3-2函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系(人教B版2019必修第一冊)

3.2函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系x1x2△=b2-4ac二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象方程ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0（a>0）的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集x1(x2)△>0△=0△<0有兩個不相等實根x1,x2(x1<x2)﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x1<x<x2﹜有兩個相等實根x1=x2無實根﹛x|x≠x1﹜??R前

提

測

評1.求下列方程的根．2.畫出下列函數(shù)的圖象-31-1-2-1-2210方程的根就是對應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標X-2=0y=x-2①函數(shù)零點的定義

對于函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點。零點是一個點嗎?是交點的橫坐標

方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)有零點函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點.？導(dǎo)學達標xy-13412-2①在區(qū)間上

零點（填“有”或“無”）

f(-2)=

，f(1)=＿＿＿，

f(-2)·f(1)

0,（填“<”或“>”）探究（一）(Ⅰ)觀察二次函數(shù)f(x)=x2－2x-3的圖象②在區(qū)間[2,4]上

零點,f(2)=

,f(4)=

,f(2)·f(4)

05-4<5<有有-3導(dǎo)學達標返回目錄

若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的圖像是

，且

，則在區(qū)間（a,b）內(nèi)，函數(shù)y=f(x)至少有一個零點，即相應(yīng)的方程f(x)=0在區(qū)間（a,b)內(nèi)

，函數(shù)f(x)有零點；即函數(shù)y=f(x)的圖像

或者方程f(x)=0

.連續(xù)曲線

f(a)f(b)＜0

至少有一個實數(shù)解

與x軸有交點

有解

端點函數(shù)值異號，則函數(shù)有零點？函數(shù)圖象連續(xù)0yx0yxxy0ab導(dǎo)學達標③零點存在性定理

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f(a)·f(b)<0,則函數(shù)在（a,b）內(nèi)有零點。注:只有上述兩個條件同時滿足,才能判斷函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)存在零點。導(dǎo)學達標xy0

下圖中在區(qū)間內(nèi)有幾個零點?探究（二）什么情況下只有唯一一個零點？端點函數(shù)值異號的單調(diào)函數(shù)導(dǎo)學達標③零點存在性定理

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f(a)·f(b)<0,則函數(shù)在（a,b）內(nèi)有零點。

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f(a)·

f(b)﹤0,且是單調(diào)函數(shù),那么這個函數(shù)在(a,b)內(nèi)必有唯一的一個零點。導(dǎo)學達標11用一用解：因為又的圖象是連續(xù)的,所以在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有零點,即在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有實數(shù)解。分析：判定方程有沒有實數(shù)解即可以等價轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)有沒有零點新知應(yīng)用12例2判定方程(x-2)(x-5)=1有兩個相異的實數(shù)解,且一個大于5,一個小于2.解:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-2)(x-5)-1

則f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1

又因為f(x)的圖像是開口向上的拋物線,所以拋物線與橫軸在(5,+∞)內(nèi)有一交點,在(-∞,2)內(nèi)也有一個交點.yx25-1O

所以相應(yīng)的方程(x-2)(x-5)-1=0有兩個相異的實數(shù)解,且一個大于5,一個小于2新知應(yīng)用返回目錄

考點一函數(shù)零點的判斷與求解

1、判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點.（1）f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］;(1)解法一:∵f(1)=-20<0,f(8)=22>0,∴f(1)·f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］存在零點.

解法二:

令x2-3x-18=0,解得x=-3或6,∴函數(shù)f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］存在零點.返回目錄

1、判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點.（2）f(x)=x3-x-1,x∈［-1,2］;解:

(2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0,∴f(x)=x3-x-1,x∈［-1,2］存在零點.返回目錄

考點二零點性質(zhì)的應(yīng)用（1）若函數(shù)f(x)=ax2-x-1有且僅有一個零點，求實數(shù)a的值；【解析】(1)若a=0，則f(x)=-x-1,

令f(x)=0，即-x-1=0,得x=-1，故符合題意;

若a≠0，則f(x)=ax2-x-1是二次函數(shù),

故有且僅有一個零點等價于Δ=1+4a=0,

解得a=-.

