冀教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第五章一元一次方程習(xí)題課件

第五章一元一次方程5.1等式與方程

等式的基本性質(zhì)12345678910111213141.

有三種不同質(zhì)量的物體“

”“

”“

”，其中同一種物體的質(zhì)量都

相等.下列四個(gè)天平中只有一個(gè)天平?jīng)]有處于平衡狀態(tài)，則該天平是

(

B

)B2.

(2024·保定期末)已知a＝b，根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式不一定成立

的是(

D

)A.

a－1＝b－1C.

ac＝bcD1234567891011121314

12345678910111213143.

(2023·衡水期末)根據(jù)等式的性質(zhì)，若等式m＝n可以變形得到m＋a

＝n－b，則a，b應(yīng)滿足的條件是(

A

)A.

互為相反數(shù)B.

互為倒數(shù)C.

相等D.

a＝0，b＝0A1234567891011121314【解析】因?yàn)閙＝n，且m＋a＝n－b，所以a＝－b，即a＋b＝0.所以a，b應(yīng)滿足的條件是a與b互為相反數(shù).12345678910111213144.

小周學(xué)習(xí)了“等式的基本性質(zhì)”后，對(duì)等式5m－2＝3m－2進(jìn)行變

形，得出“5＝3”的錯(cuò)誤結(jié)論，但他找不到錯(cuò)誤原因，聰明的你能幫助

他找到原因嗎？小周同學(xué)的具體解題過程如圖所示.解：將等式5m－2＝3m－2變形，得5m＝3m.……第①步所以5＝3.……第②步(1)哪一步等式變形產(chǎn)生錯(cuò)誤？解：(1)第②步等式變形產(chǎn)生錯(cuò)誤.1234567891011121314(2)請(qǐng)你分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因.解：(2)第②步產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是等式兩邊同時(shí)除以字母m時(shí)，沒有考

慮字母m是否為0，所以等式不成立.1234567891011121314

方程的概念5.

下列式子中，是方程的是(

C

)A.25xB.15－3＝12C.

6x＋1＝6D.

4x＋7＜9【解析】A.

25x是單項(xiàng)式，不是方程；B.

15－3＝12不含未知數(shù)，不是方程；C.

6x＋1＝6是方程；D.

4x＋7＜9是不等式，不是方程.C12345678910111213146.

(2023·石家莊階段練習(xí))下列敘述中，正確的是(

B

)A.

方程是含有未知數(shù)的式子B.

方程是等式C.

只有含有字母x，y的等式才叫方程D.

帶等號(hào)和字母的式子叫方程B1234567891011121314

利用等式的基本性質(zhì)，把方程化成x＝a的形式

A.

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)B.

等式的基本性質(zhì)1C.

等式的基本性質(zhì)2D.

方程的概念C1234567891011121314

10

7x－6

2n＋7

12345678910111213149.

請(qǐng)利用等式的基本性質(zhì)，把下列方程化成x＝a的形式：(1)x－5＝8；解：兩邊都加上5，得x－5＋5＝8＋5.所以x＝13.(2)5x＋8x＝39；解：合并同類項(xiàng)，得13x＝39.兩邊都除以13，得x＝3.1234567891011121314(3)4x＋8＝2x－7.

123456789101112131410.

(2024·保定期末)根據(jù)如圖所示的運(yùn)算程序計(jì)算y的值，當(dāng)輸入的x

值為3和－4時(shí)，相應(yīng)輸出的y值互為相反數(shù)，則b＝

?.

11.

(2024·保定期末)已知8m＋3n＋2＝4m＋7n，利用等式的性質(zhì)比較

m與n的大小關(guān)系：m

n(填“＞”“＜”或“＝”).30

＜

123456789101112131411.

(2024·保定期末)已知8m＋3n＋2＝4m＋7n，利用等式的性質(zhì)比較

m與n的大小關(guān)系：m

n(填“＞”“＜”或“＝”).＜

1234567891011121314

1234567891011121314

123456789101112131413.

王老師在黑板上寫了一個(gè)等式(m－3)x＝5(m－3)，小明說x＝5；

小剛說不一定，當(dāng)x≠5時(shí)，這個(gè)等式也可能成立.你認(rèn)為這兩名同學(xué)的

說法正確嗎？用等式的性質(zhì)說明理由.解：小明的說法錯(cuò)誤，小剛的說法正確.理由：根據(jù)等式的基本性質(zhì)2，等式兩邊同時(shí)除以(m－3)時(shí)，需考慮(m－3)是否為0.所以當(dāng)m－3＝0時(shí)，x為任意數(shù)；當(dāng)m－3≠0時(shí)，x＝5.1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314第五章一元一次方程5.2一元一次方程

一元一次方程的概念1.

(2023·廊坊期末)下列方程中，是一元一次方程的是(

D

)A.

2x－y＝3B.

x－2＝xC.

x2＋5x＝2D.1＋y＝2D12345678910111213141516171819【解析】A.

方程中含有兩個(gè)未知數(shù)x，y，故此選項(xiàng)不是一元一次

方程；B.

方程可化簡(jiǎn)為－2＝0，它不含未知數(shù)，故此選項(xiàng)不是一元一次

方程；C.

方程的次數(shù)是2，故此選項(xiàng)不是一元一次方程；D.

方程只有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1，故此選項(xiàng)是一元一

次方程.123456789101112131415161718192.

(2024·唐山期末)若方程□－3＝x是關(guān)于x的一元一次方程，則“□”

可以是(

A

)A.

2xB.

2yC.

x2D.

y2A12345678910111213141516171819【解析】A.

2x－3＝x，是一元一次方程，故此選項(xiàng)符合題意；B.

