備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪數(shù)學(人教A版理)-第十二章-§12-2-古典概型與幾何概型

第十二章概率、隨機變量及其分布§12.2

古典概型與

幾何概型考試要求1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會計算一些隨機事件所含的基本事件的個數(shù)及事件發(fā)生的概率.3.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率.4.了解幾何概型的意義.

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有_____個；②等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的_______相等.(2)古典概型的概率計算的基本步驟：①判斷本次試驗的結(jié)果是否是_________，設(shè)出所求的事件為A；②分別計算基本事件的總數(shù)n和所求的事件A所包含的基本事件的個數(shù)m；有限可能性等可能的(3)頻率的計算公式與古典概型的概率計算公式的異同名稱不同點相同點頻率計算公式頻率計算中的m，n均隨隨機試驗的變化而變化，但隨著試驗次數(shù)的增多，它們的比值逐漸趨近于概率值都計算了一個比值古典概型的概率計算公式

是一個定值，對同一個隨機事件而言，m，n都不會變化2.幾何概型(1)概念：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的________________成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型.(2)幾何概型的基本特點：①試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個；②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.(3)計算公式：P(A)＝____________________________________________.長度(面積或體積)判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一個數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.(

)(2)在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率為0.(

)(3)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.(

)(4)兩個互斥事件的概率和為1.(

)√√××1.袋中裝有大小、形狀完全相同的6個白球，4個紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為√√3.現(xiàn)有7名成績優(yōu)秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數(shù)學成績優(yōu)秀，B1，B2的物理成績優(yōu)秀，C1，C2的化學成績優(yōu)秀.從數(shù)學、物理、化學成績優(yōu)秀的人中各選1人，組成一個小組代表學校參加競賽，則A1和B1中有且僅有1人被選中的概率為___.基本事件共有3×2×2＝12(個)，其中符合條件的基本事件有2＋2×2＝6(個)，故A1和B1中有且僅有1人被選中的概率為

.探究核心題型第二部分例1

(1)(2023·銀川模擬)在2,3,5,7這四個數(shù)中任取三個數(shù)，將其組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，則這個數(shù)是奇數(shù)的概率為題型一古典概型由題意，這個數(shù)可能為235,237,253,257,273,275,325,327,352,357,372,375,523,527,532,537,572,573,723,725,732,735,752,753，共24種情況，√(2)在一次比賽中某隊共有甲、乙、丙等5位選手參加，賽前用抽簽的方法決定出場順序，則乙、丙都不與甲相鄰出場的概率是√利用公式法求解古典概型問題的步驟思維升華跟蹤訓練1

(1)(2022·全國甲卷)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回地隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為√從寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回地隨機抽取2張，共有15種取法，它們分別是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6種取法，所以所求概率是P＝

(2)(2022·成都質(zhì)檢)2022年冬奧會在北京、延慶、張家口三個區(qū)域布置賽場，北京承辦所有冰上項目，延慶和張家口承辦所有雪上項目.組委會招聘了包括甲在內(nèi)的4名志愿者，分配到上述3個賽場參與賽后維護服務工作，要求每個賽場至少分到一名志愿者，則志愿者甲正好分到北京賽場的概率為

___.題型二古典概型與統(tǒng)計的綜合問題例2

北京冬奧會順利閉幕后，某學校團委組織了一次“奧運會”知識講座活動，活動結(jié)束后隨機抽取120名學生對講座情況進行調(diào)查，其中男生與女生的人數(shù)之比為1∶1，抽取的學生中男生有40名對講座活動滿意，女生中有30名對講座活動不滿意.(1)完成右面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有90%的把握認為講座活動是否滿意與性別有關(guān)？

滿意不滿意總計男生

女生

總計

1202×2列聯(lián)表如表所示.

滿意不滿意總計男生402060女生303060總計7050120根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，所以有90%的把握認為講座活動是否滿意與性別有關(guān).(2)從被調(diào)查的對講座活動滿意的學生中，利用分層抽樣的方法抽取7名學生，再在這7名學生中抽取3名學生談談自己聽講座的心得體會，求其中恰好抽中2名男生與1名女生的概率.P(K2≥k0)0.100.050.010.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828由(1)知，在樣本中對講座活動滿意的學生有70名，從中抽取7名，其中記“恰好抽中2名男生與1名女生”為事件A，求解古典概型的綜合問題的步驟(1)將題目條件中的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為事件；(2)判斷事件是否為古典概型；(3)選用合適的方法確定基本事件個數(shù)；(4)代入古典概型的概率公式求解.思維升華跟蹤訓練2

