2019屆北京專版中考數學一輪復習第二章方程組與不等式組2.2分式方程試卷部分講義

§2.2分式方程中考數學

(北京專用)2014-2018年北京中考題組五年中考1.(2015北京,21,5分)為解決“最后一公里”的交通接駁問題,北京市投放了大量公租自行車供

市民使用.到2013年年底,全市已有公租自行車25000輛,租賃點600個.預計到2015年年底,全市

將有公租自行車50000輛,并且平均每個租賃點的公租自行車數量是2013年年底平均每個租

賃點的公租自行車數量的1.2倍.預計到2015年年底,全市將有租賃點多少個?解析設預計到2015年年底,全市將有租賃點x個.由題意,得1.2×

=

.解得x=1000.經檢驗,x=1000是原方程的解,且符合題意.答:預計到2015年年底,全市將有租賃點1000個.思路分析

先分別表示出2013年年底和2015年年底平均每個租賃點的公租自行車的數量,再

根據倍數關系列方程求解.評析

此題主要考查了分式方程的應用,根據題意找到等量關系是解題的關鍵.2.(2014北京,18,5分)小馬自駕私家車從A地到B地,駕駛原來的燃油汽車所需油費108元,駕駛新

購買的純電動汽車所需電費27元.已知每行駛1千米,原來的燃油汽車所需的油費比新購買的

純電動汽車所需的電費多0.54元,求新購買的純電動汽車每行駛1千米所需的電費.解析設新購買的純電動汽車每行駛1千米所需的電費為x元.由題意,得

=

.解得x=0.18.經檢驗,x=0.18是原方程的解,且符合題意.答:新購買的純電動汽車每行駛1千米所需的電費為0.18元.3.(2013北京,17,5分)某園林隊計劃由6名工人對180平方米的區(qū)域進行綠化,由于施工時增加了

2名工人,結果比計劃提前3小時完成任務.若每人每小時綠化面積相同,求每人每小時的綠化面

積.解析設每人每小時的綠化面積是x平方米.由題意得

-

=3.解得x=2.5.經檢驗,x=2.5是原方程的解,且符合題意.答:每人每小時的綠化面積是2.5平方米.4.(2012北京,18,5分)列方程或方程組解應用題:據林業(yè)專家分析,樹葉在光合作用后產生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物,具有滯

塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量

的2倍少4毫克,若一年滯塵1000毫克所需的銀杏樹葉的片數與一年滯塵550毫克所需的國槐

樹葉的片數相同,求一片國槐樹葉一年的平均滯塵量.解析設一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為x毫克.由題意,得

=

.解得x=22.經檢驗,x=22是原方程的解,且符合題意.答:一片國槐樹葉一年的平均滯塵量是22毫克.5.(2011北京,18,5分)列方程或方程組解應用題:京通公交快速通道開通后,為響應市政府“綠色出行”的號召,家住通州新城的小王上班由自

駕車改為乘坐公交車.已知小王家距上班地點18千米,他用乘公交車的方式平均每小時行駛的

路程比他用自駕車的方式平均每小時行駛的路程的2倍還多9千米,他從家出發(fā)到達上班地點,

乘公交車方式所用時間是自駕車方式所用時間的

.小王用自駕車方式上班平均每小時行駛多少千米?解析設小王用自駕車方式上班平均每小時行駛x千米.依題意,得

=

×

.解得x=27.經檢驗,x=27是原方程的解,且符合題意.答:小王用自駕車方式上班平均每小時行駛27千米.考點一分式方程及其解法教師專用題組1.(2018四川成都,8,3分)分式方程

+

=1的解是

()A.x=1

B.x=-1

C.x=3

D.x=-3答案

A

+

=1,(x+1)(x-2)+x=x(x-2),x2-x-2+x=x2-2x,x=1,檢驗,當x=1時,x(x-2)≠0.所以x=1是原分式方程的解.故選A.2.(2017黑龍江哈爾濱,6,3分)方程