2y－3＝x，含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程，故此選項(xiàng)不符合

題意；C.

x2－3＝x，未知數(shù)的次數(shù)是2，不是一元一次方程，故此選項(xiàng)不符合

題意；D.

y2－3＝x，含有兩個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是2次，不是一元一次方

程，故此選項(xiàng)不符合題意.123456789101112131415161718193.

如圖是某同學(xué)完成的作業(yè)，他做對(duì)的題數(shù)是(

B

)BA.2道B.3道C.4道D.5道12345678910111213141516171819【解析】有理數(shù)包括正有理數(shù)，0和負(fù)有理數(shù)，故1作答正確；絕對(duì)值是它本身的數(shù)是0和正數(shù)，故2作答正確；若m＝0，則它沒有倒數(shù)，故3作答錯(cuò)誤；多項(xiàng)式m2n－2m2＋1的次數(shù)是2＋1＝3，單項(xiàng)式5xy2的次數(shù)是1＋2＝

3，故4作答錯(cuò)誤；若2xm－(n－3)y＋5＝0是關(guān)于x的一元一次方程，則m＝1，n＝3，故

5作答正確.綜上所述，他做對(duì)的題數(shù)是3道.123456789101112131415161718194.

已知代數(shù)式M＝3(a－2b)－(b＋2a).(1)化簡(jiǎn)M；解：(1)M＝3(a－2b)－(b＋2a)＝3a－6b－b－2a＝a－7b.12345678910111213141516171819(2)如果(a＋1)x2＋4xb－2－3＝0是關(guān)于x的一元一次方程，那么請(qǐng)求出

M的值.解：(2)因?yàn)?a＋1)x2＋4xb－2－3＝0是關(guān)于x的一元一次方程，所以a＋1＝0，b－2＝1.所以a＝－1，b＝3.所以M＝a－7b＝－1－7×3＝－1－21＝－22.12345678910111213141516171819

方程的解5.

下列方程的解為x＝1的是(

D

)A.

2x－1＝2C.6＝5－xD.

3x＋2＝2x＋3D123456789101112131415161718196.

(2023·滄州期末)已知x＝2是方程5x－9＝2x＋m的解，則m的值是

(

D

)A.3B.1C.

－1D.

－3【解析】把x＝2代入5x－9＝2x＋m，得5×2－9＝2×2＋m，所以m

＝－3.D123456789101112131415161718197.

方程－3(★－9)＝5x－1，★處被蓋住了一個(gè)數(shù)字，已知方程的解是x

＝5，那么★處的數(shù)字是(

A

)A.1B.2C.3D.4A12345678910111213141516171819

A.

2a＞bB.

2a＜bC.

2a＝bD.

不能確定

C123456789101112131415161718199.

(2024·保定期末)寫出一個(gè)解是x＝5的一元一次方程：

?

?.10.

方程x＋2m＝3x－4與方程x－1＝2的解相同，則m的值為

?.【解析】將方程x－1＝2變形為x＝3.即此方程的解為x＝3.把x＝3代入方程x＋2m＝3x－4，得m＝1.5x－25＝

0(答案不唯一，合理即可)

1

1234567891011121314151617181911.

(2024·滄州期末)若x＝1是方程－2mx＋n－1＝0的解，則2

022＋n

－2m的值為

?.【解析】把x＝1代入方程，得－2m＋n－1＝0.整理，得n－2m＝1.則原式＝2022＋(n－2m)＝2022＋1＝2023.2

023

12345678910111213141516171819

根據(jù)問題中的等量關(guān)系列方程12.

根據(jù)“x的4倍與3的差比x的2倍多5”，可列方程為(

B

)A.

4x－3＝2(x＋5)B.

4x－3＝2x＋5C.4(x－3)＝2(x＋5)D.4(x－3)＝2x＋5B1234567891011121314151617181913.

在“垃圾分類”活動(dòng)中，實(shí)踐組有23人，宣傳組有16人.問應(yīng)從宣

傳組調(diào)多少人到實(shí)踐組，才能使實(shí)踐組的人數(shù)是宣傳組人數(shù)的2倍，設(shè)

從宣傳組調(diào)x人到實(shí)踐組，則可列方程為(

D

)A.23－x＝2×16＋xB.23＋x＝2×16－xC.23－x＝2×(16＋x)D.23＋x＝2×(16－x)D1234567891011121314151617181914.

如圖，在編寫數(shù)學(xué)謎題時(shí)，“□”內(nèi)要求填寫同一個(gè)數(shù)字，若設(shè)

“□”內(nèi)的數(shù)字為y，則可列方程為

?.5(120＋y)＝100y＋30

12345678910111213141516171819

根據(jù)題意可知，第一個(gè)乘數(shù)可以表示為120＋y，積可以表示為

100y＋30，由此列出方程即可.思路點(diǎn)撥1234567891011121314151617181915.

(2024·保定聯(lián)考期末)元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這

樣一道題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十

二日，問良馬幾何追及之？其大意：快馬每天行240里，慢馬每天行150

里，慢馬先行12天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，

則由題意，可列方程為(

D

)DC.240(x－12)＝150xD.240x＝150(x＋12)1234567891011121314151617181916.

關(guān)于x的一元一次方程2xa－2＋m＝4的解為x＝1，則a＋m的值為

(

C

)A.9B.8C.5D.4【解析】因?yàn)殛P(guān)于x的一元一次方程2xa－2＋m＝4的解為x＝1，可得a

－2＝1，2＋m＝4，得a＝3，m＝2.所以a＋m＝3＋2＝5.C1234567891011121314151617181917.

(2021·保定期末)王林同學(xué)在解關(guān)于x的方程3m＋2x＝4時(shí)，不小心

將＋2x看作了－2x，得到方程的解是x＝1，那么原方程正確的解是

(

B

)A.

x＝2B.

x＝－1D.

x＝5【解析】把x＝1代入方程3m－2x＝4中，得3m－2＝4，所以m＝2.

