2024年上海高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn) 專題1-1 集合、邏輯與復(fù)數(shù)（專題分層練）含詳解

專題驗(yàn)收評(píng)價(jià)

專題1T集合、邏輯與復(fù)數(shù)

內(nèi)容概覽

A-?？碱}不丟分

一.元素與集合關(guān)系的判斷（共1小題）

二.并集及其運(yùn)算（共1小題）

三.交集及其運(yùn)算（共5小題）

四.充分條件與必要條件（共7小題）

五.命題的真假判斷與應(yīng)用（共3小題）

六.虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)（共2小題）

七.復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義（共2小題）

八.復(fù)數(shù)的運(yùn)算（共6小題）

九.共扼復(fù)數(shù)（共1小題）

一十.復(fù)數(shù)的模（共3小題）

B?拓展培優(yōu)拿高分（壓軸題）（共16題）

C?挑戰(zhàn)真題爭(zhēng)滿分（17題）

A??？碱}不丟分、

一.元素與集合關(guān)系的判斷（共1小題）

1.（2023?徐匯區(qū)校級(jí)三模）已知集合A=[S,s+y]（J[t,t+1]，其中1初且記f（x）七

且對(duì)任意在A,都有/（x）則s+t的值是.

二.并集及其運(yùn)算（共1小題）

2.（2023?徐匯區(qū)三模）已知集合4={2,3,5},B={1,5},AUB=.

三.交集及其運(yùn)算（共5小題）

3.（2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模）已知集合4={1,2,3,4,5）,8={2,4,6,8},則AAB=.

4.（2023?普陀區(qū)校級(jí)三模）已知集合人=（-1,2）,8=[1,+8）,則集合4n8=.

5.（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)集合4={耶1〈2,.隹口},8={1*-?+320,在用，則408=.

6.（2023?黃浦區(qū)模擬）若集合A={x|xW2},8="僅2〃}滿足An8={2},則實(shí)數(shù)。=.

7.（2023?青浦區(qū)校級(jí)模擬）已知集合人={巾<1},8={-1,0,2},則AH8=.

四.充分條件與必要條件（共7小題）

8.（2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬）“x>l”是“工<J的（）

x

A.充要條件

B.充分非必要條件

C.必要非充分條件

D.既非充分又非必要條件

9.（2023?奉賢區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)x€R,則“僅-2|<1"是“』+廠2>0”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

10.（2023?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）“〃=（）”是關(guān)于x的不等式ax-beI的解集為R的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

11.（2023?寶山區(qū)校級(jí)三模）設(shè)入ER,則“入=1”是“直線3x+（A-1）y=1與直線Xr+（1■入）y=2平行”

的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

12.（2023?浦東新區(qū)三模）設(shè)等匕數(shù)列伍〃}的前〃項(xiàng)和為Sn,設(shè)甲：乙：{%}是嚴(yán)格增數(shù)歹

則甲是乙的（）

A.充分非必要條件

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既非充分又非必要條件

13.（2023?嘉定區(qū)模擬）已知復(fù):數(shù)zNO,則“|z|=l”是“zdER”的（）條件.

z

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

14.（2023?閔行區(qū)校級(jí)二模）設(shè)a,0是兩個(gè)不同的平面，直線〃?ua,則“對(duì)0內(nèi)的任意直線/,都有〃?_L

!”是“a_L0”的（）

A.允分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

五.命題的真假判斷與應(yīng)用（共3小題）

15.（2023?徐匯區(qū)二模）已知“若x>〃，則工1>0"為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

x

16.（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）已知命題：“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題.給出下列四個(gè)

命題：

①M(fèi)的元素不都是P的元素；

②M的元素都不是P的元素；

③M中有P的元素；

④存在使得.vCP.

其中真命題的序號(hào)是.（將正確命題的序號(hào)都填上）

（多選）17.（2023?黃浦區(qū)校級(jí)三模）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-加BICIQI中，已知E1為線段BC的中

點(diǎn)，點(diǎn)尸和點(diǎn)。分別滿足D產(chǎn)=［D［C；，D］《二4口了其中入，［?0,1］，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)人△時(shí)，三棱錐P-EFO的體積為定值

2

R.當(dāng)四，時(shí)，叫棱錐P-ARCO的外接球的表面積是更

24

C.尸石+P戶的最小值為顯巨

6

D.存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（入，H）,使得EP_L平面PQF

六.虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)（共2小題）

18.（2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬）已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)I一?的虛部是.

