2024-2025學(xué)年北京市朝陽區(qū)高三上冊月考數(shù)學(xué)檢測試卷（12月份）附解析

2024-2025學(xué)年北京市朝陽區(qū)高三上學(xué)期月考數(shù)學(xué)檢測試卷（12月份）一、單選題（共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）設(shè)集合A＝{x|x2＜4}，B＝{x|﹣1≤x﹣1≤1}，則A∪B＝（）A．{x|0≤x≤2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2＜x≤2}2．（4分）已知z=1+i2+i（i為虛數(shù)單位），則A．?15 B．?15i 3．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（﹣1，2）且圓心在直線2x﹣y+2＝0上，若直線x＝ay+1被圓C截得弦長為23，則正實(shí)數(shù)aA．1 B．2 C．3 D．24．（4分）已知點(diǎn)P是拋物線y2＝4x上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0，22)的距離與點(diǎn)P到A．3 B．2 C．3 D．45．（4分）在△ABC中，（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB），則∠C＝（）A．π6 B．π3 C．2π36．（4分）若（3﹣x）（1+2x）10＝a0+a1x+…+a11x11，x∈R，則a1?3+a2?32+…+a11?311的值為（）A．39 B．39﹣1 C．0 D．﹣37．（4分）設(shè)a→，b→均為單位向量，則“a→A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要8．（4分）《九章算術(shù)》是中國古代的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著．其中卷五記載：“今有芻甍，下廣三丈，表四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”問題即為：今有如圖所示的屋脊?fàn)钚wPQ﹣ABCD，下底面ABCD是矩形，假設(shè)屋脊沒有歪斜，即PQ中點(diǎn)R在底面ABCD上的投影為矩形ABCD的中心O，PQ∥AB，AB＝4，AD＝3，PQ＝2，OR＝1（長度單位：丈）．則楔體PQ﹣ABCD的體積為（）（體積單位：立方丈）A．10 B．8 C．6 D．59．（4分）已知非零向量a→，b→，e→在同一平面，其中e→是單位向量，a→與e→的夾角為π3A．2 B．1 C．3 D．310．（4分）已知函數(shù)f（x）＝x2+m與函數(shù)g(x)=?ln1x?3x(x∈[12A．[54+ln2，2] C．[54+ln2，2+ln2] 二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11．（5分）已知雙曲線y2+x2m=1的漸近線方程為12．（5分）在等差數(shù)列{an}中，公差d不為0，a1＝9，且a1，a4，a5成等比數(shù)列，則d＝；當(dāng)n＝時，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn有最大值．13．（5分）已知橢圓x29+y25=1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方．若線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O14．（5分）設(shè)函數(shù)f(x)=（1）當(dāng)a＝0時，f（f（10））＝；（2）若f（x）恰有2個零點(diǎn)，則a的取值范圍是．15．（5分）對于數(shù)列{an}，若存在M＞0，使得對任意n∈N*，有|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an+1﹣an|＜M，則稱{an}為“有界變差數(shù)列”．給出以下四個結(jié)論：①若等差數(shù)列{an}為“有界變差數(shù)列”，則{an}的公差d等于0；②若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}為“有界變差數(shù)列”，則其公比q的取值范圍是（0，1）；③若數(shù)列{an}是“有界變差數(shù)列”，則存在T＞0，使得對任意n∈N*，有﹣T＜an＜T；④若數(shù)列{an}是“有界變差數(shù)列”，則數(shù)列{a其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題（本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（13分）設(shè)函數(shù)f（x）＝Asinωxcosωx+cos2ωx（A＞0，ω＞0），從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使得f（x）存在．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）求f（x）在區(qū)間[0，π條件①：f（x）＝f（﹣x）；條件②：f（x）的最大值為32條件③：f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多組條件分別解答，按第一組解答計分．