所以正確的方程為6＋2x＝4，得x＝－1.B1234567891011121314151617181918.

已知x＝2是方程ax－4＝0的解.(1)求a的值；解：(1)把x＝2代入ax－4＝0，得2a－4＝0，解得a＝2.(2)檢驗(yàn)x＝3是不是方程2ax－5＝3x－4a的解.解：(2)將a＝2代入方程2ax－5＝3x－4a，得4x－5＝3x－8，將x＝3代入該方程的左邊，則左邊＝4×3－5＝7，代入方程的右邊，

則右邊＝3×3－8＝1.因?yàn)樽筮叀儆疫?，所以x＝3不是方程2ax－5＝3x－4a的解.12345678910111213141516171819

檢驗(yàn)x＝3是不是方程3ax－5＝3x－4a的解時(shí)，學(xué)生容易出現(xiàn)將x

＝3代入方程，得到4×3－5≠3×3－8，從而下結(jié)論，這樣的格式是不

正確的.易錯(cuò)警示12345678910111213141516171819

x＝5

12345678910111213141516171819第五章一元一次方程5.3解一元一次方程第1課時(shí)用移項(xiàng)解一元一次方程

移項(xiàng)的概念1.

下列變形中，屬于移項(xiàng)的是(

C

)A.

由5x－7y＝2，得5x－7y－2B.

由6x－3＝x＋4，得6x－3＝4＋xC.

由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8D.

由x＋9＝3x－1，得3x－1＝x＋9C1234567891011122.

(2024·張家口期末)對(duì)于方程4x－2＝2－x，移項(xiàng)后正確的是(

A

)A.

4x＋x＝2＋2B.

4x－x＝2－2C.

4x＋x＝2－2D.

4x－x＝2＋2A1234567891011123.

(2024·廊坊期末)如圖是解一元一次方程5x＝8－2x的過程，“

”

所代表的內(nèi)容是(

A

)A.

＋2xB.

－2xA123456789101112

利用移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)解一元一次方程4.

下列解方程4x－2＝3－x的步驟排列正確的是(

C

)①合并同類項(xiàng)，得5x＝5；②移項(xiàng)，得4x＋x＝3＋2；③將x的系數(shù)化

為1，得x＝1.A.

①②③B.

③②①C.

②①③D.

③①②C1234567891011125.

定義一種新的運(yùn)算法則：a⊕b＝a2＋ab，例如3⊕2＝32＋3×2＝

15.若2⊕x＝10，則x的值為

?.【解析】因?yàn)閍⊕b＝a2＋ab，所以2⊕x＝22＋2x＝10.所以4＋2x＝10.解得x＝3.3

1234567891011126.

(2024·保定期末)若方程3x＋4＝0與方程3x－4k＝8的解相同，則k

＝

?.

－3

123456789101112

123456789101112(2)0.3x－0.4＝0.2x＋5；解：移項(xiàng)，得0.3x－0.2x＝0.4＋5.合并同類項(xiàng)，得0.1x＝5.4.將x的系數(shù)化為1，得x＝54.(3)19－x＝100－10x.解：移項(xiàng)，得－x＋10x＝100－19.合并同類項(xiàng)，得9x＝81.將x的系數(shù)化為1，得x＝9.1234567891011128.

若兩個(gè)有理數(shù)a，b滿足a＋b＝8，則稱a，b互為“吉祥數(shù)”.如5

和3就是一對(duì)“吉祥數(shù)”.回答下列問題：(1)求－5的“吉祥數(shù)”；解：(1)由“吉祥數(shù)”的定義可知，－5的“吉祥數(shù)”為8－(－5)＝13.(2)若3x的“吉祥數(shù)”是－4，求x的值；解：(2)由題意知，3x－4＝8，解得x＝4.所以x的值為4.123456789101112(3)｜x｜和9能否互為“吉祥數(shù)”？若能，請(qǐng)求出x的值；若不能，請(qǐng)

說明理由.解：(3)不能.理由：若｜x｜和9互為“吉祥數(shù)”，則有｜x｜＋9＝8，｜x｜＝－1.因?yàn)椋黿｜≥0，與｜x｜＝－1矛盾.所以｜x｜和9不能互為“吉祥數(shù)”.1234567891011129.

(2024·唐山期末)已知方程m·x｜m－1｜－5＝7是關(guān)于x的一元一次方

程，則m＝

，該方程的解是

?.【解析】因?yàn)榉匠蘭·x｜m－1｜－5＝7是關(guān)于x的一元一次方程，所以｜

m－1｜＝1，m≠0，得m＝2.當(dāng)m＝2時(shí)，方程為2x－5＝7，解得x＝6.2

x＝6

12345678910111210.

(2023·唐山期末)關(guān)于x的方程2x＋m＝6的解為正整數(shù)，其中m是

正整數(shù)，則m的值為

?.

2或4

12345678910111211.

我們定義[x]表示小于等于x的最大整數(shù)，例如：[12.2]＝12，[0.24]

＝0.閱讀下列解題過程，然后回答問題.解方程：[3.2]x＋[2.4]＝[－4.9].解：由題意，得原方程為3x＋2＝－4.移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得3x＝－6.將x的系數(shù)化為1，得x＝－2.123456789101112(1)判斷以上解題過程是否正確？若不正確，請(qǐng)說明理由，并寫出正確

的解題過程；

123456789101112(2)根據(jù)材料，解方程：[－6.1](－x)－[11.3]＝[6.6]·2x.

12345678910111212.