19.（2023?寶山區(qū)二模）已知復(fù)數(shù)（m2-3m-1）+（//r-5w-6）i=3（其中i為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)m

A.[0,”與{￡]OWEWI}B.[0,“與{mb,c,d}

C.（0,1）與[0,1]D.{1,2,3}與{a,b,c,d]

2.（2020?上海自主招生）GiventwosetsA={1,2,3,4,5}andB={3,4,5,6,7},thentheintersection

setofAandBisC）

A.{1,2}B.{3,4,5}

C.{1,2,3,4,5,6,7}D.{6,7}

3.（2022?上海自主招生）已知集合4={（x,y）N+/W2,xWZ,>-GZ},則A中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.5C.8D.9

4.12022?上海自主招生）集合A={1,2,/},B={cr\aE.A}iC=AUB,C中元素和為6,則元素積為（）

A.IB.-1C.8D.-8

5.（2023?閔行區(qū)校級(jí)一模）已知{的）是等差數(shù)列,加=sin（a〃）,且存在正整數(shù)丁使得對(duì)任意的正整數(shù)已都

有加+?=〃〃.若集合S=3人=加，〃WN’}中只含有4個(gè)元素，貝打的取值不可能是（）

A.4B.5C.6D.7

二.多選題（共1小題）

（多選）6.（2023?黃浦區(qū)校級(jí)三模）在棱長(zhǎng)為1的正方體4伙?。-4加。。|中，已知E為線段31c的中

點(diǎn)，點(diǎn)F和點(diǎn)P分別滿足D1展入DK，D[0=klD]其中入，咋[0,1]，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)X△時(shí)，三棱錐P-EFD的體枳為定值

2

B.當(dāng)U△時(shí)，四棱錐P?ABCD的外接球的表面積是更

“24

C.PE+PF的最小值為品巨

6

D.存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（入，M）,使得EP_L平面PZ"

三.填空題（共5小題）

7.（2020?上海自主招生）凸四邊形/WC。，則NBAC=N8D。是N/）AC=/OBC的條件.

8.（2020?上海自主招生）定義九八）=[1‘，M@V={x|/；w（x加（x）=-1},已知A={x|x<V2^x},

-1,x￡M

B={x\x（x+3）（x-3）>0},則A84=.

9.（2020?上海自主招生）直線/i,/2交于。點(diǎn)，M為平面上任意一點(diǎn)，若p,9分別為M點(diǎn)到直線八，八的

距離，則稱（p,g）為點(diǎn)M的距離坐標(biāo).已知非負(fù)常數(shù)p,q,下列三個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)是.

<1）若p=q=0,則距離型標(biāo)為（0,0）的點(diǎn)有且僅有1個(gè)；

(2)若pq=O,且p+g#(),則距離坐標(biāo)為(p,q)的點(diǎn)有巨僅有2個(gè);

(3)若/#0,則距離坐標(biāo)為(p,q)的點(diǎn)有且僅有4個(gè).

1().(2020?上海自主招生)若集合M中任意兩個(gè)元素的和差積商的運(yùn)算結(jié)果都在M中，則稱M是封閉集

合.下列集合：

(1)R(2)Q(3)CRQ(4){中=〃?+血〃，〃?，〃WZ}中.封閉集合的個(gè)數(shù)為.

II.(2023?徐匯區(qū)三模)

對(duì)任意數(shù)集A={<〃，。2,。3},滿足表達(dá)式為丁=/+/-17且值域?yàn)锳的函數(shù)個(gè)數(shù)為〃.記所有可能的

p的值組成集合8,則集合3中元素之和為.

四.解答題(共5小題)

12.(2022?上海自主招生)A={1,2,100},5={3小€4},C={2x|xGA),求8CC中元素個(gè)數(shù).

13.(2022?上海自主招生)多項(xiàng)式f(x),g(x),問(wèn)兩命題“/(x)是g(x)因式”，“f(f(x))是g(gCr))

因式”充分必要關(guān)系.

