2019屆廣東專版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題6空間與圖形6.3解直角三角形試卷部分講義

第六章空間與圖形6.3解直角三角形中考數(shù)學(xué)

(廣東專用)考點(diǎn)一

銳角三角函數(shù)A組2014-2018年廣東中考題組五年中考1.(2016廣東,8,3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,3),那么cosα的值是

()

A.

B.

C.

D.

答案

D過點(diǎn)A作AB垂直x軸于B,則AB=3,OB=4.由勾股定理得OA=5.∴cosα=

=

.故選D.

2.(2014廣州,3,3分)如圖,在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,

則tanA=()

A.

B.

C.

D.

答案

D∵AB=3,BC=4,∠ABC=90°,∴tanA=

=

.故選D.3.(2018廣州,12,3分)如圖,旗桿高AB=8m,某一時刻,旗桿影子長BC=16m,則tanC=

.

答案

解析由銳角三角函數(shù)正切的定義可知,在直角三角形中,銳角C的對邊與鄰邊的比叫做∠C

的正切,所以tanC=

=

.思路分析

由銳角三角函數(shù)正切的定義可得.易錯警示

求銳角三角函數(shù)時,容易弄錯角的對邊和鄰邊,例如此題一不小心就有可能求得tanC=

=2.4.(2015廣州,14,3分)如圖,△ABC中,DE是BC的垂直平分線,DE交AC于點(diǎn)E,連接BE.若BE=9,BC

=12,則cosC=

.

答案

解析∵DE是BC的垂直平分線,∴EC=BE=9,CD=

BC=6.∴cosC=

=

=

.考點(diǎn)二

解直角三角形1.(2017深圳,11,3分)如圖,學(xué)校環(huán)保社成員想測量斜坡CD旁一棵樹AB的高度,他們先在點(diǎn)C處

測得樹頂B的仰角為60°,然后在坡頂D處測得樹頂B的仰角為30°,已知斜坡CD的長度為20m,

DE的長為10m,則樹AB的高度是

()

A.20

mB.30mC.30

mD.40m答案

B在Rt△CDE中,∵∠DEC=90°,CD=20m,DE=10m,∴∠DCE=30°,EC=20cos30°=10

m,設(shè)AC=xm,AB=ym,在Rt△ABC中,

=tan60°=

,①在Rt△BDF中,

=tan30°=

,②由①②得y=30,故選B.2.(2017廣州,14,3分)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=15,tanA=

,則AB=

.

答案17解析在Rt△ABC中,∵tanA=

=

,BC=15,∴AC=8,∴AB=

=

=17.3.(2016廣州,22,12分)如圖,某無人機(jī)于空中A處探測到目標(biāo)B,D,從無人機(jī)上看目標(biāo)B,D的俯角

分別為30°,60°,此時無人機(jī)的飛行高度AC為60m,隨后無人機(jī)從A處繼續(xù)水平飛行30

m到達(dá)A'處.(1)求A,B之間的距離;(2)求在A'處從無人機(jī)上看目標(biāo)D的俯角的正切值.

解析(1)如圖1,∵AA'∥BC,∴∠B=∠1=30°,∴在Rt△ABC中,AC=

AB=60m,∴AB=120m.

圖1(2)∵∠DAC=90°-∠EAD=90°-60°=30°,∴在Rt△ADC中,tan∠DAC=

,∴tan30°=

,即

=

,∴DC=20

m.如圖2,連接A'D,過點(diǎn)A'作A'F⊥BC的延長線于點(diǎn)F.(備注:過點(diǎn)D作AA'的垂線,解法一樣)∵AA'∥BC,AC⊥BC,∴A'F=AC=60m,CF=AA'=30

m,∠2=∠3.∴DF=DC+CF=20

+30

=50

(m),∴在Rt△A'DF中,tan∠3=

=

=

,∴tan∠2=tan∠3=

.

圖2思路分析(1)求出∠B,然后解直角三角形.(2)構(gòu)造Rt△A'DF,然后求DF及A'F的長,得∠A'DF

的正切值.再根據(jù)平行線的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為∠AA'D的正切值.解題關(guān)鍵正確構(gòu)造直角三角形,合理運(yùn)用直角三角形的邊、角關(guān)系.考點(diǎn)一

銳角三角函數(shù)B組2014-2018年全國中考題組1.(2018天津,2,3分)cos30°的值等于

()A.

B.

C.1

D.

答案

B根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可知,cos30°=

,故選B.2.(2017云南,11,4分)sin60°的值為

()A.

B.

C.

D.

答案

B

sin60°=

,故選B.3.(2015內(nèi)蒙古包頭,4,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,若斜邊AB是直角邊BC的3倍,則tanB的值是

()A.

B.3

C.

D.2

答案

D在Rt△ABC中,設(shè)BC=x(x>0),則AB=3x,∴AC=

=2

x,∴tanB=

=2

.故選D.4.(2017哈爾濱,8,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,則cosB的值為

()A.

B.

C.

D.

答案

A由勾股定理知,BC=

,則cosB=

=

,故選A.考點(diǎn)二

解直角三角形1.(2016重慶,11,4分)某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進(jìn)行測量大樹CD高度的綜合實(shí)踐活動.如圖,在點(diǎn)A

處測得直立于地面的大樹頂端C的仰角為36°.然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡頂B

處,然后沿水平方向行走6米至大樹底端D處,斜面AB的坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么大樹CD的

高度約為(參考數(shù)據(jù):sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)

()

A.8.1米

B.17.2米

C.19.7米

D.25.5米答案

A作BF⊥AE于F,如圖所示,

易知四邊形BDEF為矩形,則FE=BD=6米,DE=BF,∵斜面AB的坡度i=1∶2.4,∴AF=2.4BF,設(shè)BF=x米,則AF=2.4x米,在Rt△ABF中,x2+(2.4x)2=132,解得x=5(舍負(fù)),∴DE=BF=5米,AF=12米,∴AE=AF+FE=18米,在Rt△ACE中,CE=AE·tan36°≈18×0.73=13.14米,∴CD=CE-DE=13.14-5≈8.1米,故選A.2.(2015遼寧沈陽,16,4分)如圖,正方形ABCD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形BEFG,EF與AD

相交于點(diǎn)H,延長DA交GF于點(diǎn)K,若正方形ABCD的邊長為

,則AK=

.

