中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練第20講 梯形中的分類討論（解析版）

第20講梯形中的分類討論【應(yīng)對(duì)方法與策略】梯形的分類討論題多見于各類壓軸題中，由于這類題目都與圖形運(yùn)動(dòng)有關(guān)，需要學(xué)生具有一定的想象能力、分析能力和運(yùn)算能力．梯形的主要特征是兩底平行，特殊梯形又可分為等腰梯形和直角梯形兩大類．常見題型為在直角坐標(biāo)平面內(nèi)已知三點(diǎn)求第四個(gè)點(diǎn)，抓住梯形兩底平行的特征，對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的解析式的k相等而B不相等．

若是等腰梯形，常需添設(shè)輔助線，過上底的兩個(gè)頂點(diǎn)作下底的垂線，構(gòu)造兩個(gè)全等的直角三角形；

若是直角梯形，則需聯(lián)結(jié)對(duì)角線或過上底的一頂點(diǎn)作下底的高構(gòu)造直角三角形【多題一解】【一題多解】一、解答題1．（2021·福建福州·統(tǒng)考一模）如圖，直角梯形ABCD中，．點(diǎn)E為線段DC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿折線A→B→C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．(1)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，BP=_________________；（用含t的代數(shù)式表示）(2)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，如果以D、P、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，求t的值；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段BC上時(shí)，過點(diǎn)P作直線LDC，與線段AB交于點(diǎn)Q，使四邊形DQPE為直角梯形，求此時(shí)直角梯形DQPE與直角梯形ABCD面積之比．【答案】(1)丨8－t丨(2)3或或12(3)或【分析】（1）分點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)和點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)列出代數(shù)式即可；（2）分DE=DP、DP=PE、DE=PE情況求解即可；（3）分∠EDQ=∠DQP=90°時(shí)和∠DEP=∠EPQ=90°時(shí)兩種情況，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．（1）解：當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP=AB－AP=8－t；當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)BP=t－8，故答案為：丨8－t丨；（2）解：過D作DH⊥BC于H，連接EH，則∠DHC=∠DHB=90°，∵AD∥BC，∠DAB=90°，∴∠ABC=∠DAB=90°=∠DHB，∴四邊形ABHD為矩形，∴DH=AB=8，BH=AD=4，DH∥AB，∠ADH=90°，則CH=BC-BH=6，在Rt△DHC中，，∵E為CD的中點(diǎn)，∴DE=CE=EH=CD=5，①當(dāng)DE=DP時(shí)，DP=5，點(diǎn)P在AB上，在Rt△ADP中，，∴t=3；②當(dāng)DP=PE時(shí)，點(diǎn)P在AB上，取DH的中點(diǎn)F，連接EF并延長(zhǎng)交AB于Q，又∵E為CD的中點(diǎn)，∴EF=CH=3，EF∥CH，∴∠CHD=∠EFD=∠DFQ=90°，則四邊形AQFD為矩形，∴FQ=AD=4，∠AQE=90°，AQ=DF=4，在Rt△ADP中，DP2=AD2+AP2=16+t2，在Rt△EPQ中，EQ=EF+FQ=7，PQ=丨t-4丨，∴PE2=EQ2+PQ2=49+（t-4）2，∴16+t2=49+（t-4）2，解得：t=＜8，故P不可能在BC上；③當(dāng)DE=PE時(shí)，PE=5，∵5＜7，∴點(diǎn)P在BC上，∵EH=DE=5，∴當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到H處時(shí)，有DE=PE，此時(shí)t=8+4=12；綜上，滿足條件的t值為3或或12；（3）解：如圖，當(dāng)∠EDQ=∠DQP=90°時(shí)，四邊形DQPE為直角梯形，過D作DH⊥BC于H，由（2）中知，DH=8，CH=6，DE=5，CD=10，∠ADH=∠CHD=90°，∵∠ADQ+∠QDH=∠CDH+∠QDH=90°，∴∠ADQ=∠CDH，又∠A=∠CHD=90°，∴△ADQ∽△HDC，

∴即，∴AQ=3，DQ=5，則BQ=AB-AQ=8-3=5，∵PQ∥DC，∴∠HCD=∠BPQ，又∠CHD=∠B=90°，∴△CDH∽△PQB，∴即，∴PQ=，∴，如圖，當(dāng)∠DEP=∠EPQ=90°時(shí)，四邊形DQPE為直角梯形，由（2）中知，DH=8，CH=6，CE=5，CD=10，∠CHD=90°，∵∠C=∠C，∠CEP=∠CHD=90°，∴△EPC∽△HDC，