14.(2021?上海自主招生)已知/(k)周期為1,則命題p：“f(x)+f(、跖)=2”是命題g：“/(x)恒

為1”的什么條件？

15.(2022?黃浦區(qū)模擬)有以下真命題:已知等差數(shù)列{如},公差為d,設(shè)aaa是數(shù)列{如}

ninnm

n<+n+*"+n,

中的任意加個(gè)項(xiàng)，若9二一2------

—(0WrV〃？，rGN,八〃EN*)①，則有

mm

l,，+

an+an+an

（1）當(dāng)機(jī)=2,，=0時(shí)，試寫出與上述命題中的①，②兩式相對(duì)應(yīng)的等式；

（2）若｛4〃｝為等差數(shù)列，。2+。4+。8+。16+432+464+4128+4256=24,且a63=6,求｛4〃｝的通項(xiàng)公式;

（3）試將上述真命題推廣到各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)的等比數(shù)列中，寫出相應(yīng)的真命題，并加以證明.

16.（2022?寶山區(qū)校級(jí)二模）已知虛數(shù)z=〃+icos。，其中a,共R,i為虛數(shù)單位.

①若對(duì)任意6WR,均有|z+2-i|W3,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

②若z,z2恰好是某實(shí)系數(shù)?元二次方程的兩個(gè)解，求”，6的值.

C?挑戰(zhàn)真題爭(zhēng)滿分

一.選擇題（共4小題）

1.(2022?上海)若集合A=[-l,2),B=Z,則AAB=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,0}

D.{-1}

2.（2020?上海）命題〃：存在aCR且aKO,對(duì)于任意的xCR,使得/（*a）＜f（x）\f（a）；

命題?。?（X）單調(diào)遞減且/（x）>。恒成立；

命題/：f（X）單調(diào)遞增，存在A0<0使得f（A0）=0,

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.只有qi是〃的充分條件

B.只有@是〃的充分條件

C.q\,（72都是〃的充分條件

D.q\,42都不是〃的充分條件

3.（2021?上海）已知集合A={x|x>-l,.r€R},8=％?220,x6R},則下列關(guān)系中，正確的是（）

A.AQBB.CRAQQRBC.AGB=0D.AU8=R

4.（2023?上海）已知P={1,2},Q={2,3},若M={x|.隹P，.悵Q},則"=（）

A.{1}B.{2}C.⑶D.{1,2,3}

二.填空題（共13小題）

5.（2022?上海）已知集合人=（-1,2）,集合B=（1,3）,則AG8=

6.（2021?上海）已知A={x|2xWl},?={-!,0,1},則An/?=

7.（2020?上海）已知集合4={1,2,4）,集合月={2,4,5},則AGB=

8.（2023?上海）已知復(fù)數(shù)z=l-i（i為虛數(shù)單位），則|l+iz|=

9.（2022?上海）已知z=l+i（其中i為虛數(shù)單位），則2z=

10.（2021?上海）已知zi=l+i,z2=2+3i,求zi+z2=

11.（2020?上海）已知復(fù)數(shù)z=l?2i（i為虛數(shù)單位）,則0=

12.（2023?上海）已知集合人={1,2},B={\,a},且A=8,則〃=

13.（2020?上海）集合A={1,3},8={1,2,a},若AGB,則a

14.（2022?上海）已知z=2+i（其中，為虛數(shù)單位），則z=

15.（2021?上海）已知z=l?33則|z?i|=

16.（2020?上海）已知復(fù)數(shù)z滿足z+2z=6+i,則z的實(shí)部為

17.（2023?上海）已知zi,Z2GC且zi=/—（/為虛數(shù)單位），滿足⑶-1|=1,則⑵-匐的取值范圍

乙

為

專題驗(yàn)收評(píng)價(jià)

專題17集合、邏輯與復(fù)數(shù)

內(nèi)容概覽

A-?？碱}不丟分

一.元素與集合關(guān)系的判斷（共1小題）

二.并集及其運(yùn)算（共1小題）

三.交集及其運(yùn)算（共5小題）

四.充分條件與必要條件（共7小題）

五.命題的真假判斷與應(yīng)用（共3小題）

六.虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)（共2小題）

七.復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義（共2小題）

八.復(fù)數(shù)的運(yùn)算（共6小題）

九.共扼復(fù)數(shù)（共1小題）

一十.復(fù)數(shù)的模（共3小題）

B?拓展培優(yōu)拿高分（壓軸題）（共16題）

C?挑戰(zhàn)真題爭(zhēng)滿分（17題）

A??？碱}不丟分

一.元素與集合關(guān)系的判斷（共I小題）

1.（2023?徐匯區(qū)校級(jí)三模）已知集合A=[s,s+^-]IJ[t,t+1]，其中1C4且記f（x）=^1，

且對(duì)任意xEA,都有f（x）WA,則$+/的值是速■!_.