(2023·廊坊第四中學(xué)一模)已知“○－5＝□＋3”，其中□和

○分別表示一個(gè)實(shí)數(shù).(1)若□表示的數(shù)是3，求○表示的數(shù)；解：(1)已知○－5＝□＋3，若□表示的數(shù)是3，則有○－5＝3＋3＝6，

所以○＝11.(2)若□和○表示的數(shù)互為相反數(shù)，求□和○分別表示的數(shù)；解：(2)若□和○表示的數(shù)互為相反數(shù)，則□＝－○，則○－5＝－○＋3，所以○＝4，□＝－4.123456789101112(3)當(dāng)□和○分別取不同的值時(shí)，在□與○的“＋，－，×，÷”四種運(yùn)算

中，哪種運(yùn)算的結(jié)果一定不會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由.解：(3)減法運(yùn)算的結(jié)果一定不會(huì)發(fā)生變化.理由：因?yàn)椤穑?＝□＋3，所以○－□＝5＋3＝8.所以減法運(yùn)算的結(jié)果一定不會(huì)發(fā)生變化.123456789101112第五章一元一次方程5.3解一元一次方程第2課時(shí)用去括號(hào)、去分母解一元一次方程

去括號(hào)和去分母1.

解方程－2(2x＋1)＝x時(shí)，以下去括號(hào)正確的是(

D

)A.

－4x＋1＝－xB.

－4x＋2＝－xC.

－4x－1＝xD.

－4x－2＝xD12345678910111213

A.

2x＋1－(10x＋1)＝1B.

4x＋1－10x＋1＝6C.

4x＋2－10x－1＝6D.2(2x＋1)－(10x＋1)＝1【解析】去分母，得2(2x＋1)－(10x＋1)＝6.去括號(hào)，得4x＋2－10x－1＝6.C123456789101112133.

(2023·邯鄲期末)下列各題變形正確的是(

D

)A.

由5x＝－2x－3，移項(xiàng)，得5x－2x＝3C.

由2(2x－1)－3(x－3)＝1，去括號(hào)，得4x－2－3x－9＝1D12345678910111213

12345678910111213

BA.

第①步B.

第②步C.

第③步D.

第④步12345678910111213

由第①步到第②步應(yīng)為2(10x－30)－5(10x＋40)＝160，故第②步正

確；由第②步到第③步應(yīng)為20x－60－50x－200＝160，故第③步錯(cuò)誤；由第③步到第④步應(yīng)為－30x＝20，故第④步錯(cuò)誤.12345678910111213

用去分母、去括號(hào)解一元一次方程

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)C12345678910111213【解析】2x－1＝x－7，

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得x＝－6，故②符合題意；2(x＋5)＝x－4，去括號(hào)，得2x＋10＝x－4.12345678910111213

將x的系數(shù)化為1，得x＝－6，故④符合題意.綜上可知，解為x＝－6的方程的個(gè)數(shù)有3個(gè).123456789101112136.

若關(guān)于x的方程3－a－x＝0的解和方程2(x－1)＋1＝3的解相同，則

a的值為(

C

)A.7B.2C.1D.

－17.

(2024·保定期末)解下列方程：(1)2(3－x)＝－4(x＋5)；解：去括號(hào)，得6－2x＝－4x－20.移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得2x＝－26.將x的系數(shù)化為1，得x＝－13.C12345678910111213

解：去分母，得2(2x＋1)－(5x－1)＝6.去括號(hào)，得4x＋2－5x＋1＝6.移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得－x＝3.將x的系數(shù)化為1，得x＝－3.12345678910111213

12345678910111213(1)第①步的變形為

(填“去分母”“去括號(hào)”“移項(xiàng)”或

“合并同類項(xiàng)”)；(2)解方程的過程中開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是第

步，請(qǐng)寫出該方程

正確的求解過程.解：正確過程為去分母，得3(x＋1)＝－2(2－x).去括號(hào)，得3x＋3＝－4＋2x.移項(xiàng)，得3x－2x＝－4－3.合并同類項(xiàng)，得x＝－7.去分母②

123456789101112139.

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運(yùn)算：m@n＝－m＋3n(加減乘除是普通的

運(yùn)算)，例如：1@2＝－1＋3×2＝5，計(jì)算－1@2＝

，若2x@(－3x

－1)＝8，則x＝

?.

7

－1

12345678910111213

1234567891011121311.

(1)若三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是60，則這三個(gè)數(shù)各是多少？(1)由題意，得(2x－2)＋2x＋(2x＋2)＝60，解得x＝10.所以這三個(gè)數(shù)分別是18，20，22.(2)若三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是90，則這三個(gè)數(shù)各是多少？(2)由題意，得(2x－2)＋2x＋(2x＋2)＝90，解得x＝15.所以這三個(gè)數(shù)分別是28，30，32.解：設(shè)這三個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2x－2，2x，2x＋2.12345678910111213(3)若三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是72，則這三個(gè)數(shù)中間的數(shù)是多少？(3)由題意，得(2x－2)＋2x＋(2x＋2)＝72，解得x＝12.所以這三個(gè)數(shù)中間的數(shù)是24.(4)通過上面三個(gè)問題，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的數(shù)量關(guān)系？說出你的結(jié)論并

證明.(4)發(fā)現(xiàn)：三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)之和是中間偶數(shù)的3倍.證明：設(shè)三個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2x－2，2x，2x＋2，則(2x－2)＋2x＋(2x＋

2)＝6x＝3(2x)，所以三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是中間偶數(shù)的3倍.12345678910111213

12345678910111213(2)若老師告訴小亮這個(gè)方程的解是正整數(shù)，則被污染的正整數(shù)□是

多少？

12345678910111213

12345678910111213

12345678910111213

12345678910111213第五章一元一次方程5.4一元一次方程的應(yīng)用第1課時(shí)用一元一次方程解決和差倍分問題

用一元一次方程解決和差倍分問題

D1234567891011121314D.

