定積分的應用

定積分的應用定積分的應用定積分在幾何學、物理學和經(jīng)濟學等方面有著廣泛的應用.本節(jié)主要介紹利用定積分求面積、體積、弧長、變力做功、水壓力、引力、轉動慣量等問題.

利用定積分解決實際問題，不僅要會解決某一具體問題，更重要的是要學會掌握用定積分解決問題的基本思想和基本方法、步驟.要做到這一點，需把握下面兩個問題：一是什么樣的問題能用定積分來解決？二是用什么樣的方法可以把實際問題轉化為定積分問題？下面就這兩個問題展開討論分析.

一、定積分的微元法定積分的所有應用問題，一般可按“分割、近似、求和、取極限”這四個步驟把所求量表示為定積分的形式.為更好地說明這種方法，先來回顧第五章中討論過的求曲邊梯形面積的問題.

假設一曲邊梯形由連續(xù)曲線y=f(x)［f(x)≥0］，x軸與兩條直線x=a，x=b所圍成，試求其面積A.

一、定積分的微元法(1)分割.用任意一組分點把區(qū)間［a,b］分成長度為Δxi(i=1,2,…,n)的n個小區(qū)間，相應地把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，記第i個小曲邊梯形的面積為ΔAi.

(2)近似.第i個小曲邊梯形面積的近似值

ΔAi≈f(ξi)Δxi(xi－1≤ξi≤xi).

(3)求和.所求曲邊梯形面積A的近似值(4)取極限.所求曲邊梯形面積A的精確值

其中λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}.

一、定積分的微元法由上述過程可見，把區(qū)間［a,b］分割成n個小區(qū)間時，所求面積A(總量)也被相應地分成n個小曲邊梯形(部分量)，而所求總量等于各部分量之和()，這一性質稱為所求總量對于區(qū)間［a,b］具有可加性.此外，以f(ξi)Δxi近似代替部分量ΔAi時，其誤差是一個比Δxi更高階的無窮小.這兩點保證了求和、取極限后能得到所求總量的精確值.

一、定積分的微元法對上述過程，在實際應用中可略去下標i，改寫如下：(1)分割.把區(qū)間［a,b］分割為n個小區(qū)間，任取其中一個小區(qū)間［x,x+dx］(區(qū)間元素)，用ΔA表示［x,x+dx］上小曲邊梯形的面積，于是，所求面積A=∑ΔA.

一、定積分的微元法(2)近似.取［x,x+dx］的左端點x為ξ.以點x處的函數(shù)值f(x)為高、dx為底的小矩形的面積f(x)dx(面積元素，記為dA)作為ΔA的近似值(見圖6-7)，即

ΔA≈dA=f(x)dx.圖6-7一、定積分的微元法(3)求和.所求曲邊梯形面積A的近似值A≈∑dA=∑f(x)dx.

(4)取極限.所求曲邊梯形面積A的精確值A=lim∑f(x)dx=∫baf(x)dx.

由上述分析，可以抽象出在應用學科中廣泛采用的將所求量U(總量)表示為定積分的方法——元素法，這個方法的主要步驟如下：一、定積分的微元法(1)根據(jù)具體問題，選取一個積分變量，如x為積分變量，并確定它的變化區(qū)間［a,b］，任取［a,b］的一個區(qū)間元素［x,x+dx］，求出相應于這個區(qū)間元素上的部分量ΔU的近似值，即求出所求總量U的元素

dU=f(x)dx.

(2)根據(jù)dU=f(x)dx寫出表示總量U的定積分U=∫badU=∫baf(x)dx.

一、定積分的微元法應用元素法解決實際問題時，用定積分所表示的量U有三個共同特征：(1)所求總量U的大小取決于某個變量x的一個變化區(qū)間［a,b］，以及定義在該區(qū)間上的函數(shù)f(x).

(2)所求總量U關于區(qū)間［a,b］應具有可加性，即區(qū)間［a,b］上的總量U等于各子區(qū)間上的部分量之和.

(3)部分量ΔU可以求近似值，且有f(x)

dx=dU≈ΔU.

在通常情況下，要檢驗ΔU－f(x)dx是否為dx的高階無窮小并非易事，因此，在實際應用中要注意dU=f(x)dx的合理性.二、定積分在幾何學上的應用平面圖形的面積1.

