廣東省汕頭市2024-2025學(xué)年高三期末統(tǒng)測數(shù)學(xué)試題（含解析）

廣東省汕頭市2024-2025學(xué)年高三年級(jí)期末統(tǒng)測數(shù)學(xué)試題及參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題僅有一個(gè)選項(xiàng)正確.1.下列命題既是真命題又是存在量詞命題的是（）A.B.C.D.2.若，，則（）A.B.C.D.3.已知平面向量滿足：，，則（）A.B.C.D.4.我們研究成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系，其中，，.在集合中取一個(gè)元素作為的值，使得這組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)程度最強(qiáng)，則（）A.B.C.D.5.某市為修訂用水政策，制定更合理的用水價(jià)格，隨機(jī)抽取100戶居民，得到他們的月均用水量，并整理得如下頻率分布直方圖.根據(jù)直方圖的數(shù)據(jù)信息，下列結(jié)論中正確的是（）A.100戶居民的月均用水量的中位數(shù)大于B.100戶居民的月均用水量低于的用戶所占比例超過90%C.100戶居民的月均用水量的極差介于與之間D.100戶居民的月均用水量的平均值介于與之間6.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的交點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的方程為（）A.B.C.D.7.已知正四棱臺(tái)的上、下底面面積分別為18、32，下底面上的棱與側(cè)棱所成角的余弦值為，則該四棱臺(tái)的體積為（）A.B.C.D.8.設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（）A.B.C.D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知曲線，，則（）A.若，則曲線表示兩條直線B.若，則曲線是橢圓C.若，則曲線是雙曲線D.若，則曲線的離心率為10.已知，則（）A.若，，且，則B.，使得的圖象向左平移個(gè)單位長度后所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)，恰有三個(gè)零點(diǎn)，且，則D.若在上恰有2個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)，則11.若將函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線依然可以看作一個(gè)函數(shù)的圖象，則下列函數(shù)中符合條件的有（）A.B.C.D.三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.已知公比不為1的等比數(shù)列中，且，，成等差數(shù)列，則.（結(jié)果用冪表示）13.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與圓相切于點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為.14.如圖，在山腳測得山頂?shù)难鼋菫?，沿傾斜角為的斜坡向上走米到達(dá)處，在處測得山頂?shù)难鼋菫?，則山高.四、解答題：本題共5小題，第15題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某校為了解高三學(xué)生每天的作業(yè)完成時(shí)長，在該校高三學(xué)生中隨機(jī)選取了100人，對他們每天完成各科作業(yè)的總時(shí)長進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如下表所示：用表格中的頻率估計(jì)概率，且每個(gè)學(xué)生完成各科作業(yè)時(shí)互不影響.（1）從該校高三學(xué)生中隨機(jī)選取1人，估計(jì)該生可以在3小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)的概率；（2）從樣本“完成各科作業(yè)的總時(shí)長在2.5小時(shí)內(nèi)”的學(xué)生中隨機(jī)選取3人，其中共有人可以在2小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從該校高三學(xué)生（學(xué)生人數(shù)較多）中隨機(jī)選取3人，其中共有人可以在3小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)，求.16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），的面積是面積的2倍.（1）求直線的方程；（2）求.17.如圖，平面四邊形中，，,,，，點(diǎn)為中點(diǎn)，于，將沿翻折至，使得.（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.18.已知函數(shù).（1）證明曲線是軸對稱圖形；（2）設(shè)函數(shù)，解不等式（是自然對數(shù)的底數(shù)）.19.設(shè)為無窮數(shù)列，為正整數(shù)集的無限子集，且，則數(shù)列稱為數(shù)列的一個(gè)子列.