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2024-2025學(xué)年四川省南充市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題(本大題共8個(gè)小題,每題只有一個(gè)選項(xiàng)正確,每小題5分,共40分)1.直線的傾斜角為()A. B. C. D.【正確答案】D解析:因?yàn)橹本€的斜率為,設(shè)傾斜角為,所以,故.故選:D.2.點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. B. C. D.【正確答案】B解析:點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選:B3.已知直線經(jīng)過點(diǎn),且方向向量,則的方程為()A. B.C. D.【正確答案】B解析:因?yàn)橹本€的方向向量,所以直線的斜率為2,又直線經(jīng)過點(diǎn),所以直線方程為,即.故選:B.4.已知圓:與圓:公切線條數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】C解析:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心,半徑,圓的圓心為,半徑,因?yàn)?,所以兩圓外切,所以圓與圓的公切線有3條.故選:C5.已知雙曲線的離心率為2,則雙曲線兩條漸近線的夾角為()A. B. C. D.【正確答案】B解析:雙曲線的離心率為,解得,,所以.雙曲線兩條漸近線方程分別是和,它們傾斜角分別是和,從而雙曲線兩條漸近線的夾角為.故選:B6.如圖,在四面體中,.點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn),則()A. B.C. D.【正確答案】D解析:因?yàn)樵谒拿骟w中,,點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn),所以,.故選:D.7.已知,,,則事件A與B的關(guān)系是()A.A與B互斥不對(duì)立 B.A與B對(duì)立C.A與B相互獨(dú)立 D.A與B既互斥又相互獨(dú)立【正確答案】C解析:因,則.注意到:,則A與B不互斥,不對(duì)立,則ABD錯(cuò)誤;又.因,則事件A與事件B相互獨(dú)立,則C正確;故選:C8.已知,是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),是該橢圓和雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn),,的外接圓半徑為2,且,記橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,則下列說法正確的是()A. B.C. D.的最小值為4【正確答案】C解析:∵雙曲線,則焦點(diǎn)在軸,則橢圓中,∵,∴,即,即,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;由正弦定理可知在中,∴,∵,∴,由橢圓和雙曲線的定義可知:,解得,∴,即,∴,∴,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;∵,∴,即,∴,C選項(xiàng)正確;當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以最小值為,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:C.二、多選題(本大題共3個(gè)小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)是符合題目要求的,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分)9.曲線,下列結(jié)論正確的有()A.若曲線表示橢圓,則且不等于0 B.若曲線表示雙曲線,則焦距是定值C.若,則短軸長為2 D.若,則漸近線為【正確答案】AC解析:對(duì)于:表示橢圓,則,即,故正確;對(duì)于:表示雙曲線,則,即,當(dāng)時(shí),,焦距不是定值,故錯(cuò)誤;對(duì)于:時(shí),為橢圓,短軸長,故正確;對(duì)于:時(shí),為雙曲線,漸近線方程為,故錯(cuò)誤;故選:.10.關(guān)于空間向量,以下說法正確的是()A.已知,則在上的投影向量為B.已知兩個(gè)向量,且,則C.設(shè)是空間中的一組基底,則也是空間的一組基底D.若對(duì)空間中任意一點(diǎn),有,則四點(diǎn)共面【正確答案】BC解析:對(duì)于A,因?yàn)?,所以,所以在上的投影向量為,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)?,所以因?yàn)?,所以,解得,所以,故B正確;對(duì)于C,設(shè)是空間中的一組基底,則不共面,假設(shè)共面,則,顯然無解,所以不共面,則也是空間的一組基底,故C正確;對(duì)于D,,但,則四點(diǎn)不共面,故D錯(cuò)誤.故選:BC11.雙曲線具有以下光學(xué)性質(zhì):從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)雙曲線反射后,反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得:過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過C右支上一點(diǎn)作雙曲線的切線交x軸于點(diǎn),則()A.B.平面上點(diǎn)最小值為C.若經(jīng)過左焦點(diǎn)的入射光線經(jīng)過點(diǎn)A,且,則入射光線與反射光線的夾角為D.過點(diǎn)作,垂足為H,則【正確答案】ABD解析:解:對(duì)于A項(xiàng),設(shè)直線的方程為,,聯(lián)立方程組,消去整理得,,,即,又因?yàn)?,所以上式可化?jiǎn)整理得,所以,所以直線的方程為,即,所以,因?yàn)?,所以,故A項(xiàng)正確;對(duì)于B項(xiàng),由雙曲線定義得,且,則,所以的最小值為.故B項(xiàng)正確;對(duì)于C項(xiàng),根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知反射光線所在直線即直線,因?yàn)榍遥?,若,則,所以直線直線;同理可知當(dāng)也可判斷直線直線,所以入射光線與反射光線的夾角為,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于D項(xiàng),如圖,為雙曲線的切線,由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知,平分,延長與的延長線交于點(diǎn).則垂直平分,即點(diǎn)為的中點(diǎn).又是的中點(diǎn),所以,,故D項(xiàng)正確.故選:ABD.三、填空題(本大題共3個(gè)小題,每小題5分,共15分)12.過點(diǎn)作圓的切線,切線方程為__________.【正確答案】或解析:由,可得圓的圓心,半徑為,當(dāng)過的直線斜率不存在時(shí),直線方程為,易得直線與圓相切,當(dāng)過的切線斜率存在時(shí),設(shè)切線方程為,即,由,解得,切線方程為,所以切線方程為或.