《詩(shī)經(jīng)》中《風(fēng)》的部分有160篇2.

(2023·秦皇島開學(xué)考試)如果比甲數(shù)的80％多20的數(shù)是40，那么甲數(shù)

是(

A

)A.25B.30C.75D.90【解析】設(shè)甲數(shù)為x，由題意，得80％x＋20＝40，解得x＝25.A12345678910111213143.

(2023·唐山期中)古代有這樣一則寓言故事：驢子和騾子一同走，它

們馱著不同袋數(shù)的貨物，每袋貨物都是一樣重的.騾子說：“你再給我

兩袋，我還可以多馱一些.”驢說：“那可不行，你現(xiàn)在所負(fù)擔(dān)的就是

我的兩倍；你再給我兩袋，我們才恰好馱的一樣多！”那么驢子原來所

馱貨物的袋數(shù)是(

A

)A.4袋B.5袋C.6袋D.7袋【解析】設(shè)驢子原來所馱貨物x袋，根據(jù)題意，得2x－2＝x＋2，解得

x＝4.A12345678910111213144.

已知一個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角的一半還小12°，則這個(gè)角的度

數(shù)為

?.

24°

12345678910111213145.

(2023·唐山期末)某校近三年共購(gòu)買計(jì)算機(jī)140臺(tái)，去年購(gòu)買的數(shù)量是

前年的2倍，今年購(gòu)買的數(shù)量又是去年的2倍，則去年這個(gè)學(xué)校購(gòu)買

了

臺(tái)計(jì)算機(jī).【解析】設(shè)前年這個(gè)學(xué)校購(gòu)買了x臺(tái)計(jì)算機(jī)，則去年購(gòu)買了2x臺(tái)，今年

購(gòu)買了4x臺(tái).根據(jù)題意，得x＋2x＋4x＝140，解得x＝20.所以2x＝40.所以去年這個(gè)學(xué)校購(gòu)買了40臺(tái)計(jì)算機(jī).40

1234567891011121314

此題等量關(guān)系為前年購(gòu)買計(jì)算機(jī)臺(tái)數(shù)＋去年購(gòu)買計(jì)算機(jī)臺(tái)數(shù)＋今年

購(gòu)買計(jì)算機(jī)臺(tái)數(shù)＝140(臺(tái)).思路點(diǎn)撥12345678910111213146.

有一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小3，且這個(gè)兩位數(shù)比

它的個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和大9，則這個(gè)兩位數(shù)是

?.【解析】設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為x－3.根據(jù)題意，得10(x－3)＋x－9＝x－3＋x，解得x＝4，則x－3＝1，即

十位上的數(shù)字是1.故這個(gè)兩位數(shù)是14.14

12345678910111213147.

【教材第170頁(yè)做一做改編】《烏鴉喝水》的故事我們都聽過，聰明

的烏鴉銜來一個(gè)個(gè)小石子放入瓶中，水位上升后，它喝到了水.根據(jù)圖

中給出的信息，解答下列問題：1234567891011121314(1)放入一個(gè)小球水面升高

cm；【解析】設(shè)一個(gè)小球使得水面升高xcm，根據(jù)題意，得3x＝32－26，所以x＝2.2

1234567891011121314(2)如果放入大球和小球共10個(gè)，且水面恰好上升到52

cm，那么應(yīng)放

入

個(gè)大球；【解析】由題意，得放入一個(gè)大球水面升高(32－26)÷2＝3(cm).設(shè)放入x個(gè)大球，則放入(10－x)個(gè)小球，由題意，得3x＋2(10－x)＝52－26，解得x＝6.所以應(yīng)放入6個(gè)大球.6

1234567891011121314

(3)若放入一個(gè)鋼珠可以使水面上升k

cm，當(dāng)在玻璃桶內(nèi)同時(shí)放入相同

數(shù)量的小球和鋼珠時(shí)，水面上升到39

cm(球和鋼珠完全在水面以下)，

則k的整數(shù)值為

?.11

12345678910111213148.

《孫子算經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，其中記載

的“蕩杯問題”很有趣.《孫子算經(jīng)》記載：“今有婦人河上蕩杯，津

吏問曰：杯何以多？婦人曰：家有客.津吏曰：客幾何？婦人曰：二人

共飯，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五.不知客幾何？”譯文：“2

人同吃一碗飯，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65個(gè)碗，問有多

少客人？”則共有客人

位.

60

12345678910111213149.

(2023·邯鄲期末)體育課上，體育老師要求男、女各站成一隊(duì)，記男

生隊(duì)為A隊(duì)，女生隊(duì)為B隊(duì).(1)已知A隊(duì)有32人，B隊(duì)有28人.從A隊(duì)調(diào)a人到B隊(duì)后，B隊(duì)人數(shù)比A隊(duì)

剩余人數(shù)的2倍多3人，則a的值為

?.【解析】由題意，得2(32－a)＋3＝28＋a，解得a＝13.13

1234567891011121314(2)設(shè)A隊(duì)有x人，B隊(duì)有2x人，從A隊(duì)調(diào)m人到B隊(duì)，則此時(shí)B隊(duì)比A隊(duì)

多

人；接下來，又從B隊(duì)回調(diào)m人到A隊(duì)(回調(diào)的人數(shù)里有

男有女)，則回調(diào)后A隊(duì)中的女生人數(shù)和B隊(duì)中的男生人數(shù)是否相

同？

(填“是”“否”或“不確定”).(x＋2m)

是1234567891011121314【解析】因?yàn)檎{(diào)配后A隊(duì)有(x－m)人，B隊(duì)有(2x＋m)人，所以此時(shí)B隊(duì)比A隊(duì)多(2x＋m)－(x－m)＝2x＋m－x＋m＝(x＋2m)

人；設(shè)回調(diào)的m人中有n名男生，則回調(diào)后A隊(duì)的女生數(shù)有(m－n)人，回

調(diào)后B隊(duì)的男生數(shù)有(m－n)人，所以回調(diào)后A隊(duì)中的女生人數(shù)和B隊(duì)中的男生人數(shù)相同.123456789101112131410.

