高考數(shù)學總復習《空間向量與立體幾何》專項測試卷（含答案）

第第頁高考數(shù)學總復習《空間向量與立體幾何》專項測試卷（含答案）學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________【易混點梳理】1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和.一般地，表面積=側面積+底面積.多面體側面展開圖面積公式棱柱（如三棱柱）棱錐（如三棱錐）棱臺（如三棱臺）2.圓柱、圓錐、圓臺的表面積旋轉體側面展開圖面積公式圓柱底面積：側面積：表面積：圓錐底面積：側面積：表面積：圓臺上底面面積：下底面面積：側面積：表面積：3.柱體、錐體、臺體的體積幾何體體積公式柱體（為底面面積，為高），（為底面半徑，為高）錐體（為底面面積，為高），（為底面半徑，為高）臺體（分別為上、下底面面積，為高），（分別為上、下底面半徑，為高）4.球的表面積和體積（1）球的表面積：設球的半徑為，則球的表面積為，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍.（2）球的體積：設球的半徑為，則球的體積為.5.直線與直線平行：基本事實4平行于同一條直線的兩條直線平行.這一性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性.6.等角定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.7.直線與平面平行的判定定理自然語言圖形語言符號語言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.，，且.該定理可簡記為“若線線平行，則線面平行”.8.直線與平面平行的性質(zhì)定理自然語言圖形語言符號語言一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.，，.該定理可簡記為“若線面平行，則線線平行”.9.平面與平面平行的判定定理自然語言圖形語言符號語言如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.，，，，該定理可簡記為“若線面平行，則面面平行”.10.平面與平面平行的性質(zhì)定理自然語言圖形語言符號語言兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.，，.該定理可簡記為“若面面平行，則線線平行”.11.異面直線所成的角：（1）定義：已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點分別作直線，我們把與所成的角叫做異面直線與所成的角（或夾角）.（2）異面直線所成的角的取值范圍：.（3）兩條異面直線互相垂直：兩條異面直線所成的角是直角，即時，與互相垂直，記作.12.直線與平面垂直的概念定義如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面互相垂直，記作，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.它們唯一的公共點叫做垂足.畫法圖示畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖所示點到面的距離線到面的距離兩面間的距離過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條.過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離.如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.13.直線與平面垂直的判定定理自然語言圖形語言符號語言如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.，，，，.該定理可簡記為“若線線垂直，則線面垂直”.14.直線和平面所成的角有關概念對應圖形斜線一條直線與一個平面相交，但不與這個平面垂直，圖中直線.斜足斜線和平面的交點，圖中點.射影過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影.直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角；規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是的角.取值范圍15.直線與平面垂直的性質(zhì)定理自然語言圖形語言符號語言垂直于同一個平面的兩條直線平行.，16.二面角的概念概念從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.圖示記法棱為，面分別為的二面角記為.也可在內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點，記作二面角.平面角文字在二面角的棱上任取一點，以點為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則這兩條射線構成的角叫做這個二面角的平面角.圖示符號，，，，，，是二面角的平面角.范圍規(guī)定二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.17.平面與平面垂直（1）定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.平面與平面垂直，記作.如圖（2）判定定理：自然語言圖形語言符號語言如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.，.該定理可簡記為“若線面垂直，則面面垂直”.18.平面與平面垂直的性質(zhì)定理自然語言圖形語言符號語言兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.，，，.該定理可簡記為“若面面垂直，則線面垂直”.19.一般地，兩條異面直線所成的角，可以轉化為兩條異面直線的方向向量的夾角來求得.也就是說，若異面直線所成的角為，其方向向量分別是u，v，則.20.直線與平面所成的角，可以轉化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.如下圖，直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則.21.平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于的二面角稱為平面α與平面β的夾角.