2019屆北京專用高考數(shù)學一輪復習第一章集合與常用邏輯用語第三節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞全稱量詞與存在量詞講義理

第三節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞總綱目錄教材研讀1.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞考點突破2.全稱命題和特稱命題考點二含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷考點一全稱命題與特稱命題考點三由命題真假確定參數(shù)的取值范圍教材研讀1.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)常用的簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞有①

或

、②

且

、③

非

.(2)命題p∧q、p∨q、?p的真假判斷pqp∧qp∨q?p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全稱命題和特稱命題(1)全稱量詞和存在量詞量詞名稱常見量詞符號表示全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個等④

?

存在量詞存在一個、至少有一個、有些、某些等⑤

?

全稱命題特稱命題形式對M中任意一個x,有p(x)成立存在M中的一個x0,使p(x0)成立簡記⑥

?x∈M

,p(x)⑦

?x0∈M

,p(x0)否定⑧

?x0∈M

,?p(x0)⑨

?x∈M

,?p(x)(2)全稱命題和特稱命題1.命題“?x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是

()A.?x∈(0,+∞),lnx≠x-1B.?x?(0,+∞),lnx=x-1C.?x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1D.?x0?(0,+∞),lnx0=x0-1A答案

A特稱命題的否定為全稱命題,所以?x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1的

否定是?x∈(0,+∞),lnx≠x-1,故選A.2.設命題p:?平面向量a和b,|a-b|<|a|+|b|,則?p為

()A.?平面向量a和b,|a-b|≥|a|+|b|B.?平面向量a和b,|a-b|<|a|+|b|C.?平面向量a和b,|a-b|>|a|+|b|D.?平面向量a和b,|a-b|≥|a|+|b|D答案

D先改換量詞,再否定結(jié)論,?p為?平面向量a和b,|a-b|≥|a|+|b|,

故選D.3.如果命題“p且q”是假命題,“非p”是真命題,那么

()A.命題p一定是真命題B.命題q一定是真命題C.命題q一定是假命題D.命題q可以是真命題也可以是假命題D答案

D“非p”是真命題,那么p一定是假命題,故A錯;“p且q”是假

命題,且p是假命題,所以q可能是真命題也可能是假命題,故選D.4.下列四個命題中的真命題為

()A.?x0∈Z,1<4x0<3

B.?x0∈Z,5x0+1=0DC.?x∈R,x2-1=0

D.?x∈R,x2+x+2>0答案

D選項A中,

<x0<

且x0∈Z,不成立;選項B中,x0=-

,與x0∈Z矛盾;選項C中,x≠±1時,x2-1≠0;選項D正確.5.設命題p:函數(shù)f(x)=ex-1在R上為增函數(shù);命題q:函數(shù)f(x)=cos(x+π)為奇函

數(shù).則下列命題中真命題是

()A.p∧q

B.(?p)∨qC.(?p)∧(?q)

D.p∧(?q)D答案

D由復合函數(shù)的單調(diào)性知,命題p為真.f(x)=cos(x+π)=-cosx,易

知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),所以命題q為假,則?q為真,從而p∧(?q)為真命題.故

選D.考點一全稱命題與特稱命題典例1(1)命題p:對于任意x∈R,2x+1>0的否定是

()A.?p:對于任意x∈R,2x+1≤0B.?p:不存在x0∈R,

+1≤0C.?p:存在x0∈R,

+1≤0D.?p:存在x0∈R,

+1>0(2)已知命題p:?x∈R,log2(3x+1)≤0,則

()A.p是假命題;?p:?x∈R,log2(3x+1)≤0B.p是假命題;?p:?x∈R,log2(3x+1)>0C.p是真命題;?p:?x∈R,log2(3x+1)≤0考點突破D.p是真命題;?p:?x∈R,log2(3x+1)>0BC答案(1)C(2)B解析(1)全稱命題的否定是特稱命題,所以?p:存在x0∈R,

+1≤0.故選C.(2)∵?x∈R,3x>0,∴3x+1>1,∴l(xiāng)og2(3x+1)>0,∴p是假命題.?p:?x∈R,log2(3x+1)>0,故選B.方法技巧1.全稱命題、特稱命題的真假判斷方法(1)要判斷一個全稱命題是真命題,必須對限定集合M中的每個元素x驗

證p(x)成立;但要判斷全稱命題是假命題,只要能找出集合M中的一個x=

x0,使得p(x0)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”).(2)要判斷一個特稱命題是真命題,只要在限定集合M中,至少能找到一

個x=x0,使p(x0)成立即可;否則,這一特稱命題就是假命題.2.全稱命題與特稱命題的否定(1)改寫量詞:確定命題所含量詞的類型,省去量詞的要結(jié)合命題的含義

