2023年高中數(shù)學(xué)A版必修五全冊(cè)教案

1.1.1正弦定理?教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)

和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定

與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。過程與方法：讓學(xué)

已有的幾何知識(shí)出發(fā)，共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引

導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定

理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問

題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正

弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。?教學(xué)重

點(diǎn)正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。?教學(xué)難點(diǎn)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形

時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。?教學(xué)過程一.課題導(dǎo)入如圖1.1T,固定AABC的邊CB及NB,使邊

AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)。思考：NC的大小與它的對(duì)邊AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)

量關(guān)系？顯然，邊AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角NC的大小的增大而增大。能否用一個(gè)等式把這種

關(guān)系精確地表示出來？二.講授新課［探索

研究］在初中，我們已學(xué)過如何

解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖，在RtZXABC

中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有日=$汨力.令砒區(qū)虛

乂sinC=l=￡貝ji

C

==C從而在直角三角形ABC中，

sin/lsin8sinC

思考i：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍

然成立？（由學(xué)生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖1.1-3,

（1）當(dāng)4ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD,根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有

CD=asinB=bsinA,貝I」二」一,C同理可得

sinJsinS

---=-乂—,ba從而

sin。sin"

abc

—；=-；---=-----ACB

sin/1sinBsin。

（2）當(dāng)aABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍

然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）

思考2:還有其方法嗎？

由于涉及邊長(zhǎng)問題，從而可以考慮用向量來研究

這問題。

（證法二）：過點(diǎn)A作單位向量j,加，由向量

的加法可得AB=AA

則j.AB=j.(AC<B)

?:jAEj?AGj

ABM900-A)4^K3|COS(90O-C)

.\csinA=asinc,即

sin4sinC

同理，過點(diǎn)C作j，C,可得上

sm8sine

從而3=上二—

〈idQR\

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的

正弦的比相等，即已-匕=二

sin/1sinnsine

［珊錠理

(1)正弦定理說明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正

弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，

即存在正數(shù)k使a=ksinA,b=ksinB,c=ksinc;

(2)3=上=，等價(jià)于3=上，」=±，上二,

sinJsin/fsinCsin力sinAsinTsinZ?sin力sinC

思考：正弦定理的基本作用是什么？

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他

邊，如八作皿！

sinA:

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可

以求其他角的正弦值,如si“Jsin6

bo

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊

和角的過程叫作解三角形。

［例題分析］

例1.在ABC中，已知A=32.0。，B=81.8。，a=429cm,解三角

形。

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;

根據(jù)正弦定理，,嗎=華黑國(guó)8?！?加；

sin.4sin32.0°

根據(jù)正弦定理，”當(dāng)「2.9：、99金

評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算

器。

練習(xí)：在ABC中，已知下列條件解三角形。

(1)A=45,C=30,c=10cm,(2)A=60,B=45

c=20cm

例2.在AABC中，已知a=20cm,b=28Cm,A=40。,解三角

形(角度精確到1。，邊長(zhǎng)精確到1cm)。

解：根據(jù)正弦定理，

加8=蛆吆=生嗯=0.8999.因?yàn)?°<g<180°,所以

a20

B^64°,或氏116。

(1)當(dāng)B*4。時(shí)，C=180-A(+B4°18°0f?，

siAnSiif40

⑵當(dāng)於116°時(shí)，C480°-(A-+B)^180°-(40°+116)=24°,

3筆=型嗎工］砧M

sin/sin40°

應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角

形時(shí)，可能有兩解的情形。

課堂練習(xí)

第4頁練習(xí)第2題。

思考題：在AABC中，」一，一=，=總咐，這個(gè)k與

sinJsin8sine

AABC有什么關(guān)系？

三.課時(shí)小結(jié)(由學(xué)生歸納總結(jié))

(1)定理的表示形式：

就r磊=品=/工ind=*(*>°)；

a=ksinAb=ksinB

c=ksinC(k>0)

(2)正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。

四.課后作業(yè)：P10面1、2題。

1.1.2余弦定理(二)一、

教學(xué)目標(biāo)L知識(shí)與技能：掌握在已知三角形的兩邊及

其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無解等

情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理

的應(yīng)用。2,過程與方法：通過引導(dǎo)學(xué)生分析，解答三個(gè)

典型例子，使學(xué)生學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用正、余弦定理，三角

函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問題。3.情態(tài)

與價(jià)值：通過正、余弦定理，在解三角形問題時(shí)溝通

了三角形的有關(guān)性質(zhì)和三角函數(shù)的關(guān)系，反映了事物

之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而

從本質(zhì)上反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。二、教學(xué)重、

難點(diǎn)重點(diǎn)：在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解

三角形時(shí)，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種

類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。難點(diǎn)：正、

余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。四、教學(xué)