∴即，∴EP=，CP=，則PB=BC-CP=10-=，∵△CDH∽△PQB，∴即，∴PQ=，，綜上，直角梯形DQPE與直角梯形ABCD面積之比為或．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，利用分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵，計(jì)算量較大，需要細(xì)心計(jì)算．2．（2021·上海·八年級(jí)期末）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)即停止）；點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD?DA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也即停止），設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)并運(yùn)動(dòng)了t秒．(1)求梯形ABCD的高和∠A的度數(shù)；(2)當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個(gè)直角梯形時(shí)，求t的值；(3)試問是否存在這樣的t的值，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)梯形ABCD的高為cm，∠A=60°(2)(3)存在為時(shí)，使四邊形的面積是梯形面積的一半【分析】（1）過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，證Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），得AE=BF=3（cm），再證∠ADE=30°，則∠A=60°，然后由勾股定理求出DE即可；（2）過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個(gè)直角梯形時(shí)，四邊形APQD是直角梯形，則四邊形DEPQ為矩形，得DQ=EP=2-t，再由AP=AE+EP，得2t=3+2-t，即可求解；（3）求出S梯形ABCD=15（cm2），分兩種情況：①若點(diǎn)Q在CD上，即0≤t≤2；②若點(diǎn)Q在AD上，即2＜t≤4；分別由面積關(guān)系得出方程，解方程即可．（1）解：過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，如圖1所示：∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AD=BC，AB∥CD，∴DE⊥CD，CF⊥CD，∴∠DEF=∠CFE=∠CDE=90°，∴四邊形CDEF是矩形，∴DE=CF，DC=EF=2cm，在Rt△ADE和Rt△BCF中，，∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），∴AE=BF，∴AE=BF=（AB-EF）=×（8-2）=3（cm），∵AD=6cm，∴AE=AD，∴∠ADE=30°，∴∠A=60°，DE=（cm），∴梯形ABCD的高為cm；（2）解：過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，如圖2所示：同（1）得：四邊形CDEF是矩形，當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個(gè)直角梯形時(shí)，四邊形APQD是直角梯形，則四邊形DEPQ為矩形，∵CQ=t，∴DQ=EP=2-t，∵AP=AE+EP，∴2t=3+2-t，解得：t=；（3）解：存在這樣的t的值，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半，理由如下：∵S梯形ABCD=（8+2）×3=15（cm2），當(dāng)S四邊形PBCQ=S梯形ABCD時(shí)，①若點(diǎn)Q在CD上，即0≤t≤2，如圖3所示：則CQ=t，BP=8-2t，S四邊形PBCQ=（t+8-2t）×3=，解得：t=3（不合題意舍去）；②若點(diǎn)Q在AD上，即2＜t≤4，過點(diǎn)Q作HG⊥AB于G，交CD的延長(zhǎng)線于H，如圖4所示：則AQ=AD+DC-t=6+2-t=8-t，在Rt△AGQ中，∠A=60°，∴∠AQG=90°-60°=30°，∴AG=AQ，∴QG=，同理：QH=DQ=（8-8+t-2）=（t-2），∵S四邊形PBCQ=S梯形ABCD，∴S△APQ+S△CDQ=S四邊形PBCQ，∴×2t×（8-t）+×2×（t-2）=，整理得：t2-9t+17=0，解得：t1=（不合題意舍去），t2=，綜上所述，存在t為s時(shí)，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了等腰梯形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的判定、勾股定理、一元二次方程等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰梯形的性質(zhì)和勾股定理，證明Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．3、如圖，在梯形中，厘米，厘米，的坡度動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)以2厘米/秒的速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以3厘米/秒的速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．（1）求邊的長(zhǎng)；（2）當(dāng)為何值時(shí)，與相互平分；（3）連結(jié)設(shè)的面積為探求與的函數(shù)關(guān)系式，求為何值時(shí)，有最大值？最大值是多少？圖（15）圖（15）CcDcAcBcQcPcEc【解析】：（1）作于點(diǎn)，如圖（3）所示，則四邊形為矩形．又 2分在中，由勾股定理得：（2）假設(shè)與相互平分．由則是平行四邊形（此時(shí)在上）．即解得即秒時(shí)，與相互平分．（3）①當(dāng)在上，即時(shí)，作于，則即=當(dāng)秒時(shí)，有最大值為②當(dāng)在上，即時(shí)，=易知隨的增大而減?。十?dāng)秒時(shí)，有最大值為綜上，當(dāng)時(shí)，有最大值為4、在梯形中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．（1）求的長(zhǎng)．（2）當(dāng)時(shí)，求的值．（3）試探究：為何值時(shí)，為等腰三角形．【解析】：（1）如圖①，過、分別作于，于，則四邊形是矩形∴在中，在，中，由勾股定理得，∴（圖（圖①）ADCBKH（圖②）ADCBGMN（2）如圖②，過作交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形∵∴∴∴由題意知，當(dāng)、運(yùn)動(dòng)到秒時(shí)，∵∴又∴∴即解得，AADCBMN（圖③）（圖④）ADCBMNHE（3）分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，如圖③，即∴②當(dāng)時(shí)，如圖④，過作于解法一：由等腰三角形三線合一性質(zhì)得在中，又在中，∴解得∵∴∴即∴（圖（圖⑤）ADCBHNMF③當(dāng)時(shí)，如圖⑤，過作于點(diǎn).