向量法在中學(xué)中的應(yīng)用

向量法在中學(xué)中的應(yīng)用關(guān)鍵詞向量法解題；數(shù)形結(jié)合；幾何；代數(shù)；三角函數(shù) 11緒論 21.1向量的起源與發(fā)展綜述 21.2向量解題研究的現(xiàn)狀 32向量解題和解題研究 52.1向量的基本概念及運(yùn)算 52.2問題解決 62.3向量解題的意義 73向量法在中學(xué)幾何中的應(yīng)用 73.1用向量數(shù)量積來解決幾何問題 83.2通過建立空間直角坐標(biāo)系來解決幾何問題 93.3利用法向量求解幾何中的線面角、面面角問題 4向量法在中學(xué)代數(shù)中的應(yīng)用 4.1向量在代數(shù)中的應(yīng)用 4.2等式及不等式的證明以及求最值問題 4.3求變量的取值范圍 5平面向量與三角函數(shù) 5.1相關(guān)概念 5.2通過構(gòu)造向量法解決三角函數(shù)問題 5.3平面向量與三角函數(shù)融合命題 約公元前350年，亞里士多德，古希臘一位學(xué)者，指出向量能夠用于表示力，根作為近代物理學(xué)之父，最早提出向量能夠通過有向線段得到表示。從19世紀(jì)末期開始到20世紀(jì)初期，向量已經(jīng)得到了迅猛發(fā)展，已有運(yùn)算通性極為成熟的數(shù)幾何表示。18世紀(jì)末期，復(fù)數(shù)首次通過坐標(biāo)平面中存在的某個(gè)點(diǎn)得到表示，表示形式為：a+bi。威賽爾，挪威的一名測量學(xué)家，首次提出了該種表示法，他用相關(guān)運(yùn)算體系才能讓問題得到解決。漢密爾頓，英國的一位數(shù)學(xué)家，于19世紀(jì)中期發(fā)明了四元數(shù)，四元數(shù)的出現(xiàn)打破了這個(gè)僵局1.2向量解題研究的現(xiàn)狀1.2.1向量法解題的價(jià)值研究根據(jù)張奠宙、沈文選等人對于向量法解題價(jià)值研究的討論，他們得出結(jié)論：1.2.2向量法解題的技巧及應(yīng)用方法研究體現(xiàn)。為此，他們強(qiáng)調(diào)，向量法用于問題的解決時(shí)，有四種工具可以得到應(yīng)用，同時(shí)詳細(xì)地分析了解題思路以及基本技巧3]。這4個(gè)工具分別是：(1)向量與向量相加時(shí)遵循的“首尾相連法則”,即AB+BC=AC。(2)“向量數(shù)乘”線關(guān)系的一個(gè)向量，就應(yīng)當(dāng)立刻想到“數(shù)乘向量”,也就是用一個(gè)數(shù)乘以一個(gè)向量。(3)向量內(nèi)積，即眾所周知的“數(shù)量積”,我們需要熟記的是，如果兩向量之間存在的是垂直關(guān)系，那么它們的內(nèi)積就是等于0的。(4)平面向量基本結(jié)并提出，通過向量線性關(guān)系可讓這些問題得到解決5,2向量解題和解題研究2.1.1向量的有關(guān)概念2.零向量：長度為0的向量，記為0,其方向是任意的，0與任意向量平行。(要注意其與0的區(qū)別)3.單位向量：模長等于1的向量。4.平行向量(也就是共線向量):方向相反或者是相同的兩個(gè)非零向量。只要一組向量之間是平行的，那么通過平移處理后均可至同一反但是模長一致的向量稱之為a的相反向量，用-a來表示。2.1.2向量加法2.1.3向量的減法1.相反向量：指的是和a方向相反但是模長相等的向量。記作-a,那么對于零向a-b的作圖法：在這兩個(gè)向量的起點(diǎn)一致的情況下，a-b能夠用以b的終點(diǎn)為2.1.4實(shí)數(shù)與向量的積1.用一個(gè)實(shí)數(shù)λ乘以一個(gè)向量a得到的還是一個(gè)向量，用λa來表示，它的長度與方向規(guī)定如下：(2)當(dāng)λ>0時(shí)，Aa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0,方向是任意的。2.數(shù)乘向量符合下述運(yùn)算律：其一交換律，其二分配率，其三結(jié)合律。實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：設(shè)2、μ為實(shí)數(shù)，則2.1.5向量有關(guān)定理1.兩向量共線定理：向量b和非零向量a共線?只存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,可以使得b=λa成立。2.平面向量基本定理：假使e,e?是同一平面中的兩個(gè)不存在共線關(guān)系的向量，那么任取該平面的一個(gè)向量a,只能找到一對實(shí)數(shù)2,22可以使得a=λe+Ze?成立，這時(shí)e,e?就稱之為一組基底。