【分析】根據(jù)兩端區(qū)間和x=l的關(guān)系分三種情況討論：x=l在[s,s+5]U[],什1]左邊，在回$+5]和

66

〃，什1]之間，在[s,s+5]U[3/+1]右邊三種情況，根據(jù)單調(diào)性可得/（x）的值域，從而確定定義域與值

域的關(guān)系，列不等式求解即可.

【解答】解：①當(dāng)S>1時(shí)，ftx)=1+2在區(qū)間X曰S,S+工］U［f,什1］上單調(diào)遞減,

x-16

e[l+—,1+^-],

tt~l■_S-1

s6

'/2f-2、

t<s-l1+5加

g----

?2/日<6.

s6s-l《t

'_2-

“s-1s，+l

???ifK故25

D------+-=s

S飛t-16

r.^-4—=—+1*即Ar-r-12=0,

t-l6tt-16t

V/>1,：.t=4,5=旦

2

:.s+t=—.

2

②當(dāng)S+2<1</,即S〈至■時(shí)，此時(shí)區(qū)間[s,5+2]在廣=1左惻，［/，什1］在x=l右側(cè)，

666

V/(X)=三3在區(qū)間[s,S+1]上為減函數(shù)，

x-16

當(dāng)xW[s,s+2],f(x)e[----1",

6s-1

s6

s4

s6s+1

V—^-<1,/>1,/.[―s+-],

s+1「3s-16

56

A?--c--=0,即(2y+l)(3s-7)=0,

6S6

V5<—,.“=」，

62

此時(shí)區(qū)間［f,什1］在x=l右側(cè),

當(dāng)x€[f,什1]時(shí),

f(X)日主a斗，

tt-i

??、，

t+2[t+2fl±l]c[Z,r+l],

t-1

t+1

,此時(shí).t>2,解得：『2,

(t-2)(t+l)<0

:.5+/=—■；

2

③當(dāng)/+1V1,即fVO時(shí)，x=l在[s,Up,U1]右邊.

此時(shí)/(x)=1+，一在區(qū)間回

U［［,Z+l］上單調(diào)遞減,

x-1

：.f(x)曰i+2,|_^2JU[1-2-，母

+t-1+5

t<2

s-lD

且'

14-2-4

5飛

S

2

=

ts-l7"s4+l

T故

25

t-1y$

.25_2［叩2_t+12._

??--------f----------+］，田」------------,..r-/-1129—n

t-l6tt-16t

*.*t<1,Ar=-3,5=—,不滿足$+』<，.

36

綜上，$+/的值為旦或旦.

22

故答案為：；或色.

乙乙

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根據(jù)堂調(diào)性求解值域的問(wèn)題，需要根據(jù)題意，結(jié)合分式函數(shù)的圖象，依據(jù)端點(diǎn)

與特殊值之間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，同時(shí)需要根據(jù)值域的包含關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍.求解過(guò)程中需

要統(tǒng)一分析，注意不等式之間用似的關(guān)系整體進(jìn)行求解.屬于難題.

二.并集及其運(yùn)算（共1小題）

2.（2023?徐匯區(qū)三模）已知集合/4={2,3,5},4={1,5},則AU8=",2,3,51.

【分析】利用并集定義直接求解.

【解答】解:集合A={2,3,5},3={1,5},

則AU8={1,2,3,5）.

故答案為：{1，2,3,5）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的運(yùn)算，考查并集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

三.交集及其運(yùn)算（共5小題）

3.（2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模）已知集合人={1,2,3,4,5},B={2,4,6,8},則⑵二

【分析】找出A與4的公共元索，即可確定出交集.

【解答】解：VA={1,2,3,4,5},B={2,4,6,8),

.?.AC3={2,4}.

故答案為：{2,4}

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

4.(2023?普陀區(qū)校級(jí)三模)已知集合/1=(-1,2),8=[1,+8),則集合4n4=[1,2).

【分析】直接利用交集運(yùn)算的概念得答案.

【解答】解：VA=(-1,2),B=[\,+8),

，An8=(-1,2)n[l,+oo)=[1,2).

故答案為：[1，2).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

5.(2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬)設(shè)集合4={刈川<2,.r€R},3={3產(chǎn)-4x+320,xWR},則AA8=(-2,

U_.