=

的解為

()A.x=3

B.x=4

C.x=5

D.x=-5答案

C方程兩邊同時乘(x+3)(x-1),得2(x-1)=x+3,解得x=5,經檢驗,x=5是原分式方程的解.故

選C.3.(2017河南,4,3分)解分式方程

-2=

,去分母得

()A.1-2(x-1)=-3

B.1-2(x-1)=3C.1-2x-2=-3

D.1-2x+2=3答案

A分式方程兩邊同乘(x-1),得1-2(x-1)=-3.故選A.4.(2018黑龍江齊齊哈爾,14,3分)若關于x的方程

+

=

無解,則m的值為

.答案-1或5或-

(答對一個得1分)解析去分母,得x+4+m(x-4)=m+3,去括號,移項,合并同類項,得(m+1)x=5m-1①,因為分式方程無解,所以分下面三種情況:(1)當m+1=0,即m=-1時,5m-1≠0,方程①無解;(2)當x=4時,解方程①得m=5;(3)當x=-4時,解方程①得m=-

.綜上,m的值為-1或5或-

.5.(2017四川綿陽,14,3分)關于x的分式方程

-

=

的解是

.答案

x=-2解析∵

-

=

,∴

-

=-

,∴2(x+1)-(x-1)=-(x+1),∴2x+2-x+1=-x-1,∴2x=-4,∴x=-2.檢驗:當x=-2時,(x+1)(x-1)≠0,∴x=-2是原分式方程的根.6.(2015山東威海,16,3分)分式方程

=

-2的解為

.答案

x=4解析去分母,得1-x=-1-2(x-3),去括號,得1-x=-1-2x+6,解得x=4,經檢驗,x=4是原方程的解.7.(2018呼和浩特,17,10分)計算:(1)(5分)計算:2-2+

÷

-3sin45°;(2)(5分)解方程:

+1=

.解析(1)2-2+

÷

-3sin45°=

+

-

-

=3

.(2)

+1=

,x-3+x-2=-3,解得x=1.檢驗:當x=1時,x-2≠0,所以,x=1是原分式方程的解.8.(2015福建龍巖,19,8分)解方程:1+

=

.解析方程兩邊同時乘(x-2),得(x-2)+3x=6,

(2分)4x-2=6,

(4分)x=2.

(6分)檢驗:當x=2時,x-2=0,∴x=2不是原分式方程的解,

(7分)∴原分式方程無解.

(8分)考點二列分式方程解應用題1.(2018云南昆明,13,4分)甲、乙兩船從相距300km的A,B兩地同時出發(fā)相向而行,甲船從A地

順流航行180km時與從B地逆流航行的乙船相遇,水流的速度為6km/h,若甲、乙兩船在靜水

中的速度均為xkm/h,則求兩船在靜水中的速度可列方程為

()A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

答案

A甲船航行的速度為(x+6)km/h,航行180km用時

h,乙船航行的速度為(x-6)km/h,航行了300-180=120km,用時

h,兩船航行時間相同,則可列方程為

=

,故選A.2.(2017新疆烏魯木齊,7,4分)2017年,在創(chuàng)建文明城市的進程中,烏魯木齊市為美化城市環(huán)境,計

劃種植樹木30萬棵,由于志愿者的加入,實際每天植樹比原計劃多20%,結果提前5天完成任務,

設原計劃每天植樹x萬棵,可列方程是

()A.

-

=5

B.

-

=5C.

+5=

D.

-

=5答案

A原計劃每天植樹x萬棵,則實際每天植樹(1+20%)x萬棵,根據“實際比原計劃提前5天完成”可列方程:

-

=5,故選A.3.(2014福建福州,8,4分)某工廠現在平均每天比原計劃多生產50臺機器,現在生產600臺機器所

需時間與原計劃生產450臺機器所需時間相同.設原計劃平均每天生產x臺機器,根據題意,下面

所列方程正確的是

()A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

答案

A根據“現在生產600臺機器所需時間與原計劃生產450臺機器所需時間相同”可以

列出方程

=

,故選A.4.(2018烏魯木齊,19,10分)某校組織學生去9km外的郊區(qū)游玩,一部分學生騎自行車先走,半小

時后,其他學生乘公共汽車出發(fā),結果他們同時到達.已知公共汽車的速度是自行車速度的3倍,

求自行車的速度和公共汽車的速度分別是多少.解析設自行車的速度為xkm/h,則公共汽車的速度為3xkm/h.依題意,得

-

=

.