（1）請寫出一個(gè)無窮等差數(shù)列，其任意子列均為等比數(shù)列；（2）設(shè)無窮數(shù)列為等差數(shù)列，，，證明：的任意子列不是等比數(shù)列；（3）對于公差不為零的無窮等差數(shù)列，試探究其任意子列不是等比數(shù)列的一個(gè)充分條件.參考答案一、選擇題1.B解析：選項(xiàng)A,D均是全稱量詞命題，B,C均是存在量詞命題，當(dāng)時(shí)，，B為真命題，當(dāng)，C為假命題.2.C解析：由得：，解得.3.A解析：根據(jù)平面向量線性運(yùn)算與模的幾何意義，如圖，.4.B解析：顯然前9個(gè)點(diǎn)位于直線上，且，則越接近10，相關(guān)性越強(qiáng)，∴.5.C解析：月均用水量低于的用戶頻率為，A錯(cuò)誤；月均用水量低于的用戶頻率為，B錯(cuò)誤；月均用水量的極差的最大值為，最小值為，C正確；由直方圖可直觀觀察出D錯(cuò)誤.6.B解析：∵，由拋物線的定義得：，即，由點(diǎn)在上得，∴，故的方程為.7.A解析：依題意上、下底面邊長分別為，作于，于，得三棱錐，則，，由題設(shè)得，，∴,.8.D解析：由題意，若，則當(dāng)時(shí)，，不合題意；若，則當(dāng)時(shí)，，不合題意；若，則當(dāng)時(shí)，，不合題意；∴，此時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，符合題意，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立.二、選擇題9.ACD解析：若，則，曲線的方程為，表示兩條直線，A正確；若，則當(dāng)時(shí)，曲線表示圓，故B錯(cuò)誤；若，由知曲線表示雙曲線,故C正確；若，則曲線表示等軸雙曲線，故D正確10.BCD解析：，對于A，依題意，周期，∴，故A錯(cuò)誤；對于B，依題意，函數(shù)圖象關(guān)于對稱，則，得，又，∴，故B正確；對于C，函數(shù)，，令得，∴在上恰有兩條對稱軸，.從而，故C正確；對于D，由得，解得，D正確.11.AC解析：若函數(shù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得函數(shù)仍是一個(gè)函數(shù)，則其圖象與直線均不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn).對于，設(shè)，則，則為上的減函數(shù)，且曲線與直線恰有1個(gè)交點(diǎn)，符合題意，A正確；對于，設(shè)，則，，則在存在零點(diǎn)，不符合題意，B錯(cuò)誤；對于，設(shè)，恰有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意，C正確；對于，作出圖象，易知不符合題意，D錯(cuò)誤.三、填空題12.解析：依題意，，從而，∴，.13.解析：法一：顯然直線為雙曲線的漸近線，且，由得：，整理得，∴，從而雙曲線的漸近線方程為.法二：在中由余弦定理得，在中，，兩式相加得，整理得，∴，從而雙曲線的漸近線方程為.14.（也可）解析：法一：在中，，，，∴，由正弦定理得：，故，從而中，.法二：在中，，，，∴，由正弦定理得：，故，從而.四、解答題15.解：（1）樣本中，可以在3小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)的學(xué)生頻率為，∴從該校高三學(xué)生中隨機(jī)選取1人，可估計(jì)他在3小時(shí)內(nèi)完成各科作業(yè)的概率為.（2）樣本中，完成各科作業(yè)的總時(shí)長在2.5小時(shí)內(nèi)的學(xué)生共7人，其中砸2小時(shí)內(nèi)完成的有3人，則服從超幾何分布，其分布列為：，，即則.（3）依題意，可近似為服從二項(xiàng)分布，即，∴.16.解：（1）法一：由得：，∴，解得，設(shè)到直線的距離分別為，則由得：，∴，解得或（舍去），故直線的方程為：.法二：設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，∵，且，∴，從而，解得，故直線的方程為：.（2）設(shè)，中，由余弦定理得：即，∴，從而，由得：,解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴，故.17.解：（1）證明：依題意，，，又，∴平面，∵，即，∴，故平面.（2）連接，∵，，∴，即，又，，∴平面，又平面，∴，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，，設(shè)平面的法向量為，則，不妨取，得，又為平面的一個(gè)法向量，∴，故平面與平面的夾角的余弦值為.18.解：（1）由得的定義域?yàn)?，∴曲線關(guān)于直線對稱.（2）由得：，令，則，，∴在上單調(diào)遞增，從而，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，故是上的增函數(shù)，由得的解集為.19.解：（1）常數(shù)列1,1,1，…符合題意.（2）若存在一個(gè)子列是等比數(shù)列，則中必存在某三項(xiàng)成等比數(shù)列，下證的任意三項(xiàng)不能構(gòu)成等比數(shù)列，假設(shè)，其中且，∵公差，∴，從而，整理得，①若，則，從而，與矛盾，∴，此時(shí)，①中左邊為無理數(shù)，右邊為有理數(shù)，不可能相等，∴假設(shè)不成立，故的任意三項(xiàng)不能都成等比數(shù)列，從而的任意子列不是等比