17．（13分）為了解某中學(xué)高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，對高一年級的1班～8班進(jìn)行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽10名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測．經(jīng)統(tǒng)計，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散點(diǎn)圖如下（x軸表示對應(yīng)的班號，y軸表示對應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：（1）若用散點(diǎn)圖預(yù)測高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級學(xué)生中任意抽測1人，試估計該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率；（2）若從高一2班抽測的10人中隨機(jī)抽取1人，從高一5班抽測的10人中隨機(jī)抽取1人，設(shè)X表示這2人中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)每個班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等．現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，用“ξk＝1”表示第k班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“ξk＝0”表示第k班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀（k＝1，2，…，8）．直接寫出方差D（ξ1），D（ξ2），D（ξ3），D（ξ4）的大小關(guān)系（無需過程）．18．（14分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱PA上，PC∥平面EDF，PA＝PD＝AD＝2．（1）求證：E為PA中點(diǎn)；（2）求二面角F﹣ED﹣P的余弦值；（3）設(shè)G為棱PC上任意一點(diǎn)，求證：GF與平面EDF不垂直．19．（15分）已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F（﹣2，0），直線l過點(diǎn)F交橢圓Γ于A，B（1）求橢圓Γ的方程；（2）直線l1：x＝﹣3上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC為正三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線l的方程；若不存在，請說明理由．20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣2ax（其中a∈R）．（1）當(dāng)a＝2時，求函數(shù)f（x）的圖象在x＝1處的切線方程；（2）若f（x）≤2恒成立，求a的取值范圍；（3）設(shè)g（x）＝f（x）+12x2，且函數(shù)g（x）有極大值點(diǎn)x0．求證：x0f（x0）+121．（15分）已知集合S＝{a1，a2，a3，…，an}（n≥3），集合T?{（x，y）|x∈S，y∈S，x≠y}且滿足：?ai，aj∈S（i，j＝1，2，3，…，n，i≠j），（ai，aj）∈T與（aj，ai）∈T恰有一個成立．對于T定義dT（a，b）=1，(a，b)∈T0，(b，a)∈TlT（ai）＝dT（ai，a1）+dT（ai，a2）+…+dT（ai，ai﹣1）+dT（ai，ai+1）+…+dT（ai，an）（i＝1，2，3，…，（Ⅰ）若n＝4，（a1，a2），（a3，a2），（a2，a4）∈T，求lT（a2）的值及l(fā)T（a4）的最大值；（Ⅱ）從lT（a1），lT（a2），…，lT（an）中任意刪去兩個數(shù)，記剩下的n﹣2個數(shù)的和為M．求證：M≥12n（（Ⅲ）對于滿足lT（ai）＜n﹣1（i＝1，2，3，…，n）的每一個集合T，集合S中是否都存在三個不同的元素e，f，g，使得dT（e，f）+dT（f，g）+dT（g，e）＝3恒成立，并說明理由．

答案與試題解析題號12345678910答案DACBBDCDDD一、單選題（共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）設(shè)集合A＝{x|x2＜4}，B＝{x|﹣1≤x﹣1≤1}，則A∪B＝（）A．{x|0≤x≤2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2＜x≤2}【分析】解二次不等式與絕對值不等式化簡集合A，B，再利用集合的并集運(yùn)算即可得解．解：由不等式x2＜4可得，﹣2＜x＜2，所以A＝{x|﹣2＜x＜2}，由不等式|x﹣1|≤1可得，0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∪B＝{x|﹣2＜x≤2}．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）已知z=1+i2+i（i為虛數(shù)單位），則A．?15 B．?15i 【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z，再求出z的虛部．