表示這一平面內(nèi)的所有向量。2.2.1數(shù)學(xué)問題解決的涵義問題解決：其內(nèi)涵在于思考，目標(biāo)是某個(gè)問題，展開的是定向心理過程，是心理活動(dòng)中的一種。它是人們在日常的工作生活中，遇到從沒有遇到過的問題，并且用自己原有的經(jīng)驗(yàn)無法解決這個(gè)問題時(shí)。引發(fā)出的心理上急于處理這項(xiàng)問題的緊張感，在短時(shí)間內(nèi)尋求新的解決策略。數(shù)學(xué)問題解決，也可以簡稱為解題?！敖忸}指的是將題歸為已解的題的范疇內(nèi)”[12]。。而對于數(shù)學(xué)問題來說，解題人首先應(yīng)該將所給條件讀通、讀懂，而后根據(jù)該條件對問題本身的特點(diǎn)展開分析，根據(jù)所學(xué)的各種知識(shí)對文字語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到數(shù)學(xué)符號(hào)，以得到這道題所需求的數(shù)學(xué)結(jié)果，最后從具體問題出發(fā)，求解得到最終答案。2.2.2數(shù)學(xué)問題解決方法的涵義數(shù)學(xué)問題解決方法：“問題的條件”是解決方法的敲門磚，要先把一個(gè)問題所給的條件弄明白，才能開始解決它。中間就是運(yùn)用我們所積累的知識(shí)，進(jìn)行實(shí)際操練的過程，即需要進(jìn)行一系列的運(yùn)算。也可以將這一中間過程比喻為架起一座橋梁。這座橋梁為：看懂條件→制定計(jì)劃→實(shí)際操作→回顧過程。以上涵義實(shí)際上是從《怎樣解題》(波利亞)[13]中總結(jié)得出的。其中“看懂條件”,是指解決問題前要先把題目捋順，把條件弄懂，不能一拿到題就開始盲目下手。“制定計(jì)劃”是指，在正式答題前，先在頭腦中和草稿紙上將可能用到的公式、知識(shí)點(diǎn)等過一遍?！皩?shí)際操作”是指，將條件帶入預(yù)設(shè)好的方法中，進(jìn)行實(shí)際運(yùn)算解答?！盎仡欉^程”既是對解題過程的一種再現(xiàn)，又可以起到“驗(yàn)證”的作用，體現(xiàn)出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯思維。向量法：首先還是需要先抓住問題的“條件”,仔細(xì)分析該問題與“向量”有何相關(guān)之處。找到相關(guān)點(diǎn)后，就將問題進(jìn)行“向量化”的轉(zhuǎn)化，運(yùn)用一系列向量的方法求解。最后回到原問題中，得出答案，達(dá)到最終的求解目的。向量法解題是按照下述步驟來展開的：第一步，分析實(shí)際問題；第二步，提取得到數(shù)學(xué)問題；第三步，轉(zhuǎn)化成向量問題；第四步：得出結(jié)果。2.3向量解題的意義關(guān)于掌握數(shù)學(xué)意味著什么,美國著名學(xué)者波利亞認(rèn)為。我們要培養(yǎng)善于解題的能力，而這些題不僅是那些標(biāo)準(zhǔn)的常規(guī)題，更要善于解一些需要一定思考的、一些自己獨(dú)到見解的、新穎有創(chuàng)造性的題目。一個(gè)有趣的現(xiàn)象，許多在某個(gè)領(lǐng)域中有杰出貢獻(xiàn)的人，他們有一個(gè)共同特征：就是都具有超群的數(shù)學(xué)能力，善于解決各種數(shù)學(xué)問題。我們該如何教會(huì)學(xué)生獨(dú)立思考問題?該通過什么方式方法去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力?“解題”就是最實(shí)用的方法之一。首先，解題的過程就是學(xué)生去獨(dú)立認(rèn)知的過程。通過這個(gè)過程，學(xué)生能學(xué)習(xí)到一定的數(shù)學(xué)本質(zhì)精神，掌握一定的數(shù)學(xué)解題技巧。其次，解的題越多，學(xué)生腦中對數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)就越具體、越完善。再者，解題的過程需要大腦的高速運(yùn)轉(zhuǎn)，是培養(yǎng)學(xué)生各種能力的有力法寶[14]。作為一種數(shù)學(xué)模型，向量是對現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行的刻畫。在物理中我們最熟悉的矢量：力、速度、位移等。實(shí)際生活中到處都充斥著實(shí)際背景，均可通過向量得到刻畫并進(jìn)行描述。