應用定積分，不但可以計算曲邊梯形的面積，還可以計算一些比較復雜的平面圖形的面積.二、定積分在幾何學上的應用1）直角坐標情形如果一個平面圖形D是由曲線y=f(x)，y=g(x)和直線x=a，x=b(a<b)圍成，并且在［a,b］上有f(x)≥g(x)，如圖6-8所示.圖6-8二、定積分在幾何學上的應用穿過區(qū)域D內部且平行于y軸的直線與區(qū)域D的邊界相交不多于兩點，此區(qū)域D為X型區(qū)域.對于這種X型區(qū)域，取x為積分變量比較方便，其變化區(qū)間為［a,b］.在［a,b］上任取一個窄條區(qū)間［x,x+dx］，則區(qū)間［x,x+dx］上所對應的窄曲邊梯形的面積可以用高為f(x)－g(x)、寬為dx的矩形面積來近似，從而得到面積微元

dA=［f(x)－g(x)］dx.

二、定積分在幾何學上的應用以該面積微元為被積表達式，在區(qū)間［a,b］上作定積分就得到這種圖形的面積A=∫ba［f(x)－g(x)］dx.(6-15)如果一個平面圖形D是由曲線x=φ(y)，x=ψ(y)和直線y=c，y=d(c<d)圍成，并且在［c,d］上φ(y)≥ψ(y)，如圖6-9所示.圖6-9二、定積分在幾何學上的應用穿過區(qū)域D內部且平行于x軸的直線與區(qū)域D的邊界相交不多于兩點，此區(qū)域D為Y型區(qū)域.對于這種Y型區(qū)域，取y為積分變量比較方便，其變化區(qū)間為［c,d］.將該區(qū)間分成若干小區(qū)間，在［c,d］上任取一個子區(qū)間［y,y+dy］，則區(qū)間［y,y+dy］對應的窄曲邊梯形的面積可以用寬為φ(y)－ψ(y)、高為dy的矩形面積來近似，這樣就得到這種圖形的面積

A=∫dc［φ(y)－ψ(y)］dy.(6-16)

二、定積分在幾何學上的應用【例39】求曲線xy=1與兩直線y=x，x=3圍成的圖形(見圖6-10)的面積.

解先求曲線xy=1與直線y=x交點的橫坐標.為此解方程組圖6-10二、定積分在幾何學上的應用二、定積分在幾何學上的應用【例40】求由拋物線y2=2x與直線y=4－x圍成的圖形(見圖6-11)的面積.圖6-11二、定積分在幾何學上的應用二、定積分在幾何學上的應用解法2如果選x為積分變量，需要用直線x=2把原來的圖形分成兩部分，然后才能按公式(6-15)計算.參看圖6-11，有顯然，解法1更簡單.因此，利用定積分求平面圖形的面積時，選擇恰當?shù)姆e分變量可使計算過程比較簡單.實際上，利用定積分作其他計算也是如此.二、定積分在幾何學上的應用【例41】求由方程所確定的橢圓的面積.解如圖6-12所示，該橢圓的圖形對稱于兩坐標軸，所以只要求出第Ⅰ象限那部分圖形的面積再乘以4就可得到橢圓的面積，即

A=4∫a0ydx.圖6-12二、定積分在幾何學上的應用二、定積分在幾何學上的應用2）極坐標情形某些形狀的平面圖形，用極坐標計算其面積比較方便.曲邊扇形是極坐標中最典型的圖形，首先介紹這類圖形.

在極坐標中，由曲線ρ=ρ(θ)［ρ(θ)≥0］和射線θ=α，θ=β圍成的曲邊扇形，如圖6-13所示.用微元法計算它的面積的方法如下.圖6-13二、定積分在幾何學上的應用取θ為積分變量，其變化區(qū)間為［α,β］.子區(qū)間［θ,θ+dθ］對應的窄曲邊扇形面積可以用半徑為ρ(θ)、中心角為dθ的扇形面積來近似代替，從而得到面積微元這樣就得到曲邊扇形的面積

(6-17)