馬拉松比賽鳴槍開跑，一名36歲的男子帶著他的兩個(gè)孩子一同參加

了比賽.如圖是兩個(gè)孩子和記者的對(duì)話，根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，請(qǐng)你用方程的

知識(shí)幫記者分別求出哥哥和妹妹的年齡.1234567891011121314解：設(shè)妹妹今年x歲，則哥哥今年(18－x)歲.根據(jù)題意，得3(x＋2)＋[(18－x)＋2]＝36＋2，解得x＝6.18－x＝18－6＝12(歲).答：哥哥今年12歲，妹妹今年6歲.123456789101112131411.

小麗、小剛、小亮三人按如下步驟玩撲克牌：第一步：每個(gè)人取相同數(shù)量的撲克牌(每個(gè)人撲克牌的數(shù)量相等，且均

不少于2張).第二步：小麗拿出2張撲克牌給小亮.第三步：小剛拿出1張撲克牌給小亮.第四步：小麗現(xiàn)在有幾張撲克牌，小亮就拿出幾張撲克牌給小麗.若此時(shí)小麗的撲克牌數(shù)是小亮的撲克牌數(shù)的2倍，則此時(shí)(

B

)BA.

小剛有7張撲克牌B.

小剛有6張撲克牌C.

小剛有5張撲克牌D.

小剛的撲克牌數(shù)無法確定1234567891011121314【解析】設(shè)小麗、小剛、小亮三人剛開始取的撲克牌數(shù)為x張，由題

意，得2[x＋3－(x－2)]＝x－2＋x－2，解得x＝7.所以此時(shí)小剛的撲克牌數(shù)為7－1＝6(張).123456789101112131412.

(2024·邯鄲期末)某工廠生產(chǎn)茶具，每套茶具由1個(gè)茶壺和4只茶杯組

成，主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做3個(gè)茶壺或6只茶杯，現(xiàn)要

用9千克紫砂泥制作這些茶具，設(shè)用x千克紫砂泥做茶壺時(shí)，恰好使制

作的茶壺和茶杯配套，則可列方程為(

D

)A.

3x＝6(9－x)B.

3x＝4×6(9－x)C.6×3x＝4(9－x)D.4×3x＝6(9－x)D1234567891011121314【解析】設(shè)用x千克紫砂泥做茶壺，則用(9－x)千克紫砂泥做茶杯.因

為1千克紫砂泥可做3個(gè)茶壺或6只茶杯，所以x千克紫砂泥可做3x個(gè)茶

壺，(9－x)千克紫砂泥可做6(9－x)只茶杯.又因?yàn)槊刻撞杈哂?個(gè)茶壺

和4只茶杯組成，所以4×3x＝6(9－x).123456789101112131413.

如圖，足球表面是由一些呈多邊形的黑、白皮塊縫合而成的，共計(jì)

有32塊，已知黑色皮塊數(shù)比白色皮塊數(shù)的一半多2塊，問兩種顏色的皮

塊各有多少？1234567891011121314

答：白色皮塊有20塊，黑色皮塊有12塊.123456789101112131414.

將1到2

021之間的所有奇數(shù)按順序排成下表：1357911131517192123252729313335…記Pmn表示第m行第n個(gè)數(shù)，如P23表示第2行第3個(gè)數(shù)是17.1234567891011121314(1)P45＝

?；(1)由題意，可得P45＝2×(6×3＋5)－1＝45.(2)若Pmn＝2

021，則m＝

，n＝

?；【解析】先根據(jù)圖表找到規(guī)律為Pmn＝2[6×(m－1)＋n]－1.45

169

3

1234567891011121314(2)因?yàn)镻mn＝2021，所以2[6(m－1)＋n]－1＝2021.所以12m＋2n－13＝2021.因?yàn)閙，n均為正整數(shù)，1≤n≤6，所以m＝169，n＝3.1234567891011121314(3)將表格中的4個(gè)陰影格子看成一個(gè)整體(“T”字)并平移，所覆蓋的4

個(gè)數(shù)之和能否等于200？若能，求出4個(gè)數(shù)中的最大數(shù)；若不能，請(qǐng)說明

理由.解：所覆蓋的4個(gè)數(shù)之和不能等于200.理由：設(shè)4個(gè)陰影格子中的數(shù)分別為2n－3，2n－1，2n＋1，2n＋11，由題意，可得(2n－3)＋(2n－1)＋(2n＋1)＋(2n＋11)＝200，解得n＝24.此時(shí)最大數(shù)為2n＋11＝59，而59在邊界，不能構(gòu)成“T”字，所以所覆蓋的4個(gè)數(shù)之和不能等于200.1234567891011121314第五章一元一次方程5.4一元一次方程的應(yīng)用第2課時(shí)用一元一次方程解決行程問題與工程問題

行程問題12345678910

BA.

只有甲列的方程正確B.

只有乙列的方程正確C.

只有乙列的方程不正確D.

只有丙列的方程不正確

123456789102.

一輛客車和卡車同時(shí)從A地沿同一條公路，同向而行，客車的行駛速

度是80

km/h，卡車的行駛速度是70

km/h，客車比卡車早2

h經(jīng)過B地，

則A，B兩地之間的路程是

km.

1

120

12345678910

12345678910

工程問題4.