【分析】求出集合的等價(jià)條件，根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可.

【解答】解：A=WM<2,JteR)=M-2<x<2),

B={x\x1-4x+320,xGR}=口長(zhǎng)23或xW1),

則404={川-2<x<l},

故答案為：(?2,1].

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，求出集合的等價(jià)條件，根據(jù)集合的基本運(yùn)算實(shí)是解決本題的關(guān)

強(qiáng)

6.(2023?黃浦區(qū)模擬)若集合人={小忘2},B=3戈2〃}滿足AC8={2},則實(shí)數(shù)〃=2.

【分析】由題意AC8={2},得集合4中必定含有元素2,且A,8只有一個(gè)公共元素2,可求得。即可.

【解答】解：由AG4={2},

則A,8只有一個(gè)公共元素2：

可得。=2.

故填2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的確定性、交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.(2023?青浦區(qū)校級(jí)模擬)已知集合A=3xVl),B={-1,0,2},則，AB={2}.

【分析】利用補(bǔ)集和交集的運(yùn)算求解.

【解答】解：?..集合4=A|xVl),

：?A={xIx>l)

又,??B={-1,0,2},

?.Nr)B={2}，

故答案為：{2}.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的運(yùn)算，考查交集、補(bǔ)集的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

四.充分條件與必要條件（共7小題）

8.（2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬）“公>1”是“工<1”的（）

x

A.充要條件

B.充分非必要條件

C.必要非允分條件

D.既非充分又非必要條件

【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.

【解答】解：當(dāng)>1時(shí)，成立，

x

當(dāng)x=-1時(shí)，滿足上<1成立，但X>1不成立.

X

故’3>1”是“工<1”成立的充分不必要條件.

X

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用定義是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).

9.（2023?奉賢區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)XWR,則”-2|V1”是2>0”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：由“U?2|V解得14V3,

由A2+X-2>0得1或工V-2,

即"L"2|VI”是“/+x?2>0”的充分不必要條件，

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考杳充分條件和必要條件的判斷，比較基礎(chǔ).

10.（2023?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）“〃=0”是關(guān)于x的不等式數(shù)-〃21的解集為R的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

【分析】求出不等式公1的解集為R時(shí)的充要條件，即可得山結(jié)論.

【解答】解：關(guān)于X的不等式*-心1的解集為R時(shí)，應(yīng)滿足卜W,即卜丁.

l-b>llb<-l

所以“a=0”是關(guān)于x的不等式or-621的解集為R的必要不充分條件.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分與必要條件的判斷問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

11.（2023?寶山區(qū)校級(jí)三模）設(shè)入ER,則“入=1”是“直線3x+（A-1）>-=1與直線入r+（1-入）y=2平行”

的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)直線?般式中平行滿足的關(guān)系即可求解.

【解答】解：若直線3x+（A-1）y=\與直線Ax+（1-A）y=2平行，

則3（1■入）■人（入?1）=0,解得入=1或入=?3,

經(jīng)檢驗(yàn)入=1或入=-3時(shí)兩直線平行，

故“入=1”能得到“直線3戶（入-1）y=\與直線Ax+（1-A）.y=2平行”，

但是“直線3x+（A-I）y=l與直線右+（1-入）y=2平行”不能得到“人=1”.

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

12.（2023?浦東新區(qū)三模）設(shè)等比數(shù)列｛m｝的前〃項(xiàng)和為S”,設(shè)甲：ai<a2<a3,乙：｛S〃）是嚴(yán)格增數(shù)列,

則甲是乙的（）

A.充分非必要條件

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既非充分又非必要條件

【分析】舉例說(shuō)明充分性和必要性都不成立即可.

【解答】解：等比數(shù)列｛。〃｝中，前〃項(xiàng)和為S〃，當(dāng)0Vo時(shí)，若夕制，則m—<0,數(shù)列｛S〃｝嚴(yán)

格單調(diào)遞減，充分性不成立；

若數(shù)列｛%｝嚴(yán)格遞增，則數(shù)列俗“是正項(xiàng)等比數(shù)列，只需滿足〃“>0,心0即可，若OVqVl,則

＞。3，必要性不成立；

所以甲是乙的既不充分也不必要條件.

故選：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的定義與前〃項(xiàng)和性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題，也考查了充分與必要條件的判斷問(wèn)題，

是基礎(chǔ)題.

