)光線與地面的夾角時(shí)，請(qǐng)問(wèn)桌子是否被曬到？（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】桌子曬不到，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是把所給的所有線段都整理到直角三角形或矩形中．在直角三角形中，利用的三角函數(shù)值得到、的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，再根據(jù)的三角函數(shù)值求得的長(zhǎng)，然后求得的長(zhǎng)，再和桌子的半徑比較后可判斷陽(yáng)光能否照到桌子上．【詳解】解：如圖，作于，于，延長(zhǎng)交于，則，由題意知：，，∴四邊形，四邊形是矩形，由題意得：，在中，∵，，∴，，∴，∴，延長(zhǎng)交于，交于，由題意知：，，∴，，∴四邊形，四邊形是矩形，∴，，∴，在中，，∴，∵，∴桌子曬不到．24.如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)表達(dá)式；（2）將線段向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到對(duì)應(yīng)線段，連接，．①如圖，當(dāng)點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)圖像上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)，求的值；②在①的條件下，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）①；②存在，點(diǎn)坐標(biāo)為或或【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在直線上，可確定，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)中求出的值即可；（2）①先確定，再根據(jù)平移的性質(zhì)及函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出，繼而得到，，即可得出結(jié)論；②設(shè)，分三種情況討論即可．【小問(wèn)1詳解】解：∵點(diǎn)在直線上，∴，∴，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，∴，∴，∴反比例函數(shù)表達(dá)式為；【小問(wèn)2詳解】①∵直線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，得，∴，∵將線段向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到對(duì)應(yīng)線段，且點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖像上，軸，當(dāng)時(shí)，得：，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，得：，∴，，∴，∴；②在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．理由：設(shè)，由①知：，，，可分以下三種情況：當(dāng)且，以為對(duì)角線時(shí)，即將線段向右平移個(gè)單位再向上平移個(gè)單位得到線段，此時(shí)可得平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)且，以為對(duì)角線時(shí)，即將線段向右平移個(gè)單位得到線段，此時(shí)可得平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)且，以為對(duì)角線時(shí)，即將線段向左平移個(gè)單位得到線段，此時(shí)可得平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或時(shí)，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，考查了平移的性質(zhì)、點(diǎn)坐標(biāo)平移的規(guī)律，函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定等知識(shí)，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．25.在菱形中，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊向右側(cè)作等腰，使，，點(diǎn)的位置隨著點(diǎn)的位置變化而變化．（1）如圖，若，當(dāng)點(diǎn)在菱形內(nèi)時(shí)，連接，與的數(shù)量關(guān)系是，與的位置關(guān)系是；（2）若，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，①如圖，與有何數(shù)量關(guān)系，與有何位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖，連接，若，，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）①，，理由見(jiàn)解析；②【解析】【分析】（1）連接，延長(zhǎng)交于，證明，即可得出，，得出即可；（2）①如圖，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，繼而得到，，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可推出即可；②如圖，連接，，由①知，得到，，繼而得到，根據(jù)勾股定理可得，可得，最后由可得出答案．【小問(wèn)1詳解】如圖，連接，延長(zhǎng)交于，∵菱形中，，∴，，平分，∴、是等邊三角形，∴，，，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，即，在與中，，∴，∴，，∵平分，∴，∴，∴平分，∴，故答案：；；【小問(wèn)2詳解】①與的數(shù)量關(guān)系：，與的位置關(guān)系：．理由如下：如圖，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵菱形中，，，∴，，，平分，平分，∴，∴，∴，∵是等腰三角形，，，，∴，，∴，∴，∴，，∴，即，∴，∴，即，，∵平分，∴，∴平分，∴，∴，∴；②如圖，連接，，∵四邊形是菱形，，，，∴，平分，平分，，∴，∴是等邊三角形，∴，由①知，∴，，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．26.如圖，拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，是拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為．①在上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②連接，若，求的值．【答案】（1）（2）①存在，或；②【解析】【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）①利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，由于，不可能為直角，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求解即可；②連接，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，證明得出，由題意得，從而得到，，證明得出，代入計(jì)算即可得出答案．【小問(wèn)1詳解】解：∵拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，，解得：，∴該拋物線的解析式為；【小問(wèn)2詳解】①存在，理由如下：，∴拋物線的頂點(diǎn)為，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，，，不可能為直角；當(dāng)時(shí)，則，軸，，解得：，；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于，如圖，則，，，，，，，，，∴四邊形是矩形，，，，，解得：，，，，，，綜上所述，當(dāng)為直角三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，在中，，，，，，，，，，，，∴，由題意得，，∴，由題意知，四邊形、四邊形都是矩形，∴，，，∴，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.sin30°的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【詳解】sin30°=故答案為：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的問(wèn)題，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2.如圖是由一個(gè)圓柱體和一個(gè)長(zhǎng)方體組成的幾何體，其左視圖是（） B. C. D.【答案】A【解析】【分析】找到從左面看所得到的圖形即可．【詳解】解：從左面可看到一個(gè)長(zhǎng)方形和上面一個(gè)長(zhǎng)方形，且兩個(gè)長(zhǎng)方形等長(zhǎng)．∴左視圖是：故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，掌握左視圖是從物體的左面看得到的視圖是解本題的關(guān)鍵．3.二次函數(shù)的最小值是（）A4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題，熟記二次函數(shù)的最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)解答．【詳解】解：，二次函數(shù)有最小值3，故選：B．4.在正方形網(wǎng)格中，以格點(diǎn)O為圓心畫(huà)圓，使該圓經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A，B，并在直線右側(cè)圓弧上取一點(diǎn)C，連接，，則的度數(shù)為（）A. B.C. D.不確定【答案】C【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，故選C．5.已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是1，則方程的另一個(gè)根是（）A.－3 B.2 C.3 D.－4【答案】C【解析】【分析】設(shè)方程的一個(gè)根＝1，另一個(gè)根為，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答即可．【詳解】解：設(shè)方程的一個(gè)根＝1，另一個(gè)根為，根據(jù)題意得：＝3，將＝1代入，得＝3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6.學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)中，運(yùn)動(dòng)員小明與小剛，要從鉛球、跳高兩個(gè)項(xiàng)目中任意選擇一個(gè)項(xiàng)目參加比賽，則兩人恰好都選擇鉛球項(xiàng)目的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的概率，先列出所有的可能性，在找出滿足題意的可能性，根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【詳解】運(yùn)動(dòng)員小明與小剛，要從鉛球、跳高兩個(gè)項(xiàng)目中任意選擇一個(gè)項(xiàng)目參加比賽，共有種等可能情況，其中兩人恰好都選擇鉛球項(xiàng)目是其中一種情況，則兩人恰好都選擇鉛球項(xiàng)目的概率是．故選：C7.已知二次函數(shù)的圖像如圖，則一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是直接利用二次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)的象限得出，，的取值范圍，進(jìn)而利用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)得出答案即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向下，

