2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量8.2空間點直線平面之間的位置關(guān)系講義理蘇教版

§8.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.四個公理公理1：如果一條直線上的

在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi).公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經(jīng)過這個公共點的

.公理3：經(jīng)過

的三點，有且只有一個平面.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相

.知識梳理兩點一條直線不在同一條直線上平行2.直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類平行相交任何(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′∥a，b′∥b，把直線a′與b′所成的

叫做異面直線a，b所成的角.②范圍：

.銳角(或直角)3.直線與平面的位置關(guān)系有

、

、______

三種情況.4.平面與平面的位置關(guān)系有

、

兩種情況.5.等角定理如果一個角的兩邊和另一個角的

，那么這兩個角相等.直線在平面內(nèi)直線與平面相交直線與平面平行平行相交兩邊分別平行并且方向相同知識拓展1.唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.2.異面直線的判定定理經(jīng)過平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線互為異面直線.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)如果兩個不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a.(

)(2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線.(

)(3)兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.(

)(4)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.(

)(5)沒有公共點的兩條直線是異面直線.(

)√××√×考點自測1.下列命題中正確的個數(shù)為____.①梯形可以確定一個平面；②若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.答案解析②中兩直線可以平行、相交或異面，④中若三個點在同一條直線上，則兩個平面相交，①③正確.22.(2016·無錫模擬)已知a，b，c是空間的三條直線，給出下列四個命題：①若a⊥b，b⊥c，則a⊥c；②若a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c也是異面直線；③若a，b相交，b，c相交，則a，c也相交；④若a，b共面，b，c共面，則a，c也共面.其中真命題的個數(shù)是_____.答案03.已知l，m，n為不同的直線，α，β，γ為不同的平面，則下列判斷正確的有______.①若m∥α，n∥α，則m∥n；②若m⊥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n；③若α∩β＝l，m∥α，m∥β，則m∥l；④若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，則l⊥α.③答案解析m，n可能的位置關(guān)系為平行，相交，異面，故①錯誤；根據(jù)面面垂直與線面平行的性質(zhì)可知②錯誤；根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知③正確；若m∥n，根據(jù)線面垂直的判定可知④錯誤，故只有③正確.4.(教材改編)如圖所示，已知在長方體ABCD－EFGH中，AB＝

，AD＝

，AE＝2，則BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是______.答案解析45°60°∵BC與EG所成的角等于EG與FG所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝

＝1，∴∠EGF＝45°，∵AE與BG所成的角等于BF與BG所成的角即∠GBF，∴∠GBF＝60°.5.已知空間四邊形ABCD中，M、N分別為AB、CD的中點，則下列判斷：①M(fèi)N≥(AC＋BD)；②MN>(AC＋BD)；③MN＝(AC＋BD)；④MN<(AC＋BD).其中正確的是______.答案解析④如圖，取BC的中點O，連結(jié)MO，NO，MN，則OM＝

AC，ON＝

BD，在△MON中，MN<OM＋ON＝(AC＋BD)，∴④正確.題型分類深度剖析題型一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用例1

(1)(2016·山東)已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的___________條件.答案解析充分不必要若直線a和直線b相交，則平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直線a和直線b可能平行或異面或相交.(2)已知空間四邊形ABCD(如圖所示)，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別是BC、CD上的點，且CG＝

BC，CH＝

DC.求證：①E、F、G、H四點共面；證明連結(jié)EF，GH，如圖所示，∵E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，∴EF∥BD.又∵CG＝

BC，CH＝

DC，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四點共面.∴GH∥BD，②三直線FH、EG、AC共點.證明易知FH與直線AC不平行，但共面，∴設(shè)FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG，∴FH、EG、AC共點.幾何畫板展示共面、共線、共點問題的證明(1)證明點或線共面問題的兩種方法：①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.(2)證明點共線問題的兩種方法：①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②直接證明這些點都在同一條特定直線上.(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.思維升華跟蹤訓(xùn)練1如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝

AD，BE∥AF且BE＝

AF，G、H分別為FA、FD的中點.(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；證明由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綊

AD.又BC綊

AD，∴GH綊BC.∴四邊形BCHG為平行四邊形.(2)C、D、F、E四點是否共面？為什么？解答∵BE綊

AF，G是FA的中點，∴BE綊FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面.又D∈FH，∴C、D、F、E四點共面.題型二判斷空間兩直線的位置關(guān)系例2