解：∵z=1+i∴z=35?1故選：A．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（﹣1，2）且圓心在直線2x﹣y+2＝0上，若直線x＝ay+1被圓C截得弦長為23，則正實(shí)數(shù)aA．1 B．2 C．3 D．2【分析】由題意可先借助待定系數(shù)法計算出圓C方程，再借助點(diǎn)到直線的距離公式與垂徑定理計算即可得解．解：根據(jù)題意，圓心C在直線2x﹣y+2＝0上，設(shè)C（m，2m+2），圓C半徑為r，圓C經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（﹣1，2），則有(1?m)2+(2m+2)即圓C的方程為（x+1）2+y2＝4，由直線x＝ay+1被圓C截得弦長為23則有d=22?(2又a為正實(shí)數(shù)，故a=3故選：C．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及弦長的計算，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）已知點(diǎn)P是拋物線y2＝4x上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0，22)的距離與點(diǎn)P到A．3 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)給定條件，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到點(diǎn)(0，22)的距離與點(diǎn)解：點(diǎn)P是拋物線y2＝4x上的一個動點(diǎn)，而拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線l：x＝﹣1，過P作PD⊥l于D，交y于點(diǎn)B，則|PF|＝|PD|＝|PB|+1，|PB|＝|PF|﹣1，記點(diǎn)(0，22)為A，于是當(dāng)且僅當(dāng)P為線段AF與拋物線的交點(diǎn)時取等號，故所求最小值為2．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查拋物線的性質(zhì)應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）在△ABC中，（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB），則∠C＝（）A．π6 B．π3 C．2π3【分析】首先由正弦定理推論，將條件中的正弦值化為邊，再運(yùn)用余弦定理，求得C的余弦值，即可得C的值．解：由正弦定理asinA=bsinA=a2R，sinB=b2R所以（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB）可化為（a+c）（a﹣c）＝b（a﹣b），即a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理可得：cosC=a又C∈（0，π），∴C=π故選：B．【點(diǎn)評】本題考查正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬簡單題．6．（4分）若（3﹣x）（1+2x）10＝a0+a1x+…+a11x11，x∈R，則a1?3+a2?32+…+a11?311的值為（）A．39 B．39﹣1 C．0 D．﹣3【分析】根據(jù)題意，用特殊值法分析：在（3﹣x）（1+2x）10＝a0+a1x+…+a11x11，令x＝3可得0＝a0+a1?3+a2?32+…+a11?311，再令x＝0可得：3＝a0，計算可得答案．解：根據(jù)題意，（3﹣x）（1+2x）10＝a0+a1x+…+a11x11，令x＝3可得：0＝a0+a1?3+a2?32+…+a11?311，令x＝0可得：3＝a0，則a1?3+a2?32+…+a11?311＝﹣3，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意特殊值法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．（4分）設(shè)a→，b→均為單位向量，則“a→A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律判斷即得．解：因?yàn)閨a→|＝|b若a→⊥b→，則|2a→+若|a→?2整理得a→?b所以“a→⊥b故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了向量數(shù)量性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．8．（4分）《九章算術(shù)》是中國古代的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著．其中卷五記載：“今有芻甍，下廣三丈，表四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”問題即為：今有如圖所示的屋脊?fàn)钚wPQ﹣ABCD，下底面ABCD是矩形，假設(shè)屋脊沒有歪斜，即PQ中點(diǎn)R在底面ABCD上的投影為矩形ABCD的中心O，PQ∥AB，AB＝4，AD＝3，PQ＝2，OR＝1（長度單位：丈）．