2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高二上冊1月期末數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)檢測試卷一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．題只有一個選項(xiàng)符合題意．）1.已知，則“”是“直線與直線垂直”的A.充要條件 B.必要而不充分條件C.充分而不必要條件 D.既不充分也不必要條件2.若數(shù)列滿足，，則（）A. B. C. D.3.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為，的部分圖象如圖所示，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減 B.的一個增區(qū)間為C.的一個極大值為 D.的最大值為4.已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（）A.2 B. C. D.5.已知點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程是（）.A. B.C. D.6.分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德爾布羅在世紀(jì)年代創(chuàng)立一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，按照如圖1的分形規(guī)律可得知圖2的一個樹形圖，記圖2中第行黑圈的個數(shù)為，白圈的個數(shù)為，若，則（）A. B. C. D.7.三個數(shù)，，的大小順序?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.8.已知，分別為雙曲線C：左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，且，，則雙曲線C的離心率是（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．每題有多項(xiàng)符合題意，全對得5分，部分選對得2分，有錯選得0分．）9.已知圓和圓交于兩點(diǎn),則（）A.兩圓的圓心距B.兩圓有3條公切線C.直線的方程為D.圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為10.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，已知，，．則（）A.B.C.時，的最小值為13D.最大時，11.拋物線的焦點(diǎn)為F，P為其上一動點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動到時，，直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線方程為B.存在直線，使得A、B兩點(diǎn)關(guān)于對稱C.最小值為6D.當(dāng)直線過焦點(diǎn)F時，以AF為直徑的圓與y軸相切12.已知有序數(shù)對滿足，有序數(shù)對滿足，定義，則（）A.的最小值為 B.取最小值時的值為C.的最小值為 D.取最小值時的值為三、填空題：（本題共4小題，共20分．）13.在平面直角坐標(biāo)系中，是直線上不同的兩點(diǎn)，直線上的向量以及與它平行的非零向量都稱為直線的方向向量．已知直線的一個方向向量坐標(biāo)為，則直線的傾斜角為______．14.已知橢圓焦距為，過橢圓的一個焦點(diǎn)，作垂直于長軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則______．15.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則______．16.已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____________，若數(shù)列的前項(xiàng)和，則滿足不等式的的最小值為_____________．四、解答題：（本題共6小題，共70分．）17.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的解集.18.在數(shù)列中，，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列.（2）求數(shù)列前項(xiàng)和.19.已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．20.已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的周長為8.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓上的動點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線與橢圓分別交于點(diǎn)、（點(diǎn)不在直線上），求面積的最大值.22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在不相等的實(shí)數(shù)，，使得，證明：．2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)檢測試卷一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．題只有一個選項(xiàng)符合題意．）1.已知，則“”是“直線與直線垂直”的A.充要條件 B.必要而不充分條件C.充分而不必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【詳解】“直線與直線垂直”的充要條件為，因此“”是“直線與直線垂直”的充分而不必要條件，選C.2.若數(shù)列滿足，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)遞推式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，可得an是周期為的周期數(shù)列，從而可求得答案.【詳解】數(shù)列an滿足，，，，，，，是周期為的周期數(shù)列，而，故．故選：A3.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為，的部分圖象如圖所示，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減 B.的一個增區(qū)間為C.的一個極大值為 D.的最大值為【正確答案】B【分析】由導(dǎo)函數(shù)在某個區(qū)間上為正，則原函數(shù)在此區(qū)間上為增函數(shù)，若導(dǎo)函數(shù)在某個區(qū)間上為負(fù)，則原函數(shù)在此區(qū)間上為減函數(shù)，若導(dǎo)函數(shù)在某一個點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值異號，則此點(diǎn)就為極值點(diǎn)，逐個判斷即可【詳解】由的部分圖像可得：在上，，所以單調(diào)遞增，所以A不正確，B正確；由，導(dǎo)函數(shù)在左右兩側(cè)的函數(shù)值異號，所以是的一個極小值，所以C不正確，同理可知是的一個極大值，并不一定是最大值，D不正確.