∴，

∵該拋物線對(duì)稱軸位于軸的右側(cè)，

∴，∴，

∵拋物線交軸的負(fù)半軸，

∴，

∴一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，反比例函數(shù)的圖像在二、四象限．

故選：B．8.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，，連接交于點(diǎn)F，則的面積與的面積之比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，證明，利用相似三角形的性質(zhì)得到，然后利用等高的三角形面積之比等于對(duì)應(yīng)底邊之比求解即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，則，∴．9.如圖，菱形中，，，E，F(xiàn)，P分別是，，上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值等于（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握“將軍飲馬”等模型．作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，連接，作，作，可推出，而，再進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】解：作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，連接，作于，作交于，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴點(diǎn)G在上，，，∵，∴最小值為：，故選B．10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的交點(diǎn)記為，當(dāng)為銳角三角形時(shí)，則的取值范圍是（）A. B.C.或 D.【答案】D【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，依據(jù)題意，當(dāng)為銳角三角形時(shí)，則，進(jìn)而計(jì)算可以得解．能根據(jù)銳角三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，∵直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得：，∴，，∴，∵過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的交點(diǎn)記為，當(dāng)時(shí)，，解得：或，∴點(diǎn)，∵為銳角三角形，∴，∴．故選：D．二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）11.已知，則的值為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積；合比性質(zhì)；分比性質(zhì)；合分比性質(zhì)；等比性質(zhì)）是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，根據(jù)合比性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：，故答案為：．12.在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個(gè)，這些球除顏色外都相同．小明通過(guò)多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則袋子中黃球的個(gè)數(shù)可能是_____個(gè)．【答案】15【解析】【分析】本題考查利用頻率估計(jì)概率，明確題意，利用概率公式計(jì)算出紅球的個(gè)數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)紅球出現(xiàn)的頻率和球的總數(shù)，求出紅球的個(gè)數(shù)，再計(jì)算出黃球的個(gè)數(shù)即可．【詳解】解：∵摸出紅球的頻率穩(wěn)定在左右，∴摸出紅球的概率為，∴袋子中紅球的個(gè)數(shù)為（個(gè)），∴袋子中黃球的個(gè)數(shù)為（個(gè)），故答案是：15．13.有個(gè)大小相同的小正方形，恰好如圖放置在中，則的值等于__________．【答案】##【解析】【分析】本題考查解直角三角形，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為，依題意可得，，，繼而得到，進(jìn)而得，根據(jù)正切的定義可求出答案．解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握正方形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)和正切的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，∵有個(gè)大小相同的小正方形，恰好如圖放置在中，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為，∴，，，∴，∴，∴．故答案為：．14.如圖，在的內(nèi)接正方形中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，得到，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】本題考查扇形面積的計(jì)算，正方形的性質(zhì)以及正多邊形與圓，根據(jù)對(duì)稱性將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為，根據(jù)勾股定理求出圓的半徑，再由扇形面積、弓形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理以及扇形面積的計(jì)算公式是正確解答的前提．【詳解】解：如圖，連接，∵正方形是的內(nèi)接正方形，，∴，，∴是的直徑，，∴的半徑為，又∵圓和正方形都是軸對(duì)稱圖形，∴，∴圖中陰影部分的面積為．故答案為：．15.如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，過(guò)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)且，連接交軸于點(diǎn)，連接．若的面積為，則的值為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，設(shè)，則，，由，的面積為得出，的面積為，即可得出，求解即可．