解法一：（方法同②中解法一）解得解法二：∵∴∴即∴綜上所述，當(dāng)、或時(shí)，為等腰三角形5、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，開口向上的拋物線與x軸交于點(diǎn)A(－1,0)和點(diǎn)B(3,0)，D為拋物線的頂點(diǎn)，直線AC與拋物線交于點(diǎn)C(5,6)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E在x軸上，且△AEC和△AED相似，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）若直角坐標(biāo)系平面中的點(diǎn)F和點(diǎn)A、C、D構(gòu)成直角梯形，且面積為16，試求點(diǎn)F的坐標(biāo)．圖1圖1滿分解答（1）如圖1，因?yàn)閽佄锞€與x軸交于點(diǎn)A(－1,0)和點(diǎn)B(3,0)，設(shè)y＝a(x＋1)(x－3)．將點(diǎn)C(5,6)代入y＝a(x＋1)(x－3)，得12a＝6．解得．所以拋物線的解析式為．（2）由，得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,－2)．由A(－1,0)、C(5,6)、D(1,－2)，得∠CAO＝45°，∠DAO＝45°，AC＝，AD＝．因此不論點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)還是右側(cè)，都有∠CAE＝∠DAE．圖2圖3如果△CAE∽△DAE，那么它們?nèi)?，這是不可能的．如圖2，圖3，如果△CAE∽△EAD，那么AE2＝AC·AD＝．所以AE＝．所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為，或．（3）因?yàn)椤螩AD＝90°，因此直角梯形存在兩種情況．①如圖4，當(dāng)DF//AC時(shí)，由，得．解得DF＝．此時(shí)F、D兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離都是2，所以F(3,0)．②如圖5，當(dāng)CF//AD時(shí)，由，得．解得CF＝．此時(shí)F、C兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離都是，所以F．圖4圖56、如圖1，把兩個(gè)全等的Rt△AOB和Rt△COD方別置于平面直角坐標(biāo)系中，使直角邊OB、OD在x軸上．已知點(diǎn)A(1，2)，過A、C兩點(diǎn)的直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)E、F．拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)P為線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（點(diǎn)A始終在線段AC上，且不與點(diǎn)C重合），△AOB在平移的過程中與△COD重疊部分的面積記為S．試探究S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1圖1思路點(diǎn)撥1．如果四邊形ABPM是等腰梯形，那么AB為較長(zhǎng)的底邊，這個(gè)等腰梯形可以分割為一個(gè)矩形和兩個(gè)全等的直角三角形，AB邊分成的3小段，兩側(cè)的線段長(zhǎng)線段．2．△AOB與△COD重疊部分的形狀是四邊形EFGH，可以通過割補(bǔ)得到，即△OFG減去△OEH．3．求△OEH的面積時(shí)，如果構(gòu)造底邊OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角邊的比為1∶2．4．設(shè)點(diǎn)A′移動(dòng)的水平距離為m，那么所有的直角三角形的直角邊都可以用m表示．滿分解答（1）將A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分別代入y＝ax2＋bx＋c，得解得，，．所以．（2）如圖2，過點(diǎn)P、M分別作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－yM′＝y(tǒng)P′－yB．直線OC的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，那么．解方程，得，．x＝2的幾何意義是P與C重合，此時(shí)梯形不存在．所以．圖2圖3（3）如圖3，△AOB與△COD重疊部分的形狀是四邊形EFGH，作EK⊥OD于K．設(shè)點(diǎn)A′移動(dòng)的水平距離為m，那么OG＝1＋m，GB′＝m．在Rt△OFG中，．所以．在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以．所以．在Rt△OEK中，OK＝2EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK；所以O(shè)K＝4HK．因此．所以．所以．于是．因?yàn)?＜m＜1，所以當(dāng)時(shí)，S取得最大值，最大值為．7、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、C(0，12)兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線x＝4，設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）如圖1，在直線y＝2x上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，點(diǎn)M是線段OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O、P兩點(diǎn)除外），以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)P向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作直線MN//x軸，交PB于點(diǎn)N．