則楔體PQ﹣ABCD的體積為（）（體積單位：立方丈）A．10 B．8 C．6 D．5【分析】由題意，把楔體PQ﹣ABCD分成一個三棱柱和兩個四棱錐，求解即可．解：由題意，分別過點(diǎn)P，Q作平面ABCD的垂直平面，如圖所示，則可以把楔體PQ﹣ABCD分成一個三棱柱GHQ﹣EFP和兩個四棱錐P﹣AEFD，Q﹣GBCH，三棱柱GHQ﹣EFP的體積為V1四棱錐P﹣AEFD和Q﹣GBCH的體積均為V2故楔體PQ﹣ABCD的體積為V＝V1+2V2＝5．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了空間幾何體體積的求解，棱柱和棱錐體積公式的運(yùn)用，屬于中檔題．9．（4分）已知非零向量a→，b→，e→在同一平面，其中e→是單位向量，a→與e→的夾角為π3A．2 B．1 C．3 D．3【分析】設(shè)OA→=a→，OB→=b解：如圖，設(shè)OA→=a→，OB→則根據(jù)題意可知，|OE→|=1，|OF→所以B在以F為圓心，1為半徑的圓上，A在射線OP上，且∠FOP=π所以|a而|BA|的最小值為F到OP射線的距離減去半徑，又F到OP射線的距離為|OF|sinπ所以|a→?故選：D．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積與模的求法，屬于中檔題．10．（4分）已知函數(shù)f（x）＝x2+m與函數(shù)g(x)=?ln1x?3x(x∈[12A．[54+ln2，2] C．[54+ln2，2+ln2] 【分析】由已知，得到方程m＝﹣lnx+3x﹣x2在[12，2]上有解，構(gòu)造函數(shù)f（x）＝﹣lnx+3x﹣x2，求出它的值域，得到m解：由已知，得到方程x2+m＝ln1x+3x?m＝﹣lnx+3x﹣x2在[設(shè)f（x）＝﹣lnx+3x﹣x2，求導(dǎo)得：f′（x）=?1x+3﹣2∵12≤令f′（x）＝0，解得x=12或當(dāng)f′（x）＞0時，12＜當(dāng)f′（x）＜0時，1＜x＜2函數(shù)單調(diào)減，∴在x＝1有唯一的極值點(diǎn)，∵f（12）＝ln2+54，f（2）＝﹣ln2+2，f（x）極大值＝f（1）＝2，且知f（2）＜f故方程m＝﹣lnx+3x﹣x2在[12，2]上有解等價于2﹣ln2≤m從而m的取值范圍為[2﹣ln2，2]．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了構(gòu)造函數(shù)法求方程的解及參數(shù)范圍；關(guān)鍵是將已知轉(zhuǎn)化為方程x2+m＝ln1x+3x?m＝﹣lnx+3x﹣x二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11．（5分）已知雙曲線y2+x2m=1的漸近線方程為【分析】由題意，根據(jù)漸近線方程求出m，進(jìn)而求出a2，b2，可求得離心率．解：易知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2此時a＝1，b=?m因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±3所以ab解得m＝﹣3，即b=3則雙曲線的離心率e=1+故2．【點(diǎn)評】本題考查求雙曲線的離心率，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）在等差數(shù)列{an}中，公差d不為0，a1＝9，且a1，a4，a5成等比數(shù)列，則d＝﹣2；當(dāng)n＝5時，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn有最大值．【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)即可求解．解：因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}中，公差d不為0，a1＝9，因?yàn)閍1，a4，a5成等比數(shù)列，所以a42=a1?a解得d＝﹣2，故an＝a1+（n﹣1）d＝9﹣2（n﹣1）＝11﹣2n，因?yàn)閍5＞0，a6＜0，故當(dāng)n＝5時，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn有最大值．故﹣2，5．【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）已知橢圓x29+y25=1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方．若線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，|OF【分析】求得橢圓的a，b，c，e，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F'，連接PF'，運(yùn)用三角形的中位線定理和橢圓的焦半徑半徑，求得P的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)的斜率公式，可得所求值．