故選：B.4.已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（）A.2 B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)分析求解.【詳解】由題意可得，解得，所以.故選：C.5.已知點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程是（）.A. B.C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，得出點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程，即可得到線段的中點(diǎn)M的軌跡方程.【詳解】由題意，，在圓中，點(diǎn)Q在圓上，線段的中點(diǎn)為M，設(shè)，則，∴，即：，故選：C.6.分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德爾布羅在世紀(jì)年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，按照如圖1的分形規(guī)律可得知圖2的一個樹形圖，記圖2中第行黑圈的個數(shù)為，白圈的個數(shù)為，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】每個白圈在下一行產(chǎn)生一個白圈一個黑圈，一個黑圈在下一行產(chǎn)生一個白圈兩個黑圈，從而可得遞推公式，然后由遞推公式可求得結(jié)果.【詳解】由題可知，每個白圈在下一行產(chǎn)生一個白圈一個黑圈，一個黑圈在下一行產(chǎn)生一個白圈兩個黑圈，所以有，，又因?yàn)?，，所以，，，，，，，，，．故選：A．7.三個數(shù)，，的大小順序?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【正確答案】D【分析】據(jù)題意可設(shè)，求導(dǎo)，從而可根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號得出在上單調(diào)遞減，并且可得出，，，從而得出，，的大小順序．【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時，則lnx>1，可得，可知在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，，且e2>4>3，則，所以．故選：D．8.已知，分別為雙曲線C：左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，且，，則雙曲線C的離心率是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由正弦定理和雙曲線的定義可得是正三角形，從而．在中，由余弦定理即可得到答案.【詳解】由，結(jié)合正弦定理得，因?yàn)椋?，．又，即，則，所以．設(shè)，則，又，則，解得，所以，，所以是正三角形，從而．在中，由，得，得，所以．故選：C．二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．每題有多項(xiàng)符合題意，全對得5分，部分選對得2分，有錯選得0分．）9.已知圓和圓交于兩點(diǎn),則（）A.兩圓的圓心距B.兩圓有3條公切線C.直線的方程為D.圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為【正確答案】CD【分析】根據(jù)圓的一般方程求出圓心與半徑,利用兩點(diǎn)間的距離公式求解圓心距判斷；根據(jù)兩圓的位置關(guān)系,判斷；將兩圓的方程作差,得公共弦所在直線方程,即可判斷C；通過圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為圓心到直線的距離加半徑,即可判斷.【詳解】圓的圓心,半徑；圓的圓心,半徑.對于,兩圓的圓心距,錯誤;對于,兩圓相交于兩點(diǎn),有2條公切線,錯誤;對于,將兩個圓的方程作差,得即直線的方程為,正確;對于,圓心到直線的距離圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為正確.故選:CD.10.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，已知，，．則（）A.B.C.時，的最小值為13D.最大時，【正確答案】AC【分析】根據(jù)，，即可得到，進(jìn)而即可判斷A；根據(jù)，，，，從而列出和的方程組，求解即可判斷B；結(jié)合A選項(xiàng)知，從而得到，再結(jié)合，進(jìn)而即可C；結(jié)合選項(xiàng)A和B知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，進(jìn)而即可判斷D．【詳解】對于A，由，則，又，則，故A正確；對于B，結(jié)合選項(xiàng)A知，，，又，所以，解得，故B錯誤；對于C，結(jié)合選項(xiàng)A知，又，所以時，的最小值為13，故C正確；對于D，結(jié)合選項(xiàng)A和B知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)最大時，，故D錯誤．故選：AC．11.拋物線的焦點(diǎn)為F，P為其上一動點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動到時，，直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線的方程為B.存在直線，使得A、B兩點(diǎn)關(guān)于對稱C.的最小值為6D.當(dāng)直線過焦點(diǎn)F時，以AF為直徑的圓與y軸相切【正確答案】ACD【分析】根據(jù)得到故,A正確，中點(diǎn)在拋物線上，B錯誤,，C正確，計算D正確，得到答案.【詳解】,故，,故,A正確；設(shè),設(shè)中點(diǎn)，則，相減得到,即,因?yàn)锳、B兩點(diǎn)關(guān)于對稱，所以,故,故,點(diǎn)在拋物線上，不成立，故不存在，B錯誤；過作垂直于準(zhǔn)線于,則，當(dāng)共線時等號成立，故C正確；如圖所示：為中點(diǎn)，故,故為直徑的圓與軸相切，故D正確；故選：ACD.12.已知有序數(shù)對滿足，有序數(shù)對滿足，定義，則（）A.的最小值為 B.取最小值時的值為C.的最小值為 D.取最小值時的值為【正確答案】BC【分析】將表示為函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離的平方，利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)切線的關(guān)系即可求解.