13.（2023?嘉定區(qū)模擬）已知復(fù)數(shù)2#0,則“團(tuán)=1”是的（）條件.

Z

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【分析】當(dāng)|z=1時(shí)，即初+廬=1，zJ=2aER，充分性；取z=2,則z2與ER，|z|

1zz2

=2,不必要，得到答案.

【解答】解：設(shè)z=a+bi,a,l）ER,

當(dāng)IZ|《2+b2=i時(shí)，即d/j所以zTwbiJ=a+bi贄/aER充分性成立，

取z=2,則zd/"ER回=2,必要性不成立，

綜上所述："|z|=l"是“z』CR”的充分不必要條件.

Z

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考杳了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

14.（2023?閔行區(qū)校級(jí)二模）設(shè)a,0是兩個(gè)不同的平面，直線機(jī)ua,則“對(duì)0內(nèi)的任意直線/,都有機(jī)

!”是“a_L0”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)線面垂直與面面垂直定義可解.

【解答】解：根據(jù)題意，因?yàn)閍,0是兩個(gè)不同的平面，直線〃?ua,當(dāng)對(duì)0內(nèi)的任意直線/,都有〃?_U,

則a_L0,則充分性成立，

當(dāng)。_10時(shí)，則對(duì)0內(nèi)的任意直線/,有m與/相交或加〃/,則必要性不成立，

故”對(duì)0內(nèi)的任意直線/,都有機(jī)_L/”是“a_L|F的充分不必要條件，

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳線面垂直與面面垂直定義，屬于基礎(chǔ)題.

五.命題的真假判斷與應(yīng)用（共3小題）

15.（2023?徐匯區(qū)二模）已知“若心>小則為真命通，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是+8）.

x

【分析】由命題“若/>〃，則二二上>0”是真命題，轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成能推出（/-1）X>0成立，即

x

.<>?,能推出公>1成立，可得實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【解答】解：命題“若x>a,則工二>0”是真命題，

X

則x>4，能推出2m>0”成立，

X

轉(zhuǎn)換成能推出（x-I）.r>0成立，

即x>a,能推出｛MxVO或x>l｝成立，

即x>a,能推出x>1成立，

由不等式端點(diǎn)和簡(jiǎn)易邏輯關(guān)系可得，“21，

則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是：

故答案為：［I,+8）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題不等式的計(jì)算、簡(jiǎn)易邏輯，屬于基礎(chǔ)題.

16.（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）已知命題：“非空集合M的元素都是集合。的元素”是假命題.給出下列四個(gè)

命題：

①M(fèi)的元素不都是尸的元素；

②M的元素都不是P的元素；

③M中有尸的元素；

④存在X6M,使得正P.

其中真命題的序號(hào)是①④.（將正確命題的序號(hào)都填上）

【分析】直接利用命題的否定和元素和集合之間的關(guān)系的應(yīng)用判定①②③④的結(jié)論.

【解答】解：命題：“非空集合M的元素都是集合。的元素”是假命題.

則：命題：“非空集合M的元素不都是集合P的元素”是真命題.

故①M(fèi)的元素不都是戶的元素，①正確

②M的元素都不是P的元素，②錯(cuò)誤

②M中有〃的元素，③錯(cuò)誤

④存在xWM,使得.悵P,④正確

故答案為：①④

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：命題的否定，集合間的關(guān)系，主要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和應(yīng)用,

屬于基礎(chǔ)題.

（多選）17.（2023?黃浦區(qū)校級(jí)三模）在棱長(zhǎng)為1的正方體4BCO-中，已知上為線段51c的中

點(diǎn)，點(diǎn)尸和點(diǎn)P分別滿足D]?=:D]C[DjP=.D]其中入，!■?（），11，則卜列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)入△時(shí)，三棱錐P-EFO的體積為定值

2

B.當(dāng)△時(shí)，四棱錐P-ABCD的外接球的表面積是更

24

C.PE+P/的最小值為品巨

6

D.存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（入，p）,使得E0_L平面PQ/

【分析】當(dāng)人=▲時(shí)，所以尸是。1。的中點(diǎn)，EF〃BD\,點(diǎn)P到面EFO的距離為定值，可判斷4；,

2

222

當(dāng)|19時(shí)，點(diǎn)、P為BD\的中點(diǎn)，設(shè)四棱錐P-ABCD的外接球的半徑為r,則r=（r-y）+（*-）,

所以「=旦，可判斷8；

4

把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面ABCjQ]求點(diǎn)P使得PE+P尸的最小值問(wèn)題，如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于BD\的對(duì)稱點(diǎn)E',

過(guò)點(diǎn)E'作Ci。],A8的垂線，垂足分別為F,H,則PE+PF=PE，+PF^E,F,計(jì)算可得結(jié)論；

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可判斷D.