答案2

-3解析如圖,延長BA交GF于點(diǎn)N.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠GBN=∠EBC=30°,GB=AB=

.在Rt△GBN中,∵GB=

,∠GBN=30°,∴BN=

=

=2,∴AN=BN-AB=2-

.∵∠NAK=∠G=90°,∴∠KNA+∠NKA=90°,∠KNA+∠GBN=90°,∴∠NKA=∠GBN=30°(同角的

余角相等).在Rt△KAN中,∵AN=2-

,∠NKA=30°,∴AK=

=

=2

-3.

3.(2017四川德陽,15,3分)如圖所示,某攔水大壩的橫斷面為梯形ABCD,AE、DF為梯形的高,其

中迎水坡AB的坡角α=45°,坡長AB=6

米,背水坡CD的坡度i=1∶

(i為DF與FC的比值),則背水坡CD的坡長為

米.

答案12解析∵α=45°,AB=6

米,∴AE=6

×sin45°=6米,∵i=1∶

=DF∶FC,∴tanC=

=

,∴∠C=30°,則DC=2DF=2AE=12米.4.(2018湖北黃岡,21,7分)如圖,在大樓AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,樓高AB=60米,在

斜坡下的點(diǎn)C處測得樓頂B的仰角為60°,在斜坡上的D處測得樓頂B的仰角為45°,其中點(diǎn)A,C,E

在同一直線上.(1)求坡底C點(diǎn)到大樓距離AC的值;(2)求斜坡CD的長度.

解析(1)在Rt△ABC中,AB=60米,∠ACB=60°,∴AC=

=20

米.(2)過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,則四邊形AEDF為矩形,∴AF=DE,DF=AE.

設(shè)CD=x米,在Rt△CDE中,DE=

x米,CE=

x米,在Rt△BDF中,∠BDF=45°,∴BF=DF=AB-AF=

米,∵DF=AE=AC+CE,∴20

+

x=60-

x,解得x=80

-120,即CD=(80

-120)米.5.(2018新疆,20,10分)如圖,在數(shù)學(xué)活動課上,小麗為了測量校園內(nèi)旗桿AB的高度,站在教學(xué)樓

的C處測得旗桿底端B的俯角為45°,測得旗桿頂端A的仰角為30°.已知旗桿與教學(xué)樓的距離BD

=9m,請你幫她求出旗桿的高度(結(jié)果保留根號).

解析過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E.

由題意知AB⊥DB,CD⊥DB,∴∠CEB=∠EBD=∠CDB=90°.又∠BCE=45°,∴EB=EC,故四邊形CDBE是正方形.又∵BD=9m,∴CE=BE=BD=9m.

(5分)在Rt△ACE中,∠AEC=90°,∠ACE=30°,∴AE=CE·tan∠ACE=9tan30°=3

m,∴AB=AE+BE=(9+3

)m.答:旗桿的高為(9+3

)m.

(10分)6.(2018內(nèi)蒙古呼和浩特,21,7分)如圖,一座山的一段斜坡BD的長度為600米,且這段斜坡的坡度

i=1∶3(沿斜坡從B到D時,其升高的高度與水平前進(jìn)的距離之比).已知在地面B處測得山頂A的

仰角為33°,在斜坡D處測得山頂A的仰角為45°.求山頂A到地面BC的高度AC是多少米.(結(jié)果用

含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示即可)

解析過點(diǎn)D作DH⊥BC,垂足為H.

∵斜坡BD的坡度i=1∶3,∴DH∶BH=1∶3.在Rt△BDH中,BD=600,∴DH2+(3DH)2=6002,∴DH=60

,∴BH=180

.設(shè)AE=x米,在Rt△ADE中,∠ADE=45°,∴DE=AE=x,又HC=DE,EC=DH,∴HC=x,EC=60

,在Rt△ABC中,tan33°=

=

,∴x=

,∴AC=AE+EC=

+60

=

.答:山頂A到地面BC的高度為

米.7.(2017新疆烏魯木齊,21,10分)一艘漁船位于港口A的北偏東60°方向,距離港口20海里的B處,

它沿北偏西37°方向航行至C處突然出現(xiàn)故障,在C處等待救援,B、C之間的距離為10海里,救援

艇從港口A出發(fā)20分鐘到達(dá)C處,求救援艇的航行速度.(sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,

≈1.732,結(jié)果取整數(shù))

解析如圖所示.

BD⊥AD,BE⊥CE,CF⊥AF,由題意知,∠FAB=60°,∠CBE=37°,∴∠BAD=30°,∵AB=20海里,∴BD=10海里.

(1分)在Rt△ABD中,AD=

=10

≈10×1.732=17.32海里.

(3分)在Rt△BCE中,sin37°=

,∴CE=BC·sin37°≈10×0.6=6海里.

(5分)∵cos37°=

,∴EB=BC·cos37°≈10×0.8=8海里.

(7分)∵EF=AD=17.32海里,∴FC=EF-CE=11.32海里.AF=ED=EB+BD=18海里.在Rt△AFC中,AC=

=

≈21.26海里.

(9分)21.26÷

≈64海里/小時(21.26÷20≈1海里/分鐘).答:救援艇的航行速度是64海里/小時(1海里/分鐘).

(10分)8.(2016安徽,19,10分)如圖,河的兩岸l1與l2相互平行,A、B是l1上的兩點(diǎn),C、D是l2上的兩點(diǎn).某人

在點(diǎn)A處測得∠CAB=90°,∠DAB=30°,再沿AB方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)E(點(diǎn)E在線段AB上),測得∠DEB=60°,求C、D兩點(diǎn)間的距離.

解析如圖,過D作l1的垂線,垂足為F.

∵∠DEB=60°,∠DAB=30°,∴∠ADE=∠DEB-∠DAB=30°,∴△ADE為等腰三角形,∴DE=AE=20(米).

(3分)在Rt△DEF中,EF=DE·cos60°=20×

=10(米).

(6分)∵DF⊥AF,∴∠DFB=90°,∴AC∥DF,已知l1∥l2,∴CD∥AF,∴四邊形ACDF為矩形.∴CD=AF=AE+EF=30(米).答:C、D兩點(diǎn)間的距離為30米.

(10分)考點(diǎn)一

銳角三角函數(shù)C組

教師專用題組1.(2015天津,2,3分)cos45°的值等于

()A.

B.

C.

D.

答案

B本題考查特殊銳角的三角函數(shù)值.cos45°=

.2.(2014甘肅蘭州,5,4分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,那么cosA的值等于

()

A.