加上量詞,再對量詞進行改寫.(2)否定結(jié)論:對原命題的結(jié)論進行否定.1-1

(2017北京東城一模,2)已知命題p:?n∈N,2n>

,則?p是

()A.?n∈N,2n≤

B.?n∈N,2n<

C.?n∈N,2n≤

D.?n∈N,2n>

答案

C根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,知?p:?n∈N,2n≤

,故選C.C1-2下列命題中,真命題是

()A.?x∈R,x2-x-1>0B.?α,β∈R,sin(α+β)<sinα+sinβC.?x∈R,x2-x+1=0D.?α,β∈R,sin(α+β)=cosα+cosβ答案

D因為x2-x-1=

-

≥-

,所以A是假命題.當α=β=0時,有sin(α+β)=sinα+sinβ,所以B是假命題.x2-x+1=

+

≥

,所以C是假命題.當α=β=

時,有sin(α+β)=cosα+cosβ,所以D是真命題,故選D.D考點二含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷典例2(1)設命題p:“若sinα=

,則α=

”,命題q:“若a>b,則

<

”,則

()A.p∧q為真命題

B.p∨q為假命題C.?q為假命題

D.以上都不對(2)已知命題p:?x>0,x+

≥4;命題q:?x0∈R,

=-1.則下列判斷正確的是

()A.p是假命題

B.q是真命題C.p∧(￢q)是真命題

D.(￢p)∧q是真命題BC答案(1)B(2)C解析(1)命題p:“若sinα=

,則α=

”是假命題,命題q:“若a>b,則

<

”是假命題,故p∨q是假命題.故選B.(2)對于命題p:∵x>0,∴x+

≥2

=4(當且僅當x=2時,等號成立),∴命題p為真命題;對于命題q:∵?x∈R,2x>0,∴命題q為假命題,∴?q為真命

題.故選C.規(guī)律總結(jié)1.判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的步驟(1)判斷簡單命題p,q的真假;(2)根據(jù)真值表判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假.2.含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的等價關系(1)p∨q真?p,q至少一個真?(?p)∧(?q)假.(2)p∨q假?p,q均假?(?p)∧(?q)真.(3)p∧q真?p,q均真?(?p)∨(?q)假.(4)p∧q假?p,q至少一個假?(?p)∨(?q)真.(5)?p真?p假;?p假?p真.2-1命題p:?x∈R,x2+ax+a2≥0;命題q:?x0∈R,sinx0+cosx0=2,則下列

命題為真命題的是

()A.p∧q

B.p∨qC.(?p)∨q

D.(?p)∧(?q)答案

B因為x2+ax+a2=

+

a2≥0,所以命題p是真命題;因為sinx+cosx=

=sin

,所以(sinx+cosx)max=

<2,所以命題q是假命題.所以p∨q為真命題,故選B.B2-2已知命題p:存在x∈

,使sinx+cosx=

,命題q:不等式x2-x-2<0的解集是{x|-1<x<2},給出下列結(jié)論:①命題“p∧q”是真命題;②命題

“p∧(?q)”是假命題;③命題“(?p)∨q”是真命題;④命題“(?p)∨

(?q)”是假命題,其中正確的是

()A.②③

B.①②④C.①③④

D.①②③④D答案

D∵x∈

,∴sinx+cosx=

sin

∈(1,

],故存在x∈

,使sinx+cosx=

,即命題p是真命題.又易知命題q也是真命題,∴①②③④正確.故選D.典例3已知p:?x∈R,mx2+1≤0,q:?x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q為假命題,

則實數(shù)m的取值范圍為

()A.m≥2

B.m≤-2C.m≤-2或m≥2

D.-2≤m≤2考點三由命題真假確定參數(shù)的取值范圍答案

A解析當p是真命題時,有m<0;當q是真命題時,有Δ=m2-4<0,-2<m<2.依題意知p,q均為假命題,因此由p,q均為假命題得

則m≥2.A方法技巧根據(jù)復合命題的真假求參數(shù)范圍的步驟(1)先求出每個簡單命題是真命題時參數(shù)的取值范圍;(2)再根據(jù)復合命題的真假確定各個簡單命題的真假情況(有時不一定

只有一種情況);(3)最后由(2)的結(jié)果求出滿足條件的參數(shù)取值范圍.3-1若本例中的條件“p∨q為假命題”變?yōu)椤皃∧(?q)為真命題”,其

他條件不變,求實數(shù)m的取值范圍.解析由p∧(?q)為真命題,知p為真命題且q為假命題.p為真命題,則m<0,q為假命題,則m≥2或m≤-2.所以m≤-2,即實數(shù)m的取值范圍為(-∞,-2].3-2給定命題p:對任意實數(shù)x都有ax2+ax+1>0成立;q:關于x的方