【解答】解：對(duì)于4當(dāng)入=/時(shí)，所以產(chǎn)是。I。的中點(diǎn)，連接8C1,因?yàn)樗倪呅蜝CCIBI是平行四邊

形，所以E為8a的中點(diǎn)，

所以石尸〃/"力，.?.8/力〃面石F/）,又點(diǎn)、P在BDi上,所以點(diǎn)P到面七尸。的距離為定值，所以三棱錐P

-EFQ的體積為定值，

故A正確；

對(duì)于8,當(dāng)時(shí)，點(diǎn)尸為8。的中點(diǎn)，設(shè)四棱錐P-A8c。的外接球的半徑為九

2

則有「2=（11）2+（也）2,所以『3,所以外接球的表面積為母兀，故8錯(cuò)誤；

2244

對(duì)于C，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面ABCMi求點(diǎn)P使得PE+PF的最小值問(wèn)題，如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于BDi的對(duì)

稱點(diǎn)X,過(guò)點(diǎn)E'作。。I,A8的垂線，垂足分別為尸，H,

則PEiQFnPE'\PF^E'F,

s-…喙皆爭(zhēng)除力

sinZABE1

：.E'H=BE'sin/ABE'=^-X—=^-?

236

，E‘H=HF-HEZ旦2,???PE+Pb的最小值為例￡故C錯(cuò)誤,

6o

對(duì)于。，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則尸(0,入，1),D(0,0,0),P(p,41-H),E(―,1,A)

22

則DF=（。，入，1），DF=（內(nèi)匹1-p）,

設(shè)平面尸。尸的一個(gè)法向量為而=（I1J,|1-1,

乙乙

31）入哈-叱0

解得呼普,入=等,

EQJ_平面PQF,

P3)+P(U-l)+g-U)(T)=0

???所以存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（入，H）,使得EP_L平面POF,故。正確,

故選：AD.

D\Ci

【點(diǎn)評(píng)】本題考查體積的定值問(wèn)題，平面內(nèi)一點(diǎn)到兩點(diǎn)距離的最小值問(wèn)題，以及外接球的表面積的求法，

以及空間向量的計(jì)算，難度大.

六.虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)（共2小題）

18.（2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬）已知，是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)17的虛部是一7.

【分析】利用復(fù)數(shù)的概念求解.

【解答】解：由復(fù)數(shù)的概念，知：

復(fù)數(shù)1-i的虛部是-1.

故答案為：-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的虛部的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要熟練掌握復(fù)數(shù)的概念.

19.（2023?寶山區(qū)二模）已知復(fù)數(shù)（nr-3m-1）+Cm2-5m-6）i=3（其中i為虛數(shù)單位）,則實(shí)數(shù)，〃=

-1.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解.

【解答】解：復(fù)數(shù)（m2-3m-I）+（w2-5m-6）i=3,

iin3in-1-3,口

則n，，解1t得加=-l.

m-5m-6=0

故答案為：-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考看復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題.

七.復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義（共2小題）

20.（2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模）設(shè)復(fù)平面上表示2一?和3+4i的點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B,則表示向量屈的復(fù)數(shù)在復(fù)平

面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】根據(jù)條件可寫出表示向量元的復(fù)數(shù)，然后即可得出該復(fù)數(shù)所位于的象限.

【解答】解：根據(jù)題意知，表示向量AB的復(fù)數(shù)為l+5i,

???在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,5)位于第一象限.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)和向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

21.(2。23?奉賢區(qū)校級(jí)二模)復(fù)數(shù)(a-1)+(2〃-1)/(aEK)在復(fù)平面的第二象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)4的取值范

雨是—g，1)_-

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的兒何意義，即可求解.

【解答】解:(a-1)+(2a-I)i(a￡R)在復(fù)平面的第二象限內(nèi)，

則《、，解得

l2a-l>02

故實(shí)數(shù)〃的取值范圍是g,1).

