高中數(shù)學(xué)等比數(shù)列

PAGE|初一·數(shù)學(xué)·基礎(chǔ)-提高-精英·學(xué)生版|第1講第頁(yè)等比數(shù)列等比數(shù)列高考要求高考要求要求層次重難點(diǎn)等比數(shù)列等比數(shù)列的概念B等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用靈活應(yīng)用求和公式解決問(wèn)題等差比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式C例題精講例題精講板塊一：等比數(shù)列板塊一：等比數(shù)列通項(xiàng)知識(shí)內(nèi)容等比數(shù)列的概念：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，常用字母表示．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．等比中項(xiàng)：如果三個(gè)數(shù)組成等比數(shù)列，那么叫做和的等比中項(xiàng)，即．兩個(gè)正數(shù)（或兩個(gè)負(fù)數(shù)）的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；一個(gè)正數(shù)與一個(gè)負(fù)數(shù)沒(méi)有等比中項(xiàng)．<教師備案>1．等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)：由等比數(shù)列的定義知：將這個(gè)式子的等號(hào)兩邊分別相乘得：，即．由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式易知：．等比數(shù)列的性質(zhì)（其中公比為）：⑴，；⑵若，則有；若，則有；⑶等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即，，，為等比數(shù)列，公比為．（二）主要方法：1．解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的問(wèn)題時(shí)，通?？紤]兩類方法：①基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于和的方程；②巧妙運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量．2．深刻領(lǐng)會(huì)兩類數(shù)列的性質(zhì)，弄清通項(xiàng)和前項(xiàng)和公式的內(nèi)在聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．（二）典例分析：1.等比數(shù)列定義⑴在等比數(shù)列中,，，則（）A．B．C．D．⑵在等比數(shù)列中，若是方程的兩根，則的值是_____.⑶在等比數(shù)列中，公比，且，則等于（）A．B．C．D．已知等比數(shù)列中，，，則該數(shù)列的通項(xiàng)___________．一個(gè)數(shù)加上，，后得到的三數(shù)成等比數(shù)列，其公比為．有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是，求這四個(gè)數(shù)．2.等比數(shù)列性質(zhì)已知是等比數(shù)列，，則()A．B．C．D．或判斷設(shè)為公比的等比數(shù)列，若和是方程的兩根，則．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則()A．12 B．10 C．8 D．等比數(shù)列的公比為，則的值為．已知等比數(shù)列滿足，且.⑴求數(shù)列的通項(xiàng)；⑵如果至少存在一個(gè)自然數(shù)，恰使，，這三個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列，問(wèn)這樣的等比數(shù)列是否存在?若存在，求出通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，，令，若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則．3.證明等比數(shù)列<教師備案>數(shù)列的遞推公式在必修5中為選學(xué)內(nèi)容，目的是使學(xué)生了解數(shù)列的遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，也是研究數(shù)列的一個(gè)途徑，本板塊與等比數(shù)列定義結(jié)合，根據(jù)數(shù)列遞推公式，重點(diǎn)講解用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，也可稱為換元法．主要有幾種出題形式：1．2．3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，⑴求，；⑵求證：數(shù)列是等比數(shù)列．已知數(shù)列滿足，，求其通項(xiàng)公式．在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，有，求．解法一利用待定系數(shù)法確定常數(shù)，從而構(gòu)造新的等比數(shù)列，進(jìn)而求通項(xiàng)公式；解法二仿照所給關(guān)系式，兩式相減構(gòu)造新的數(shù)列（等差或等比）已知數(shù)列滿足，，求當(dāng)成等比數(shù)列時(shí)，由于是等比數(shù)列，且是常數(shù)，故一定可像一樣分解：設(shè)，則，，且成等比數(shù)列．已知，，求．?dāng)?shù)列中，，（是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列．⑴求的值；⑵求的通項(xiàng)公式．在數(shù)列中，，，．⑴證明數(shù)列是等比數(shù)列；⑵求數(shù)列的前項(xiàng)和．，當(dāng)數(shù)列成等差數(shù)列時(shí)．⑴若，則，這實(shí)質(zhì)上成為“泛等差”數(shù)列，因此用“迭加法”即可解決，即，上一講已有此類題目，若與等比結(jié)合，例如：已知數(shù)列滿足，，求．解：∵，∴，，…，，迭加法：時(shí)，有而也適合上式∴的通項(xiàng)公式為⑵那么且時(shí)，是等差數(shù)列，故也可以像一樣分解：則，，且成等比數(shù)列．也可舉更一般的例題：已知，，求．解：設(shè)∴故恒成立，故∴，，故成等比數(shù)列．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為數(shù)列的前項(xiàng)和滿足⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵將數(shù)列與的公共項(xiàng)，按它們?cè)谠瓟?shù)列中的先后順序排成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．設(shè)為常數(shù)，且．⑴證明對(duì)任意，；⑵假設(shè)對(duì)任意有，求的取值范圍．板塊二：數(shù)列板塊二：數(shù)列的前項(xiàng)和（一）知識(shí)內(nèi)容<教師備案>錯(cuò)位相減求和法：非零的等差數(shù)列、等比數(shù)列構(gòu)造數(shù)列，此數(shù)列稱為差比數(shù)列，求它的前項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法．