《函數(shù)單調(diào)性北師大》課件

函數(shù)單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的定義定義1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)任意兩個(gè)自變量x1和x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，則稱f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞增函數(shù).定義2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)任意兩個(gè)自變量x1和x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，則稱f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)遞減函數(shù).函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)單調(diào)性保持如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)的，那么在這個(gè)區(qū)間上，它的反函數(shù)也是單調(diào)的，且單調(diào)性相同。單調(diào)性疊加如果函數(shù)f(x)和g(x)在某個(gè)區(qū)間上都是單調(diào)遞增（遞減）函數(shù)，那么它們的和、差、積也是單調(diào)遞增（遞減）函數(shù)。單調(diào)性組合如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)遞增（遞減）函數(shù)，而g(x)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)遞減（遞增）函數(shù)，那么它們的復(fù)合函數(shù)f(g(x))也是單調(diào)遞增（遞減）函數(shù)。單調(diào)遞增函數(shù)定義在定義域內(nèi)，當(dāng)自變量x的值增大時(shí)，函數(shù)值y也隨之增大，則稱該函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)。圖像單調(diào)遞增函數(shù)的圖像從左到右是向上傾斜的，即函數(shù)圖像上的點(diǎn)，從左到右，縱坐標(biāo)越來(lái)越高。性質(zhì)單調(diào)遞增函數(shù)的性質(zhì)可以幫助我們理解和分析函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而解決一些實(shí)際問(wèn)題。單調(diào)遞減函數(shù)定義對(duì)于定義域內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1和x2，若x1

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x2，則有f(x1)

