2024-2025學(xué)年山東省青島市高一上冊（期末）選科測試數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省青島市高一上學(xué)期期末選科測試數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．2．（

）A． B． C． D．3．已知x，y為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．4．人類已進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代，數(shù)據(jù)量已從級(jí)別躍升到級(jí)別，據(jù)研究結(jié)果表明：某地區(qū)的數(shù)據(jù)量（單位：EB）與時(shí)間（單位：年）的關(guān)系符合函數(shù)，其中，．已知2022年該地區(qū)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)成為，2023年該地區(qū)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)邊為，則2024年該地區(qū)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為（

）A．1.5EB B．1.75EB C．2EB D．2.25EB5．“”是“”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為（

）A． B． C． D．7．定義在上的函數(shù)，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．若“，使得”為假命題，則m的最大值為（

）A．14 B．15 C．16 D．17二、多選題（本大題共4小題）9．已知，，則（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則（

）A．點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心 B．直線是圖象的一條對(duì)稱軸C．在上單調(diào)遞增 D．11．已知函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且無限接近直線但又不與該直線相交，則（

）A． B．C．是偶函數(shù) D．在上單調(diào)遞增12．已知函數(shù)定義域?yàn)镽，則（

）A．若，，則在上單調(diào)遞增B．若，，，則是偶函數(shù)C．若，，，則是周期函數(shù)D．若，，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減三、填空題（本大題共4小題）13．函數(shù)（且）的圖象恒過點(diǎn)14．寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列①②③的函數(shù)的解析式．①的定義域?yàn)?；②；③?dāng)時(shí)，．15．如圖，已知是等腰直角三角形，，，在平面內(nèi)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，使C，B，在同一直線上，則圖中陰影部分的面積為．16．設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為．四、解答題（本大題共6小題）17．已知集合，．(1)寫出的所有子集；(2)若關(guān)于的不等式的解集為，，，求的值．18．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)．(1)求，的值；(2)求的值．19．已知函數(shù)的最小正周期為2，的一個(gè)零點(diǎn)是．(1)求的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，的最小值為，求的取值范圍．20．如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)W，E，F(xiàn)，M分別在邊，，，上，，，與交于點(diǎn)，，記．(1)記四邊形的面積為的函數(shù)，周長為的函數(shù)，（i）證明：；（ii）求的最大值；(2)求四邊形面積的最小值．21．某藥品可用于治療某種疾病，經(jīng)檢測知每注射tml藥品，從注射時(shí)間起血藥濃度y（單位：ug/ml）與藥品在體內(nèi)時(shí)間（單位：小時(shí)）的關(guān)系如下：當(dāng)血藥濃度不低于時(shí)才能起到有效治療的作用，每次注射藥品不超過．(1)若注射藥品，求藥品的有效治療時(shí)間；(2)若多次注射，則某一時(shí)刻體內(nèi)血藥濃度為每次注射后相應(yīng)時(shí)刻血藥濃度之和．已知病人第一次注射1ml藥品，12小時(shí)之后又注射aml藥品，要使隨后的6小時(shí)內(nèi)藥品能夠持續(xù)有效消療，求的最小值．22．已知函數(shù)，．(1)寫出的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)性的定義證明；(2)若，解關(guān)于的不等式；(3)證明：恰有兩個(gè)零點(diǎn)m，，且．