(1)(2015·廣東改編)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是____.①l與l1，l2都不相交；②l與l1，l2都相交；③l至多與l1，l2中的一條相交；④l至少與l1，l2中的一條相交.答案解析④若l與l1，l2都不相交，則l∥l1，l∥l2，∴l(xiāng)1∥l2，這與l1和l2異面矛盾，∴l(xiāng)至少與l1，l2中的一條相交.(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列判斷錯誤的是____.①M(fèi)N與CC1垂直；②MN與AC垂直；③MN與BD平行；

④MN與A1B1平行.④連結(jié)B1C，B1D1，如圖所示，則點M是B1C的中點，MN是△B1CD1的中位線，∴MN∥B1D1，又BD∥B1D1，∴MN∥BD.∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC.又∵A1B1與B1D1相交，∴MN與A1B1不平行.答案解析幾何畫板展示(3)在圖中，G、N、M、H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有______.(填上所有正確答案的序號)答案解析②④圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G、H、N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連結(jié)MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G、M、N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面.所以圖②④中GH與MN異面.空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定.對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知a，b，c為三條不重合的直線，有下列結(jié)論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c.其中正確的個數(shù)為____.答案解析1在空間中，若a⊥b，a⊥c，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以①②錯，③顯然成立.(2)如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，點M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠，有以下四個結(jié)論：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN與A1C1是異面直線.其中正確結(jié)論的序號是_______.(注：把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上)答案解析①③過N作NP⊥BB1于點P，連結(jié)MP，可證AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN，①正確，過M、N分別作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于點R，S，則當(dāng)M不是AB1的中點、N不是BC1的中點時，直線A1C1與直線RS相交；當(dāng)M、N分別是AB1、BC1的中點時，A1C1∥RS，∴A1C1與MN可以異面，也可以平行，故②④錯誤.由①正確知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥平面A1B1C1D1，故③正確.綜上所述，其中正確的序號是①③.題型三求兩條異面直線所成的角例3

(2016·南京模擬)如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為___.答案解析如圖，將原圖補(bǔ)成正方體ABCD－QGHP，連結(jié)GP，則GP∥BD，所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝.引申探究在本例條件下，若E，F(xiàn)，M分別是AB，BC，PQ的中點，異面直線EM與AF所成的角為θ，求cos

θ的值.解答設(shè)N為BF的中點，連結(jié)EN，MN，則∠MEN是異面直線EM與AF所成的角或其補(bǔ)角.不妨設(shè)正方形ABCD和ADPQ的邊長為4，在△MEN中，由余弦定理得即cos

θ＝.用平移法求異面直線所成的角的三步法(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(2016·鹽城模擬)已知正四面體ABCD中，E是AB的中點，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為____.答案解析畫出正四面體ABCD的直觀圖，如圖所示.設(shè)其棱長為2，取AD的中點F，連結(jié)EF，設(shè)EF的中點為O，連結(jié)CO，則EF∥BD，則∠FEC就是異面直線CE與BD所成的角.△ABC為等邊三角形，則CE⊥AB，易得CE＝

，同理可得CF＝

，故CE＝CF.因為OE＝OF，所以CO⊥EF.所以cos∠FEC＝.典例已知m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，有下列四個命題：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n.其中所有正確的命題是______.構(gòu)造模型判斷空間線面位置關(guān)系思想與方法系列16思想方法指導(dǎo)答案解析①④本題可通過構(gòu)造模型法完成，構(gòu)造法實質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造符合題意的直觀模型，然后將問題利用模型直觀地作出判斷，這樣減少了抽象性，避免了因考慮不全面而導(dǎo)致解題錯誤.對于線面、面面平行、垂直的位置關(guān)系的判定，可構(gòu)造長方體或正方體化抽象為直觀去判斷.返回借助于長方體模型來解決本題，對于①，可以得到平面α、β互相垂直，如圖(1)所示，故①正確；對于②，平面α、β可能垂直，如圖(2)所示，故②不正確；對于③，平面α、β可能垂直，如圖(3)所示，故③不正確；對于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因為n∥β，所以過n作平面γ，且γ∩β＝g，如圖(4)所示，所以n與交線g平行，因為m⊥g，所以m⊥n，故④正確.返回課時作業(yè)123456789101112131.設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，a?α，b⊥β，則“α∥β”是“a⊥b”的___________條件.答案解析充分不必要若a?α，b⊥β，α∥β，則由α∥β，b⊥β?b⊥α，又a?α，所以a⊥b；若a⊥b，a?α，b⊥β，則b⊥α或b∥α或b?α，此時α∥β或α與β相交，所以“α∥β”是“a⊥b”的充分不必要條件.2.(2016·南京、鹽城一模)現(xiàn)有如下命題：①過平面外一點有且只有一條直線與該平面垂直；②過平面外一點有且只有一條直線與該平面平行；③如果兩個平行平面和第三個平面相交，那么所得的兩條交線平行；④如果兩個平面相互垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點且垂直于第二個平面的直線必在第一個平面內(nèi).其中正確的命題是_______.(填序號)答案解析①③④過平面外一點有無數(shù)條直線與該平面平行，故②錯.123456789101112133.(2016·鎮(zhèn)江模擬)設(shè)b，c表示兩條直線，α，β表示兩個平面，現(xiàn)給出下列命題：①若b?α，c∥α，則b∥c；