等比數(shù)列的項(xiàng)和也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即，為等比數(shù)列，公比為．通項(xiàng)公式：；前項(xiàng)和公式：．等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)：法一：由等比數(shù)列的定義知，將這個(gè)等式的兩邊分別相加得：，即，整理得，當(dāng)時(shí)，，顯然此式對(duì)也成立；當(dāng)時(shí)，．法二：，將上式兩邊同乘以得：，兩式相減得：，以下討論同法一．法二稱為錯(cuò)位相減法，是數(shù)列求和中常用的一種方法．（二）典例分析：1.等比數(shù)列求和公式在等比數(shù)列中，，，則它的公比_______，前項(xiàng)和_______．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A． B． C． D．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，，令，若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則．等比數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，公比，若＝，則等于．等比數(shù)列中，，公比，用表示它前項(xiàng)的積：，則，，…，中最大的是_______．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．⑴求，，的值；⑵求的通項(xiàng)公式及．在等比數(shù)列中，，試求：⑴和公比；⑵前6項(xiàng)的和.⑴在等比數(shù)列中，已知對(duì)任意正整數(shù)，有，則________．⑵求和：．⑶(2008-2009學(xué)年度山東省費(fèi)縣必修5考試數(shù)學(xué)試卷)在等比數(shù)列中，，．若數(shù)列的公比大于，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和．板塊三：等比數(shù)列綜合板塊三：等比數(shù)列綜合在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則……等于（ ）A．B．C．D．⑴等比數(shù)列中，已知對(duì)任意自然數(shù)，，則()A．B．C．D．⑵若，求的值.⑵求和：．⑶在等比數(shù)列中，，．若數(shù)列的公比大于，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和．在等比數(shù)列的前項(xiàng)中，最小，且，前項(xiàng)和，求和公比．設(shè)等比數(shù)列前項(xiàng)和為，若，求數(shù)列的公比．的相鄰兩項(xiàng)是方程的兩根，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和.已知數(shù)列：，，，…，，求它的前項(xiàng)和．已知：數(shù)列滿足.⑴求數(shù)列的通項(xiàng)；⑵設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求其前項(xiàng)和公式．求數(shù)列，，，…，，…，（為常數(shù)）的前項(xiàng)的和．已知等差數(shù)列，公差為，求設(shè)為等比數(shù)列，，已知，．⑴求數(shù)列的首項(xiàng)和公比;⑵求數(shù)列的通項(xiàng)公式．已知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，令，⑴當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；⑵若數(shù)列中的每一項(xiàng)總小于它后面的項(xiàng)時(shí)，求的取值范圍．本題的⑵屬于數(shù)列與不等式的結(jié)合問(wèn)題，涉及到分式不等式的解法以及參數(shù)的討論問(wèn)題，注意與指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)相結(jié)合．已知函數(shù)是一次函數(shù)，且，，，成等比數(shù)列，設(shè)，．⑴求；⑵設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和．⑴求的取值范圍；⑵設(shè)，記的前項(xiàng)和為，試比較與的大?。O(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，是前項(xiàng)和，證明設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，是前項(xiàng)和．⑴證明：；⑵是否存在常數(shù)使得成立？并證明你的結(jié)論．板塊四：板塊四：等比數(shù)列知識(shí)的應(yīng)用<教師備案>1．復(fù)利．復(fù)利是指把上期的利息也加入本期的本金計(jì)算利息，叫做復(fù)利．2．復(fù)利公式．設(shè)有一筆資金的本金為元，每期的利率為，若按復(fù)利計(jì)算，則本利和可按期數(shù)排成下面的數(shù)列．因此本利和是個(gè)等比數(shù)列，則元本金在利率下，經(jīng)期后，按復(fù)利計(jì)算的本利和公式為習(xí)慣上常將復(fù)利計(jì)算本利和時(shí)的利率叫做復(fù)利率．用分期付款方式購(gòu)買(mǎi)家用電器一件，價(jià)格為元，購(gòu)買(mǎi)當(dāng)天先付元，以后每月這一天都交付元，并加付欠款的利息，月利率為％，若交付元后的第一個(gè)月開(kāi)始算分期付款的第一個(gè)月，問(wèn)分期付款的第十個(gè)月該交付多少錢(qián)？全部貨款付清后，買(mǎi)這件家電實(shí)際花了多少錢(qián)？從盛滿升純酒精的溶液里倒出升，然后填滿水，再倒出升混合溶液后又用水填滿．如此繼續(xù)下去，那么第次操作后溶液的濃度是多少?某企業(yè)年初有資金萬(wàn)元，如果該企業(yè)經(jīng)過(guò)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)能使每年資金平均增長(zhǎng)率為%，但每年年底都要扣除消費(fèi)基金萬(wàn)元，余下基金投入再生產(chǎn)，為實(shí)現(xiàn)經(jīng)過(guò)年資金達(dá)到萬(wàn)元（扣除消費(fèi)基金后），那么每年應(yīng)扣除消費(fèi)基金多少萬(wàn)元（精確到萬(wàn)元）？小芳同學(xué)若將每月省下的零花錢(qián)元在月末存入銀行，月利按復(fù)利計(jì)算，月利率為%，每夠一年就將一年的本利和改存，年利按復(fù)利計(jì)算，年利率為%，問(wèn)三年后取出本利共多少元(保留到個(gè)位)？(05上海卷．理12)用個(gè)不同的實(shí)數(shù)可得到個(gè)不同的排列，每個(gè)排列為一行寫(xiě)成一個(gè)行的數(shù)陣。對(duì)第行，記，。例如：用、可得數(shù)陣如圖，由于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是，所以，，那么，在用形成的數(shù)陣中，=________。我們?cè)谙旅娴谋砀駜?nèi)填寫(xiě)數(shù)值：先將第行的所有空格填上；再把一個(gè)首項(xiàng)為，公比為的數(shù)列依次填入第一列的空格內(nèi)；然后按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫(xiě)其他空格．第列第列第列…第列第行…第行第行……第行⑴設(shè)第行的數(shù)依次為，