綜上所述,a=0或a=-.前

提

測

評1、函數(shù)y＝f(x)的圖象在[a,b]內(nèi)是連續(xù)的曲線，若f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)（）

A．只有一個零點

B．至少有一個零點

C．無零點

D．無法確定B練一練前

提

測

評2、

若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－2,2)上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且方程f(x)＝0在(－2,2)上僅有一個實數(shù)根，則f(－1)·f(1)的值（）A．大于0 B．小于0C．無法判斷

D．等于零C前

提

測

評3、

不論m為何值，函數(shù)f(x)＝x2－mx＋m－2的零點有（）A．2個B．1個C．0個D．不確定A

利用二分法求方程

的近似解問題1算一算：查找線路電線、水管、氣管等管道線路故障定義：每次取中點，將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個小區(qū)間的方法叫二分法，也叫對分法，常用于：

在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障，這上一條10km長的線路，如何迅速查出故障所在？

要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50～100m左右，即一兩根電線桿附近，要檢查多少次？方法分析：實驗設(shè)計、資料查詢；是方程求根的常用方法！7次零點存在定理

若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即f(a)·f(b)<0，則在區(qū)間（a,b）內(nèi)，函數(shù)y=f(x)至少有一個零點，即相應(yīng)的方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個實數(shù)解.實例體驗：-1f(x)yxO12345在下圖中，函數(shù)y=f(x)在[-1,5]上的圖像是一條連續(xù)的曲線，且f(-1)>0,f(5)<0即f(-1)f(5)<0，試用二分法求方程f(x)=0的一個解。取[-1,5]的一個中點2，因為f(2)>0,f(5)<0,即

f(2)f(5)<0,所以在區(qū)間[2,5]內(nèi)有方程的解，于是再取[2,5]的中點3.5，……如果取到某個區(qū)間的中點x0,恰好使f(x0)=0,

則x0就是所求的一個解；如果區(qū)間中點的函數(shù)總不為0，那么，不斷重復(fù)上述操作，抽象概括利用二分法求方程實數(shù)解的過程選定初始區(qū)間取區(qū)間的中點中點函數(shù)值為0MN結(jié)束是否是1.初始區(qū)間是一個兩端函數(shù)值符號相反的區(qū)間2.“M”的意思是取新區(qū)間，其中一個端點是原區(qū)間端點，另一個端點是原區(qū)間的中點3.“N”的意思是方程的解滿足要求的精確度。中點函數(shù)值為0中點函數(shù)值為0中點函數(shù)值為0中點函數(shù)值為0中點函數(shù)值為0中點函數(shù)值為0中點函數(shù)值為0中點函數(shù)值為0中點函數(shù)值為0中點函數(shù)值為0中點函數(shù)值為0是是結(jié)束是NNN二分法求方程的近似解

對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩端點逐步逼近零點，進而得到零點(或?qū)?yīng)方程的根)近似解的方法叫作二分法．二分法:前提

下列函數(shù)的圖像與x軸均有交點,其中不能用二分法求其零點的是（）Cxy0xy0xy0xy0解析:考察函數(shù)f(x)=2x3+3x-3,從一個兩端函數(shù)值反號的區(qū)間開始,應(yīng)用二分法逐步縮小方程實數(shù)解所在區(qū)間.經(jīng)試算，f(0)=-3＜0，f（1）=2＞0，所以方程2x3+3x-3=0在[0,1]內(nèi)有解.如此下去,得到方程2x3+3x-3有解區(qū)間的表如下:例1.求方程2x3+3x-3=0的一個實數(shù)解,精度為0.01次數(shù)左端點左端點函數(shù)值右端點右端點函數(shù)值區(qū)間長度第1次0-3121第2次0.5-1.25120.5第3次0.5-1.250.750.093750.25第4次0.625-0.636718750.750.093750.125第5次0.6875-0.2875976560.750.093750.0625第6次0.71875-0.1011352540.750.093750.03125第7次0.734375-0.0047683720.750.093750.015625第8次0.734375-0.0047683720.74218750.0442190170.0078125至此，我們得到，區(qū)間[0.734375,0.7421875]的區(qū)間長度為0.0078125，它小于0.01，因此，我們可以選取這一區(qū)間內(nèi)的任意一個數(shù)作為方程2x3+3x-3=0的近似解.例如我們選取0.74作為方程2x3+3x-3=0的一個近似解.