設(shè)想［復(fù)習(xí)引入］余弦定理及基本作用①已知三

角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊

a2=b2+e2-2b6ccos.Ab^a2-^acosc^+b^abcosdD已知三

角形的三條邊就可以求出其它角。儂介號(hào)/

38金盧儂小冬^練習(xí)］lo教材P8面第2

題2.在AABC中，若a2=b2+c2+bc,求角A（答案：A=120°）

思考。解三角形問題可以分為幾種類型？分別怎樣求

解的？求解三角形一定要知道一邊嗎？（1）已知

三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角；例如

a=12b=5,A=120（先由正弦定理求B,由三角形內(nèi)角和

求C,再由正、余弦定理求C邊）（2）已知三角形的

任意兩角及其一邊；例如A=70°fB=50fa=10

（先由三角形內(nèi)角和求角C,正弦定理求a、b）（3）

已知三角形的任意兩邊及它們的夾角；例如

a=12b=13C=50。（先由余弦定理求C邊，再由正、余

弦定理求角A、B)(4)已知三角形的三條邊。

例如a=10,b=12c=9(先由余弦定理求最大邊所對(duì)的角)

［探索研究］例1.在AABc中,已知下列條件解三角形

(l)A=30,a=10,b=20(—解)(2)A=30,

a=10,b=6(一解)

(3)A=30,a=10,b=15(二解)(4)A=120,

a=10,b=5(一解)

(5)A=120,a=10,b=15(無解)

分析：先由sin6=空也可進(jìn)一步求出B；則

夕

C=180°-(A+B)從而。=跑吆

A

歸納：(1)如果已知的A是直角或鈍角，a>b,

只有一解；

(2)如果已知的A是銳角，a>b,或@='

只有一解；

(3)如果已知的A是銳角，a<b,

1、a>bsinA,有二解；

2、a=bsinA,只有一解；

3、a<bsinA,無解。

評(píng)述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的

對(duì)角解三角形時(shí)，只有當(dāng)A為銳角且

bsinA<a<b時(shí)，有兩解；其它情況時(shí)則只有一

解或無解。

[隨堂練習(xí)1]

(1)在AABC中，已知a=80,b=100,NA=45。，試判斷

此三角形的解的情況。

⑵在ZkABC中，若笠1,號(hào)44攻。，則符合題意

的b的值有個(gè)。

(3)在AABC中,a=xcm,b=2cm,NB=45。,如果利用正

弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。

(答案：(1)有兩解；(2)0;(3)2<X<2A/2)

例2.在AABC中，已知a=7,b=5,c=3,判斷AABC

的類型。

分析：由余弦定理可知

a^^+cA是直角今z^ABC是直角三角形

a'b*A是鈍角o/\ABC是鈍角三角形

a2Vb2+c2A是銳角蟀^ABC是銳角三角形

解：?.?7>5+3,即M〉b+c,，AABC是好三角形。

[隨堂練習(xí)2]

(1)在AABC中，已知sinA:sinB:sinC=l:2:3,判斷AABC

的類型。

(2)已知△ABC潢足條件acosA二bcosB,判斷AABC的

類型。

(答案：(1)AABC是鈍角三角形；⑵△ABC是等腰或直角

三角形)

例3.在AABC中，A=6(r,b=l,面積為遒求一<"十。一

理'°、sin-+sin6+sinC

的值

分析：可利用三角形面積定理

S=[absinC=〈MsinS=]Acsin」以及正弦7E理

444

ahca+b+c

sin力sin4sinCsinl+sind+sinC

解：由S=%sinH=4得0=2,則a2=b2+c22buos=3,

即4V3,

從而一絲比—=」_=2

sin」+sin〃+sinCsin力

[隨堂練習(xí)3]

(1)在AABC中，若a=55,b=16,且此三角形的面積

s=220t3,求角C

(2)在AABC中，其三邊分別為a、b、c,且三角形

的面積§=上好，求角C

(答案：(1)60°或120。;(2)45°)

[課堂小結(jié)]

(1)在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角

形時(shí)，有兩解或一解或無解等情形；

(2)三角形各種類型的判定方法；

(3)三角形面積定理的應(yīng)用。

五、作業(yè)(課時(shí)作業(yè))

(1)在AABC中，已知b=4,c=10,B=30。，試判斷此

三角形的解的情況。

(2)設(shè)x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長(zhǎng)，求實(shí)