B.

C.

D.

答案

D∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,∴AB=

=

=5.∴cosA=

=

,故選D.3.(2014貴州貴陽,6,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,則sinA的值為

()A.

B.

C.

D.

答案

D在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,所以AB=

=13,所以sinA=

=

,故選D.4.(2016福建福州,18,4分)如圖,6個形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格,菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).

已知菱形的一個角(∠O)為60°,A,B,C都在格點(diǎn)上,則tan∠ABC的值是

.

答案

解析如圖,連接EA,EC,易知E、C、B三點(diǎn)共線.設(shè)小菱形的邊長為a,由題意得∠AEF=30°,∠BEF=60°,AE=

a,EB=2a,

∴∠AEB=90°,∴tan∠ABC=

=

=

.5.(2018貴州貴陽,18,8分)如圖①,在Rt△ABC中,以下是小亮探索

與

之間關(guān)系的方法:∵sinA=

,sinB=

,∴c=

,c=

,∴

=

.根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識,在圖②的銳角△ABC中,探索

,

,

之間的關(guān)系,并寫出探索過程.

解析如圖1,過點(diǎn)A作BC邊上的高AD,

圖1∵在Rt△ABD中,sinB=

,在Rt△ACD中,sinC=

,∴AD=csinB,AD=bsinC,∴csinB=bsinC,∴

=

.同理,如圖2,過點(diǎn)B作AC邊上的高BE,

圖2∵在Rt△ABE中,sinA=

,在Rt△BCE中,sinC=

,∴BE=csinA,BE=asinC,∴csinA=asinC,∴

=

.綜上,

=

=

.考點(diǎn)二

解直角三角形1.(2015江蘇蘇州,10,3分)如圖,在一筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站,AB=2km,從A測得船C

在北偏東45°的方向,從B測得船C在北偏東22.5°的方向,則船C離海岸線l的距離(即CD的長)為

()

A.4kmB.(2+

)kmC.2

kmD.(4-

)km答案

B如圖,在Rt△ABE中,∠AEB=45°,∴AB=EB=2km,∴AE=2

km,∵∠EBC=22.5°,∴∠ECB=∠AEB-∠EBC=22.5°,∴∠EBC=∠ECB,∴EB=EC=2km,∴AC=AE+EC=(2

+2)km.在Rt△ADC中,∠CAD=45°,∴AD=DC=(2+

)km.即點(diǎn)C到l的距離為(2+

)km,故選B.

2.(2014廣西南寧,11,3分)如圖,在?ABCD中,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),延長BC到點(diǎn)F,使CF∶BC=1∶2,

連接DF,EC.若AB=5,AD=8,sinB=

,則DF的長等于

()

A.

B.

C.

D.2

答案

C∵CF∶BC=1∶2,AD=BC=8,∴BF=8+4=12.過D作DG⊥BF,交BF于點(diǎn)G.

∵AB∥CD,∴∠B=∠DCF,∴sinB=sin∠DCF=

.在Rt△DCG中,∵CD=5,∴DG=4,CG=3,∴FG=BF-BG=12-(8+3)=1,∴DF=

=

=

.3.(2014江蘇蘇州,9,3分)如圖,港口A在觀測站O的正東方向,OA=4km.某船從港口A出發(fā),沿北

偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處,此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向,則該

船航行的距離(即AB的長)為

()

A.4kmB.2

kmC.2

kmD.(

+1)km答案

C過A作OB邊的垂線AD,垂足為D,易知∠BOA=30°,∠BAD=45°,在Rt△OAD中,AD=

OAsin∠DOA=4sin30°=2km,在Rt△ABD中,AB=

=

=2

km,故選C.

4.(2015江蘇連云港,16,3分)如圖,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=90°,直線l1∥l2∥l3,l1與l2之間

距離是1,l2與l3之間距離是2,且l1,l2,l3分別經(jīng)過點(diǎn)A,B,C,則邊AC的長為

.

答案

解析過B作l1的垂線與l1和l3分別相交于D、E兩點(diǎn),得到Rt△ABD與Rt△BCE,BD=1,BE=2,DE=

3.易求得∠ABD=∠BCE,∵∠ADB=∠BEC=90°,∴△ABD∽△BCE,∴

=

.在Rt△ABC中,∠BAC=60°,∴tan60°=

=

.∴

=

,∴AD=

.在Rt△ABD中,由勾股定理得AB=

=

=

.∴AC=

=

=

.

5.(2014廣西南寧,17,3分)如圖,一漁船由西往東航行,在A點(diǎn)測得海島C位于北偏東60°的方向,

前進(jìn)20海里到達(dá)B點(diǎn),此時,測得海島C位于北偏東30°的方向,則海島C到航線AB的距離CD等于

海里.

答案10

解析設(shè)CD的長為x海里,由題意知∠CBD=60°,∠CAB=30°,則AD=

x海里,BD=

x海里,∴

x+20=

x,解得x=10

.∴CD的長為10

海里.6.(2014浙江寧波,17,4分)為解決停車難的問題,在如圖一段長56米的路段開辟停車位,每個車

位是長5米寬2.2米的矩形,矩形的邊與路的邊緣成45°角,那么這個路段最多可以劃出

個這樣的停車位.(

≈1.4)

答案17解析如圖,BC=2.2×cos45°=2.2×

≈1.54米,

CE=5×sin45°=5×

≈3.5米,BE=BC+CE=5.04米,EF=2.2÷sin45°=2.2÷

≈3.14米,(56-5.04)÷3.14+1=50.96÷3.14+1≈16+1=17(個).故這個路段最多可以劃出17個這樣的停車位.7.(2018江西,19,8分)圖1是一種折疊門,由上下軌道和兩扇長寬相等的活頁門組成,整個活頁門

的右軸固定在門框上,通過推動左側(cè)活頁門開關(guān).圖2是其俯視簡化示意圖,已知軌道AB=120

cm,兩扇活頁門的寬OC=OB=60cm,點(diǎn)B固定,當(dāng)點(diǎn)C在AB上左右運(yùn)動時,OC與OB的長度不變

(所有結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).(1)若∠OBC=50°,求AC的長;(2)當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A向右運(yùn)動60cm時,求O在此過程中運(yùn)動的路徑長.參考數(shù)據(jù):sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19,π取3.14.解析(1)如圖,過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D,