將△PMN沿直線MN對(duì)折，得到△P1MN．在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．圖1圖2思路點(diǎn)撥1．第（2）題可以根據(jù)對(duì)邊相等列方程，也可以根據(jù)對(duì)角線相等列方程，但是方程的解都要排除平行四邊形的情況．2．第（3）題重疊部分的形狀分為三角形和梯形兩個(gè)階段，臨界點(diǎn)是PO的中點(diǎn)．滿分解答（1）設(shè)拋物線的解析式為，代入A（2，0）、C(0，12)兩點(diǎn)，得解得所以二次函數(shù)的解析式為，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，－4）．（2）由，知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）．假設(shè)在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，2x)．由兩點(diǎn)間的距離公式，得．解得或x＝－2．如圖3，當(dāng)x＝－2時(shí)，四邊形ODPB是平行四邊形．所以，當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)時(shí)，四邊形OPBD為等腰梯形．圖3圖4圖5（3）設(shè)△PMN與△POB的高分別為PH、PG．在Rt△PMH中，，．所以．在Rt△PNH中，，．所以．①如圖4，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，重疊部分的面積等于△PMN的面積．此時(shí)．②如圖5，當(dāng)2＜t＜4時(shí)，重疊部分是梯形，面積等于△PMN的面積減去△P′DC的面積．由于，所以．此時(shí)．8、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，開口向上的拋物線與x軸交于點(diǎn)A(－1,0)和點(diǎn)B(3,0)，D為拋物線的頂點(diǎn)，直線AC與拋物線交于點(diǎn)C(5,6)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E在x軸上，且△AEC和△AED相似，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）若直角坐標(biāo)系平面中的點(diǎn)F和點(diǎn)A、C、D構(gòu)成直角梯形，且面積為16，試求點(diǎn)F的坐標(biāo)．圖1圖1思路點(diǎn)撥1．由A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)，可以得到直線CA、直線DA與x軸的夾角都是45°，因此點(diǎn)E不論在點(diǎn)A的左側(cè)還是右側(cè)，都有∠CAE＝∠DAE．因此討論△AEC和△AED相似，要分兩種情況．每種情況又要討論對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系．2．因?yàn)椤螩AD是直角，所以直角梯形存在兩種情況．滿分解答（1）如圖1，因?yàn)閽佄锞€與x軸交于點(diǎn)A(－1,0)和點(diǎn)B(3,0)，設(shè)y＝a(x＋1)(x－3)．將點(diǎn)C(5,6)代入y＝a(x＋1)(x－3)，得12a＝6．解得．所以拋物線的解析式為．（2）由，得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,－2)．由A(－1,0)、C(5,6)、D(1,－2)，得∠CAO＝45°，∠DAO＝45°，AC＝，AD＝．因此不論點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)還是右側(cè)，都有∠CAE＝∠DAE．圖2圖3如果△CAE∽△DAE，那么它們?nèi)?，這是不可能的．如圖2，圖3，如果△CAE∽△EAD，那么AE2＝AC·AD＝．所以AE＝．所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為，或．（3）因?yàn)椤螩AD＝90°，因此直角梯形存在兩種情況．①如圖4，當(dāng)DF//AC時(shí)，由，得．解得DF＝．此時(shí)F、D兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離都是2，所以F(3,0)．②如圖5，當(dāng)CF//AD時(shí)，由，得．解得CF＝．此時(shí)F、C兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離都是，所以F．圖4圖59、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x＋2與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是這條直線上第一象限內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為D，已知△ABD的面積為18．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如果拋物線經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，求拋物線的解析式；（3）已知（2）中的拋物線與y軸相交于點(diǎn)C，該拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ//AC交x軸于點(diǎn)Q，如果點(diǎn)Q在線段AH上，且AQ＝CP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．圖1思路點(diǎn)撥1．△ABD是等腰直角三角形，根據(jù)面積可以求得直角邊長(zhǎng)，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．2．