得到關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)，∴，，∵，的面積為，∴，的面積為，∴的面積為：，∴的面積為：，∴，解得：．故答案為：．16.如圖，在正方形中，，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到（點(diǎn)E在正方形內(nèi)部），連接，，，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______________．【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)A作交于H，過(guò)點(diǎn)E作交于F，利用互余逐步得出，，可證得，，結(jié)合全等三角形和相似三角形的性質(zhì)，利用勾股定理，可求得，的長(zhǎng)，然后再次利用勾股定理即可求得的長(zhǎng)．【詳解】解：如下圖，過(guò)點(diǎn)A作交于H，過(guò)點(diǎn)E作交于F，由翻折性質(zhì)得：；四邊形是正方形，，，是等腰三角形，(三線合一)；，；又，，；，，即得：；，(AAS)，(勾股定理)；又，；，，；．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，翻折性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，借助輔助線構(gòu)造三角形全等及相似轉(zhuǎn)化線段之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．三、解答題（共10小題，滿分86分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次根式的性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及絕對(duì)值的代數(shù)意義將原式化簡(jiǎn)，再進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算即可．【詳解】解：．18.解方程：x2﹣2x﹣15＝0．【答案】x1＝5，x2＝﹣3．【解析】【分析】利用十字相乘法將方程左邊的多項(xiàng)式分解因式，利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【詳解】解：x2﹣2x﹣15＝0，分解因式得：（x﹣5）（x+3）＝0，可得x﹣5＝0或x+3＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣3．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程時(shí)，首先將方程右邊化為0，左邊化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解．19.如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形是矩形；（2）連接，若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）的長(zhǎng)是【解析】【分析】（1）根據(jù)四邊形是平行四邊形，可得，再證，即可證明四邊形是平行四邊形，又，可證明四邊形是矩形；（2）根據(jù)四邊形是矩形得出，，，證明是等邊三角形，再根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)．【小問(wèn)1詳解】證明：，，，，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形；【小問(wèn)2詳解】解：四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，，，，，是等邊三角形，，，，，，的長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)．20.為提高學(xué)生的法律意識(shí)，某中學(xué)開(kāi)展了一系列的法律進(jìn)校園活動(dòng)，組織九年級(jí)全體學(xué)生進(jìn)行了《法律知識(shí)知多少》知識(shí)競(jìng)答，學(xué)校隨機(jī)抽取m名學(xué)生的競(jìng)答成績(jī)，對(duì)成績(jī)（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析，成績(jī)劃分為，，，，四個(gè)等級(jí)，并制作出不完整的統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示．已知：等級(jí)數(shù)據(jù)（單位：分）：80、80、81、82、85、86、86、87、88、89；根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）填空：，；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）抽取的名學(xué)生中，成績(jī)的中位數(shù)是分，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，等級(jí)扇形圓心角的度數(shù)是；（4）這所學(xué)校共有2100名學(xué)生，若全部參加這次競(jìng)答，請(qǐng)你估計(jì)成績(jī)能達(dá)到等級(jí)及以上的學(xué)生人數(shù)．【答案】（1）50，20（2）見(jiàn)解析（3）85.5，（4）成績(jī)能達(dá)到等級(jí)及以上的學(xué)生人數(shù)約為1260名【解析】【分析】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖的信息關(guān)聯(lián)、求中位數(shù)、求扇形統(tǒng)計(jì)圖圓心角度數(shù)、由樣本估計(jì)總體，從不同的統(tǒng)計(jì)圖得出必要的信息是解此題的關(guān)鍵．（1）由等級(jí)有人，占，可求，從而求出的值；（2）求出等級(jí)的人數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）把數(shù)據(jù)按從小到大排列后，中間兩個(gè)數(shù)是、，即可求出中位數(shù)，用乘以等級(jí)人數(shù)的占比即可得出圓心角度數(shù)；（4）用總?cè)藬?shù)乘以成績(jī)能達(dá)到等級(jí)及以上的學(xué)生人數(shù)的占比即可得出答案．【小問(wèn)1詳解】解：由圖可得：等級(jí)有人，占，，，，故答案為：，；【小問(wèn)2詳解】解：等級(jí)的人數(shù)為：（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：；【小問(wèn)3詳解】解：把數(shù)據(jù)按從小到大排列后，中間兩個(gè)數(shù)是、，中位數(shù)是，，故答案：，；【小問(wèn)4詳解】解：（人），績(jī)能達(dá)到等級(jí)及以上的學(xué)生人數(shù)為人．