在Rt△OBD中,BD=OB·cos∠OBD=60×cos50°≈60×0.64=38.4(cm).∵OC=OB,∴BC=2BD.∴AC=AB-BC=120-2×38.4=43.2(cm).(2)如圖,

∵AB=120cm,AC=60cm,∴BC=AB-AC=60cm.∵OC=OB=60cm,∴BC=OC=OB,∴△OBC為等邊三角形,∴∠OBC=60°.∵點(diǎn)O的運(yùn)動路徑為?,∴點(diǎn)O運(yùn)動的路徑長為

=20π=62.8(cm).思路分析

(1)過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D,先根據(jù)∠OBC的余弦求出BD,然后根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)求得BC,進(jìn)而求得AC的長;(2)點(diǎn)O運(yùn)動路徑是以點(diǎn)B為圓心,OB長為半徑的圓弧,先確定當(dāng)

點(diǎn)C從點(diǎn)A向右運(yùn)動60cm后∠OBC的大小,進(jìn)而利用弧長公式求出結(jié)果.解題關(guān)鍵

解決本題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,根據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型,正確

理解點(diǎn)O的運(yùn)動路徑.8.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子體操特有的一個競技項(xiàng)目,其比賽器材由高、低兩根平

行杠及若干支架組成,運(yùn)動員可根據(jù)自己的身高和習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的距

離.某興趣小組根據(jù)高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問題,請你解答.如圖所示,底座上A,B兩點(diǎn)間的距離為90cm.低杠上點(diǎn)C到直線AB的距離CE的長為155cm,高

杠上點(diǎn)D到直線AB的距離DF的長為234cm,已知低杠的支架AC與直線AB的夾角∠CAE為82.4°,高杠的支架BD與直線AB的夾角∠DBF為80.3°.求高、低杠間的水平距離CH的長.(結(jié)果精確到1cm.參考數(shù)據(jù):sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)解析在Rt△CAE中,AE=

=

≈

≈20.7.

(3分)在Rt△DBF中,BF=

=

≈

=40.

(6分)∴EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7≈151.∵四邊形CEFH為矩形,∴CH=EF=151.即高、低杠間的水平距離CH的長約是151cm.

(9分)思路分析

根據(jù)Rt△CAE和Rt△DBF中的邊和角的數(shù)值,用正切函數(shù)分別求得AE,BF的長度,

得EF=AE+AB+BF,由矩形的性質(zhì)可知CH=EF,可以求出問題的答案.方法總結(jié)

解直角三角形的應(yīng)用問題,一般根據(jù)題意抽象出幾何圖形,結(jié)合所給的線段或角,借

助邊角關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題,若幾何圖形中無直角三角形,則需要根據(jù)條件構(gòu)造直角三

角形,再解直角三角形,求出實(shí)際問題的答案.9.(2018云南昆明,19,7分)小婷在放學(xué)路上,看到隧道上方有一塊宣傳“中國——南亞博覽會”

的豎直標(biāo)語牌CD,她在A點(diǎn)測得標(biāo)語牌頂端D處的仰角為42°,測得隧道底端B處的俯角為30°

(B,C,D在同一條直線上),AB=10m,隧道高6.5m(即BC=6.5m),求標(biāo)語牌CD的長(結(jié)果保留小數(shù)

點(diǎn)后一位).(參考數(shù)據(jù):sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,

≈1.73)

解析如圖,過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E,

(1分)

由題意得∠DAE=42°,∠EAB=30°,在Rt△ABE中,∠AEB=90°,AB=10,∠EAB=30°,∴BE=

AB=

×10=5.

(2分)∵cos∠EAB=

,∴AE=AB·cos30°=10×

=5

.

(4分)在Rt△DEA中,∠DEA=90°,∠DAE=42°,∵tan∠DAE=

,∴DE=AE·tan42°≈5

×0.90=

,

(5分)∴CD=BE+ED-BC=5+

-6.5≈6.3(m).

(6分)答:標(biāo)語牌CD的長約為6.3m.

(7分)思路分析

作AE⊥BD于點(diǎn)E,構(gòu)造直角△DEA和直角△ABE,解直角△DEA和直角△ABE,求得

BE,DE的長,進(jìn)而可求出CD的長度.10.(2018安徽,19,10分)為了測量豎直旗桿AB的高度,某綜合實(shí)踐小組在地面D處豎直放置標(biāo)桿

CD,并在地面上水平放置一個平面鏡E,使得B,E,D在同一水平線上,如圖所示.該小組在標(biāo)桿的

F處通過平面鏡E恰好觀測到旗桿頂A(此時∠AEB=∠FED).在F處測得旗桿頂A的仰角為39.3°,

平面鏡E的俯角為45°,FD=1.8米,問旗桿AB的高度約為多少米?(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù):tan39.3°≈0.82,tan84.3°≈10.02)

解析解法一:由題意知,∠AEB=∠FED=45°,∴∠AEF=90°.在Rt△AEF中,

=tan∠AFE=tan84.3°,在△ABE和△FDE中,∠ABE=∠FDE=90°,∠AEB=∠FED,∴△ABE∽△FDE,∴

=

=tan84.3°,∴AB=FDtan84.3°≈1.8×10.02=18.036≈18(米).答:旗桿AB的高度約為18米.

(10分)解法二:作FG⊥AB于點(diǎn)G,

由題意知,△ABE和△FDE均為等腰直角三角形,∴AB=BE,DE=FD=1.8,∴FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8.在Rt△AFG中,

=tan∠AFG=tan39.3°,即

=tan39.3°,解得AB=18.2≈18(米).答:旗桿AB的高度約為18米.