(6分)解得x=12,經檢驗,x=12是原方程的解且符合題意,∴3x=36.答:自行車的速度是12km/h,公共汽車的速度是36km/h.

(10分)思路分析

設出自行車的速度,根據騎自行車與乘公共汽車的時間差列出分式方程,解之即可.5.(2018內蒙古包頭,23,10分)某商店以固定進價一次性購進一種商品,3月份按一定售價銷售,

銷售額為2400元,為擴大銷量,減少庫存,4月份在3月份售價基礎上打9折銷售,結果銷售量增加

30件,銷售額增加840元.(1)求該商店3月份這種商品的售價是多少元;(2)如果該商店3月份銷售這種商品的利潤為900元,那么該商店4月份銷售這種商品的利潤是

多少元?解析(1)設該商店3月份這種商品的售價為x元.根據題意,得

=

-30,解得x=40.

(5分)經檢驗,x=40是所得方程的解,且符合題意.答:該商店3月份這種商品的售價為40元.

(6分)(2)設該商品的進價為a元.根據題意,得(40-a)×

=900,解得a=25.4月份的售價:40×0.9=36(元),4月份的銷售數量:

=90(件).4月份的利潤:(36-25)×90=990(元).答:該商店4月份銷售這種商品的利潤是990元.

(10分)6.(2018吉林,19,7分)下圖是學習分式方程應用時,老師板書的問題和兩名同學所列的方程.15.3分式方程甲、乙兩個工程隊,甲隊修路400米與乙隊修路600米所用時間相等,乙隊每天比甲隊多修20米,求甲隊每天修路的長度.冰冰:

=

慶慶:

-

=20根據以上信息,解答下列問題.(1)冰冰同學所列方程中的x表示

,慶慶同學所列方程中的y表示

;(2)兩個方程中任選一個,并寫出它的等量關系;(3)解(2)中你所選擇的方程,并回答老師提出的問題.解析(1)甲隊每天修路的長度;

(1分)甲隊修路400米所用的天數(乙隊修路600米所用的天數).

(2分)(2)選冰冰所列的方程(選第一個方程),甲隊修路400米與乙隊修路600米所用時間相等.

(3分)選慶慶所列的方程(選第二個方程),乙隊每天修路長度與甲隊每天修路長度的差等于20米.

(3分)(3)選第一個方程

=

.解方程,得x=40.

(5分)經檢驗:x=40是原分式方程的解,且符合題意.

(6分)∴x=40.答:甲隊每天修路的長度為40米.

(7分)選第二個方程

-

=20.解方程,得y=10.

(5分)經檢驗:y=10是原分式方程的解,且符合題意.

(6分)∴

=40.答:甲隊每天修路的長度為40米.

(7分)評分說明:1.第(2)題,如果選第二個方程,那么答乙隊每天比甲隊每天多修路20米給分;2.第(3)題,解答正確,獨立給分.7.(2018重慶,18,4分)為實現營養(yǎng)的合理搭配,某電商推出適合不同人群的甲、乙兩種袋裝混合

粗糧.其中,甲種粗糧每袋裝有3千克A粗糧,1千克B粗糧,1千克C粗糧;乙種粗糧每袋裝有1千克

A粗糧,2千克B粗糧,2千克C粗糧.甲、乙兩種袋裝粗糧每袋成本價分別為袋中的A,B,C三種粗

糧的成本價之和.已知A粗糧每千克成本價為6元,甲種粗糧每袋售價為58.5元,利潤率為30%,乙

種粗糧的利潤率為20%.若這兩種袋裝粗糧的銷售利潤率達到24%,則該電商銷售甲、乙兩種

袋裝粗糧的數量之比是

.

