2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)【舉一反三】專(zhuān)練(新高考專(zhuān)用)重難點(diǎn)01利用基本不等式求最值【八大題型】(原卷版)

重難點(diǎn)01利用基本不等式求最值【八大題型】【新高考專(zhuān)用】基本不等式是每年高考的必考內(nèi)容，是?？汲Ｐ碌膬?nèi)容.從近幾年的高考情況來(lái)看，高考題型通常為選擇題或填空題，但它的應(yīng)用范圍很廣，涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容，它在高考中常用于大小判斷、求最值、求最值范圍等.在高考中經(jīng)?？疾檫\(yùn)用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值，具有靈活多變、應(yīng)用廣泛、技巧性強(qiáng)等特點(diǎn).在復(fù)習(xí)中切忌生搬硬套，在應(yīng)用時(shí)一定要緊扣“一正二定三相等”這三個(gè)條件靈活運(yùn)用.【知識(shí)點(diǎn)1利用基本不等式求最值的解題策略】1．基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時(shí)，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號(hào)的條件．2．常見(jiàn)的求最值模型(1)模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；(2)模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；(3)模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；(4)模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.3．利用基本不等式求最值的幾種方法(1)直接法：條件和問(wèn)題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來(lái)求最值．(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問(wèn)題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值.(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)構(gòu)造不等式法：構(gòu)建目標(biāo)式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對(duì)和式或積式利用基本不等式，構(gòu)造目標(biāo)式的不等式求解.【知識(shí)點(diǎn)2基本不等式的實(shí)際應(yīng)用】1．基本不等式的實(shí)際應(yīng)用的解題策略(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(2)解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍.(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，若等號(hào)取不到，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.【題型1直接法求最值】【例1】（2024·北京東城·一模）已知x>0，則x?4+4x的最小值為（

）A．－2 B．0 C．1 D．2【變式1-1】（2024·甘肅定西·一模）x2+7A．27 B．37 C．47【變式1-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知ab為正數(shù)，則2ab+bA．有最小值，為2 B．有最小值，為2C．有最小值，為4 D．不一定有最小值【變式1-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）3+1x2A．93 B．7+42 C．83【題型2配湊法求最值】【例2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)y=x2+A．2 B．5 C．6 D．7【變式2-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知a>0,b>0，則a+2b+4a+2b+1的最小值為（A．6 B．5 C．4 D．3【變式2-2】（23-24高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）設(shè)x>2，則函數(shù)y=4x?1+4x?2，的最小值為（A．7 B．8 C．14 D．15【變式2-3】（2024·山西忻州·模擬預(yù)測(cè)）已知a>2，則2a+8a?2的最小值是（A．6 B．8 C．10 D．12【題型3常數(shù)代換法求最值】【例3】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知非負(fù)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x+y=1，則12x+1A．3+222 B．3+224 【變式3-1】（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知a≥0，b≥0且2a+b=1，則9a+1+1A．4 B．6 C．8 D．10【變式3-2】（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知x>0，y>0，且2x+y=1，則x+yxy的最小值為（

A．4 B．42 C．6 D．【變式3-3】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）若a,b是正實(shí)數(shù)，且13a+b+12a+4b=1A．45 B．23 C．1 【題型4消元法求最值】【例4】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知x,y,z∈0,+∞，且滿(mǎn)足x?2y+3z=0．則y2A．12 B．6 C．9 D．3【變式4-1】（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正實(shí)數(shù)x、y、z滿(mǎn)足4x2?3xy+y2A．0 B．2 C．1 D．3【變式4-2】（2024·浙江紹興·三模）若x,y,z>0，且x2+xy+2xz+2yz=4，則．【變式4-3】（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足x2+xy+yz+xz+x+z=6，則3x+2y+z的最小值是【題型5齊次化求最值】【例5】（2024·江西新余·二模）已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x+y=2，則x+6y+6xy的最小值為（