(10分)思路分析

思路一:由題意可確定∠AEF=90°,從而可推出△ABE∽△FDE,最后由相似三角形

中對應(yīng)邊的比相等求解;思路二:作FG⊥AB于點(diǎn)G,由題意可推出△ABE和△FDE均為等腰直

角三角形,在直角三角形AFG中由銳角三角函數(shù)求出AB.11.(2017陜西,20,7分)某市一湖的湖心島有一棵百年古樹,當(dāng)?shù)厝朔Q它為“鄉(xiāng)思柳”,不乘船不

易到達(dá),每年初春時節(jié),人們喜歡在“聚賢亭”觀湖賞柳.小紅和小軍很想知道“聚賢亭”與

“鄉(xiāng)思柳”之間的大致距離.于是,有一天,他們倆帶著測傾器和皮尺來測量這個距離.測量方

案如下:如圖,首先,小軍站在“聚賢亭”的A處,用測傾器測得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點(diǎn)的仰角為23°,此時測得小軍的眼睛距地面的高度AB為1.7米;然后,小軍在A處蹲下,用測傾器測得“鄉(xiāng)思

柳”頂端M點(diǎn)的仰角為24°,這時測得小軍的眼睛距地面的高度AC為1米.請你利用以上所測得

的數(shù)據(jù),計(jì)算“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的距離AN的長(結(jié)果精確到1米).(參考數(shù)據(jù):sin23°

≈0.3907,cos23°≈0.9205,tan23°≈0.4245,sin24°≈0.4067,cos24°≈0.9135,tan24°≈0.4452)解析作BD⊥MN,垂足為D,作CE⊥MN,垂足為E.設(shè)AN=x米,則BD=CE=x米.在Rt△MBD中,MD=x·tan23°米.在Rt△MCE中,ME=x·tan24°米.

(4分)

∵M(jìn)E-MD=DE=BC,∴x·tan24°-x·tan23°=1.7-1.∴x=

.∴x≈34.∴“聚賢亭”到“鄉(xiāng)思柳”之間的距離約為34米.

(7分)解后反思

解決此類問題的步驟如下:(1)根據(jù)題目中的已知條件,將實(shí)際問題抽象為解直角三

角形的數(shù)學(xué)問題,畫出平面幾何圖形,弄清已知條件中各量之間的關(guān)系;(2)若三角形是直角三

角形,根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算,若三角形不是直角三角形,可通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來

解決.解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問題關(guān)鍵是要根據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型,正確畫出圖形,找準(zhǔn)

三角形.12.(2017江西,17,6分)如圖1,研究發(fā)現(xiàn),科學(xué)使用電腦時,望向熒光屏幕畫面的“視線角”α約為

20°,而當(dāng)手指接觸鍵盤時,肘部形成的“手肘角”β約為100°.圖2是其側(cè)面簡化示意圖,其中視

線AB水平,且與屏幕BC垂直.(1)若屏幕上下寬BC=20cm,科學(xué)使用電腦時,求眼睛與屏幕的最短距離AB的長;(2)若肩膀到水平地面的距離DG=100cm,上臂DE=30cm,下臂EF水平放置在鍵盤上,其到地面

的距離FH=72cm.請判斷此時β是否符合科學(xué)要求的100°.

參考數(shù)據(jù):sin69°≈

,cos21°≈

,tan20°≈

,tan43°≈

,所有結(jié)果精確到個位

解析(1)如圖,∵AB⊥BC,∴∠B=90°.

在Rt△ABC中,α=20°,AB=

≈20÷

=55(cm).

(3分)(2)如圖,延長FE交DG于點(diǎn)I,

∵DG⊥GH,FH⊥GH,EF∥GH,∴IE⊥DG,∴四邊形GHFI是矩形,∴IG=FH,∴DI=DG-FH=100-72=28(cm).

(4分)在Rt△DEI中,sin∠DEI=

=

=

,∴∠DEI≈69°.

(5分)∴β=180°-69°=111°≠100°.∴此時β不符合科學(xué)要求的100°.

(6分)13.(2017河南,19,9分)如圖所示,我國兩艘海監(jiān)船A,B在南海海域巡航,某一時刻,兩船同時收到

指令,立即前往救援遇險(xiǎn)拋錨的漁船C.此時,B船在A船的正南方向5海里處,A船測得漁船C在其

南偏東45°方向,B船測得漁船C在其南偏東53°方向.已知A船的航速為30海里/小時,B船的航速

為25海里/小時,問C船至少要等待多長時間才能得到救援?

參考數(shù)據(jù):sin53°≈

,cos53°≈

,tan53°≈

,

≈1.41

解析過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB延長線于點(diǎn)D,則∠CDA=90°.

(1分)已知∠CAD=45°,設(shè)CD=x海里,則AD=CD=x海里.∴BD=AD-AB=(x-5)海里.

(3分)在Rt△BDC中,CD=BD·tan53°,即x=(x-5)·tan53°,∴x=

≈

=20.

(6分)∴BC=

=

≈20÷

=25海里.∴B船到達(dá)C船處約需時間:25÷25=1(小時).

(7分)在Rt△ADC中,AC=

x≈1.41×20=28.2海里,∴A船到達(dá)C船處約需時間:28.2÷30=0.94(小時).

(8分)而0.94<1,所以C船至少要等待0.94小時才能得到救援.

(9分)解題技巧

本題是解三角形兩種典型問題中的一種.以下介紹兩種典型問題:(1)如圖,當(dāng)BC=a時,設(shè)AD=x,則CD=

,BD=

.∵CD+BD=a,∴

+

=a,∴x=

.

(2)如圖,當(dāng)BC=a時,設(shè)AD=x,則BD=

,CD=

,∵CD-BD=a,∴

-

=a,∴x=

.14.(2016茂名,21,8分)如圖,在數(shù)學(xué)活動課中,小敏為了測量校園內(nèi)旗桿CD的高度,先在教學(xué)樓

的底端A點(diǎn)處,觀測到旗桿頂端C的仰角∠CAD=60°,然后爬到教學(xué)樓上的B處,觀測到旗桿底端

D的俯角是30°.已知教學(xué)樓AB高4米.(1)求教學(xué)樓與旗桿的水平距離AD;(

)(4分)(2)求旗桿CD的高度.(4分)

解析(1)∵在教學(xué)樓B點(diǎn)處觀測旗桿底部D處的俯角是30°,∴∠ADB=30°.

(1分)在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ADB=30°,AB=4米,

(2分)∴AD=

=

=4

(米).

(3分)因此,教學(xué)樓與旗桿的水平距離是4

米.

(4分)(也可先求∠ABD=60°,利用tan60°去計(jì)算得到結(jié)論)(2)∵在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=60°,AD=4

米,(5分)∴CD=AD·tan60°=4

×

=12(米).

(7分)因此,旗桿的高度是12米.