故或.13.雙曲線上的點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為,則它到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為________.【正確答案】解析:解:依題意,設(shè)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為,到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為,由雙曲線的定義得:,或.,,不妨設(shè)點(diǎn)為右支上的點(diǎn),則當(dāng)點(diǎn)為右頂點(diǎn),為左焦點(diǎn)時(shí),,,不符合題意,舍去.故.14.若,且在上,在圓上,則的最小值為______.【正確答案】1解析:如圖,,當(dāng)且僅當(dāng)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立;設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,,所以等于點(diǎn)到直線的距離的一半,過點(diǎn)作直線的垂線,垂足記為,過點(diǎn)作直線的垂線,垂足記為,則當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與橢圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以的最小值為1,故1.四、解答題(本大題共5個(gè)小題,共77分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)15.籃球三人賽參賽隊(duì)伍要進(jìn)行投球測(cè)試,測(cè)試規(guī)定每支球隊(duì)三人各自投球一次,命中得1分,不中得0分;三人得分和為2分或以上視通過測(cè)試.現(xiàn)有甲、乙、丙組隊(duì)參與投球測(cè)試,每人投球一次,已知甲命中的概率是,甲、乙都未命中的概率是,乙、丙都命中的概率是,若每人是否命中互不影響.(1)求乙、丙兩人各自命中的概率;(2)求甲、乙、丙這支球隊(duì)通過投球測(cè)試的概率.【正確答案】(1)乙、丙兩人各自命中的概率分別為.(2)(1)設(shè)乙、丙兩人各自命中的概率分別為,每人是否命中互不影響,故,解得,故乙、丙兩人各自命中的概率分別為.(2)甲、乙、丙這支球隊(duì)通過投球測(cè)試,則三人得分和為2分或3分.三人得分和為3分,即甲、乙、丙三人均命中,概率為,三人得分和為2分,即甲、乙、丙三人中恰有2人命中,其概率為,故甲、乙、丙這支球隊(duì)通過投球測(cè)試的概率為.16.如圖,在四棱錐中,底面是矩形,底面,點(diǎn)是的中點(diǎn),,,(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)(1)連接交于,連接,由于是的中點(diǎn)、是的中點(diǎn),所以是三角形的中位線,所以,由于平面平面,所以平面;(2)依題意,底面是矩形,所以,底面,平面,所以,由此以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,,,,設(shè)平面的法向量為,則,故可設(shè),設(shè)直線與平面所成角,則.17.已知中,頂點(diǎn)的平分線所在直線的方程為.(1)求BC邊所在的直線方程;(2)求的內(nèi)切圓方程.【正確答案】(1)(2)(1)解:點(diǎn)關(guān)于的平分線所在直線的對(duì)稱點(diǎn)在BC邊所在的直線上設(shè),則,解得,所以,所以,所以BC邊所在的直線方程為,即.(2)解:由的內(nèi)切圓圓心在的平分線上,設(shè)圓心為又由,可得AB邊所在的直線方程為,即因?yàn)榈紹C和AB邊距離相等得,解得或(舍)故圓心為,此時(shí)圓半徑所以的內(nèi)切圓方程.18.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),離心率為.(1)求的方程;(2)若,為上的兩點(diǎn),且直線與直線的斜率之積為,求證:直線過定點(diǎn).【正確答案】(1)(2)證明見解析(1)依題意可得,解得,所以橢圓的方程為;(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè).則,,,不合題意.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè),,,聯(lián)立方程,得.,,.又,即.將,代入上式,得,即,解得或,當(dāng)時(shí),,恒過點(diǎn),不符合題意,故舍去;當(dāng)時(shí),,恒過點(diǎn),符合題意;直線過定點(diǎn).19.閱讀材料:極點(diǎn)與極線,是法國數(shù)學(xué)家吉拉德?笛沙格(GirardDesargues,)于年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述,它是圓錐曲線的一種基本特征.已知圓錐曲線,則稱點(diǎn)和直線是圓錐曲線的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上,在圓錐曲線方程中,以替換,以替換(另一變量也是如此),即可得到點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程.特別地,對(duì)于橢圓,與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為;對(duì)于雙曲線,與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為;即對(duì)于確定的圓錐曲線,每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.其中,極點(diǎn)與極線有以下基本性質(zhì)和定理①當(dāng)在圓錐曲線上時(shí),其極線是曲線在點(diǎn)處的切線;②當(dāng)在外時(shí),其極線是曲線從點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線(即切點(diǎn)弦所在直線);③當(dāng)在內(nèi)時(shí),其極線是曲線過點(diǎn)的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.根據(jù)上述材料回答下面問題:已知雙曲線,右頂點(diǎn)到的一條漸近線的距離為,已知點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線與雙曲線交于點(diǎn),(1)若,,證明:極線恒過定點(diǎn).(2)在(1)的條件下,若該定點(diǎn)為極線的中點(diǎn),求出此時(shí)的極線方程(3)若,,,極線交的右支于,兩點(diǎn),點(diǎn)在軸上方,點(diǎn)是雙曲線的左頂點(diǎn),直線,直線分別交軸于,兩點(diǎn),點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),求
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