巧用一次函數(shù)分析電學(xué)實驗系統(tǒng)誤差

電學(xué)實驗的系統(tǒng)誤差分析是學(xué)生的重點、難點，甚至是痛點．如何快速地判斷測量值比實際值大還是小呢？本文將巧用一次函數(shù)法來快速判斷，即在數(shù)據(jù)處理時列出理想電表和實際電表對實驗結(jié)果的函數(shù)關(guān)系，利用一次函數(shù)的斜率和截距就能快速地判斷測量值和真實值的誤差關(guān)系，此方法不僅能培養(yǎng)學(xué)生“運用數(shù)學(xué)工具解決物理問題”的能力，而且比解析法、等效法、列表法等方法更簡便，以彰顯數(shù)理結(jié)合的獨特魅力．一、伏安法測電阻1.外接法圖1電流表外接法測電阻的實驗原理如圖1所示．如果將電表視為理想電表，由閉合電路歐姆定律Rx測=UI①，變形為一次函數(shù)形式，得：U=Rx測I②．如果將電壓表視為實際電表，由閉合電路歐姆定律Rx真=UI-URV③，變形為一次函數(shù)形式得：U=Rx真1+Rx真RVI④，比較①式和④式，得：Rx測=Rx真1+Rx真RV⑤，顯然Rx測<Rx真⑥．2.內(nèi)接法圖2電流表內(nèi)接法測電阻的實驗原理如圖2所示．如果將電流表視為理想電表，由閉合電路歐姆定律Rx測=UI①，變形為一次函數(shù)形式，得：U=Rx測I②．如果將電流表視為實際電表，由閉合電路歐姆定律Rx真=UI-RA③，變形為一次函數(shù)形式得：U=（Rx真+RA）I④，比較①式和④式中一次函數(shù)的斜率，得：Rx測=Rx真+RA⑤，顯然Rx測>Rx真⑥．二、測電源電動勢和內(nèi)阻1.外接法圖3圖4測電源電動勢和內(nèi)阻的實驗原理如圖3所示（對被測量的電源可視為外接法）．如果將電壓表視為理想電表，由閉合電路歐姆定律E測=U+Ir測，變形為一次函數(shù)形式，得：U=（-r測）I+E測①．由于電壓表的分流（IV）原因會引起誤差，流經(jīng)電源的電流不是電流表測得的I測，而是I真=I測+IV②，IV=URV（RV為電壓表的內(nèi)阻），電壓表視為實際電表時，由閉合電路歐姆定律E真=U+（I+URV）r真③，變形為一次函數(shù)形式，得：U=（-r真1+r真RV）I+E真1+r真RV④，比較①式和④式中一次函數(shù)的斜率和截距，有：E測=E真1+r真RV，r測=r真1+r真RV⑤，顯然E測<E真，r測<r真⑥．對如圖4所示的伏阻法，同理可得E測<E真，r測<r真．2.內(nèi)接法圖5圖6測電源電動勢和內(nèi)阻的實驗原理如圖5所示（對被測量的電源可視為內(nèi)接法）．如果將電流表視為理想電表，由閉合電路歐姆定律E測=U+Ir測，變形為一次函數(shù)形式，得：U=（-r測）I+E測①．由于電流表的分壓（UA）原因會引起誤差，電源兩端的電壓不是電壓表測得的U測，而是U真=U測+UA②，UA=IRA（RA為電流表的內(nèi)阻），電流表視為實際電表時，由閉合電路歐姆定律E真=U+I（r真+RA）③，變形為一次函數(shù)形式，得：U=-（r真+RA）I+E真④，比較①式和④式中一次函數(shù)的斜率和截距，有：E測=E真，r測=r真+RA⑤，顯然E測=E真，r測>r真⑥．對如圖6所示的安阻法，同理可得E測=E真，r測>r真成立．在以上兩種測量電路中，內(nèi)接法雖然測量的電源電動勢準(zhǔn)確，但電流表分壓較為明顯，所以內(nèi)阻測量的誤差很大；外接法雖然電動勢和內(nèi)阻測量均偏小，但是電壓表內(nèi)阻很大，分流不明顯，所以電動勢和內(nèi)阻的測量誤差較小，所以實驗室一般選擇外接法來減小由電表內(nèi)電阻引起的系統(tǒng)誤差．三、半偏法測電表內(nèi)阻1.半偏法測電流表內(nèi)阻圖7半偏法測電流表內(nèi)阻的實驗原理如圖7所示．根據(jù)實驗原理，如果不考慮閉合S2后干路電流的變化，RA測=R2①，對實際電路，閉合S2前，由閉合電路歐姆定律，有：E=（r+R1+RA真）Ig②，閉合S2后，有：E=12IgRA真+（12Ig+12IgRA真R2）（r+R1）③，變形為一次函數(shù)形式，得：E=12［（r+R1）+RA真（r+R1+R2）R2］Ig④，比較②式和④式中一次函數(shù)的斜率，有：r+R1+RA真=12［（r+R1）+RA真（r+R1+R2）R2］⑤，化簡得：RA真=r+R1r+R1-R2R2⑥，得出結(jié)論：RA測=R2<RA真⑦，且R1RA滿足得越充分，系統(tǒng)誤差越小．2.半偏法測電壓表內(nèi)阻圖8半偏法測電壓表內(nèi)阻的實驗原理如圖8所示．