【詳解】由，得：，的最小值可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，由得：，與直線平行的直線的斜率為，則令，解得：，切點(diǎn)坐標(biāo)為，到直線的距離.即函數(shù)上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離的最小值為.所以的最小值為，過與垂直的直線為，即.由，解得：，即當(dāng)最小時，.故選:BC.三、填空題：（本題共4小題，共20分．）13.在平面直角坐標(biāo)系中，是直線上不同的兩點(diǎn)，直線上的向量以及與它平行的非零向量都稱為直線的方向向量．已知直線的一個方向向量坐標(biāo)為，則直線的傾斜角為______．【正確答案】【分析】根據(jù)直線的方向向量求出直線的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系可求出直線的傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的一個方向向量為，所以直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所以，即直線的傾斜角為.故14.已知橢圓的焦距為，過橢圓的一個焦點(diǎn)，作垂直于長軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則______．【正確答案】##【分析】由題意可知，得，然后可求出，從而可求出橢圓方程，再將代入橢圓方程中求出，從而可求得.【詳解】由題意可知，得，所以，所以橢圓方程為，橢圓的右焦點(diǎn)為，當(dāng)時，，得，所以.故15.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則______．【正確答案】【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，令，即可得到，然后代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則，即，解得，所以，所以.故16.已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____________，若數(shù)列的前項(xiàng)和，則滿足不等式的的最小值為_____________．【正確答案】①.②.6【分析】根據(jù)給定遞推公式變形構(gòu)造新數(shù)列即可得解；利用裂項(xiàng)相消法求出，再借助數(shù)列單調(diào)性計算得解.【詳解】在數(shù)列中，，由得：，而，于是得數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；顯然，，則，由得：，即，令，則，即數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列，由，得，而，因此，，從而得，，所以滿足不等式的的最小值為6.故；6四、解答題：（本題共6小題，共70分．）17.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的解集.【正確答案】（1）（2）（0，）【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）求得函數(shù)的定義域?yàn)?，然后在上解不等式即可得解?【小問1詳解】依題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；【小問2詳解】依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令且，故不等式的解集為?，）18.在數(shù)列中，，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列.（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，然后分組求和即可.【小問1詳解】由得，，所以數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）得，則，.19.已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）由已知設(shè)出圓心的坐標(biāo)，再求出的中點(diǎn)，利用求出的值，進(jìn)而可以求出圓心和半徑，即可解決問題；（2）先判斷直線斜率是否存在，存在的話根據(jù)點(diǎn)斜式方程設(shè)出直線方程，求出圓心到直線的距離，然后利用求出直線的斜率即可解決問題.【小問1詳解】因?yàn)閳A的圓心在直線上，所以設(shè)圓的圓心為：，由，所以的中點(diǎn)，由題知：，所以，即，解得，所以圓心為，半徑所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】①當(dāng)直線的斜率不存在時，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以方程為：，代入中解得：，此時，滿足題意；②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為：，由圓心到直線的距離為：，由，所以，解得：，所以直線的方程為：，綜上，直線的方程為：或.20.已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）依題意可求得等差數(shù)列的公差，從而可數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由已知可得，則，兩式相減，可得，當(dāng)時也適合，故，用錯位相減法即可【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由得：．因，所以所以．【小問2詳解】①②②－①得：．所以當(dāng)時，，所以，，上述兩式相減得，所以21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的周長為8.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓上的動點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線與橢圓分別交于點(diǎn)、（點(diǎn)不在直線上），求面積的最大值.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)周長可求，再根據(jù)離心率可求，求出后可求橢圓的方程.（2）當(dāng)直線軸時，計算可得的面積的最大值為，直線不垂直軸時，可設(shè)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程可求，設(shè)與平行且與橢圓相切的直線為：，結(jié)合橢圓方程可求的關(guān)系，從而求出該直線到直線的距離，從而可求的面積的最大值為.【詳解】（1）由橢圓的定義可知，的周長為，∴，，又離心率，∴，，所以橢圓方程為.（2）當(dāng)直線軸時，；當(dāng)直線不垂直軸時，設(shè)，，，∴.設(shè)與平行且與橢圓相切的直線為：，，∵，∴，∴