(2023·廊坊階段練習(xí))一項(xiàng)工程甲單獨(dú)做要36天完成，乙單獨(dú)做要48

天完成，甲先單獨(dú)做3天，然后兩人合作x天完成這項(xiàng)工程，則可列方

程(

A

)A12345678910

A.4

h

D123456789106.

小明和小紅制作小紅旗，100個(gè)小紅旗兩人合作20分鐘完成，已知小

明每分鐘制作2個(gè)小紅旗，則小紅每分鐘制作

個(gè)小紅旗.【解析】設(shè)小紅每分鐘制作x個(gè)小紅旗，則(2＋x)×20＝100，解得x＝3.所以小紅每分鐘制作3個(gè)小紅旗.3

123456789107.

(2024·廊坊期末)某學(xué)校的供暖工程需鋪設(shè)熱力管道6

300米，甲工程

隊(duì)負(fù)責(zé)鋪設(shè).甲工程隊(duì)施工一個(gè)星期后發(fā)現(xiàn)，每天平均只能鋪設(shè)200米，

按此速度將無法如期完成任務(wù).為能及時(shí)供上暖，確保師生溫暖過冬，

甲工程隊(duì)決定邀請(qǐng)乙工程隊(duì)來共同鋪設(shè)剩余的管道，如果乙工程隊(duì)平均

每天能鋪設(shè)150米，那么乙工程隊(duì)參與后，還需鋪設(shè)多少天才能完成這

項(xiàng)工程？解：設(shè)乙工程隊(duì)參與后，還需鋪設(shè)x天才能完成這項(xiàng)工程，則7×200＋

(200＋150)x＝6

300，解得x＝14.答：乙工程隊(duì)參與后，還需鋪設(shè)14天才能完成這項(xiàng)工程.12345678910

12345678910

123456789109.

(2024·承德期末)甲、乙兩船從B港口同時(shí)出發(fā)，反向而行，甲船順

水，乙船逆水，如圖是甲、乙兩船航行的示意圖，兩船在靜水中速度都

是50

km/h，水流速度是a

km/h，5

h后兩船分別到達(dá)A，C兩港口，卸

裝貨物后，又同時(shí)出發(fā)，甲船駛往C港口，乙船駛往A港口(提示：順?biāo)?/p>

速度＝船速＋水速；逆水速度＝船速－水速).(1)A，C兩港口相距多遠(yuǎn)？12345678910解：(1)因?yàn)閮纱陟o水中速度都是50

km/h，水流速度是a

km/h，所以兩船在行駛過程中的順?biāo)俣榷际?50＋a)km/h，逆水速度都是(50－a)km/h.又因?yàn)榧住⒁覂纱瑥腂港口同時(shí)出發(fā)，反向而行，5

h后兩船分別到達(dá)A，C兩港口，A，B兩港口相距5(50＋a)＝(250＋5a)km，B，C兩港口相距5(50－a)＝(250－5a)km，所以A，C兩港口相距250＋5a＋250－5a＝500(km).答：A，C兩港口相距500

km.12345678910(2)A，B兩港口之間比B，C兩港口之間多多少千米？(用含a的代數(shù)

式表示)解：(2)由(1)，得A，B兩港口相距(250＋5a)km，B，C兩港口相距(250－5a)km，所以(250＋5a)－(250－5a)＝10a(km).答：A，B兩港口之間比B，C兩港口之間多10a

km.12345678910(3)甲、乙兩船卸裝貨物后，又同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過

h相遇，若相遇處

距B港口50

km，求甲船還需幾小時(shí)到達(dá)C港口.5

解：(3)【解析】設(shè)甲、乙兩船卸裝貨物后，又同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過xh相遇，則有(50＋a)x＋(50－a)x＝500，解得x＝5.甲船從A港口到C港口是逆水行駛，乙船從C港口到A港口是順?biāo)?/p>

駛，所以兩船相遇時(shí)，甲船行駛了5(50－a)＝(250－5a)km，還沒

到達(dá)B港，因?yàn)橄嘤鎏幘郆港50km，所以(250＋5a)－(250－5a)＝50，解得a＝5.12345678910所以甲船距C港口還有500－(250－5a)＝250＋5a＝275(km).

12345678910

相遇時(shí)，甲船從A港逆水行駛，速度比從B港開往A港時(shí)慢，故相遇

時(shí)，相遇處在B港的左側(cè)，在A港的右側(cè)，此時(shí)甲船行駛了(250－5a)km，距B港50km.分析如圖所示.思路點(diǎn)撥1234567891010.

一段道路，甲工程隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)需10天完成，乙工程隊(duì)單獨(dú)

鋪設(shè)需15天完成.(1)若兩隊(duì)自始至終合作鋪設(shè)，則

天可以完成；6

12345678910

12345678910(2)實(shí)際由甲工程隊(duì)先單獨(dú)鋪設(shè)幾天后，為了加快進(jìn)度，余下的部分由

甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合作完成，共用8天鋪設(shè)完成了這段道路.甲工程隊(duì)先

鋪設(shè)了幾天道路？

解得x＝5.答：甲工程隊(duì)先鋪設(shè)了5天道路.12345678910第五章一元一次方程5.4一元一次方程的應(yīng)用第3課時(shí)同一個(gè)量的不同表示問題

同一個(gè)量的不同表示1.

《孫子算經(jīng)》中有道“共車”問題：今有四人共車，一車空；二人

共車，八人步，問人與車各幾何？其大致意思為：今有若干人乘車，若

每4人乘一車，最終剩余1輛車無人坐；若每2人共乘一車，最終剩余8人

無車可乘，問有多少人，多少輛車？如果設(shè)有x輛車，那么可列方程為

(

D

)D1234567891011C.

4(x＋1)＝2x＋8D.

