北京市昌平區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

④三、解答題(本大題共6小題，共85分)（16）（共13分）解：（Ⅰ）連結(jié)，設(shè)．因?yàn)樗倪呅螢檎叫危詾橹悬c(diǎn)．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且．由已知，且，所以．所以四邊形為平行四邊形．所以，即．因?yàn)槠矫妫矫?，所?/平面．5分（Ⅱ）因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以．所以兩兩垂直．如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，所以，所以．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得即取，得．設(shè)直線與平面所成角為，則.即直線與平面所成角的正弦值為．13分（共13分）解：（Ⅰ）因?yàn)?，由正弦定理，?因?yàn)樵凇髦校?所以.所以.因?yàn)?，所?6分（Ⅱ）選條件②:由余弦定理，得.解得或.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.13分條件③:因?yàn)?，所以為鈍角.所以.由，得.因?yàn)?，所?13分（共14分）解：（Ⅰ）設(shè)“從短視頻平臺(tái)瀏覽用戶中隨機(jī)選取人，此人為購(gòu)買(mǎi)景區(qū)門(mén)票用戶”為事件，則用頻率估計(jì)概率，．3分（Ⅱ）設(shè)“從官方網(wǎng)站瀏覽平臺(tái)用戶中隨機(jī)選取1人，此人為購(gòu)買(mǎi)景區(qū)門(mén)票用戶”為事件，則用頻率估計(jì)概率，．由題意，的所有可能取值為，且，，，．所以隨機(jī)變量的分布列為期望為．11分（Ⅲ）官方網(wǎng)站平臺(tái)的凈利潤(rùn)為（元），短視頻平臺(tái)的凈利潤(rùn)為（元）．所以該景區(qū)應(yīng)選擇官方網(wǎng)站平臺(tái)繼續(xù)加大廣告宣傳費(fèi)用的投入力度．14分（共15分）解：（Ⅰ）橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以解得.則橢圓的方程為.5分（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線方程為.由得..設(shè)，則.直線,直線,在直線方程中，令，得.直線.由得.同理得.所以，即點(diǎn)為線段中點(diǎn).所以點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.15分（共15分）解：（Ⅰ）函數(shù)，所以.依題意，，解得.5分（Ⅱ）函數(shù)，所以.令，則，記兩根分別為，且，.列表極大值極小值所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.11分（Ⅲ）函數(shù).令，得或.所以是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).下面只要研究零點(diǎn)情況.由（I）知，且，即.又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).又因?yàn)椋?，且函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，存在唯一的，使.同理，又因?yàn)椋?，且函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，存在唯一的，使.所以函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，，.綜上函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，，.15分（共15分）解：（Ⅰ）滿足條件的數(shù)列為：或．（答案不唯一）4分（Ⅱ）（?。┮?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，，且．設(shè)，.所以.所以由排列組合可知數(shù)列有項(xiàng).因?yàn)椋?所以數(shù)列中沒(méi)有相等的項(xiàng).對(duì)于數(shù)列中的任意兩項(xiàng)設(shè),,則.由得為的倍數(shù).即數(shù)列中任意兩項(xiàng)的差為的倍數(shù).因?yàn)閿?shù)列是將的所有可能取值從小到大排列構(gòu)成的數(shù)列，所以.計(jì)算得數(shù)列中的最小項(xiàng)為,數(shù)列中的最大項(xiàng)為..所以數(shù)列中.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.11分(ii)當(dāng)時(shí)，由（i）可得，數(shù)列中的所有項(xiàng)的和.所以，，，，，，，.當(dāng)時(shí)，若集合，對(duì)于，則不存在滿足要求；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，存在，且,使得能被整除，因此對(duì)