高中數(shù)學習題課數(shù)列求和課件新人教版A

習題課

數(shù)列求和1.鞏固等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式.2.掌握數(shù)列求和的幾種基本方法,并能應用這些方法解決一些簡單的求和問題.1.若在等差數(shù)列{an}中,首項為a1,公差為d,則其前n項和為

【做一做1】

在等差數(shù)列{an}中,a1=6,a4=0,則其前n項和Sn=

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答案:7n-n22.在等比數(shù)列{an}中,首項為a1,公比為q,則當q=1時,其前n項和為Sn=na1,當q≠1時,其前n項和為【做一做2】

在等比數(shù)列{an}中,a3=2,a6=16,則其前n項和Sn=

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數(shù)列求和的常用方法剖析(1)分組求和與并項求和如果一個數(shù)列的每一項都是由幾個獨立的項組合而成,并且各獨立項也可組成等差數(shù)列或等比數(shù)列,則該數(shù)列的前n項和可考慮拆項后利用公式求解.一個數(shù)列的前n項和中,可兩兩結合求解,則稱之為并項求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項合并求解.(2)裂項求和法對于裂項后明顯有能夠相消的項的一類數(shù)列,在求和時常用“裂項法”,分式的求和多利用此法.可用待定系數(shù)法對通項公式進行拆項,相消時應注意消去項的規(guī)律,即消去哪些項,保留哪些項.(3)錯位相減法若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,由這兩個數(shù)列的對應項乘積組成的新數(shù)列為{anbn}.當求該數(shù)列的前n項和時,常常將{anbn}的各項乘以公比q,然后錯位一項與{anbn}的同次項對應相減,即可轉化為特殊數(shù)列的求和,這種數(shù)列求和的方法稱為錯位相減法.題型一題型二題型三分組求和與并項求和

(2)求和:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1).題型一題型二題型三(2)當n為奇數(shù)時,Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+5)+(2n-3)]+(-2n+1)當n為偶數(shù)時,Sn=(-1+3)+(-5+7)+…+[(-2n+3)+(2n-1)]故Sn=(-1)nn(n∈N*).反思某些數(shù)列通過適當分組,可得出兩個或幾個等差數(shù)列或等比數(shù)列,進而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和,從而得出原數(shù)列的和.有些數(shù)列相鄰兩項的和是同一個常數(shù)或構成等差數(shù)列,這些數(shù)列的求和通常用并項法,但要注意對n分奇偶數(shù)討論.題型一題型二題型三【變式訓練1】

(1)數(shù)列{(-1)nn}的前n項和為Sn,則S2020等于(

).A.1010 B.-1010 C.2020 D.-2020解析:S2

020=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2

019+2

020)=1

010.答案:A題型一題型二題型三(2)已知數(shù)列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,….①求其通項公式an;②求這個數(shù)列的前n項和Sn.故這個數(shù)列的通項公式為an=2n-1.②Sn=a1+a2+a3+…+an=(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)題型一題型二題型三裂項相消法求和【例2】

已知等差數(shù)列{an}滿足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n項和為Sn.(1)求an及Sn;解(1)設等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,∵a3=7,a5+a7=26,∴a1+2d=7,2a1+10d=26,解得a1=3,d=2.∴an=2n+1,Sn=n(n+2).題型一題型二題型三題型一題型二題型三反思1.若數(shù)列{an}的通項能轉化為f(n+1)-f(n)的形式,常采用裂項相消法求和.2.使用裂項相消法求和時,要注意正負項相消時,消去了哪些項,保留了哪些項.3.常見的裂項相消技巧有:題型一題型二題型三【變式訓練2】

在等比數(shù)列{an}中,an>0(n∈N*),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,a3與a5的等比中項為2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設bn=5-log2an,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,設又an>0,∴a3+a5=5.又a3與a5的等比中項為2,∴a3a5=4.∵q∈(0,1),∴a3>a5,∴a3=4,a5=1.題型一題型二題型三(2)∵bn=5-log2an=5-(5-n)=n,∴bn+1-bn=1.∴數(shù)列{bn}是以b1=1為首項,1為公差的等差數(shù)列.題型一題型二題型三錯位相減法求和【例3】

已知正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項公式;分析(1)列方程組求出等差數(shù)列{an}的首項和公差;(2)利用錯位相減法求Tn.解(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,∵2a1,a2,a3+1成等比數(shù)列,題型一題型二題型三解得a1=1,d=3或a1=8,d=-4(舍去),∴an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2.題型一題型二題型三反思一般地,如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an·bn}的前n項和時,就可采用錯位相減法.在寫“Sn”與“qSn”的表達式時,應特別注意將兩式“錯項對齊”,以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式.題型一題型二題型三【變式訓練3】

已知首項都是1的兩個數(shù)列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(2)若bn=3n-1,求數(shù)列{an}的前n項和Sn.解(1)因為anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),所以數(shù)列{cn}是首項c1=1,公差d=2的等差數(shù)列,故cn=2n-1.(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,于是數(shù)列{an}前n項和Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2