答案1．【正確答案】C【分析】根據(jù)真數(shù)大于0求定義域.【詳解】，所以，解得，所以定義域?yàn)?故選：C2．【正確答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式把化簡為，再根據(jù)特殊角三角函數(shù)值即可求解.【詳解】.故選：B3．【正確答案】D【分析】根據(jù)題意利用基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.4．【正確答案】C【分析】根據(jù)條件得，解出，得到，將代入即可求出結(jié)果.【詳解】由題可得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，故選：C.5．【正確答案】B【分析】解出對(duì)數(shù)不等式，由充分條件和必要條件的定義判斷結(jié)論.【詳解】不等式等價(jià)于，時(shí)一定滿足，充分性成立；時(shí)不一定能滿足，必要性不成立.故“”是“”的充分不必要條件.故選：B6．【正確答案】A【分析】作出函數(shù)和在上的圖象，通過圖象即可求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)．【詳解】作出函數(shù)和在上的圖象如下從圖像上可得：函數(shù)的圖象和的圖象在內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)：，即，得，，，得，所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為.故選：A7．【正確答案】D【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式.【詳解】定義在上的函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，若，則有，即，解得.所以的取值范圍為.故選：D8．【正確答案】B【分析】根據(jù)條件，先將問題轉(zhuǎn)化為“，”，然后通過對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡并計(jì)算出的值，由此可求的最大值.【詳解】因?yàn)椤?，使得”為假命題，所以“，”為真命題；因?yàn)?，設(shè)，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，，所以，所以的最大值為，故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是：化簡時(shí)要注意到.9．【正確答案】BD【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，判斷各選項(xiàng)的結(jié)論是否正確.【詳解】由已知得，A選項(xiàng)，不知道的符號(hào)，不能比較與的大小，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由，有，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，由，有，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由，則，D選項(xiàng)正確.故選：BD10．【正確答案】AB【分析】通過代入驗(yàn)證法，判斷選項(xiàng)中的對(duì)稱中心對(duì)稱軸單調(diào)區(qū)間等結(jié)論是否成立.【詳解】函數(shù)，，點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，A選項(xiàng)正確；，是函數(shù)最值，直線是圖象的一條對(duì)稱軸，B選項(xiàng)正確；時(shí)，，不是正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB11．【正確答案】AC【分析】由已知結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象的平移可求，進(jìn)而可求函數(shù)解析式，根據(jù)解析式分析相關(guān)的性質(zhì).【詳解】函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，則，即，函數(shù)的圖象無限接近直線但又不與該直線相交，故是圖象的一條漸近線，則，，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；函數(shù)，定義域?yàn)镽，，是偶函數(shù)，C選項(xiàng)正確；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC12．【正確答案】BCD【分析】令，可判斷A；用偶函數(shù)定義判斷B；用周期函數(shù)的定義判斷C；用單調(diào)性定義判斷D.【詳解】A：令，滿足，但在上不是增函數(shù)，A錯(cuò)誤；B：令，則，所以，所以是偶函數(shù)，B正確；C：若，，，則，即，則是周期函數(shù)，C正確；，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以，則，，即在上單調(diào)遞減，D正確.故選：BCD13．【正確答案】【詳解】分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)過可得結(jié)果.詳解：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得過，所以過，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的簡單性質(zhì)，屬于簡單題.14．【正確答案】（答案不唯一）【分析】由函數(shù)滿足的條件，分析函數(shù)類型得解析式.【詳解】取，其定義域?yàn)椋?，滿足，且當(dāng)時(shí)，，滿足所有條件，故；（答案不唯一）15．【正確答案】【分析】由圖可知，分別計(jì)算即可.【詳解】如圖：由是等腰直角三角形，，，所以，，，，所以.故16．【正確答案】【分析】將已知條件因式分解可得，然后分析的值域，根據(jù)值域判斷出的值并求出的值，由此可知的表示，則結(jié)果可求.【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)榍遥裕?，，顯然，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，所以，所以，，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，有最小值，且，故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)方面：（1）利用因式分解將所給條件變形；（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的值域確定的具體表示.17．【正確答案】(1)，，，(2)【分析】（1）先求出，再寫出子集；（2）由題意先得出，再由一元二次不等式解集與一元二次方程根的關(guān)系求值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以．所以的所有子集為：，，，．?）因?yàn)?，，所以．由題意得1和3是方程的兩根，，，所以．18．【正確答案】(1)，(2)【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義即可求解.（2）利用誘導(dǎo)公式化簡即可求解.【詳解】（1）由三角函數(shù)的定義知：因?yàn)?，所以，所以．?）因?yàn)?，，，所以?9．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中周期求得，再由零點(diǎn)條件可求，即得函數(shù)解析式；（2）由的范圍求出整體角的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，依題意須使，解之即得的取值范圍.【詳解】（1）由題知，所以．又因?yàn)?，所以，，即：，又，則，所以．（2）因?yàn)?，，令，因?yàn)樵谏系淖钚≈禐?，如圖，可知須使，解得，所以的取值范圍是．20．【正確答案】(1)（i）證明見解析；（ii）(2)答案見解析【分析】（1）（i）根據(jù)已知條件求出，，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求解；（ii）根據(jù)（i）的結(jié)論及重要不等式即可求解；（2）根據(jù)已知條件求出四邊形的面積的表達(dá)式，利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）（i）由題知：，．所以．（ii）由（i）知：，當(dāng)時(shí)，時(shí)取等號(hào)，所以，故當(dāng)時(shí)，的最大值為．（2）因?yàn)椋?，所以，令，?duì)稱軸為，開口向上，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．若，則在上單調(diào)遞減，所以，綜上，當(dāng)時(shí)，四邊形面積最小值為；當(dāng)時(shí)，四邊形面積最小值為.21．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由血藥濃度與藥品在體內(nèi)時(shí)間的關(guān)系，計(jì)算血藥濃度不低于時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間段；（2）由兩次注射的血藥濃度之和不低于，利用基本不等式求的最小值．【詳解】（1）注射該藥品，其濃度為當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得．所以一次注射該藥品，則藥物有效時(shí)間可達(dá)小時(shí)．（2）設(shè)從第一次注射起，經(jīng)小時(shí)后，其濃度，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立．，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋獾?，所以．?dāng)時(shí)，，，所以不能保證持續(xù)有效，答：要使隨后的6小時(shí)內(nèi)藥品能夠持續(xù)有效治療，的最小值為．方法點(diǎn)睛：分段函數(shù)模型的應(yīng)用：在現(xiàn)實(shí)生活中，很多問題的兩變是之間的關(guān)系，不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成分段函數(shù)，分段函數(shù)模型適用于描述在不同區(qū)間上函數(shù)值的變化情況，分段函數(shù)主要是每一段上自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其作為幾個(gè)不同問題，將各段的規(guī)律找出來，再將其合在一起，要注意各段變量的范圍，特別是端點(diǎn)..22．【正確答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，，無減區(qū)間；證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，再對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡，判斷單調(diào)性，根據(jù)兩個(gè)不同區(qū)間，分別運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性定義進(jìn)行推導(dǎo)即得；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，考慮，嘗試得到函數(shù)在上的另一個(gè)零點(diǎn)，經(jīng)計(jì)算得到，從而作出函數(shù)的簡圖即得不等式的解集；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論，在上尋得，使，再構(gòu)造滿足的值，推理得到，利用零點(diǎn)存在定理確定在存在零點(diǎn)；同法，在上存在另一個(gè)零點(diǎn)；最后受（2）的啟發(fā)推算出，利用函數(shù)在上遞增，判斷，借助于基本不等式即得.【詳解】（1）由題知，，因?yàn)?，所以在上和上單調(diào)遞增，理由如下：①，，且，由．因，則，，又，故，即在上單調(diào)遞增，②，，，同理可得：，即在上單調(diào)遞增，所以在上和上單調(diào)遞增，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，無減區(qū)間.（2）由（1）知：在上和上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋鐖D，要使，只需使或，故不等式的解集為：．（3）由（1）知：在上和上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，?/p>