從參加環(huán)保知識競賽的學生中抽出40名，將其成績(均為整數(shù))整理后畫出頻率分布直方圖如圖所示，觀察圖形，回答下列問題.(1)成績在[80,90)這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？根據(jù)題意，成績在[50,60)這一組的頻率為0.015×10＝0.15，在[60,70)這一組的頻率為0.025×10＝0.25，在[70,80)這一組的頻率為0.035×10＝0.35，在[90,100]這一組的頻率為0.005×10＝0.05，則成績在[80,90)這一組的頻率為

×[1－(0.15＋0.25＋0.35＋0.05)]＝0.1，其頻數(shù)為40×0.1＝4.(2)估計這次環(huán)保知識競賽成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；(不要求寫過程)這次競賽成績的平均數(shù)約為45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5；成績在[70,80)這一組的頻率最大，人數(shù)最多，則眾數(shù)約為75；70分左右兩側(cè)的頻率均為0.5，則中位數(shù)約為70.(3)從成績是80分以上(包括80分)的學生中選2人，求他們在同一分數(shù)段的概率.記“選出的2人在同一分數(shù)段”為事件E，成績在[80,90)內(nèi)的有40×0.1＝4(人)，設(shè)為a，b，c，d；成績在[90,100]內(nèi)的有40×0.05＝2(人)，設(shè)為A，B.從這6人中選出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15種選法，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7種選法，則P(E)＝

.幾何概型例3

(1)勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.如圖，在勒洛三角形ABC內(nèi)隨機選取一點，則該點位于正三角形ABC內(nèi)的概率為題型三√(2)在區(qū)間[－1,1]上隨機取一個數(shù)k，使直線y＝k(x＋3)與圓x2＋y2＝1相交的概率為√因為圓心(0,0)，半徑r＝1，直線與圓相交，(1)求解幾何概型概率的步驟思維升華(2)與體積有關(guān)的幾何概型的解題策略對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復雜的問題也可利用其對立事件求解.思維升華跟蹤訓練3

(1)(2021·全國乙卷)在區(qū)間(0,1)與(1,2)中各隨機取一個數(shù)，√(2)陽馬是中國古代算術(shù)中的一種幾何形體，是底面為長方形，且兩個三角形側(cè)面與底面垂直的四棱錐.在陽馬P－ABCD中，PC為陽馬P－ABCD中最長的棱，AB＝1，AD＝2，PC＝3.若在陽馬P－ABCD的外接球內(nèi)部隨機取一點，則該點位于陽馬內(nèi)的概率為√根據(jù)題意，得PA⊥平面ABCD，PC的長等于陽馬P－ABCD外接球的直徑.∴PA＝2.課時精練第三部分基礎(chǔ)保分練1.在區(qū)間(0,6)內(nèi)任取一個實數(shù)m，不等式m2－4m＋3<0的概率是1234567891011121314√2.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓.如圖是易經(jīng)先天八卦圖，每一卦由三根線組成(“

”表示一根陽線，“

”表示一根陰線)，現(xiàn)從八卦圖中任取兩卦，這兩卦的陽線數(shù)目相同的概率為1234567891011121314√12345678910111213143.香港特別行政區(qū)區(qū)徽，呈圓形，位于徽面內(nèi)圓中央的動態(tài)紫荊花圖案為白色，由五片花瓣組成，每片花瓣中均有一顆紅色五角星及一條紅色花蕊鑲在其間，香港特別行政區(qū)區(qū)徽代表祖國，白色紫荊花代表香港，紫荊花紅旗寓意香港是祖國不可分離的一部分，并將在祖國懷抱中興旺發(fā)達.花蕊上的五星象征香港同胞熱愛祖國，采用紅、白不同顏色，象征“一國兩制”.其中紫荊花外輔助圓直徑為區(qū)徽直徑的

，現(xiàn)從區(qū)徽內(nèi)任取一點，則該點取自紫荊花外輔助圓內(nèi)的概率為√1234567891011121314123456789101112131412345678910111213144.將3個1和4個0隨機排成一行，則3個1中任意2個1都不相鄰的概率為√5.在中國農(nóng)歷中，一年有24個節(jié)氣，“立春”居首.北京冬奧會開幕式上“二十四節(jié)氣”的倒計時讓全世界領(lǐng)略了中華智慧.墩墩同學要從24個節(jié)氣中隨機選取4個介紹給外國的朋友，則這4個節(jié)氣中含有“立春”的概率為1234567891011121314√123456789101112131412345678910111213146.某校對高一新生進行體能測試(滿分100分)，高一(1)班有40名同學成績恰在[60,90]內(nèi)，繪成頻率分布直方圖(如圖所示)，從[60,70)中任抽2人的測試成績，恰有一人的成績在[60,65)內(nèi)的概率是√1234567891011121314由頻率分布直方圖知[60,65)內(nèi)有2人，不妨記為a，b；[65,70)內(nèi)有4人，不妨記為1,2,3,4.從6人中任抽2人的基本事件為{a，b}，{a,1}，{a,2}，{a,3}，{a,4}，{b,1}，{b,2}，{b,3}，{b,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共15個，事件“恰有一人的成績在[60,65)內(nèi)”的基本事件有8個，所以所求的概率為