答案8∶9解析設甲種粗糧每袋的成本價為x元,根據甲種粗糧每袋的售價、利潤率列出等式

=0.3,解得x=45.每袋甲種粗糧中,A粗糧總成本價為3×6=18元,所以B粗糧與C粗糧總成本價為45-

18=27元.所以每袋乙種粗糧中,B粗糧與C粗糧總成本價為27×2=54元.所以乙種粗糧每袋的成

本價為54+1×6=60元.設銷售甲種粗糧a袋,銷售乙種粗糧b袋使總利潤率為24%,則

=0.24,解得a∶b=8∶9.思路分析

根據甲種粗糧每袋的售價、利潤率先求出甲種粗糧每袋的成本價,進而求出甲種

粗糧每袋中B粗糧與C粗糧總成本價及乙種粗糧每袋中B粗糧與C粗糧總成本價,也就得出乙種

粗糧每袋的成本價,最后根據總利潤率為24%列出等式得解.8.(2018山西,20,7分)2018年1月20日,山西迎來了“復興號”列車,與“和諧號”相比,“復興

號”列車時速更快,安全性更好.已知“太原南—北京西”全程大約500千米,“復興號”G92

次列車平均每小時比某列“和諧號”列車多行駛40千米,其行駛時間是該列“和諧號”列車

行駛時間的

(兩列車中途停留時間均除外).經查詢,“復興號”G92次列車從太原南到北京西,中途只有石家莊一站,停留10分鐘.求乘坐“復興號”G92次列車從太原南到北京西需要多

少時間.

解析解法一:設乘坐“復興號”G92次列車從太原南到北京西需要x小時,

(1分)由題意,得

=

+40.

(4分)解得x=

.

(5分)經檢驗,x=

是原方程的根,且符合題意.

(6分)答:乘坐“復興號”G92次列車從太原南到北京西需要

小時.

(7分)解法二:設“復興號”G92次列車從太原南到北京西的行駛時間為x小時,

(1分)由題意,得

=

+40.

(3分)解得x=

.

(4分)經檢驗,x=

是原方程的根,且符合題意.

(5分)

+

=

(小時).

(6分)答:乘坐“復興號”G92次列車從太原南到北京西需要

小時.

(7分)9.(2018云南,18,6分)某社區(qū)積極響應正在開展的“創(chuàng)文活動”,組織甲、乙兩個志愿工程隊對

社區(qū)的一些區(qū)域進行綠化改造.已知甲工程隊每小時能完成的綠化面積是乙工程隊每小時能

完成的綠化面積的2倍,并且甲工程隊完成300平方米的綠化面積比乙工程隊完成300平方米的

綠化面積少用3小時.乙工程隊每小時能完成多少平方米的綠化面積?解析

設乙工程隊每小時能完成的綠化面積為xm2,則甲工程隊每小時能完成的綠化面積為2

xm2,根據題意得

-

=3.(3分)由

-

=3得

=1,解得x=50.經檢驗,x=50是

-

=3的解,且符合題意.所以,乙工程隊每小時能完成的綠化面積為50m2.

(6分)10.(2016廣東,20,7分)某工程隊修建一條長1200m的道路,采用新的施工方式,工效提升了50%,

結果提前4天完成任務.(1)求這個工程隊原計劃每天修建道路多少米;(2)在這項工程中,如果要求工程隊提前2天完成任務,那么實際平均每天修建道路的工效比原

計劃增加百分之幾?解析(1)設原計劃每天修建道路xm,則實際平均每天修建道路為(1+50%)xm.

(1分)由題意得,

-

=4.

(2分)解得x=100.經檢驗,x=100是原方程的解.

(3分)答:這個工程隊原計劃每天修建道路100米.

(4分)(2)設實際平均每天修建道路的工效比原計劃增加y,由題意得,100(1+y)

=1200.解得y=0.2,即y=20%.

(6分)答:如果要求工程隊提前2天完成任務,那么實際平均每天修建道路的工效比原計劃增加20%.