故答案為：g,1).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

八.復(fù)數(shù)的運(yùn)算(共6小題)

22.(2023?黃浦區(qū)二模)設(shè)復(fù)數(shù)zi、Z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，zi=2+i(i為虛數(shù)單.位)，則z廣

Z2=-5.

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則與共桅復(fù)數(shù)的定義、幾何意義即可得出.

【解答】解：???復(fù)數(shù)zi、Z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，Zi=2+j,

/.Z2=-2+z.

.*.zi*z2=~(2+Z)(2-i)=-5.

故答案為：-5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則與共規(guī)復(fù)數(shù)的定義、兒何意義，屬于基礎(chǔ)題.

23.(2023?閔行區(qū)校級(jí)二模)在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A(-2,1)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z,則

【分析】求出復(fù)數(shù)z+1,然后求解復(fù)數(shù)的模.

【解答】解：在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A(-2,1)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z,則|z+l|=|-2+i+l|=|-l+/|=d(-1)2+/=

近.

故答案為：V2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力.

24.（2023?浦東新區(qū)校級(jí)一模）若復(fù)數(shù)z滿足,??z=l+2i,其中，是虛數(shù)單位，則z的實(shí)部為2.

【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

【解答】解:由八z=l+2i,

俎_l+2i（l+2i）（-i）c.

得z-----：—=---------------=2-1?

1-i2

???z的實(shí)部為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查及數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查好數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

25.（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足上二=3則|z尸1.

l+z

【分析】設(shè)出z=a+bif得到1-a-bi=-b+（a+1）i,根據(jù)系數(shù)相等得到關(guān)于a,b的方程組，解出a,

b的值，求出z,從而求出z的模.

【解答】解：設(shè)z="4,則上衛(wèi)=~從

l+z1+a+bi

/.\-a-bi=~b+（q+l）i,

解得（a=。,

"b=a+lb=_l

故z=-i,|z|=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了復(fù)數(shù)求模問(wèn)題，考查解方程組問(wèn)題以及對(duì)應(yīng)思想，是一道基礎(chǔ)題.

26.（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）已知復(fù)數(shù)"z=l+i,則復(fù)數(shù)z=1-i.

【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

【解答]解：由"Z=l+i,得k=（]+i）fT）=]T.

1-1

故答案為：I-/.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

27.（2023?黃浦區(qū)模擬）已知復(fù)數(shù)z巧i，口|=2,zg是正實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)z2=1-?i.

【分析】設(shè)Z2=a+萬(wàn)（a,bER）,由已知列關(guān)于a,〃的方程組，求解a,。的值得答案.

【解答】解：設(shè)z2="+bi（a,bER）.

由2]=1+\回「I切=2,Z1Z2是正實(shí)數(shù)，

22

a+b=4a=l

得解得或.

V3a+b=0b=-V3

.*.z2=-1+V3i或1-V3i.

當(dāng)zi=-1+V3i時(shí)，z\z2=-4,舍去,

/.z2=i-Vsi.

故答案為：I-A/3i.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考杳復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

九.共枕復(fù)數(shù)（共1小題）

28.（2023?松江區(qū)校級(jí)模擬）復(fù)數(shù)z」一（i為虛數(shù)單位），則歷|=_&_.

1+i

【分析】由已知直接利用份|二|z|及商的模等于模的商求解.

【解答】解：???z'r，

1+1

???1=1z1=1心戶一得

l+iIl+iIV2

故答案為：V2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)模的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題.

一十.復(fù)數(shù)的模（共3小題）

29.（2023?徐匯區(qū)三模）設(shè)，■是虛數(shù)單位，則|戶+八產(chǎn)1=1.

【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.

【解答】解：???？=-1,

???1,+/7+產(chǎn)|=儼+j3+“=|_1-j+]|=m=i,

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查虛數(shù)單位『的運(yùn)算性質(zhì)，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

30.（2023?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）已知i是虛數(shù)單位，好數(shù)z滿足工=2-i，則更數(shù)z的模為叵

z+i-2

【分析】利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【解答】解：由題意可得z+i=1,即1+上=」_

z2-iz2-i

1』=11-1|=1=容1，即1_|-l+iI

?

z2-12-1Zl2-il

解得憶|=華.

乙

故答案為：乂也?.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，解題的關(guān)鍵是掌握模的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

31.（2023?嘉定區(qū)二模）已知復(fù)數(shù)z=3+4i（i為虛數(shù)單位），則0=5.