2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形4.1任意角弧度制及任意角的三角函數(shù)講義文蘇教版

§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.角的概念(1)任意角：①定義：角可以看做平面內(nèi)

繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的

；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為

、_____和

.(2)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S＝

.(3)象限角：使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)

重合，角的始邊與

重合，那么，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.知識(shí)梳理一條射線圖形正角負(fù)角零角{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}原點(diǎn)x軸的正半軸2.弧度制(1)定義：把長(zhǎng)度等于

長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度.正角的弧度數(shù)是一個(gè)

，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)

，零角的弧度數(shù)是

.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝

rad，1°＝

rad，1rad＝

.(3)扇形的弧長(zhǎng)公式：l＝

，扇形的面積公式：S＝

＝

.半徑正數(shù)負(fù)數(shù)0π|α|·r3.任意角的三角函數(shù)任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)時(shí)，sinα＝

，cos

α＝

，tanα＝

(x≠0).yx三角函數(shù)定義域第一象限符號(hào)第二象限符號(hào)第三象限符號(hào)第四象限符號(hào)sinα___＋＋－－cosα___＋－－＋tanα__________________＋－＋－三個(gè)三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表：RR4.三角函數(shù)線如圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A(1，0)作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T.三角函數(shù)線有向線段

為正弦線；有向線段

為余弦線；有向線段

為正切線MPOMAT幾何畫板展示知識(shí)拓展1.三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦.2.任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角.(

)(2)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān).(

)(3)不相等的角終邊一定不相同.(

)(4)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.(

)(5)若α∈(0，)，則tanα>α>sinα.(

)(6)若α為第一象限角，則sinα＋cos

α>1.(

)×√×√√√考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)在0°到360°之間與－120°終邊相同的角是______.答案解析240°與－120°終邊相同的角α＝－120°＋k·360°(k∈Z)，所以k＝1，此時(shí)α＝－120°＋360°＝240°.2.(教材改編)圓心角為

弧度，半徑為6的扇形的面積為____.答案解析6π答案解析答案解析5.函數(shù)y＝

的定義域?yàn)開______________________.答案解析∵2cosx－1≥0，由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示).幾何畫板展示題型分類深度剖析題型一角及其表示例1

(1)若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，則α在第________象限.答案解析一或三當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α為第一象限角；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α為第三象限角.所以α為第一或第三象限角.(2)已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角α用集合可表示為______________________.答案解析(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需的角.(2)利用終邊相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判斷一個(gè)角β所在的象限時(shí)，只需把這個(gè)角寫成[0，2π)范圍內(nèi)的一個(gè)角α與2π的整數(shù)倍的和，然后判斷角α的象限.思維升華跟蹤訓(xùn)練1(1)終邊在直線y＝

x上的角的集合是___________________.答案解析3答案解析題型二弧度制例2

(1)(2016·南京模擬)若圓弧長(zhǎng)度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)是______.答案解析設(shè)圓半徑為r，則圓內(nèi)接正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2r，(2)已知扇形的圓心角是α，半徑是r，弧長(zhǎng)為l.①若α＝100°，r＝2，求扇形的面積；②若扇形的周長(zhǎng)為20，求扇形面積的最大值，并求此時(shí)扇形圓心角的弧度數(shù).解答②由題意知l＋2r＝20，即l＝20－2r，當(dāng)r＝5時(shí)，S的最大值為25.即扇形面積的最大值為25，此時(shí)扇形圓心角的弧度數(shù)為2.應(yīng)用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決.(3)在解決弧長(zhǎng)問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.思維升華跟蹤訓(xùn)練2(1)將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉(zhuǎn)過程中形成的角的弧度數(shù)是______.答案解析將表的分針撥快應(yīng)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，為負(fù)角，(2)若圓弧長(zhǎng)度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)為_____.答案解析如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，作OM⊥AB垂足為M，題型三三角函數(shù)的概念命題點(diǎn)1三角函數(shù)定義的應(yīng)用答案解析(2)點(diǎn)P從(1，0)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)

弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.答案解析由三角函數(shù)定義可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足命題點(diǎn)2三角函數(shù)線例4函數(shù)y＝lg(2sinx－1)＋

的定義域?yàn)開________________________.答案解析(k∈Z)如圖，在單位圓中作出相應(yīng)的三角函數(shù)線，(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)可求α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo).(2)利用三角函數(shù)線解不等式要注意邊界角的取舍，結(jié)合三角函數(shù)的周期性寫出角的范圍.思維升華跟蹤訓(xùn)練3(1)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cos

α≤0，sinα>0.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.答案解析(－2，3]∵cos

α≤0，sinα>0，∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上.(2)滿足cos

α≤－

的角α的集合為_______________________________.答案解析則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍，典例(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0，1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0，0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng).當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于C(2，1)時(shí)，

的坐標(biāo)為___________________.(2)(2016·鹽城模擬)函數(shù)y＝lg(3－4sin2x)的定義域?yàn)開__________________.思想方法指導(dǎo)答案解析

數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用思想與方法系列6在坐標(biāo)系中研究角就是一種數(shù)形結(jié)合思想，利用三角函數(shù)線可直觀得到有關(guān)三角函數(shù)不等式的解集.(2－sin2，1－cos2)幾何畫板展示幾何畫板展示(1)如圖所示，過圓心C作x軸的垂線，垂足為A，過P作x軸的垂線與過C作y軸的垂線交于點(diǎn)B.因?yàn)閳A心移動(dòng)的距離為2，所以劣弧

＝2，即圓心角∠PCA＝2，所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，(2)∵3－4sin2x＞0，利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，課時(shí)作業(yè)12345678910111213③答案解析2.若α是第三象限角，則下列各式中不成立的是________.①sinα＋cos

α＜0 ②tanα－sinα＜0③cos

α－tanα＜0 ④tanαsinα＜0答案解析②α是第三象限角，sinα＜0，cos

α＜0，tanα＞0，則可排除①、③、④.12345678910111213答案解析123456789101112134.已知點(diǎn)P(tanα，cos

α)在第三象限，則角α的終邊在第______象限.答案解析二∵點(diǎn)P(tanα，cos

α)在第三象限，∴tanα＜0，cos

α＜0，∴角α的終邊在第二象限.123456789101112135.已知點(diǎn)P(sinα－cos

α，2)在第二象限，則α的一個(gè)變化區(qū)間是

.答案解析③∵P(sinα－cos

α，2)在第二象限，∴sinα<cos

α，12345678910111213－1角α的終邊在第四象限，又角θ與角α的終邊相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cos

θ>0，tanθ<0.所以y＝－1＋1－1＝－1.答案解析123456789101112137.在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A(，1)，將點(diǎn)A繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到B點(diǎn)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為__________.答案解析依題意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為(x，y)，12345678910111213答案解析12345678910111213二答案解析1234567891011121310.在(0，2π)內(nèi)，使sinx>cos

x成立的x的取值范圍為________.答案解析如圖所示，找出在(0，2π)內(nèi)，12345678910111213s