(7分)11.(2016寧夏,22,6分)某種型號油電混合動力汽車,從A地到B地燃油行駛純燃油費用為76元,從

A地到B地用電行駛純用電費用為26元.已知每行駛1千米,純燃油費用比純用電費用多0.5元.(1)求每行駛1千米純用電的費用;(2)若要使從A地到B地油電混合行駛所需的油、電費用合計不超過39元,則至少用電行駛多少

千米?解析(1)設純用電每行駛1千米所需要的費用為x元,則純燃油每行駛1千米所需要的費用為(x+0.5)元,根據題意,得

=

,

(2分)解得x=0.26,經檢驗,x=0.26是原方程的根.所以,每行駛1千米純用電的費用為0.26元.

(3分)(2)純燃油每行駛1千米所需要的費用為0.5+0.26=0.76(元),從A到B的距離為26÷0.26=100(千米),設用電行駛y千米,則燃油行駛(100-y)千米.根據題意,得0.26y+0.76(100-y)≤39,

(5分)解得y≥74,即至少用電行駛74千米.

(6分)12.(2015遼寧沈陽,20,10分)高速鐵路列車已成為中國人出行的重要交通工具,其平均速度是普

通鐵路列車平均速度的3倍,同樣行駛690km,高速鐵路列車比普通鐵路列車少運行了4.6h,求

高速鐵路列車的平均速度.解析設高速鐵路列車的平均速度為xkm/h,根據題意,得

=

+4.6.解這個方程,得x=300.經檢驗,x=300是所列方程的根.答:高速鐵路列車的平均速度為300km/h.考點一分式方程及其解法三年模擬A組2016—2018年模擬·基礎題組1.(2018北京海淀一模,12)寫出一個解為1的分式方程:

.答案

=1(答案不唯一)解析只要是解為1的分式方程即可,例如

=1,答案不唯一.2.(2017北京順義二模,20)解方程:

-

=1.解析去分母,得2(2x+5)-1=2x+4,去括號,得4x+10-1=2x+4,移項,合并同類項得2x=-5,系數化為1,得x=-

,經檢驗,x=-

是原方程的解.3.(2016北京石景山二模,19)解方程:

-

=1.解析去分母,得x(x+1)-(2x-1)=x2-1,解得x=2.經檢驗,x=2是原方程的解,∴原方程的解為x=2.考點二列分式方程解應用題1.(2018北京東城一模,6)甲、乙兩人做中國結,已知甲每小時比乙少做6個,甲做30個所用的時

間與乙做45個所用的時間相同,求甲每小時做中國結的個數.如果設甲每小時做x個,那么可列

方程為

()A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

答案

A甲每小時做x個,則乙每小時做(x+6)個,甲做30個所用的時間為

小時,乙做45個所用的時間為

小時,由時間相同可列方程

=

.故選A.2.(2018北京豐臺二模,13)“復興號”是我國具有完全自主知識產權、達到世界先進水平的動

車組列車.“復興號”的速度比原來列車的速度每小時快50千米,提速后從北京到上海運行時

間縮短了30分鐘.已知從北京到上海全程約1320千米,求“復興號”的速度.設“復興號”的

速度為x千米/時,依題意,可列方程為

.答案

=

-

解析提速前、后需要的時間分別為

小時和

小時,由縮短了30分鐘,可列方程為

=

-

.3.(2017北京東城二模,22)某校為美化校園,計劃對一些區(qū)域進行綠化,安排了甲、乙兩個工程

隊完成.已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化的面積的2倍,并且兩隊在獨

立完成面積為400m2區(qū)域的綠化時,甲隊比乙隊少用4天.求甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的

面積分別是多少m2.解析設乙工程隊每天能完成綠化的面積是xm2,則甲工程隊每天能完成綠化的面積是2xm2.根據題意得

-

=4.解得x=50.經檢驗,x=50是原方程的解,且符合題意.甲工程隊每天能完成綠化的面積是50×2=100(m2).答:甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積分別是100m2、50m2.4.(2016北京豐臺一模,21)根據《中國鐵路中長期發(fā)展規(guī)劃》,預計到2020年底,我國建設城際