4(x－1)＝2x＋8

設(shè)有x輛車，根據(jù)總?cè)藬?shù)保持不變，列方程求解即可.思路點(diǎn)撥12345678910112.

我國(guó)古代著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載了一首古算詩(shī)：“林下牧童

鬧如簇，不知人數(shù)不知竹.每人六竿多十四，每人八竿少二竿.”其大意

為：“牧童們?cè)跇湎履弥窀透吲d地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8

竿，少2竿.”若設(shè)有牧童x人，根據(jù)題意，可列方程為(

A

)A.

6x＋14＝8x－2B.

6x－14＝8x＋2C.

6x＋14＝8x＋2D.

6x－14＝8x－2A12345678910113.

(2023·滄州期末)京張高鐵根據(jù)不同的運(yùn)行區(qū)間設(shè)置了不同的

時(shí)速.其中，北京北站到清河段全長(zhǎng)11千米，分為地下清華園隧道和地

上區(qū)間兩部分，運(yùn)行速度分別設(shè)計(jì)為80千米/時(shí)和120千米/時(shí).按此運(yùn)行

速度，地下隧道運(yùn)行時(shí)間比地上區(qū)間運(yùn)行時(shí)間大約多3分鐘，如果設(shè)地

下清華園隧道全長(zhǎng)為x千米，那么下列方程正確的是(

B

)B1234567891011

注意單位要進(jìn)行換算.易錯(cuò)警示12345678910114.

(2023·衡水桃城中學(xué)模擬)如圖，小明騎自行車從A地到B地，小美騎

自行車從B地到A地，兩人都以相同的速度勻速前進(jìn)，已知兩人在上午8

時(shí)同時(shí)出發(fā)，到上午10時(shí)，兩人相距36千米，到中午12時(shí)，兩人相距36

千米.設(shè)A，B兩地間的路程為x千米，則下列結(jié)論正確的是(

B

)C.A，B兩地之間路程為100千米D.

兩人的速度之和為18千米/時(shí)B1234567891011

12345678910115.

一艘輪船從甲碼頭到乙碼頭順?biāo)叫?，用?小時(shí)，從乙碼頭到甲碼

頭逆水航行，用了2.5小時(shí).已知水流速度為3千米/時(shí)，則這艘輪船在靜

水中的速度為(

B

)A.18千米/時(shí)B.27千米/時(shí)C.24千米/時(shí)D.37千米/時(shí)B1234567891011【解析】由題意，得2(x＋3)＝2.5(x－3)，解得x＝27.所以這艘輪船在

靜水中的速度為27千米/時(shí).

順流速度＝船在靜水中的速度＋水流的速度；逆流速度＝船在靜水

中的速度－水流的速度.注意航行過程中不變的是路程，然后建立等量關(guān)系式即可.思路點(diǎn)撥1234567891011

A.150千米B.160千米C.180千米D.200千米C1234567891011

用“平時(shí)3小時(shí)行駛的路程＝某天3.5小時(shí)行駛的路程”這個(gè)等量關(guān)

系列出方程求解即可.思路點(diǎn)撥12345678910117.

《孫子算經(jīng)》記載：現(xiàn)有一根長(zhǎng)木，不知道其長(zhǎng)短.用一根繩子去度

量長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再度量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺，

則長(zhǎng)木長(zhǎng)

尺.【解析】設(shè)長(zhǎng)木長(zhǎng)x尺，根據(jù)題意，得x＋4.5＝2(x－1)，解得x＝2.5.

故長(zhǎng)木長(zhǎng)2.5尺.2.5

12345678910118.

(2023·保定模擬)甲、乙兩人約定步行從學(xué)校出發(fā)，沿同一路線到距

離學(xué)校1

800

m的圖書館看書.甲先出發(fā)，步行的速度是30

m/min，乙比

甲晚出發(fā)10

min，比甲早20

min到達(dá)圖書館.(1)求乙步行的速度；解：(1)1

800÷(1

800÷30－10－20)＝60(m/min).所以乙步行的速度為

60

m/min.1234567891011(2)求甲出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間后，乙追上甲(要求列方程解答).解：(2)設(shè)甲出發(fā)x

min后乙追上甲，則此時(shí)乙出發(fā)(x－10)min.根據(jù)題意，得30x＝60(x－10)，解得x＝20.所以甲出發(fā)20

min后，乙追上甲.12345678910119.

(2024·邯鄲期末)甲、乙兩人分別從相距目的地6

km和10

km的兩地同

時(shí)出發(fā)，甲、乙的速度比是3∶4，結(jié)果甲比乙提前20

min到達(dá)目的地，設(shè)甲的速度為3x

km/h.依題意，下面所列方程正確的是(

D

)D1234567891011

此題的等量關(guān)系為甲走6km用的時(shí)間＋20min＝乙走10km用的時(shí)

間，注意時(shí)間要換算單位.思路點(diǎn)撥123456789101110.

長(zhǎng)為300

m的春游隊(duì)伍，以2

m/s的速度向東行進(jìn)，如圖，當(dāng)隊(duì)伍排

尾行進(jìn)到位置O時(shí)，在排尾處的甲有一物品要送到排頭，送到后立即返

回排尾，甲的往返速度均為4

m/s

，則甲從排尾到排頭，再?gòu)呐蓬^立即

返回排尾這一往返過程共用時(shí)

s.200

1234567891011【解析】設(shè)甲從排尾到排頭的時(shí)間為t1s，從排頭返回排尾的時(shí)間為

t2s.由題意，得(4－2)t1＝300，(4＋2)t2＝300，解得t1＝150，t2＝50，所以往返時(shí)間為t1＋t2＝150＋50＝200(s).即甲從排尾到排頭，再?gòu)呐蓬^立即返回排尾這一往返過程共用時(shí)200s.12345678910