②若b?α，b∥c，則c∥α；③若c∥α，α⊥β，則c⊥β；

④若c∥α，c⊥β，則α⊥β.其中正確的命題是______.答案解析④①中直線b，c平行或異面，則①錯誤；②中c∥α或c?α，則②錯誤；③中c，β的位置關(guān)系可能平行、相交或者直線在平面上，則③錯誤；由線面平行的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、面面垂直的判定定理可知④正確，故正確命題是④.123456789101112134.在四面體ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF與HG交于點M，則下列命題正確的有____.①M(fèi)一定在直線AC上；②M一定在直線BD上；③M可能在AC上，也可能在BD上；④M既不在AC上，也不在BD上.答案解析①由于EF∩HG＝M，且EF?平面ABC，HG?平面ACD，所以點M為平面ABC與平面ACD的一個公共點，而這兩個平面的交線為AC，所以點M一定在直線AC上，故①正確.123456789101112135.四棱錐P－ABCD的所有側(cè)棱長都為

，底面ABCD是邊長為2的正方形，則CD與PA所成角的余弦值為_____.答案解析因為四邊形ABCD為正方形，故CD∥AB，則CD與PA所成的角即為AB與PA所成的角，即為∠PAB.在△PAB內(nèi)，PB＝PA＝

，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝123456789101112136.(2016·常州模擬)在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，既與AB共面又與CC1共面的棱有_____條.答案解析5如圖，有5條.其為BC，AA1，CD，C1D1，BB1.123456789101112137.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面為直角三角形.∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝

，P是BC1上一動點，則CP＋PA1的最小值為____.答案解析12345678910111213連結(jié)A1B，將△A1BC1與△CBC1同時展開形成一個平面四邊形A1BCC1，則此時對角線CP＋PA1＝A1C達(dá)到最小，在等腰直角三角形△BCC1中，BC1＝2，∠CC1B＝45°，在△A1BC1中，A1B＝

，A1C1＝6，BC1＝2，

＝A1B2，即∠A1C1B＝90°.對于展開形成的四邊形A1BCC1，在△A1C1C中，C1C＝

，A1C1＝6，∠A1C1C＝135°，由余弦定理有，CP＋PA1＝A1C＝123456789101112138.如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點，在這個正四面體中，①GH與EF平行；

②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；

④DE與MN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是_______.答案解析②③④把正四面體的平面展開圖還原，如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.123456789101112139.(2015·浙江)如圖，三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別是AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是___.答案解析12345678910111213如圖所示，連結(jié)DN，取線段DN的中點K，連結(jié)MK，CK.∵M(jìn)為AD的中點，∴MK∥AN，∴∠KMC為異面直線AN，CM所成的角.∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N為BC的中點，由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝

，在Rt△CKN中，CK＝在△CKM中，由余弦定理，得12345678910111213*10.(2017·泰州質(zhì)檢)如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻折過程中，下面四個命題中不正確的是_____.①BM是定值；②點M在某個球面上運(yùn)動；③存在某個位置，使DE⊥A1C；④存在某個位置，使MB∥平面A1DE.答案解析③12345678910111213取DC中點F，連結(jié)MF，BF，MF∥A1D且MF＝

A1D，F(xiàn)B∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B為圓心，MB為半徑的球上，可得①②正確；由MF∥A1D與FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正確；A1C在平面ABCD中的投影與AC重合，AC與DE不垂直，可得③不正確.1234567891011121311.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點.求證：D1、H、O三點共線.證明12345678910111213連結(jié)BD，B1D1，如圖.則BD∩AC＝O，∵BB1綊DD1，∴四邊形BB1D1D為平行四邊形，又H∈B1D，B1D?平面BB1D1D，則H∈平面BB1D1D，∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.即D1、H、O三點共線.1234