向量解題，可以讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)和生活之間是密切相關(guān)的，發(fā)現(xiàn)很多問題都是從現(xiàn)實(shí)生活中提煉出來的，我們所解的每道題在生活中都有例可循。能夠積極引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展各項(xiàng)運(yùn)算、推理能力，自主建構(gòu)知識(shí)框架。從而達(dá)到育人的目的。3.1.1用向量解決立體幾何問題3.1.2利用向量的數(shù)量積解決問題3.1.3例題及解析線段DD'⊥α,∠DBD'=30°,如果AB=a,AC=BD=b,求C、D間的距離.所以D2=CA+AB+BD2 =C2+AB'+Bo'+2CA·AB+C例3:如圖3-3,M、N分別是棱長為1的正方立體圖形ABCD-A'B'CD的棱BB'、B'C的中點(diǎn).請求出異面直線MN與CD'所成的角.3.1.4小結(jié)3.2.1將立體幾何問題“向量化”的途徑3.2.2例題及解析證明：這里假設(shè)正方體的棱長等于1且設(shè)DA=i,DC=j,DD?=k.所以D?F⊥平面ADE.證明：如圖3-5所示，我們把點(diǎn)0當(dāng)作原點(diǎn)，把OA這條有向線段作為正z軸，建BD=(x,y,z)。 1.法向量的具體定義如下：向量a表示的是一個(gè)有向線段，假使其所在直線與3.3.1法向量的定義向量a就叫作平面α的法向量。利用法向量：可以巧妙解決空間角度問題。距離3.3.2用法向量求解線面角、面面角有一條直線AB和一個(gè)平面α,它們之間形成了一個(gè)角θ。該角還能夠理解為AB代表的向量與α的法向量n之間的夾角的余角。這時(shí)線面角的求解就轉(zhuǎn)化成了線線角的求解，即求表示直線的這個(gè)向量和這個(gè)平面法向量的夾角。對于兩個(gè)向量來說，它們形成的夾角的余弦可通過下述公式求解得出：這樣就可推導(dǎo)得到下述公式：3.3.3如何利用向量求解空間距離1.兩異面直線的距離?？梢赞D(zhuǎn)化為：與這兩者都相交的線段。在其公垂向量上的投影長度。2.點(diǎn)與平面之間的距離?？梢赞D(zhuǎn)化為：過這點(diǎn)的平面的斜線。以平面法向量為基準(zhǔn)，得到的投影長度。3.3.4例題及解析 所以，直線OF和平面DEF之間形成了夾角，其正弦值等于4.1向量在代數(shù)中的應(yīng)用向量法解題的優(yōu)點(diǎn)在于運(yùn)算比較簡單，方法較為新穎，學(xué)生思維能夠4.2.1相關(guān)概念介紹(1a-b=|d引。(當(dāng)a,b同向時(shí)取等號(hào))(3)取等號(hào)的，在a,b方向相反的情況下，不等式左邊應(yīng)當(dāng)是取等號(hào)的。4.2.2例題及解析分析：如果令m=(x,y,z),n=(a,b,c)那么本題就轉(zhuǎn)可以得出m//n因此只要證實(shí)m//n就可行了。解：(1)令a=(x,y),b=(1,1),則a·b=x+y,(2)令a=(x+2,y),b=(2,-1),2x-y=t,y=1a+5≥la+6|=√32+(2+3)4.3.1常用方法介紹4.3.2例題及解析代入上式得-3k+32±1=0=5平面向量與三角函數(shù)存在的“數(shù)量關(guān)系”,綜合三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)來解答。5.2.1常用解法,,5.2.2例題及解析例1.求函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最值。解：原式可化為y=2+sin2x+cos2x,令z=sin2x+cos2x,構(gòu)造向量a=(sin2x,cos2x),b=(1,1),所以y=2+√2y=2-25.3.1經(jīng)典例題例1.已知向量)(2a-c)cosB=bcosC,試求f(A)的取值區(qū)間。(1)因?yàn)閙·n=1,所!所!(2)記f(x)=a.b,求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值.6結(jié)論結(jié)，只有這樣向量法本身具有的價(jià)值才能得到挖掘，[3]張景中，彭翕成.論向量法解幾何問題的基本思路(續(xù))[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2008,47(002):31-36.[5]張定強(qiáng)等.向量法在研究幾何問題中的作用探討[J].數(shù)學(xué)通訊，2009,(09):[6]黃生順.平面法向量在立體幾何中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2011,(13):67-70.[7]田寶運(yùn)等.向量法解高考解析幾