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f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)。圖像單調(diào)遞減函數(shù)的圖像從左到右下降，斜率始終為負(fù)。例子函數(shù)y=-x和y=1/x(x>0)都是單調(diào)遞減函數(shù)。單調(diào)性判定定理1定理1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的導(dǎo)數(shù)f'(x)>0，則f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增。2定理2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的導(dǎo)數(shù)f'(x)<0，則f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減。3定理3如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的導(dǎo)數(shù)f'(x)=0，則f(x)在[a,b]上為常數(shù)。例題1:判斷函數(shù)單調(diào)性1定義滿足單調(diào)性定義的條件2性質(zhì)利用單調(diào)性的性質(zhì)簡(jiǎn)化判斷過(guò)程3定理利用單調(diào)性判定定理進(jìn)行判斷例題2:確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1步驟1:求導(dǎo)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2步驟2:解不等式令導(dǎo)數(shù)大于0，解出不等式，得到函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間3步驟3:解不等式令導(dǎo)數(shù)小于0，解出不等式，得到函數(shù)單調(diào)遞減的區(qū)間確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，需要先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性。在導(dǎo)數(shù)大于0的區(qū)間，函數(shù)單調(diào)遞增；在導(dǎo)數(shù)小于0的區(qū)間，函數(shù)單調(diào)遞減。單調(diào)函數(shù)的基本特征方向性單調(diào)函數(shù)在定義域內(nèi)，要么一直上升，要么一直下降。唯一性單調(diào)函數(shù)的圖像與任何水平直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)。單調(diào)函數(shù)的應(yīng)用工程設(shè)計(jì)例如，在橋梁設(shè)計(jì)中，我們可以利用單調(diào)函數(shù)來(lái)確定最佳的橋梁形狀，以確保橋梁的穩(wěn)定性和安全性。數(shù)據(jù)分析單調(diào)函數(shù)可以用于分析數(shù)據(jù)趨勢(shì)，例如，我們可以使用單調(diào)函數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)股票價(jià)格的走勢(shì)。優(yōu)化問(wèn)題在許多優(yōu)化問(wèn)題中，我們需要找到函數(shù)的極值，而單調(diào)函數(shù)可以幫助我們快速找到函數(shù)的極值。最大值和最小值1最大值函數(shù)在定義域內(nèi)取到的最大值2最小值函數(shù)在定義域內(nèi)取到的最小值局部最大值和局部最小值局部最大值在一個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)值f(x)大于它在該區(qū)間內(nèi)的所有其他點(diǎn)上的函數(shù)值，則稱f(x)為函數(shù)的局部最大值。局部最小值在一個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)值f(x)小于它在該區(qū)間內(nèi)的所有其他點(diǎn)上的函數(shù)值，則稱f(x)為函數(shù)的局部最小值。例題3:求函數(shù)的最大值和最小值確定函數(shù)定義域首先，要明確函數(shù)定義域，因?yàn)橹挥性诙x域內(nèi)才能討論函數(shù)的最大值和最小值。判斷函數(shù)的單調(diào)性利用單調(diào)性判定定理或?qū)?shù)，判斷函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性。確定函數(shù)的極值根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的極值點(diǎn)，并計(jì)算極值。比較極值和端點(diǎn)值比較函數(shù)的極值和定義域端點(diǎn)處的函數(shù)值，確定函數(shù)的最大值和最小值。應(yīng)用:單調(diào)性與最值問(wèn)題利用函數(shù)單調(diào)性，可以判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最大值或最小值。在實(shí)際應(yīng)用中，很多問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，例如尋找最優(yōu)方案或最優(yōu)策略。通過(guò)分析函數(shù)的單調(diào)性，可以找到函數(shù)的最大值或最小值，并解決實(shí)際問(wèn)題。注意事項(xiàng)1定義域在判斷函數(shù)單調(diào)性之前，一定要先確定函數(shù)的定義域，因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)性是在其定義域內(nèi)討論的。2單調(diào)區(qū)間函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，并包含區(qū)間的端點(diǎn)。3特殊情況對(duì)于一些特殊的函數(shù)，例如常數(shù)函數(shù)，其在整個(gè)定義域內(nèi)都是單調(diào)的，但其單調(diào)區(qū)間不是一個(gè)區(qū)間，而是一個(gè)點(diǎn)。單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性。導(dǎo)數(shù)為正如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為正，則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增。導(dǎo)數(shù)為負(fù)如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為負(fù)，則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減。例題4:利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性1步驟1:求導(dǎo)數(shù)首先，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。這將幫助我們了解函數(shù)的斜率變化情況。2步驟2:求解導(dǎo)數(shù)等于零或不存在的點(diǎn)找到導(dǎo)數(shù)等于零或不存在的點(diǎn)，這些點(diǎn)稱為臨界點(diǎn)。這些點(diǎn)可能代表函數(shù)單調(diào)性的變化點(diǎn)。3步驟3:確定函數(shù)單調(diào)性在每個(gè)臨界點(diǎn)之間，測(cè)試導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性。如果導(dǎo)數(shù)為正，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。單調(diào)遞增函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1導(dǎo)數(shù)為正如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則該區(qū)間內(nèi)所有點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都為正數(shù)。2導(dǎo)數(shù)恒大于0導(dǎo)數(shù)為正不意味著函數(shù)一定單調(diào)遞增，還需要滿足導(dǎo)數(shù)恒大于0。3單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是判斷函數(shù)單調(diào)性的重要工具，但并非所有單調(diào)遞增函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都恒大于0。單調(diào)遞減函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)小于0單調(diào)遞減函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)恒小于0。即f'(x)<0，對(duì)任意的x都成立。斜率為負(fù)這意味著函數(shù)的切線斜率始終為負(fù)，函數(shù)圖形在定義域內(nèi)始終向下傾斜。利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求導(dǎo)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)。分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)討論導(dǎo)函數(shù)在定義域上的符號(hào)，并找出導(dǎo)函數(shù)為零或不存在的點(diǎn)。確定單調(diào)區(qū)間根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化，確定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間。例題5:利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值1步驟一：求導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2步驟二：求駐點(diǎn)找到導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)3步驟三：判斷極值利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化判斷極值4步驟四：確定最大值和最小值比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用解題技巧結(jié)合函數(shù)的圖像、性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)進(jìn)行綜合分析。策略選擇根據(jù)題目的具體情況，靈活運(yùn)用不同的方法。練習(xí)鞏固多做練習(xí)，熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用。復(fù)習(xí)與思考回顧要點(diǎn)回顧函數(shù)單調(diào)性的概念、性質(zhì)、判定方法以及應(yīng)用。練習(xí)鞏固通過(guò)練習(xí)習(xí)題，加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解和應(yīng)用。小結(jié)單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，它可以幫助我們理解函數(shù)的變化趨勢(shì)。判定定理利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性是常用的方法，它可以簡(jiǎn)化判斷過(guò)程。應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性在求函數(shù)的最值、解不等式等方面都有廣泛的應(yīng)用。拓展思考深入探索除了學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性概