A．12 B．3+22 C．252 【變式5-1】（23-24高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知正數(shù)x,y滿(mǎn)足x+2y=1，則x2+yxyA．122 B．22 C．1【變式5-2】（23-24高一上·江蘇常州·階段練習(xí)）已知xy=1，且0<y<12，則x?4yx2+16【變式5-3】（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知實(shí)數(shù)x>0，y>0，則(x+1)2+(3y+1)2x【題型6多次使用基本不等式求最值】【例6】（2024·山西運(yùn)城·二模）若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則ab+bca2+2A．12 B．14 C．22【變式6-1】（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)x,y,z>0，滿(mǎn)足xy+zx=2，則當(dāng)4y+A．1 B．32 C．2 D．【變式6-2】（23-24高三下·浙江·開(kāi)學(xué)考試）已知a、b、c、d均為正實(shí)數(shù)，且1a+2b=A．3 B．2C．3+22 【變式6-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知a為非零實(shí)數(shù)，b，c均為正實(shí)數(shù)，則a2b+aA．12 B．24 C．22【題型7實(shí)際應(yīng)用中的最值問(wèn)題】【例7】（23-24高一上·陜西西安·期中）一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱(chēng)黃金，一顧客到店購(gòu)買(mǎi)黃金100g，售貨員先將50g砝碼放在天平左盤(pán)中，取出黃金放在右盤(pán)中使天平平衡；再將A．小于100g B．等于C．大于100g 【變式7-1】（24-25高三上·江蘇無(wú)錫·期中）一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存貨物，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)y1（單位：元）與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離x（單位：km）成反比，每月庫(kù)存貨物費(fèi)y2（單位：元）與x成正比；若在距離車(chē)站6km處建倉(cāng)庫(kù)，則y2A．2km B．3km C．4km D．5km【變式7-2】（24-25高一上·四川瀘州·期中）如圖，某花圃基地計(jì)劃用柵欄圍成兩間背面靠墻的相同的矩形花室．(1)若柵欄的總長(zhǎng)為120米，求每間花室面積的最大值；(2)若要求每間花室的面積為150平方米，求所需柵欄總長(zhǎng)的最小值．【變式7-3】（24-25高一上·陜西咸陽(yáng)·期中）某校計(jì)劃利用其一側(cè)原有墻體，建造高為1米，底面積為100平方米，且背面靠墻的長(zhǎng)方體形狀的露天勞動(dòng)基地，靠墻那面無(wú)需建造費(fèi)用，因此甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)如下：長(zhǎng)方體前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米320元，左、右兩面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米160元，地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)6400元.設(shè)勞動(dòng)基地的左、右兩面墻的長(zhǎng)度均為x6≤x≤12(1)當(dāng)左面墻的長(zhǎng)度為多少米時(shí)，甲工程隊(duì)的報(bào)價(jià)最低？(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與該勞動(dòng)基地的建造競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為320a1+xxa>0【題型8與其他知識(shí)交匯的最值問(wèn)題】【例8】（23-24高三上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）在△ABC中，已知AB→?AC→=9，b=c?cosA，△ABC的面積為6，若P為線(xiàn)段AB上的點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)AA．9 B．34 C．914 【變式8-1】（2020·全國(guó)·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)x=a與雙曲線(xiàn)C:x2a2?y2b2A．4 B．8 C．16 D．32【變式8-2】（23-24高三·全國(guó)·階段練習(xí)）在ΔABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acos（1）求角A的大??；（2）若a=3，求bc【變式8-3】（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理論研究和證明中占有重要的位置，基本不等式a+b2≥aba>0,b>0就是最簡(jiǎn)單的平均值不等式.一般地，假設(shè)a1,a2,???,an為n個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，它們的算術(shù)平均值記為An=(1)已知x>y>0，求x+8(2)已知正項(xiàng)數(shù)列an，前n項(xiàng)和為S（i）當(dāng)Sn=1時(shí)，求證：（ii）求證：Πi=1一、單選題1．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知x>1，y>0，且1x?1+1y=1A．13 B．15+552 C．14 2．（2024·四川綿陽(yáng)·一模）已知x>0,y>0，且滿(mǎn)足x+y=xy?3，則xy的最小值為（

）A．3 B．23 C．6 3．（2024·江蘇宿遷·一模）若a>0,b>0,a+2b=3，則3a+6A．9 B．18 C．24 D．274．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若正實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足a+b=1，則1aB．若正實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足a+2b=1，則2C．y=x2D．若a>b>1，則ab+1<a+b5．（2024·四川成都·三模）設(shè)a>b>0，若a2+λb2≤A．2+22 B．4 C．2+2 6．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的“大方圖”稱(chēng)為趙爽弦圖，它是由中國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽于公元3世紀(jì)在給《周髀算經(jīng)》“勾股網(wǎng)方圖”作注時(shí)給出的一種幾何平面圖，記載于趙爽“負(fù)薪余日，聊觀《周》”一書(shū)之中.他用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言將其表示為“若直角三角形兩直角邊為a，b斜邊為c（a、b、c均為正數(shù)）.則a+b2=4ab+b?a2，a+b2=2cA．9 B．18 C．27 D．367．（2024·福建寧德·模擬預(yù)測(cè)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足4x+y=2xy，且不等式x+y4<m2A．{m∣?1<m<2} B．{m∣m<?1或m>2}C．{m∣?2<m<1} D．{m∣m<?2或m>1}8．（2024·山東淄博·二模）記maxx,y,z表示x,y,z中最大的數(shù)．已知x,y均為正實(shí)數(shù)，則maxA．12 B．1 C．2 二、多選題9．（2024·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè)）下列不等式正確的有（）A．當(dāng)0<x<10時(shí)，x10?xB．已知正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x+y=2，則1C．當(dāng)x>?1時(shí)，x+D．函數(shù)y=1?2x?3x10．（2024·廣東佛山·一模）已知a，b>0，且ab=a+2b+6，則（

）A．a(chǎn)b的最小值為18 B．a(chǎn)2C．2a+1b的最小值為2311．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)加雷科德在《礪智石》一書(shū)中先把“=”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)，若a>0,b>0，則下面結(jié)論正確的是（）A．若a>b，則1B．若1a+4bC．若ab+b2D．若a+b=2，則ab有最大值2三、填空題12．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足ab=2，則a2+4b2的最小值為13．（23-24高一下·云南曲靖·階段練習(xí)）已知x>0,y>0，且x+y=3，則yx+1+1y的最小值為14．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a>0，b>0，記M為1a，．四、解答題15．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)