數(shù)X的取值范圍。

（3）在AABC中，A=60°,a=l,b+c=2,判斷AABC的

形狀。

⑷三角形的兩邊分別為3cm,5cm,它們所夾的角

的余弦為方程5x2-7x-6=0的根，

求這個(gè)三角形的面積。

1.1.2余弦定理（一）（一）教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能：掌

握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量

方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問

題。2.過程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及

其推論，并通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類

基本的解三角形問題，3.情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生在方

程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；通過三

角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，

來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。（二）教學(xué)重、

難點(diǎn)重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)

用；難點(diǎn)：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中

的作用。（三）教學(xué)設(shè)想復(fù)習(xí)舊知運(yùn)用正弦定理能解

怎樣的三角形？①已知三角形的任意兩角及其一

邊，②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，

［創(chuàng)設(shè)情景］

問題1:如果已知三角形的兩邊及其夾角，根據(jù)三角

形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確

定的三角形。從量化的角度來看，如何從已知的兩邊

和它們的夾角求三角形的另一邊和兩個(gè)角？問題2:

如何從已知兩邊和它們的夾角求三角形的另一邊？

即：如圖1.1-4,在AABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和zC,求邊c?

［探索研究］聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)和方法，可用什么途

徑來解決這個(gè)問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B

均未知，所以較難求邊c。由于涉及邊長(zhǎng)問題，從而

可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。

A如圖1.1-5,設(shè)B=a,C=b,AB=c,那么C=a-b,則

b=a-a+-2a.bCa

B從而c2=a2+b22ados

（圖L1-5）

同理可證a^t^+c^bccosAb2=a2+c22acos

余弦定理：

三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的

和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。

即a2=b2+c2-2bccosAh2=a2+c2-2accosB

c2=a2+b2-2(ibcosC

思考3:你還有其它方法證明余弦定理嗎？（兩點(diǎn)間

距離公式，三角形方法）

思考4:這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知

其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三

邊求出一角？

（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

00s介縹W8s代注土30=土爛

2nr2ac2ba

思考5:余弦定理及其推論的基本作用是什么？

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可

以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考6:勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間

的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊

平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)

系？

（由學(xué)生總結(jié)）若AABC中，C=90°,則cosc=0,這

時(shí)c?二a^b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理

是余弦定理的特例。

［例題分析］

例1.在4的中，已知a=2J3,c=J6+V2,B=60°,求b

及A

(1)解：?,HWB2ccosB=@J3)2+(J6bV2)2-2-2J3(J什72)0645°

二12KM72)2-4V3(V3+l)=8?；b=M

求4可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

布日注一??ccu/+/一『(2&)■(#+我>-(2萬)2」

用牛/六：?COS力-2bc-2x2&X(#+無)一2

/.A=60P,

解法二?.?、卷出第一又???J&WD241N

2V3<2X1,-83a<c,即O<A<90,

A=60

評(píng)述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。

思考7。在解三角形的過程中，求某一個(gè)角時(shí)既可用

正弦定理也可用余弦定理，兩種方法有什么

利弊呢?

例2.在4ABC中，已知a=134.6cm,M87.8cm5c=161.7cm,解

三角形

解：由余弦定理的推論得:

87.82+161.7--134.62

COS-%0.5543,

介FT2x87.8x161.7

A=562;

cf134.62+161.72-87.82

cosB=Q0.8398,

2ca2x134.6x161.7

B=325;

C=180-A+B-)180°(5620=904

［隨堂練習(xí)］第8頁練習(xí)第1(1)、(2)題。

［課堂小結(jié)］

(1)余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)

律，勾股定理是余弦定理的特例；

(2)余弦定理的應(yīng)用范圍：①.已知三邊求三角；

②.已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

課后作業(yè)

①課后閱讀：課本第5—6頁

②課時(shí)作業(yè)：第11頁［習(xí)題1.11A組第3題。

L2解三角形應(yīng)用舉例第二課時(shí)一、教學(xué)目標(biāo)1、

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些

有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測(cè)量的問題2、鞏固深

化解三角形實(shí)際問題的一般方法，養(yǎng)成良好的研究、

探索習(xí)慣。3、進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)

的意識(shí)及觀察、歸納、類比、概括的能力二、教學(xué)重

點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：結(jié)合實(shí)際測(cè)量工具，解決生活中的測(cè)

量高度問題難點(diǎn)：能觀察較復(fù)雜的圖形，從中找到解

決問題的關(guān)鍵條件三、教學(xué)過程I.課題導(dǎo)入提問：現(xiàn)

實(shí)生活中，人們是怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物高

度呢？又怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山

頂?shù)暮０胃叨饶?？今天我們就來共同探討這方面的

問題H.講授新課［范例講解］例1、AB是底部B不可到

達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)

量建筑物高度AB的方法。

AB長(zhǎng)的關(guān)鍵是先求AE,在AACE中，如能求出C點(diǎn)

