2024-2025學(xué)年山東省臨沂市高三上冊12月階段測試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省臨沂市高三上學(xué)期12月階段測試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．36 D．64．已知向量，滿足，且，則在上的投影向量是（

）A． B． C． D．5．已知，則（

）A． B． C． D．36．已知橢圓的左?右焦點分別為，，點在橢圓上，當(dāng)△的面積最大時，△內(nèi)切圓半徑為（

）A．1 B．2 C． D．57．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，，，，平面，則球的表面積為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，記的導(dǎo)函數(shù)為，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．該圖象向右平移個單位長度可得的圖象10．如圖，正方體棱長為2，，，，分別是棱，棱，棱，棱的中點，下列結(jié)論正確的是（）A．直線與為異面直線B．沿正方體的表面從點到點的最短距離為C．過點，，的平面截該正方體所得的截面面積為D．線段上存在點，使得平面11．如圖，F(xiàn)為拋物線的焦點，O為坐標(biāo)原點，過y軸左側(cè)一點P作拋物線C的兩條切線，切點為A，B，，分別交y軸于M，N兩點，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，.若，的夾角為銳角，則的取值范圍為.13．若正四棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，且側(cè)棱長為，則其體積為.14．已知數(shù)列滿足，，其中為函數(shù)的極值點，則．四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列的首項為，且滿足.(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.16．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角的值；(2)若為的中點，且，，求的面積.17．在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，二面角為直二面角.(1)求證：；(2)當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦值.18．已知雙曲線經(jīng)過點，離心率為，直線過點且與雙曲線交于兩點（異于點）.(1)求證：直線與直線的斜率之積為定值.并求出該定值；(2)過點分別作直線的垂線，垂足分別為，記的面積分別為，求的最大值.19．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，證明：對任意，存在唯一的實數(shù)，使得成立；(3)設(shè)，，數(shù)列的前項和為．證明：．