21.如圖，學(xué)校課外興趣活動(dòng)小組準(zhǔn)備利用長(zhǎng)為的墻和一段長(zhǎng)為的籬笆圍建一個(gè)矩形苗圃園．如果矩形苗圃園的一邊由墻和一節(jié)籬笆構(gòu)成，另三邊由籬笆圍成，設(shè)平行于墻一邊長(zhǎng)為．（1）當(dāng)苗圃園的面積為時(shí)，求的值．（2）當(dāng)為何值時(shí)，所圍苗圃園的面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）（2）當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，所圍苗圃園的面積最大，最大面積是【解析】【分析】本題考查列代數(shù)式，一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，（1）用含的式子表示，根據(jù)“苗圃園的面積為”列出關(guān)于的方程，求解即可；（2）設(shè)苗圃園的面積為，根據(jù)面積公式可得到二次函數(shù)，通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值；本題的關(guān)鍵是利用含x的式子表示線段長(zhǎng)度，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解題．【小問(wèn)1詳解】解：∵籬笆的總長(zhǎng)為，平行于墻一邊長(zhǎng)為，∴垂直于墻一邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意得：，解得：（不符合題意，舍去），，∴的值為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)苗圃園的面積為，依題意，得：，∴，∴當(dāng)時(shí)，，答：當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，所圍苗圃園的面積最大，最大面積是．22.如圖，在中，為直徑，與相切于點(diǎn)C，切點(diǎn)為，連接、，若．（1）求證：；（2）若，求的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)定理、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)垂直定義可得，從而可得，進(jìn)而可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而利用等量代換可得，即可解答；（2）連接，則，所以，而，即可證明，得，求得，由勾股定理得，則，所以的半徑是．【小問(wèn)1詳解】證明：連接，與相切于點(diǎn)，，，，，，，，；【小問(wèn)2詳解】解：連接，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的半徑是．23.某臨街店鋪在窗戶上方安裝如圖所示的遮陽(yáng)棚，其側(cè)面如圖所示，遮陽(yáng)棚展開(kāi)長(zhǎng)度，遮陽(yáng)棚前端自然下垂邊的長(zhǎng)度，遮陽(yáng)棚固定點(diǎn)距離地面高度，遮陽(yáng)棚與墻面的夾角．如圖所示，靠墻放置一張圓桌，高度，直徑，當(dāng)太陽(yáng)光線與地面的夾角時(shí)，請(qǐng)問(wèn)桌子是否被曬到？（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】桌子曬不到，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是把所給的所有線段都整理到直角三角形或矩形中．在直角三角形中，利用的三角函數(shù)值得到、的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，再根據(jù)的三角函數(shù)值求得的長(zhǎng)，然后求得的長(zhǎng)，再和桌子的半徑比較后可判斷陽(yáng)光能否照到桌子上．【詳解】解：如圖，作于，于，延長(zhǎng)交于，則，由題意知：，，∴四邊形，四邊形是矩形，由題意得：，在中，∵，，∴，，∴，∴，延長(zhǎng)交于，交于，由題意知：，，∴，，∴四邊形，四邊形是矩形，∴，，∴，在中，，∴，∵，∴桌子曬不到．24.如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)表達(dá)式；（2）將線段向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到對(duì)應(yīng)線段，連接，．①如圖，當(dāng)點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)圖像上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)，求的值；②在①的條件下，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）①；②存在，點(diǎn)坐標(biāo)為或或【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在直線上，可確定，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)中求出的值即可；（2）①先確定，再根據(jù)平移的性質(zhì)及函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出，繼而得到，，即可得出結(jié)論；②設(shè)，分三種情況討論即可．【小問(wèn)1詳解】解：∵點(diǎn)在直線上，∴，∴，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，∴，∴，∴反比例函數(shù)表達(dá)式為；【小問(wèn)2詳解】①∵直線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，得，∴，∵將線段向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到對(duì)應(yīng)線段，且點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖像上，軸，當(dāng)時(shí)，得：，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，得：，∴，，∴，∴；②在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．理由