(8分)15.(2014廣東,20,7分)如圖,某數(shù)學(xué)興趣小組想測量一棵樹CD的高度.他們先在點(diǎn)A處測得樹頂

C的仰角為30°,然后沿AD方向前行10m到達(dá)B點(diǎn),在B處測得樹頂C的仰角為60°(A、B、D三點(diǎn)

在同一直線上).請你根據(jù)他們的測量數(shù)據(jù)計(jì)算這棵樹CD的高度(結(jié)果精確到0.1m).(參考數(shù)據(jù):

≈1.414,

≈1.732)

解析∵∠CAB=30°,∠CBD=60°,∴∠ACB=60°-30°=30°,∴∠CAB=∠ACB,∴BC=AB=10m.

(3分)在Rt△CBD中,sin60°=

,∴CD=BC·sin60°=10×

=5

≈8.7(m).答:這棵樹高約為8.7m.

(7分)16.(2016河南,19,9分)如圖,小東在教學(xué)樓距地面9米高的窗口C處,測得正前方旗桿頂部A點(diǎn)的

仰角為37°,旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45°.升旗時,國旗上端懸掛在距地面2.25米處.若國旗隨國歌

聲冉冉升起,并在國歌播放45秒結(jié)束時到達(dá)旗桿頂端,則國旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升?(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

解析過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,則DB=9.

(1分)在Rt△CBD中,∠BCD=45°,∴CD=

=9.

(3分)在Rt△ACD中,∠ACD=37°,∴AD=CD·tan37°≈9×0.75=6.75.

(6分)∴AB=AD+DB=6.75+9=15.75.

(7分)(15.75-2.25)÷45=0.3(米/秒).∴國旗應(yīng)以約0.3米/秒的速度勻速上升.

(9分)17.(2015浙江紹興,20,8分)如圖,從地面上的點(diǎn)A看一山坡上的電線桿PQ,測得桿頂端點(diǎn)P的仰

角是45°,向前走6m到達(dá)B點(diǎn),測得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別是60°和30°.(1)求∠BPQ的度數(shù);(2)求該電線桿PQ的高度(結(jié)果精確到1m).備用數(shù)據(jù):

≈1.7,

≈1.4.

解析延長PQ交直線AB于點(diǎn)C.

(1)∠BPQ=90°-60°=30°.(2)設(shè)PQ=xm,則QB=QP=x,在△BCQ中,BC=x·cos30°=

x,QC=

x,在△ACP中,CA=CP,∴6+

x=

x+x,x=2

+6,∴PQ=2

+6≈9,即該電線桿PQ的高度約為9m.18.(2015貴州遵義,21,8分)如圖是某兒童樂園為小朋友設(shè)計(jì)的滑梯平面圖.已知BC=4米,AB=6米,中間平臺寬度DE=1米,EN、DM、CB為三根垂直于AB的支柱,垂足分別為N、M、B,∠EAB=31°,DF⊥BC于F,∠CDF=45°.求DM和BC的水平距離BM.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)

解析設(shè)DF=x米,在Rt△DFC中,∠CDF=45°,∴CF=tan45°·DF=x米.

(2分)又∵CB=4米,∴BF=(4-x)米,

(3分)∵AB=6米,DE=1米,BM=DF=x米,∴AN=(5-x)米,EN=DM=BF=(4-x)米,

(4分)在Rt△ANE中,∠EAN=31°,EN=(4-x)米,AN=(5-x)米,∴tan31°=

=

≈0.60,

(6分)解得x=2.5.

(7分)答:DM和BC的水平距離BM為2.5米.

(8分)19.(2015上海,22,10分)如圖,MN表示一段筆直的高架道路,線段AB表示高架道路旁的一排居民

樓.已知點(diǎn)A到MN的距離為15米,BA的延長線與MN相交于點(diǎn)D,且∠BDN=30°.假設(shè)汽車在高架

道路上行駛時,周圍39米以內(nèi)會受到噪音的影響.(1)過點(diǎn)A作MN的垂線,垂足為點(diǎn)H.如果汽車沿著從M到N的方向在MN上行駛,當(dāng)汽車到達(dá)點(diǎn)P

處時,噪音開始影響這一排居民樓,那么此時汽車與點(diǎn)H的距離為多少米?(2)降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板.當(dāng)汽車行駛到點(diǎn)Q時,它與這一排居民樓

的距離QC為39米,那么對于這一排居民樓,高架道路旁安裝的隔音板至少需要多少米長?(精

確到1米)(參考數(shù)據(jù):

≈1.7)

解析(1)連接AP.由題意,知AH⊥MN,AH=15,AP=39.在Rt△APH中,由勾股定理得PH=36.答:此時汽車與點(diǎn)H的距離為36米.(2)由題意可知,PQ段高架道路旁需要安裝隔音板,QC⊥AB,∠QDC=30°,QC=39.在Rt△DCQ中,DQ=2QC=78.在Rt△ADH中,DH=

=15

.∴PQ=PH-DH+DQ=36-15

+78≈114-15×1.7=88.5≈89.答:高架道路旁安裝的隔音板至少需要89米長.20.(2014河南,19,9分)在中俄“海上聯(lián)合—2014”反潛演習(xí)中,我軍艦A測得潛艇C的俯角為30°,位于軍艦A正上方1000米的反潛直升機(jī)B測得潛艇C的俯角為68°.試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出潛艇C離開海平面的下潛深度.(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈2.5,

≈1.7)

解析過點(diǎn)C作CD⊥AB,交BA的延長線于點(diǎn)D,則AD即為潛艇C的下潛深度,根據(jù)題意得∠ACD=30°,∠BCD=68°.設(shè)AD=x米,則BD=BA+AD=(1000+x)米.在Rt△ACD中,CD=

=

=

x米.

(4分)在Rt△BCD中,BD=CD·tan68°(米).∴1000+x=

x·tan68°.

(7分)∴x=

≈

≈308.∴潛艇C離開海平面的下潛深度約為308米.