解：橢圓x29+y25=1的a＝3，b設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F'，連接PF'，線段PF的中點(diǎn)A在以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓，連接AO，可得|PF'|＝2|AO|＝4，設(shè)P的坐標(biāo)為（m，n），可得3?23m＝4，可得m=?32由F（﹣2，0），可得直線PF的斜率為152另解：由|PF'|＝2|AO|＝4，|PF|＝6﹣4＝2，|FF'|＝2c＝4，可得cos∠PFF'=4+16?16sin∠PFF'=1?可得直線PF的斜率為sin∠PFF′cos∠PFF′故15．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的定義和方程、性質(zhì)，注意運(yùn)用三角形的中位線定理，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．14．（5分）設(shè)函數(shù)f(x)=（1）當(dāng)a＝0時，f（f（10））＝0；（2）若f（x）恰有2個零點(diǎn)，則a的取值范圍是（﹣∞，0]∪[2，+∞）．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式求得f（f（10））；（2）對a進(jìn)行分類討論，根據(jù)f（x）零點(diǎn)的個數(shù)求得a的取值范圍．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(x?a+1)(x+1)，x＜1，所以當(dāng)a＝0時，f(x)=(x+1)所以f（10）＝1，所以f（f（10））＝f（1）＝0；（2）令f（x）＝0，可得：①當(dāng)x＜1時，（x﹣a+1）（x+1）＝0，所以x＝﹣1或x＝a﹣1，當(dāng)a＝0或a≥2時，方程（x﹣a+1）（x+1）＝0在（﹣∞，1）上有唯一解x＝﹣1，當(dāng)a＜0或0＜a＜2時，方程（x﹣a+1）（x+1）＝0在（﹣∞，1）上的解為x＝﹣1或x＝a﹣1，②當(dāng)x≥1時，lgx﹣a＝0，所以當(dāng)a≥0時，x＝10a，當(dāng)a＜0時，方程lgx﹣a＝0在[1，+∞）上無解，綜合可得：當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)﹣1，a﹣1；當(dāng)a＝0時，函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)﹣1，1；當(dāng)0＜a＜2時，函數(shù)f（x）有三個零點(diǎn)﹣1，a﹣1，10a；當(dāng)a≥2時，函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)﹣1，10a．所以要使f（x）恰有2個零點(diǎn)，則a的取值范圍是（﹣∞，0]∪[2，+∞）．故0；（﹣∞，0]∪[2，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，分類討論思想的應(yīng)用，屬中檔題．15．（5分）對于數(shù)列{an}，若存在M＞0，使得對任意n∈N*，有|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an+1﹣an|＜M，則稱{an}為“有界變差數(shù)列”．給出以下四個結(jié)論：①若等差數(shù)列{an}為“有界變差數(shù)列”，則{an}的公差d等于0；②若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}為“有界變差數(shù)列”，則其公比q的取值范圍是（0，1）；③若數(shù)列{an}是“有界變差數(shù)列”，則存在T＞0，使得對任意n∈N*，有﹣T＜an＜T；④若數(shù)列{an}是“有界變差數(shù)列”，則數(shù)列{a其中所有正確結(jié)論的序號是①③④．【分析】對①：借助等差數(shù)列性質(zhì)可得|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an+1﹣an|＝n|d|，結(jié)合定義，分d＝0及d≠0討論即可得；對②：借助等比數(shù)列性質(zhì)可得|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an+1﹣an|＝（a1+a2+?an）?|q﹣1|，結(jié)合定義，分q≠1及q＝1進(jìn)行討論，當(dāng)q≠1時，結(jié)合等比數(shù)列求和公式分0＜q＜1及q＞1討論即可得；對③：借助絕對值不等式放縮可得|an+1|﹣|a1|＜M，即可得存在T≥M+|a1|滿足題意；對④：結(jié)合③中所得，結(jié)合合理放縮可得|an+12解：對于①，|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an+1﹣an|＝n|d|，若d＝0，則n|d|＝0＜M對任意的M＞0恒成立，符合要求；若d≠0，則對任意的M＞0，總存在n≥M|d|，使得n|d|≥綜上，{an}的公差d等于0，命題①正確；對于②，由題意可得a1＞0，q＞0，則|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an+1﹣an|＝（a1+a2+?+an）?