答案1．【正確答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運算解出．方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．【詳解】方法一：因為，而，所以．故選C．方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選C．2．【正確答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】因為，則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，位于第一象限.故選A.3．【正確答案】D【詳解】因為為等比數(shù)列，故，故，故，所以，故（負值舍去），故選：D.4．【正確答案】B【詳解】因為，，則，得到，所以在上的投影向量是，故選：B.5．【正確答案】B【詳解】因為又因為，所以.故選：B.6．【正確答案】C【詳解】由橢圓，得，，，當(dāng)△的面積最大時，為橢圓的短軸的一個頂點，不妨設(shè)為上頂點，點為坐標(biāo)原點，△內(nèi)切圓半徑為，則，，，則，解得．故選：C．7．【正確答案】C【詳解】因為，，，由余弦定理得，故，所以⊥，的外接圓圓心為的中點，又平面，平面，所以，故的中點即為球的球心，此時有，且，故外接球半徑為，外接球表面積為.故選：C8．【正確答案】A【詳解】因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，，所以為偶函數(shù)，故B錯誤；又對兩邊求導(dǎo)，得，即，所以是偶函數(shù)，故D錯誤；由，可得，由，可得，所以，即，即得，所以是周期為4的函數(shù)，則，兩邊求導(dǎo)，得，所以是奇函數(shù)，故A正確；由，可得，即，又由，可得，所以，即為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，故C錯誤.故選：A.9．【正確答案】ABD【詳解】由函數(shù)的圖象可得，周期，所以，當(dāng)時函數(shù)取得最大值，即，所以，則，又，得，故函數(shù)，對于A，當(dāng)時，，故A正確；對于B，當(dāng)時，，故B正確；對于C，令得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，不是的子集，故C不正確；對于D，向右平移個單位，，故D正確；故選：ABD.10．【正確答案】AC【詳解】因為三點共面，為平面外一點，所以由平面外一點與平面內(nèi)一點連線與平面內(nèi)不過該點的直線異面可知，直線與為異面直線，故A正確；如圖，若正方體中側(cè)面沿展開，則，若底面沿展開，則，故B錯誤；連接，如圖，因為，所以四邊形為過點，，的平面截該正方體所得的截面，其中，，設(shè)等腰梯形的高為，則，所以梯形面積，故C正確；以為坐標(biāo)原點，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，若平面，則，解得，此時，，，且,即平面，不滿足平面，即不存在點，故D錯誤.故選：AC11．【正確答案】AD【分析】求得過點的切線方程，得到，得出和，可判斷A正確；當(dāng)點在準(zhǔn)線上，求得，可判定B錯誤；由，求得，可判定C錯誤；分別求得和，可判定D正確.【詳解】設(shè)拋物線上一點，則，過點的切線方程為，聯(lián)立方程組，整理的，令，解得，即過拋物線上一點的切線的斜率為，對于A中，設(shè)，則過點的切線方程為，令，可得，即，又由拋物線的焦點為，所以，則，所以，即，同理可得，則四點共圓，所以，所以A正確；對于B中，若點在準(zhǔn)線上，可直線的方程為，此時直線過焦點，則，所以，所以B錯誤；對于C中，由，，可得，，若，可得，則，所以，此時直線過焦點，設(shè)直線，代入拋物線，可得，設(shè)方程的兩根為，可得，即當(dāng)直線過拋物線焦點時，兩交點的縱坐標(biāo)之積為，而直線不一定過拋物線的交點，所以C錯誤；對于D中，由，可得，聯(lián)立方程組，解得，即,則，所以，所以D正確.故選AD.12．【正確答案】【詳解】因為與的夾角為銳角，則且，與不共線，所以，解得，即.故13．【正確答案】/【詳解】由題意作出正四棱臺圖象，如下圖所示：為正四棱臺，連接，得，過作，過作，得：，,在直角三角形中，得，得正四棱臺的高，正四棱臺上下底面積分別為，所以體積故答案為.14．【正確答案】/【詳解】因為為函數(shù)的極值點，，所以，，則，因為，由可得，將（*）代入得，，因為在上單調(diào)遞增，所以，則，而，兩邊取自然對數(shù)可得，所以，又由，兩邊取自然對數(shù)可得，故，所以．故1215．【正確答案】(1)證明見解析，；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列定義推理得證，再求出通項公式.（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項相消法計算即得.【詳解】（1）由，，得，則，于是，所以數(shù)列是首項，公差為2的等差數(shù)列，，所以.（2）由（1）知，所以.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理得，，則由，得，，，，；（2）為的中點，，又，，①由余弦定理得，，②聯(lián)立①②，解得，，的面積為.17．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，進而得出.然后即可根據(jù)線面垂直的判定定理得出平面，然后即可得出；（2）取中點為，連結(jié).取中點為，連結(jié).由已知可證平面，.以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，求出平面的一個法向量，即可根據(jù)向量法求出答案.【詳解】（1）由題意知平面平面，又平面平面，，平面，所以平面.因為平面，所以.又因為，，平面，平面，所以平面.因為平面，所以.（2）取中點為，連結(jié).取中點為，連結(jié).因為，點是中點，所以.又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.因為點,分別是,的中點，所以，則.則，.以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，.設(shè)是平面的一個法向量，則，取，則，所以是平面的一個法向量.設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成的角的正弦值為.18．【正確答案】(1)證明見解析，；(2).【詳解】（1）令雙曲線半焦距為c，依題意，，由，解得，則雙曲線的方程為，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，由消去得，，，設(shè)，則，直線的斜率分別為，所以.（2）設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，得點的縱坐標(biāo)，用替換上式中的得點的縱坐標(biāo)，則而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，所以的最大值為.19．【正確答案】(1)答案見詳解(2)證明見詳解(3)證明見詳解【詳解】（1）函數(shù)的定義域為0,+∞，，①若，f'x>0恒成立，在0,+∞②若，時，f'x>0，單調(diào)遞增；時，f'x<0，綜上，當(dāng)時，在0,+∞上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：令，則，因為，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