(9分)21.(2014湖北黃岡,23,7分)如圖,在南北方向的海岸線MN上,有A,B兩艘巡邏船,現(xiàn)均收到故障船

C的求救信號.已知A,B兩船相距100(

+1)海里,船C在船A的北偏東60°方向上,船C在船B的東南方向上,MN上有一觀測點(diǎn)D,測得船C正好在觀測點(diǎn)D的南偏東75°方向上.(1)分別求出A與C,A與D間的距離AC和AD(如果運(yùn)算結(jié)果有根號,請保留根號);(2)已知距觀測點(diǎn)D處100海里范圍內(nèi)有暗礁.若巡邏船A沿直線AC去營救船C,在去營救的途中

有無觸礁危險(xiǎn)?(參考數(shù)據(jù):

≈1.41,

≈1.73)

解析(1)如圖,過C作CE⊥AB于E.設(shè)AE=a海里,則BE=AB-AE=[100(

+1)-a]海里.在Rt△ACE中,∠AEC=90°,∠EAC=60°,∴AC=

=

=2a海里,CE=AE·tan60°=

a海里.在Rt△BCE中,BE=CE,∴100(

+1)-a=

a,∴a=100.∴AC=2a=200海里.在△ACD和△ABC中,∠ACB=180°-45°-60°=75°=∠ADC,∠CAD=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,∴

=

,即

=

.∴AD=200(

-1)海里.答:A與C間的距離AC為200海里,A與D間的距離AD為200(

-1)海里.

(2)如圖,過D作DF⊥AC于F,在Rt△ADF中,∠DAF=60°,∴DF=AD·sin60°=200(

-1)×

=100(3-

)≈127海里>100海里.∴船A沿直線AC航行,前往船C處途中無觸礁危險(xiǎn).22.(2014山東青島,20,8分)如圖,小明想測山高和索道的長度.他在B處仰望山頂A,測得仰角∠B

=31°,再往山的方向(水平方向)前進(jìn)80m至索道口C處,沿索道方向仰望山頂,測得仰角∠ACE=

39°.(1)求這座山的高度(小明的身高忽略不計(jì));(2)求索道AC的長(結(jié)果精確到0.1m).參考數(shù)據(jù):tan31°≈

,sin31°≈

,tan39°≈

,sin39°≈

.

解析(1)過點(diǎn)A作AD⊥BE于D,設(shè)山AD的高度為xm.

在Rt△ABD中,∠ADB=90°,tan31°=

,∴BD=

≈

=

xm.在Rt△ACD中,∠ADC=90°,tan39°=

,∴CD=

≈

=

xm.∵BC=BD-CD,∴

x-

x=80,解這個方程,得x=180.即山的高度為180m.

(6分)(2)在Rt△ACD中,∠ADC=90°,sin39°=

,∴AC=

≈

≈282.9(m).答:索道AC的長約為282.9m.

(8分)23.(2014天津,22,10分)解放橋是天津市的標(biāo)志性建筑之一,是一座全鋼結(jié)構(gòu)的部分可開啟的橋

梁.(1)如圖①,已知解放橋可開啟部分的橋面的跨度AB等于47m,從AB的中點(diǎn)C處開啟,則AC開啟

至A'C'的位置時,A'C'的長為

m;

(2)如圖②,某校數(shù)學(xué)興趣小組要測量解放橋的全長PQ,在觀景平臺M處測得∠PMQ=54°,沿河

岸MQ前行,在觀景平臺N處測得∠PNQ=73°.已知PQ⊥MQ,MN=40m,求解放橋的全長PQ(tan54°≈1.4,tan73°≈3.3,結(jié)果保留整數(shù)).解析(1)23.5.(2)如圖,根據(jù)題意知,∠PMQ=54°,∠PNQ=73°,∠PQM=90°,MN=40.∵在Rt△MPQ中,tan∠PMQ=

,∴PQ=MQ·tan54°.∵在Rt△NPQ中,tan∠PNQ=

,∴PQ=NQ·tan73°,∴MQ·tan54°=NQ·tan73°.又MQ=MN+NQ,∴(40+NQ)tan54°=NQ·tan73°,即NQ=

.∴PQ=NQ·tan73°=

≈

≈97(m).答:解放橋的全長PQ約為97m.24.(2014山西,21,7分)如圖,點(diǎn)A,B,C表示某旅游景區(qū)三個纜車站的位置,線段AB,BC表示連接纜

車站的鋼纜,已知A,B,C三點(diǎn)在同一鉛直平面內(nèi),它們的海拔AA',BB',CC'分別為110米,310米,710米,鋼纜AB的坡度i1=1∶2,鋼纜BC的坡度i2=1∶1,景區(qū)因改造纜車線路,需要從A到C直線架設(shè)

一條鋼纜,那么鋼纜AC的長度是多少米?(注:坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比)

解析如圖,過點(diǎn)A作AE⊥CC'于點(diǎn)E,交BB'于點(diǎn)F,過點(diǎn)B作BD⊥CC'于點(diǎn)D.

(1分)

則△AFB,△BDC和△AEC都是直角三角形,四邊形AA'B'F,BB'C'D和BFED都是矩形.

(2分)∴BF=BB'-FB'=BB'-AA'=310-110=200,CD=CC'-DC'=CC'-BB'=710-310=400.

(3分)∵i1=1∶2,i2=1∶1,∴AF=2BF=400,BD=CD=400.又∵FE=BD=400,DE=BF=200,∴AE=AF+FE=800,CE=CD+DE=600.

(5分)∴在Rt△AEC中,AC=

=

=1000(米).(6分)答:鋼纜AC的長度為1000米.

(7分)25.(2016天津,22,10分)小明上學(xué)途中要經(jīng)過A,B兩地,由于A,B兩地之間有一片草坪,所以需要

走路線AC,CB.如圖,在△ABC中,AB=63m,∠A=45°,∠B=37°,求AC,CB的長.(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后

一位)參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,

取1.414.

解析如圖,過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D.

在Rt△ACD中,tanA=

,sinA=

,∠A=45°,∴AD=

=CD,AC=

=

CD.在Rt△BCD中,tanB=

,sinB=

,∠B=37°,∴BD=

,CB=

.∵AD+BD=AB,AB=63,∴CD+

=63.解得CD=

≈

=27.00.∴AC=1.414×27.00=38.178≈38.2,CB≈

=45.0.答:AC的長約等于38.2m,CB的長約等于45.0m.考點(diǎn)一

銳角三角函數(shù)三年模擬A組2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組1.(2018佛山順德4月月考,9)如圖,邊長為1的小正方形網(wǎng)格中,☉O的圓心在格點(diǎn)上,則sin∠EDB

的值是

()

A.

B.

C.

D.

答案

B設(shè)圓O與小正方形網(wǎng)格的另一個切點(diǎn)為F,連接BF、BE,

易知∠EDB=∠EFB,∠EFB=45°,∴sin∠EDB=sin∠EFB=

.故選B.2.(2017深圳寶安模擬,5)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,則sinB的值是

()A.

B.

C.

D.