|q﹣1|，若q≠1，則|a若0＜q＜1，則|a故對任意的M≥a1，有|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an+1﹣an|＜M恒成立，符合要求；若q＞1，則|a當(dāng)n→+∞時，a1(q若q＝1，則|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an+1﹣an|＝0，此時對任意的M＞0，有|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an+1﹣an|＝0＜M恒成立，符合要求；綜上，q∈（0，1]，命題②錯誤；對于③，由題意得，對任意n∈N*，有|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an+1﹣an|＜M，又|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an+1﹣an|≥|（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+?（an+1﹣an）|＝|an+1﹣a1|，故|an+1﹣a1|＜M，又|an+1﹣a1|≥|an+1|﹣|a1|，故|an+1|﹣|a1|＜M，即|an+1|＜M+|a1|，即有|an|＜M+|a1|，則總存在T≥M+|a1|，使得對任意n∈N*，有﹣T＜an＜T，命題③正確；對于④，設(shè)|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an+1﹣an|＜M，由③知：對任意n∈N*，總存在T≥M+|a1|，使﹣T＜an＜T，則|a則|＜|＜M故{an2故①③④．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列與不等式的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是難題．三、解答題（本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（13分）設(shè)函數(shù)f（x）＝Asinωxcosωx+cos2ωx（A＞0，ω＞0），從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使得f（x）存在．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）求f（x）在區(qū)間[0，π條件①：f（x）＝f（﹣x）；條件②：f（x）的最大值為32條件③：f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多組條件分別解答，按第一組解答計分．【分析】（1）由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的奇偶性可排除條件①，先利用輔助角公式化簡f（x），再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解；（2）利用整體代入法，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解．解：（1）若選擇條件①，因?yàn)閒(x)=A2sin2ωx+co由f（x）＝f（﹣x）可得Asin2ωx＝0對x∈R恒成立，與A＞0，ω＞0矛盾，所以選擇條件②③，由題意可得f（﹣x）＝Asin（﹣ωx）cos（﹣ωx）+cos2（﹣ωx）＝﹣Asin2ωx+cos2ωx，設(shè)?π由題意可得f(x)=A其中cosφ=AA2因?yàn)閒（x）的最大值為32，所以A2+1所以sinφ=12，由f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2可得T所以T=2π2ω=π所以f(x)=sin(2x+π（2）由正弦函數(shù)的圖象可得當(dāng)x∈[0，π2]時，2x+所以f（x）在區(qū)間[0，π2]【點(diǎn)評】本題主要考查三角恒等變換，三角函數(shù)解析式的確定，三角函數(shù)最值的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．17．（13分）為了解某中學(xué)高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，對高一年級的1班～8班進(jìn)行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽10名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測．經(jīng)統(tǒng)計，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散點(diǎn)圖如下（x軸表示對應(yīng)的班號，y軸表示對應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：（1）若用散點(diǎn)圖預(yù)測高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級學(xué)生中任意抽測1人，試估計該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率；（2）若從高一2班抽測的10人中隨機(jī)抽取1人，從高一5班抽測的10人中隨機(jī)抽取1人，設(shè)X表示這2人中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)每個班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等．