根據(jù)實驗原理，如果不考慮斷開S2后電壓表所在支路電壓的變化，RV測=R0①，對實際電路，斷開S2前，由閉合電路歐姆定律，有：E=Ug+（UgRV真+UgRp1）（r+Rp2）②，變形為一次函數(shù)形式，得：E=1+（1RV真+1RP1）（r+Rp2）Ug③，斷開S2后，有：E=Ug2+Ug2RV真R0+Ug2+Ug2RV真R0Rp1（r+Rp2）④，變形為一次函數(shù)形式，得：E=12+12RV真R0+12+12RV真R0RP1（r+Rp2）Ug⑤，比較③式和⑤式中一次函數(shù)的斜率，有：1+（1RV真+1Rp1）（r+Rp2）=12+12RV真R0+12+12RV真R0Rp1（r+Rp2）⑥，化簡得：RV真=R0-2Rp1（r+Rp2）r+Rp2+Rp1⑦，得出結(jié)論：RV測=R0>RV真⑧，且RVR1滿足得越充分，系統(tǒng)誤差越?。摹W姆表測電阻圖9歐姆表的實驗原理如圖9所示．由閉合電路歐姆定律，有：E=IgR內(nèi)，E=I（R內(nèi)+Rx測）①，變形為一次函數(shù)形式得：Ig=（1+Rx測R內(nèi)）I②，如果電池用久了，電動勢變小，內(nèi)阻變大，但仍然能調(diào)零，由閉合電路歐姆定律，有：E′=IgR′內(nèi)，E′=I（R′內(nèi)+Rx真）③，變形為一次函數(shù)形式得：Ig=（1+Rx真R′內(nèi)）I④，比較②式和④式中一次函數(shù)的斜率，有：Rx測=R內(nèi)R′內(nèi)Rx真⑤，得出結(jié)論：Rx測>Rx真，且定量計算誤差的大小，有：Rx測Rx真=EE′=R內(nèi)R′內(nèi)成立⑥．五、實例分析【例1】（2024年湖南卷）某實驗小組要探究一金屬絲的阻值隨氣壓變化的規(guī)律，搭建了如圖10（a）所示的裝置．電阻測量原理如圖10（b）所示，E是電源，V為電壓表，A為電流表．圖10（1）保持玻璃管內(nèi)壓強為1個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，電流表示數(shù)為100mA，電壓表量程為3V，表盤如圖10（c）所示，示數(shù)為V，此時金屬絲阻值的測量值R為Ω（保留3位有效數(shù)字）；（2）打開抽氣泵，降低玻璃管內(nèi)氣壓p，保持電流I不變，讀出電壓表示數(shù)U，計算出對應(yīng)的金屬絲阻值；（3）根據(jù)測量數(shù)據(jù)繪制R-p關(guān)系圖線，如圖10（d）所示；（4）如果玻璃管內(nèi)氣壓是0.5個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，保持電流為100mA，電壓表指針應(yīng)該在圖10（c）指針位置的側(cè)（填“左”或“右”）；（5）若電壓表是非理想電壓表，則金屬絲電阻的測量值真實值（填“大于”“小于”或“等于”）．【解析】（1）電壓表量程為0-3V，分度值為0.1V，則電壓表讀數(shù)需估讀一位，讀數(shù)為1.23V，根據(jù)歐姆定律可知，金屬絲的測量值R=UI=12.3Ω；（4）據(jù)圖（d）可知氣壓越小電阻越大，再根據(jù)U=IR可知壓強p減小，則電阻R增大，故電壓增大，電壓表的指針位置應(yīng)該在題圖10（c）中指針位置的右側(cè)；（5）由歐姆定律U=R測I，因電流表采用外接法會導(dǎo)致電壓表分流，即U=R真（I-URV），變形為：U=R真1+R真RVI，兩式相比，R測<R真．【例2】（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷）某探究小組要測量電池的電動勢和內(nèi)阻．可利用的器材有：電壓表、電阻絲、定值電阻（阻值為R0）、金屬夾、刻度尺、開關(guān)S、導(dǎo)線若干．他們設(shè)計了如圖11所示的實驗電路原理圖．圖11（1）實驗步驟如下：①將電阻絲拉直固定，按照圖（a）連接電路，金屬夾置于電阻絲的．（填“A”或“B”）端；②閉合開關(guān)S，快速滑動金屬夾至適當(dāng)位置并記錄電壓表示數(shù)U，斷開開關(guān)S，記錄金屬夾與B端的距離L；③多次重復(fù)步驟②，根據(jù)記錄的若干組U、L的值，作出圖（c）中圖線Ⅰ；④按照圖（b）將定值電阻接入電路，多次重復(fù)步驟②，再根據(jù)記錄的若干組U、L的值，作出圖（c）中圖線Ⅱ．（2）由圖線得出縱軸截距為b，則待測電池的電動勢E=．（3）由圖線求得Ⅰ、Ⅱ的斜率分別為k1、k2，若k2k1=n，則待測電池的內(nèi)阻r=（用n和R0表示）．【解析】（1）為了保護電路，閉合開關(guān)前，金屬夾置于電阻絲的最大阻值處，由圖可知，應(yīng)該置于A端．（2）對于電路圖（a），根據(jù)閉合電路歐姆定律有U=E－Ir，設(shè)金屬絲的電阻率為ρ，橫截面積為S，結(jié)合歐姆定律和電阻定律I=UR，R=ρLS，聯(lián)立可得U=E－USρLr，整理可得1U=1E+SrEρ·1L，對于電路圖（b），根據(jù)閉合電路歐姆定律有U=E－I（r+R0），結(jié)合歐姆定律和電阻定律I=UR，R=ρLS，聯(lián)立后整理1U=1E+S（r+R0）Eρ·1L，可知圖線的縱軸截距b=1E，解得：E=1b．（3）由題意可知k1=SrEρ，k2=S（r+R0）Eρ，又k2k1=n，聯(lián)立解得：r=R0n-1．【點評