.12345678910111213147.一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為40秒，黃燈的時間為10秒，綠燈的時間為50秒，當?shù)竭_路口時，不需要等待就可以過馬路的概率為____.由題意知試驗發(fā)生包含的事件是總的時間長度，為40＋10＋50＝100(秒)，綠燈的時間為50秒，12345678910111213148.三階魔方可以看作是將一個各面上均涂有顏色的正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開所得，現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱為中心方塊，2面有色的小正方體稱為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱為邊角方塊，若從所有的小正方體中任取一個，恰好抽到中心方塊的概率為___.12345678910111213149.某市A，B兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦了3名男生、2名女生，B中學推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學生一起參加集訓.由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊.(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率；12345678910111213141234567891011121314由題意，參加集訓的男生、女生各有6名.(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，求參賽女生人數(shù)不少于2人的概率.設(shè)“參賽的4人中女生不少于2人”為事件A，“參賽女生有2人”為事件B，“參賽女生有3人”為事件C.由互斥事件的概率加法公式，得1234567891011121314123456789101112131410.某大學為調(diào)研學生在A，B兩家餐廳用餐的滿意度，從在A，B兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取了100人，每人分別對這兩家餐廳進行評分，滿分均為60分.整理評分數(shù)據(jù)，將分數(shù)以10為組距分成6組：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A餐廳分數(shù)的頻率分布直方圖和B餐廳分數(shù)的頻數(shù)分布表如圖.1234567891011121314B餐廳分數(shù)的頻數(shù)分布表分數(shù)區(qū)間頻數(shù)[0,10)2[10,20)3[20,30)5[30,40)15[40,50)40[50,60]351234567891011121314(1)在抽樣的100人中，求對A餐廳評分低于30的人數(shù)；如果從A，B兩家餐廳中選擇一家用餐，你會選擇哪一家？說明理由；B餐廳分數(shù)的頻數(shù)分布表分數(shù)區(qū)間頻數(shù)[0,10)2[10,20)3[20,30)5[30,40)15[40,50)40[50,60]351234567891011121314在抽樣的100人中，對A餐廳評分低于30的人數(shù)為(0.003＋0.005＋0.012)×10×100＝20；由B餐廳分數(shù)頻數(shù)分布表知，對B餐廳評分低于30的人數(shù)為10，所以如果從A，B兩家餐廳中選擇一家用餐，我會選擇B家.1234567891011121314(2)從對B餐廳評分在[0,20)范圍內(nèi)的人中隨機選出2人，求2人中恰有1人評分在[0,10)范圍內(nèi)的概率；B餐廳分數(shù)的頻數(shù)分布表分數(shù)區(qū)間頻數(shù)[0,10)2[10,20)3[20,30)5[30,40)15[40,50)40[50,60]3512345678910111213141234567891011121314(3)如果A餐廳把打分最低的10%和打分最高的10%人群稱之為“口味獨特”人群，反之為“正?？谖丁比巳?，請計算“正?？谖丁比巳旱拇蚍址秶?(近似到0.01)1234567891011121314設(shè)打分最低的10%的范圍為[0，x)，由題意得(0.003＋0.005)×10＋(x－20)×0.012＝0.1，解得x≈21.67，設(shè)打分最高的10%范圍為[y,60)，由題意得(60－y)×0.04＝0.1，解得y＝57.5，所以“正常口味”人群的打分范圍為[21.67,57.50).123456789101112131411.某校為落實“雙減”政策，在課后服務時間開展了豐富多彩的體育興趣小組活動.現(xiàn)有A，B，C，D四名同學擬參加足球、籃球、排球、羽毛球、乒乓球等五項活動，由于受個人精力和時間限制，每個人只能等可能的參加其中一項，則恰有兩人參加同一項活動的概率為綜合提升練√1234567891011121314∵每人只能等可能的選擇參加五項活動中的一項活動，且可以參加相同的活動，∴四名同學共有5×5×5×5＝54(種)選擇，123456789101112131412.魏晉時期數(shù)學家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”(如圖)，劉徽通過計算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應為π∶4.在棱長為2的正方體內(nèi)任取一點，此點取自“牟合方蓋”的概率為√1234567891011121314正方體的棱長為2，