若平面α，β的法向量分別是和，則平面α與平面β的夾角即為向量和的夾角或其補角.設平面α與平面β的夾角為，則.【易錯題練習】1.一個五面體.已知，且兩兩之間距離為1，，，，則該五面體的體積為()A. B. C. D.2.已知空間中有兩個不重合的平面，和兩條不重合的直線m，n，則下列說法中正確的是()A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則3.如圖，四棱錐是棱長均為2的正四棱錐，三棱錐是正四面體，G為BE的中點，則下列結論錯誤的是()A.點A，B，C，F(xiàn)共面 B.平面平面CDFC. D.平面ACD4.如圖，在正方體中，O是AC中點，點P在線段上，若直線OP與平面所成的角為，則的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知中，，D為的中點.將沿翻折，使點C移動至點E，在翻折過程中，下列說法不正確的是()A.平面平面B.三棱錐的體積為定值C.當二面角的平面角為時，三棱錐的體積為D.當二面角為直二面角時，三棱錐的內(nèi)切球表面積為6.（多選）已知正方體的棱長為4，EF是棱AB上的一條線段，且，點Q是棱的中點，點P是棱上的動點，則下面結論中正確的是()A.PQ與EF一定不垂直 B.二面角的正弦值是C.的面積是 D.點P到平面QEF的距離是定值7.（多選）如圖，在正方體中，點P在線段上運動，有下列判斷，其中正確的是()A.平面平面B.平面C.異面直線與所成角的取值范圍是D.三棱錐的體積不變8.如圖，在棱長為2的正方體中，M為棱的中點，與相交于點N，P是底面ABCD內(nèi)（含邊界）的動點，總有，則動點P的軌跡的長度為___________.9.已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，側面底面ABCD，且，則四棱錐的外接球的表面積為__________.10.如圖所示，圓臺的軸截面為等腰梯形，，B為底面圓周上異于A，C的點，且，P是線段BC的中點.（1）求證：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.答案以及解析1.答案：C解析：因為AD，BE，CF兩兩平行，且兩兩之間距離為1，則該五面體可以分成一個側棱長為1的三棱柱和一個底面為梯形的四棱錐，其中三棱柱的體積等于棱長均為1的直三棱錐的體積，四棱錐的高為，底面是上底為1、下底為2、高為1的梯形，故該五面體的體積，故選C.2.答案：A解析：若，，則或，又，所以，故A正確；若，，則或，又，則或n與斜交或均有可能，故B錯誤；若，，則或，又，因此m和n的位置關系可能為平行、相交或異面，故C錯誤；若，，，則或，故D錯誤.綜上，選A.3.答案：D解析：A選項：如圖，取CD的中點H，連接GH，F(xiàn)H，AG，AH，易得，，，則平面，平面AFH，所以A，G，H，F(xiàn)四點共面，由題意知，，所以四邊形AGHF是平行四邊形，所以，因為，所以，所以A，B，C，F(xiàn)四點共面，故A正確；B選項：由選項A知，又平面，平面CDF，所以平面CDF，因為，且平面，平面CDF，所以平面CDF，又平面，平面ABE，且，所以平面平面CDF，故B正確；C選項：由選項A可得平面AGHF，又平面AGHF，所以，故C正確；D選項：假設平面ACD，則，由選項A知四邊形AGHF是平行四邊形，所以四邊形AGHF是菱形，與，矛盾，故D錯誤.4.答案：A解析：如圖，設正方體的棱長為1，，則.以D為原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.則，，，故，，又，則，所以.在正方體中，連接，可知體對角線平面，所以是平面的一個法向量，所以.所以當時，取得最大值，當或1時，取得最小值.所以，故選A.5.答案：B解析：如圖：A選項，，，，所以平面，因為平面，故平面平面，A正確，不符合題意.B選項，由A知平面，但的面積不是定值，故三棱錐的體積不是定值，B錯誤，符合題意.C選項，二面角的平面角為，當時，，三棱錐的體積為，C正確，不符合題意.D選項，當二面角為直二面角時，，三棱錐的表面積為，設內(nèi)切球半徑為r，則由等體積法知，解得，所以內(nèi)切球表面積，D正確.6.答案：BCD解析：對于A，當點P與點重合時，，故選項A錯誤.對于B，由于點P是棱上的動點，EF是棱AB上的一條線段，所以平面PEF即為平面，平面QEF即為平面QAB.建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，.設平面QAB的一個法向量為，則即令，則.設平面的法向量為，則即令，則.設二面角的大小為，所以，故，故選項B正確.對于C，由于平面，平面，所以，所以，所以是的高，所以，故選項C正確.對于D，由于，且平面，平面QEF，所以平面QEF，又點P在上，所以點P到平面QEF的距離是定值，故選項D正確.故選BCD.7.答案：ABD解析：對于A，連接DB，如圖，因為在正方體中，平面ABCD，又平面ABCD，所以，因為在正方形ABCD中，，又DB與為平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，又因為平面，所以，同理可得，因為與AC為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，又平面，從而平面平面，故A正確；對于B，連接，，如圖，因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又、為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面平面，因為平面，所以平面，故B正確；對于C，因為，所以與所成角即為與所成的角，因為，所以為等邊三角形，當P與線段的兩端點重合時，與所成角取得最小值，當P與線段的中點重合時，與所成角取得最大值，所以與所成角的范圍是，故C錯誤；對于D，由選項B得平面，故上任意一點到平面的距離均相等，即點P到平面的距離不變，不妨設為h，則，所以三棱錐的體積不變，故D正確.故選ABD.8.答案：解析：如圖，連接，，，，，因為N，M分別是，的中點，所以.由正方體的性質(zhì)易知，，，所以平面，所以.同理可證.又，所以平面，即平面，因此當時，總有，所以動點P的軌跡是線段BD.又正方體的棱長為2，所以.9.答案：解析：設正方形ABCD的中心為，的外心為G，取AB的中點E，連接，，，則，，以，為鄰邊作平行四邊形，如圖.因為側面底面，，平面平面，平面PAB，所以平面ABCD，所以.則平面ABCD，同理可知平面PAB.連接OA，OB，OC，OD，OP，則，所以O就是該四棱錐