AQ＝CP有兩種情況，四邊形CAQP為平行四邊形或等腰梯形．平行四邊形的情況很簡(jiǎn)單，等腰梯形求點(diǎn)P比較復(fù)雜，于是我們要想起這樣一個(gè)經(jīng)驗(yàn)：平行于等腰三角形底邊的直線截兩腰，得到一個(gè)等腰梯形和一個(gè)等腰三角形．滿分解答（1）直線y＝x＋2與x軸的夾角為45°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2,0)．因?yàn)椤鰽BD是等腰直角三角形，面積為18，所以直角邊長(zhǎng)為6．因此OD＝4．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,6)．（2）將A(－2,0)、B(4,6)代入，得解得b＝2，c＝6．所以拋物線的解析式為．（3）由，得拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6)．如果AQ＝CP，那么有兩種情況：①如圖2，當(dāng)四邊形CAQP是平行四邊形時(shí)，AQ//CP，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,6)．②如圖3，當(dāng)四邊形CAQP是等腰梯形時(shí)，作AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)F，那么點(diǎn)P在FC上．設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x,0)，根據(jù)FA2＝FC2列方程，得(x＋2)2＝x2＋62．解得x＝8．所以O(shè)F＝8，HF＝6．因此．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．圖2圖310、已知直線y＝3x－3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線y＝ax2＋2x＋c經(jīng)過點(diǎn)A，B．（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）記該拋物線的對(duì)稱軸為直線l，點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C，若點(diǎn)D在y軸的正半軸上，且四邊形ABCD為梯形．①求點(diǎn)D的坐標(biāo)；②將此拋物線向右平移，平移后拋物線的頂點(diǎn)為P，其對(duì)稱軸與直線y＝3x－3交于點(diǎn)E，若，求四邊形BDEP的面積．圖1圖1思路點(diǎn)撥1．這道題的最大障礙是畫圖，A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)必須畫準(zhǔn)確，其實(shí)拋物線不必畫出，畫出對(duì)稱軸就可以了．2．拋物線向右平移，不變的是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，不變的是D、P兩點(diǎn)間的垂直距離等于7．3．已知∠DPE的正切值中的7的幾何意義就是D、P兩點(diǎn)間的垂直距離等于7，那么點(diǎn)P向右平移到直線x＝3時(shí)，就停止平移．滿分解答（1）直線y＝3x－3與x軸的交點(diǎn)為A(1，0)，與y軸的交點(diǎn)為B(0,－3)．將A(1，0)、B(0,－3)分別代入y＝ax2＋2x＋c，得解得所以拋物線的表達(dá)式為y＝x2＋2x－3．對(duì)稱軸為直線x＝－1，頂點(diǎn)為(－1,－4)．（2）①如圖2，點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－2,－3)．因?yàn)镃D//AB，設(shè)直線CD的解析式為y＝3x＋b，代入點(diǎn)C(－2,－3)，可得b＝3．所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）．②過點(diǎn)P作PH⊥y軸，垂足為H，那么∠PDH＝∠DPE．由，得．而DH＝7，所以PH＝3．因此點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，6）．所以．圖2圖311、如圖1，把兩個(gè)全等的Rt△AOB和Rt△COD方別置于平面直角坐標(biāo)系中，使直角邊OB、OD在x軸上．已知點(diǎn)A(1，2)，過A、C兩點(diǎn)的直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)E、F．拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)P為線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（點(diǎn)A始終在線段AC上，且不與點(diǎn)C重合），△AOB在平移的過程中與△COD重疊部分的面積記為S．試探究S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1圖1思路點(diǎn)撥1．如果四邊形ABPM是等腰梯形，那么AB為較長(zhǎng)的底邊，這個(gè)等腰梯形可以分割為一個(gè)矩形和兩個(gè)全等的直角三角形，AB邊分成的3小段，兩側(cè)的線段長(zhǎng)線段．2．△AOB與△COD重疊部分的形狀是四邊形EFGH，可以通過割補(bǔ)得到，即△OFG減去△OEH．3．求△OEH的面積時(shí)，如果構(gòu)造底邊OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角邊的比為1∶2．4．設(shè)點(diǎn)A′移動(dòng)的水平距離為m，那么所有的直角三角形的直角邊都可以用m表示．滿分解答（1）將A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分別代入y＝ax2＋bx＋c，得解得，，．所以．（2）如圖2，過點(diǎn)P、M分別作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－yM′＝y(tǒng)P′－yB．直線OC的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，那么．解方程，得，．x＝2的幾何意義是P與C重合