答案

D∵∠C=90°,∴sinB=

=

,故選D.3.(2017梅州模擬,9)如圖,在菱形ABCD中,DE⊥AB,cosA=

,BE=2,則tan∠DBE的值是

()

A.

B.2

C.

D.

答案

B在Rt△ADE中,∠DEA=90°,cosA=

=

,∴可設(shè)AE=3k,AD=5k(k>0),由勾股定理得DE=4k,∵四邊形ABCD為菱形,∴AB=AD=5k,∴BE=AB-AE=2k,又∵BE=2,∴k=1,∴DE=4,在Rt△BDE中,∠DEB=90°,∴tan∠DBE=

=2.故選B.4.(2017韶關(guān)二模,4)在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=

,則∠A的度數(shù)是

()A.60°

B.45°

C.30°

D.無法確定答案

C∵∠A為Rt△ABC的內(nèi)角,且∠C=90°,∴∠A為銳角,∴∠A=30°,故選C.5.(2016深圳十校聯(lián)考,6)如圖,點(diǎn)A為∠α邊上的任意一點(diǎn),作AC⊥BC于點(diǎn)C,CD⊥AB于點(diǎn)D,下

列用線段比表示cosα的值,錯誤的是

()

A.

B.

C.

D.

答案

C在Rt△BCD中,cosα=

,在Rt△ABC中,cosα=

,∵∠ACD=∠B=α,∴cosα=

,∴A、B、D正確,故選C.6.(2016陸豐三模,8)如圖,在網(wǎng)格中,小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,則∠ABC的正

切值是

()

A.2

B.

C.

D.

答案

D連接AC,則AC=

=

,AB=

=2

,BC=

=

,∵AC2+AB2=BC2,∴∠CAB=90°,∴tan∠ABC=

=

,故選D.7.(2017中山模擬,12)若銳角α滿足2sin(α-15°)=

,則α=

.答案75°解析∵2sin(α-15°)=

,∴sin(α-15°)=

,∵α為銳角,∴α-15°=60°,∴α=75°.8.(2018佛山順德4月月考,22)如圖,在電線桿上的C處引拉線CE、CF固定電線桿,拉線CE和地

面所成的∠CED=60°,在離電線桿6米的B處安置測角儀AB,在A處測得電線桿上C處的仰角為

30°,已知測角儀高AB為1.5米,求拉線CE的長(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):

≈1.414,

≈1.732).

解析過點(diǎn)A作AH⊥CD,垂足為H,由題意可知四邊形ABDH為矩形,∠CAH=30°,∴AB=DH=1.5米,BD=AH=6米.在Rt△ACH中,tan∠CAH=

,∴CH=AH·tan∠CAH=6tan30°=6×

=2

米,

∵DH=1.5米,∴CD=(2

+1.5)米,在Rt△CDE中,∵∠CED=60°,sin∠CED=

,∴CE=

=4+

≈5.7(米).思路分析

過點(diǎn)A作AH⊥CD,垂足為H,構(gòu)造直角三角形,在Rt△ACH中,利用銳角三角函數(shù)求

出CH,在Rt△CDE中,求出CE即可.9.(2018潮陽一模,20)校車安全是近幾年社會關(guān)注的重大問題,安全隱患主要是超速和超載,某

中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組設(shè)計(jì)了如下檢測公路上行駛的汽車速度的試驗(yàn):先在公路旁邊選取一點(diǎn)C,

再在筆直的車道l上確定點(diǎn)D,使CD與l垂直,測得CD的長等于24米,在l上點(diǎn)D的同側(cè)取點(diǎn)A、B,

使∠CAD=30°,∠CBD=60°.(1)求AB的長(結(jié)果保留根號);(2)已知本路段對校車限速為45千米/時,若測得某輛校車從A到B用時2秒,這輛校車是否超速?

說明理由.(參考數(shù)據(jù):

≈1.7,

≈1.4)

解析(1)在Rt△ADC中,AD=

=

=24

(米),在Rt△BDC中,BD=

=8

(米),所以AB=AD-BD=24

-8

=16

(米).(2)校車從A到B用時2秒,所以速度為16

÷2=8

≈13.6(米/秒),因?yàn)?3.6×3600=48960,所以該車速度為48.96千米/時,大于45千米/時,所以此校車在AB路段超速.10.(2017廣東潮州二模,18)計(jì)算:sin230°-cos45°·tan60°+

-tan45°.解析原式=

-

×

+

÷

-1=

-

+1-1=

.考點(diǎn)二

解直角三角形1.(2018深圳模擬,3)某測量隊(duì)在山腳A處測得山上樹頂仰角為45°(如圖),測量隊(duì)在山坡上前進(jìn)600米到D處,再測得樹頂?shù)难鼋菫?0°,已知這段山坡的坡角為30°,如果樹高為15米,則山高為

(精確到1米,

≈1.732)

()

A.585米

B.1014米

C.805米

D.820米答案

C過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.

在直角△ADF中,AF=AD·cos30°=300

米,DF=

AD=300米.設(shè)DE=FC=x米,則AC=(300

+x)米.在直角△BDE中,BE=

DE=

x米,則BC=(300+

x)米,在直角△ACB中,∠BAC=45°,∴△ACB是等腰直角三角形,∴AC=BC,∴300

+x=300+

x,解得x=300.∴BC=AC=300+300

,∴山高是300+300

-15=285+300

≈805米.2.(2017珠海三模,13)某水庫大壩的橫斷面是梯形,壩內(nèi)斜坡的坡度i=1∶

,壩外斜坡的坡度i=1∶1,則兩個坡角的和為

.答案75°解析設(shè)壩內(nèi)、壩外斜坡的坡角分別為α、β.則tanα=1∶

=

,tanβ=1∶1=1.∴α=30°,β=45°,∴α+β=30°+45°=75°.3.(2016惠州三模,14)如圖,在直角△BAD中,延長斜邊BD到點(diǎn)C,使DC=

BD,連接AC,若tanB=

,則tan∠CAD的值為

.

答案

解析過點(diǎn)D作AB的平行線交AC于P,∵∠BAD=90°,∴∠ADP=90°,∵tanB=

=

,∴設(shè)AD=5a,則AB=3a,∵CD=

BD,∴

=

,∴

=

=

,∴DP=a,∴tan∠CAD=

=

=

.

4.(2018廣州廣大附中一模,20)如圖,小明在大樓30米高(即PH=30米)的窗口P處進(jìn)行觀