對于其他比較復雜的圖形，它的面積往往可以看成是兩個曲邊扇形面積的和或差，則問題也不難解決.二、定積分在幾何學上的應用【例42】計算阿基米德螺線ρ=aθ(a>0)上相應于θ從0到2π的一段弧與極軸所圍成的圖形(見圖6-14)的面積.圖6-14解根據(jù)式(6-17)得所求面積為二、定積分在幾何學上的應用【例43】求三葉玫瑰線r=asin3θ圍成的全面積A(見圖6-15).圖6-15二、定積分在幾何學上的應用【例44】如圖6-16所示，圓r=3cosθ被心臟線r=1+cosθ挖去一部分，求留下的圖形面積.圖6-16二、定積分在幾何學上的應用二、定積分在幾何學上的應用體積2.1）旋轉體的體積旋轉體是由一個平面圖形繞該平面內一條定直線旋轉一周而成的立體，這條定直線稱為旋轉軸.圓柱、圓錐、圓臺、球體都是旋轉體.

由曲線y=f(x)

(該函數(shù)在區(qū)間［a,b］內保持同號)，直線x=a，x=b(a<b)及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周得到旋轉體，如圖6-17所示.下面推導這種旋轉體體積的計算方法.

圖6-17二、定積分在幾何學上的應用取x為積分變量，其變化區(qū)間為［a,b］.在［a,b］上任取一個子區(qū)間［x,x+dx］，則區(qū)間［x,x+dx］對應的旋轉體薄片的體積可以用底面積半徑為f(x)、高為dx的圓柱體的體積來近似，從而得到體積微元

dV=π［f(x)］2dx.

以該體積微元為被積表達式，在區(qū)間［a,b］上作定積分就得到這種旋轉體的體積

V=π∫ba［f(x)］2dx.(6-18)

用類似的方法可以推導出由曲線y=φ(x)

(該函數(shù)在區(qū)間［c,d］內保持同號)，直線y=c，y=d(c<d)及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉一周得到的旋轉體的體積

V=π∫dc［φ－1(y)］2dy.(6-19)

二、定積分在幾何學上的應用【例45】圖6-18二、定積分在幾何學上的應用【例46】圖6-19求由連接坐標原點O及P(h,r)的直線段、x軸及x=h圍成的直角三角形繞x軸旋轉而成的旋轉體(見圖6-19)的體積.二、定積分在幾何學上的應用二、定積分在幾何學上的應用2）平行截面面積已知的立體體積計算旋轉體體積的分析過程，實際上可以用來分析平行截面面積已知的立體體積的計算.如圖6-20所示，有一立體被垂直于x軸的平面相截，被截體積位于x=a和x=b的兩平面之間，而且它被垂直于x軸的平面所截的截面積是x的已知連續(xù)函數(shù)A(x).圖6-20二、定積分在幾何學上的應用這時，取x為積分變量，則積分區(qū)間為［a,b］.在［a,b］上任取一個小區(qū)間［x,x+dx］，則區(qū)間［x,x+dx］對應的薄片的體積可以用底面積為A(x)、高為dx的扁圓柱體的體積來近似代替，從而得到體積微元

dV=A(x)dx.

以該體積微元為被積表達式，在區(qū)間［a,b］上作定積分就得到所求立體的體積

V=∫baA(x)dx.(6-22)

二、定積分在幾何學上的應用【例47】圖6-20一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面的交角為α，截得一楔形立體，如圖6-21所示，求該立體的體積.二、定積分在幾何學上的應用解取該平面與圓柱體的底面交線為x軸，在底面上過圓心且垂直于x軸的直線為y軸，那么底圓的方程x2+y2=R2.過點(x,0)且垂直于x軸的平面截該立體所得的截面是直角三角形.它的兩條直角邊的長度分別為y及ytanα，因而截面面積為二、定積分在幾何學上的應用平面曲線弧長3.我們知道直線段的長度是通過直接測量來確定的，但一條曲線段的長度卻不能直接測量.那么，我們怎么計算曲線的弧長呢？已知圓周的長度l=2πr(其中r為圓的半徑)，那么，這個公式是怎么推導出來的呢？一般的曲線弧長又該如何計算呢？下面通過建立平面光滑曲線弧長的概念來揭示此問題.二、定積分在幾何學上的應用1）弧長的概念設有一條以A和B為端點的曲線弧(見圖6-22)，在其上任取分點

A=M0,M1,M2,…,Mn－1,Mn=B，圖6-22二、定積分在幾何學上的應用依次連接分點成折線，則折線的長度為

當分點數(shù)目無限增加，即λ=max{|Mi－1Mi|}→0

(i=1,2,…,n)時，如果Ln的極限存在，則稱其極限值為該曲線弧的長度，即二、定積分在幾何學上的應用2）弧長的計算公式如果曲線弧由直角坐標方程y=f(x)給出，其中f(x)在［a,b］上有一階連續(xù)導數(shù)，求曲線弧的長度s(見圖6-23).