軌道交通的千米數是客運專線的2倍.其中建設城際軌道交通約投入8000億元,客運專線約投

入3500億元.據了解,建設每千米城際軌道交通與客運專線共需1.5億元.預計到2020年年底,我

國將建設城際軌道交通和客運專線分別約多少千米?解析設到2020年年底,我國將建設客運專線約x千米,則建設城際軌道交通約2x千米.由題意,得

+

=1.5.解得x=5000.經檢驗,x=5000是原方程的解,且符合題意.∴2x=10000.答:到2020年年底,我國將建設城際軌道交通約10000千米,客運專線約5000千米.5.(2016北京朝陽二模,21)每年的4月23日是“世界讀書日”.據統(tǒng)計,“幸福家園小區(qū)”1號樓

的住戶一年內共閱讀紙質圖書460本,2號樓的住戶一年內共閱讀紙質圖書184本,1號樓住戶人

數比2號樓住戶人數的2倍多20人,且兩棟樓的住戶一年內人均閱讀紙質圖書的數量相同.求這

兩棟樓的住戶一年內人均閱讀紙質圖書的數量是多少本.解析設這兩棟樓的住戶一年內人均閱讀紙質圖書的數量為x本.由題意,得

=

+20.解得x=4.6.經檢驗,x=4.6是原方程的解,且符合題意.答:這兩棟樓的住戶一年內人均閱讀紙質圖書的數量為4.6本.6.(2016北京東城一模,21)在“春節(jié)”前夕,某花店用13000元購進第一批禮盒鮮花,上市后很

快銷售一空.根據市場需求情況,該花店又用6000元購進第二批禮盒鮮花.已知第二批所購鮮

花的盒數是第一批所購鮮花的

,且每盒鮮花的進價比第一批的進價少10元.問第二批鮮花每盒的進價是多少元?解析設第二批鮮花每盒的進價是x元.依題意有

=

×

.解得x=120.經檢驗,x=120是原方程的解,且符合題意.答:第二批鮮花每盒的進價是120元.B組2016—2018年模擬·提升題組(時間:30分鐘分值:40分)一、填空題(每小題3分,共9分)1.(2018北京大興一模,13)在讀書活動中,某同學對甲、乙兩個班學生的讀書情況進行了統(tǒng)計:

甲班學生人數比乙班學生人數多3人,甲班學生讀書480本,乙班學生讀書360本,乙班平均每人

讀書的本數是甲班平均每人讀書的本數的

.求甲、乙兩班各有多少人.設乙班有x人,則甲班有(x+3)人,依題意,可列方程為

.答案

×

=

解析甲班讀書480本,共(x+3)人,則平均每人讀書

本;同理,乙班平均每人讀書

本,由乙班平均每人讀書的本數是甲班平均每人讀書的本數的

可列方程

×

=

.2.(2018北京門頭溝一模,14)某小區(qū)購買了銀杏樹和玉蘭樹共150棵用來美化小區(qū)環(huán)境,購買銀

杏樹用了12000元,購買玉蘭樹用了9000元.已知玉蘭樹的單價是銀杏樹單價的1.5倍,求銀杏

樹和玉蘭樹的單價.設銀杏樹的單價為x元,可列方程為

.答案

+

=150解析銀杏樹的單價為x元,則玉蘭樹的單價為1.5x元,已知購買銀杏樹用了12000元,則購買銀

杏樹

棵,同理,購買玉蘭樹

棵,由銀杏樹和玉蘭樹共150棵可列方程為

+

=150.3.(2018北京海淀二模,13)2017年全球超級計算機500強名單公布,中國超級計算機“神威·太湖

之光”和“天河二號”奪得前兩名.已知“神威·太湖之光”的浮點運算速度是“天河二號”

的2.74倍.這兩種超級計算機分別進行100億億次浮點運算,“神威·太湖之光”的運算時間比

“天河二號”少18.75秒,求這兩種超級計算機的浮點運算速度.設“天河二號”的浮點運算速

度為x億億次/秒,依題意,可列方程為

.答案

-

=18.75解析“天河二號”和“神威·太湖之光”進行100億億次運算所花的時間分別是

秒和

秒,根據運行時間的差可列方程為

-

=18.75.二、解答題(共31分)4.(2017北京懷柔二模,20)解方程:

-

=

.解析