現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，用“ξk＝1”表示第k班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“ξk＝0”表示第k班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀（k＝1，2，…，8）．直接寫出方差D（ξ1），D（ξ2），D（ξ3），D（ξ4）的大小關(guān)系（無需過程）．【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖求出成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，再求出古典概率；（2）求出X的可能值，并求出各個值對應(yīng)的概率，列出分布列，再求出期望；（4）求出ξk＝1及ξk＝0的概率，再利用兩點(diǎn)分布求出方差并比較大?。猓海?）依題意，從高一年級的1班～8班抽測共80人，其中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的共有8+6+9+4+7+5+9+8＝56，所以估計該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率為5680（2）易知高一2班抽測的10人中優(yōu)秀的有6人，高一5班抽測的10人中優(yōu)秀的有7人，所以X的所有可能取值為0，1，2，此時P(X=0)=25×310則X的分布列為：X012P32523502150故E(X)=0×3（3）若每個班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等，此時P（ξ1＝1）＝0.8，P（ξ1＝0）＝0.2，ξ1服從兩點(diǎn)分布，所以D（ξ1）＝0.8×0.2＝0.16，P（ξ2＝1）＝0.6，P（ξ2＝0）＝0.4，ξ2服從兩點(diǎn)分布，所以D（ξ2）＝0.6×0.4＝0.24，P（ξ3＝1）＝0.9，P（ξ3＝0）＝0.1，ξ3服從兩點(diǎn)分布，所以D（ξ3）＝0.9×0.1＝0.09，P（ξ4＝1）＝0.4，P（ξ4＝0）＝0.6，ξ4服從兩點(diǎn)分布，所以D（ξ4）＝0.4×0.6＝0.24．故D（ξ2）＝D（ξ4）＞D（ξ1）＞D（ξ3）．【點(diǎn)評】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．（14分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱PA上，PC∥平面EDF，PA＝PD＝AD＝2．（1）求證：E為PA中點(diǎn)；（2）求二面角F﹣ED﹣P的余弦值；（3）設(shè)G為棱PC上任意一點(diǎn)，求證：GF與平面EDF不垂直．【分析】（1）連接AC，可得F為AC中點(diǎn)，再借助線面平行的性質(zhì)定理即可得；（2）取AD中點(diǎn)O，結(jié)合題意可得OP，OA，OF兩兩垂直，即可建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，求出平面EDP與平面EFD的法向量后，借助空間向量夾角公式計算即可得；（3）借助反證法，假設(shè)GF與平面EDF垂直，借助空間向量可得FG→∥n→，設(shè)PG→=λPC（1）證明：連接AC，因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以AC與BD互相平分，所以F為AC中點(diǎn)，因?yàn)镻C∥平面EDF，PC?平面PAC，平面PAC∩平面EDF＝EF，所以PC∥EF，又因?yàn)镕為AC中點(diǎn)，所以E為PA中點(diǎn)；（2）解：取AD中點(diǎn)O，連接OP，OF，因?yàn)镻A＝PD，所以O(shè)P⊥AD，因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD＝AD，PO?平面PAD，所以PO⊥底面ABCD，所以PO⊥OF，因?yàn)镺，F(xiàn)分別為AD，BD中點(diǎn)，所以O(shè)F∥AB，因?yàn)锳B⊥AD，所以O(shè)F⊥AD，所以O(shè)P，OA，OF兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，如圖所示，則A（1，0，0），B（1，2，0），C（﹣1，2，0），D（﹣1，0，0），P(0，0，3)，E(1則DF→=(1，1，0)，DE→顯然OF→=(0，1，0)是平面設(shè)平面EFD的一個法向量是n→則由n→⊥DF→，令z=?3，則x＝1，y＝﹣1，可得n則cos＜OF由圖可得二面角F﹣ED﹣P為鈍角，所以二面角F﹣ED﹣P的余弦值為?5（3）證明：假設(shè)GF⊥平面EDF，則FG→設(shè)PG→則FG→則?λ1=2λ?1?1=由2λ?1?1=3所以假設(shè)不成立，故GF與平面EDF不垂直．【點(diǎn)評】本題考查線面平行的性質(zhì)，考查二面角的求法和線面垂直的判定，屬中檔題．19．