圖6-23二、定積分在幾何學上的應用取x為積分變量，它的變化區(qū)間為［a,b］，在其上任取小區(qū)間［x,x+Δx］，在該小區(qū)間上的弧長可用M點處相應的一小段切線長來近似，即用弧微分來近似，故有

Δs≈ds=1+y′2dx，從而有

s=∫ba1+y′2dx，(6-23)

這就是直角坐標系下曲線弧長的計算公式.

如果曲線弧由參數(shù)方程二、定積分在幾何學上的應用給出，其中φ(x)，ψ(x)在［α,β］上具有連續(xù)導數(shù)，α,β分別為曲線的兩個端點所對應的參數(shù)值，這時將弧長微分公式作如下變換

ds=1+y′2dx=(dx)2+(dy)2

=φ′2(t)(dt)2+ψ′2(t)(dt)2=φ′2(t)+ψ′2(t)dt，則該曲線弧長s為

s=∫βαφ′2(t)+ψ′2(t)dt.(6-24)

如果曲線由極坐標方程

r=r(θ)(α≤θ≤β)

給出，類似條件下可得弧長微分公式為

s=∫βαr2(θ)+r′2(θ)dθ.(6-25)

式(6-25)的推導從略.

二、定積分在幾何學上的應用弧長的計算公式中的下限一定要小于上限.注二、定積分在幾何學上的應用【例48】二、定積分在幾何學上的應用【例49】圖6-24二、定積分在幾何學上的應用三、定積分在物理學上的應用變力沿直線所做的功1.由初等物理知識知，一個與物體位移方向一致而大小為F的常力，將物體移動了距離s時所做的功為W=F·s.

如果物體在運動過程中受到變力的作用，則可利用定積分元素法來計算物體受變力沿直線所做的功.

一般地，假設F(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，下面討論在變力F(x)的作用下，物體從x=a移動到x=b時所做的功W(見圖6-25).圖6-25三、定積分在物理學上的應用取x為積分變量，其變化區(qū)間為［a,b］.在［a,b］上任取一小區(qū)間［x,x+dx］，物體由點x移動到x+dx的過程中受到的變力近似視為物體在點x處受到的常力F(x)，則功元素為

dW=F(x)dx，于是，物體受變力F(x)的作用從x=a移動到x=b時所做的功為W=∫badW=∫baF(x)dx.

在實際應用中，許多問題都可以轉化為物體受變力作用沿直線所做的功的情形.下面通過具體例子來說明.

三、定積分在物理學上的應用【例50】半徑為r的球沉入水中,球的上部與水面相切,球的密度為1,現(xiàn)將球從水中取出,需做多少功?

解建立如圖6-26所示的坐標系，將半徑為r的球取出水面,在整個運動過程中,球所受的力F(x)為F(x)=G－F浮,圖6-26三、定積分在物理學上的應用三、定積分在物理學上的應用【例51】設40N的力使彈簧從自然長度0.1m拉長到0.15m,問需要做多大的功才能克服彈性恢復力,將伸長的彈簧從0.15m處再拉長0.03m?解根據(jù)胡克定律［在彈性限度內，拉伸(或壓縮)彈簧所需的力與伸長量(或壓縮量)成正比］，如圖6-27所示建立坐標系，F(xiàn)(x)=kx.圖6-27三、定積分在物理學上的應用又因為40N的力使彈簧從自然長度0.1m拉長到0.15m時，其伸長量為0.05m,因而F(0.05)=40,即0.05k=40,

可得k=800,則F(x)=800x,

故彈簧從0.15m拉長到0.18m，所做的功為W=∫0.080.05800xdx=400x20.080.05

=1.56(

J

).

三、定積分在物理學上的應用水壓力2.由物理學知,在距水面深為h處的壓強為p=ρgh(其中ρ為水的密度，g為重力加速度),并且在同一點處的壓強在各個方向是相等的.若一面積為A的平板水平地放置在距水面深度為h處,則平板一側所受到的水壓力為P=pA=ρghA.

若平板垂直地放在水中,由于深度不同的點處壓強不相同，平板一側所受壓力就不可用上述方法計算.但由于整個平板所受的壓力對深度具有可加性，因此可以用定積分的元素法來計算.

三、定積分在物理學上的應用如圖6-28所示，假設平板的形狀為一曲邊梯形，它是由y=f(x)與直線x=a,x=b及x軸所圍成的.將其垂直地放置在密度為ρ的水中,兩腰與水面平行,且距水面的高度分別為a與b(a<b),求平板一側所受水的壓力.圖6-28三、定積分在物理學上的應用選x為積分變量,其變化區(qū)間為a,b.在a,b上任取一小區(qū)間x,x+dx,若dx很小,該小區(qū)間對應的小曲邊梯形所受到的壓強可以近似地用深度為x處的壓強代替,因此所受到的壓力元素為

dP=ρgxfxdx,

在a,b上積分,便得整個平板一側所受到的壓力為P=∫baρgxfxdx.

下面通過具體例子來說明.

三、定積分在物理學上的應用【例52】將直角邊分別為a及2a的直角三角形薄板垂直地浸入水中,斜邊朝下,邊長為2a的直角邊與水面平行,且該邊到水面的距離恰等于該邊的邊長,求薄板一側所受水的壓力(設水的密度為ρ).解如圖6-29建立坐標系,取x為積分變量，它的變化范圍為0,a,在［0,a］上任取一小區(qū)間［x,x+dx］,則小矩形片的面積為2(a－x)dx,小矩形片上各處的壓強近似為p=ρg(x+2a)，三、定積分在物理學上的應用圖6-29三、定積分在物理學上的應用引力3.根據(jù)初等物理學知識，質量分別為m1，m2，相距r的兩個質點間的引力的大小為引力的方向為兩質點的連線方向.

如果要計算一根細棒或一平面對一個質點的引力，由于細棒或平面上各點與該質點的距離是變化的，且各點對該質點的引力方向也是變化的，那么此時應如何計算呢？下面通過具體例子來說明該問題的計算方法.三、定積分在物理學上的應用【例53】設有一半徑為R,中心角為φ(0<φ<π)的圓弧形細棒,其線密度為常數(shù)ρ,在圓心處有一質量為m的質點M,試求這細棒對質點M的引力.解如圖6-30建立坐標系,質點M位于坐標原點,x軸平分該圓弧的圓心角,由于此圖形關于x軸對稱,而圓弧形細棒又是均勻的,故細棒對質點M的引力在y軸上的分力Fy=0,只計算引力在x軸上的分力Fx即可.圖6-30三、定積分在物理學上的應用四、定積分在經(jīng)濟學中的應用由邊際函數(shù)求總量函數(shù)1.已知邊際函數(shù)F′(x)，可由牛頓萊布尼茲公式求得經(jīng)濟函數(shù)(原函數(shù))

F(x)=∫x0F′(t)dt+F(0)；產(chǎn)量由a變到b時，經(jīng)濟函數(shù)的增量ΔF=∫baF′(x)dx.

四、定積分在經(jīng)濟學中的應用【例54】生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為C′(x)=3x2-14x+100,固定成本C(0)=1000,求總成本函數(shù).

解總成本函數(shù)C(x)=C(0)+∫x0C′(t)dt=1000+∫x0(3t2-14t+100)dt

=1000+x3-7x2+100x.

四、定積分在經(jīng)濟學中的應用【例55】已知某產(chǎn)品銷售量為x時邊際收益為R′(x)=100－x.求：(1)銷售量為10時的收益.(2)銷售量從20增加到30時，收益是多少？四、定積分在經(jīng)濟學中的應用消費者剩余與生產(chǎn)者剩余2.在經(jīng)濟管理中,一般說來,商品價格低,需求就大;反之,商品價格高,需求就小,因此需求函數(shù)Q=f(P)是價格P的單調減少函數(shù).

同時商品價格低,生產(chǎn)者就不愿生產(chǎn),因而供給就少;反之,商品價格高,供給就多,因此供給函數(shù)Q=g(P)是價格