（15分）已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F（﹣2，0），直線l過點(diǎn)F交橢圓Γ于A，B（1）求橢圓Γ的方程；（2）直線l1：x＝﹣3上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC為正三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線l的方程；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，可知c的值，再由AB⊥x軸，可得弦長|AB|的表達(dá)式，再由三角形的面積，可得a，b的關(guān)系，進(jìn)而求出a，b的值，求出橢圓的方程；（2）分直線AB的斜率不存在，和存在且不為0，設(shè)直線AB的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得|AB|的弦長，再得AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，可得直線CD的方程，可得|CD|的表達(dá)式，再由△ABC是等邊三角形，可得|CD|與|AB|的關(guān)系，進(jìn)而求出參數(shù)的值，求出C的坐標(biāo)．解：（1）因?yàn)橹本€l垂直于x軸時，所以|AB|=2所以S△ABO=12?c?2b2a即a2?4a=所以b2＝a2﹣c2＝6﹣4＝2，所以橢圓的方程為：x2（2）由題意直線AB的斜率不為0，當(dāng)直線AB的斜率不存在時，由（1）可得|AB|=2因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，則C點(diǎn)在x軸上時，又在x＝﹣3上，所以C（﹣3，0），所以|CF|＝1≠32|當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為x＝my﹣2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則AB的中點(diǎn)D（x1+x聯(lián)立x=my?2x2+3y2=6，整理可得：（3+m2顯然Δ＞0，y1+y2=4m3+m2，x1+x2＝m（y1+y2）﹣4=?123+所以D（?63+m由題意可得直線CD的方程為y＝﹣m（x+63+m2）所以|AB|=1+m2?(|CD|=1+m2?|?因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以|CD|=32|即32?2解得：m＝±1，當(dāng)m＝1時，直線CD的方程為y＝﹣x﹣1，令x＝﹣3，可得y＝2，當(dāng)m＝﹣1時，直線CD的方程為y＝x+1，令x＝﹣3，可得y＝﹣2，所以C（﹣3，﹣2）或（﹣3，2）．【點(diǎn)評】本題考查橢圓方程的求法及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，等邊三角形性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣2ax（其中a∈R）．（1）當(dāng)a＝2時，求函數(shù)f（x）的圖象在x＝1處的切線方程；（2）若f（x）≤2恒成立，求a的取值范圍；（3）設(shè)g（x）＝f（x）+12x2，且函數(shù)g（x）有極大值點(diǎn)x0．求證：x0f（x0）+1【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；（2）由x＞0，得到2a≥lnx?2x恒成立，令φ(x)=lnx?2x（（3）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的極值得到a的表達(dá)式，令?(x)=?x32?解：（1）當(dāng)a＝2時，f（x）＝lnx﹣4x，則f′(x)=1x?4∴f（1）＝﹣4，f'（1）＝﹣3，…（2分）∴函數(shù)f（x）的圖象在x＝1處的切線方程為y﹣（﹣4）＝﹣3×（x﹣1），即3x+y+1＝0．…（3分）（2）不等式f（x）≤2，即lnx﹣2ax≤2，∴2ax≥lnx﹣2，∵x＞0，∴2a≥lnx?2令φ(x)=lnx?2x（x＞0），則當(dāng)0＜x＜e3時，φ'（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞e3時，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝e3時，φ（x）取得極大值，也為最大值，故φ(x)由2a≥1e3∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1（3）證明：由g(x)=f(x)+1得g′(x)=x+1①當(dāng)﹣1≤a≤1時，g'（x）≥0，g（x）單調(diào)遞增無極值點(diǎn)，不符合題意；…（8分）②當(dāng)a＞1或a＜﹣1時，令g'（x）＝0，設(shè)x2﹣2ax+1＝0的兩根為x0和x'，∵x0為函數(shù)g（x）的極大值點(diǎn)，∴0＜x0＜x'，由x0?x'＝1，x0+x'＝2a＞0，知a＞1，0＜x0＜1，又由g′(x0)=∵x0f(x0令?(x)=?x32?x2令μ(x)=?3x22+1當(dāng)0＜x＜33時，μ'（x）＞0，當(dāng)33＜x＜1時，∴μ(x)∴h'（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，∴h（x）＞h（1）＝0，∴x0【點(diǎn)評】本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是一道綜合題．21．（15分）已知集合S＝{a1，a2，a3，…，an}（n≥3），集合T?{（x，y）|x∈S，y∈S，x≠y}且滿足：?ai，aj∈S（i，j＝1，2，3，…，n，i≠j），（ai，aj）∈T與（