到建筑物頂部A的距離CA,再測(cè)出由C點(diǎn)觀察A的

仰角，就可以計(jì)算出AE的長(zhǎng)。解：選擇一條水平基

線HG,使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上。由在H、

G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別是。、g,CD=a,

測(cè)角儀器的高是h,那么，在AACD中，根據(jù)正弦定

理可得AC=5AB=AE+

sinfa-

h=ACsina+h=.山”+h例2、如圖，在山頂鐵塔上B

smta-3\

處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角。=54°40°,在塔底C處測(cè)

得A處的俯角g=50r。已知鐵塔BC部分的高為27.3

m,求出山高CD（精確至Ulm）師：根據(jù)已知條件，大家能

設(shè)計(jì)出解題方案嗎？若在AABD中求CD,則關(guān)鍵需

要求出哪條邊呢？

生：需求出BD邊。

師：那如何求BD邊呢？

生：可首先求出AB邊，再根據(jù)NBAD=a求得。

解：在AABC中，NBCA=90+p,NABC=90?-a,

ZBAC=a-p,ZBAD=a.根據(jù)正弦定理，，..BC.=

sin(90+

所以AB=*(90+為=更咄在RtAABD中，得

s\n(a-fl)s\n(a-fl]

BD=ABsinzBAD=i?rcos/?sing

sin(a-S)

將測(cè)量數(shù)據(jù)代入上式，得BD=也吩空虛

sin(544O,-501')

-27.3cos50Tsin544(r-177(m)

CD=BD-BC~177-27.3=150(m)

答：山的高度約為150米.

思考：有沒有別的解法呢？若在AACD中求CD,可

先求出AC。思考如何求出AC?

例3、如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，

到A處時(shí)測(cè)得公路

南側(cè)遠(yuǎn)處一一個(gè)山頂D

在東偏南二^久15°的方

向上，行駛I5km后

到達(dá)B處，測(cè)得此

山頂在東偏南25的方向上，仰角為8，求此山的高度

CD.

思考1:欲求出CD,大家思考在哪個(gè)三角形中研究比

較適合呢？(在4BCD中)

思考2:在ABCD中，已知BD或BC都可求出CD,

根據(jù)條件，易計(jì)算出哪條邊的長(zhǎng)？(BC邊)

解：在AABC中，ZA=15,ZC=25-15=10。，根據(jù)正弦

定理，

￡=,BC=4nc=7.4524(km)

CD=BCxtanZDBC-BCxtan8-1047(m)

答：山的高度約為1047米

III.課堂練習(xí)：課本第17頁練習(xí)第1、2、3題

IV.課時(shí)小結(jié)

利用正弦定理和余弦定理來解題時(shí).，要學(xué)會(huì)審題

及根據(jù)題意畫方位圖，要懂得從所給的背景資料中進(jìn)

行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。

V.課后作業(yè)

1、作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)五

L2解三角形應(yīng)用舉例第三課時(shí)一、教學(xué)目標(biāo)1、

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理

等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)

計(jì)算角度的實(shí)際問題2、通過

綜合訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生的相應(yīng)能

力，讓學(xué)生有效、積極、主動(dòng)地參與到探究問題的過

程中來，逐步讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。3、

培養(yǎng)學(xué)生提出問題、正確分析問題、獨(dú)立解決問題的

能力，并激發(fā)學(xué)生的探索精神。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點(diǎn)找到已知條

件和所求角的關(guān)系難點(diǎn)：靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定

理解關(guān)于角度的問題三、教學(xué)過程I.課題導(dǎo)入［創(chuàng)設(shè)

情境］提問：前面我們學(xué)習(xí)了如何測(cè)量距離和高度，這

些實(shí)際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和角求其余

邊的問題。然而在實(shí)際的航海生活中，人們又會(huì)遇到新

的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方

向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這

方面的測(cè)量問題。n.講授新課［范例講解］例1、如圖，

一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5n

mile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā)，沿北偏東32?的方向

航行54.0nmile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A

出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多

少距離？（角度精確到0.1。，距離精確到0.Olnmile）

學(xué)生看圖思考并講述解題思路分析：首先根據(jù)三角形

的內(nèi)角和定理求出AC邊所對(duì)的角NABC,即可用余

弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB

邊的夾角NCAB。解：在AABC中，ZABC=180-75°+

32°=137,根據(jù)余弦定理，AC=^AB^BC2-2ABxBCxcosZABC

H67.5斗54.02-2x67.5x54.0xosl37^113.15根據(jù)正弦定

皿,BC=*sinzCAB=BCsi必BC=54.0sinl37

理‘sinNG46sinZJSCAC113.15

^0.3255,所以ZCAB=19.0°,

75。-NCAB=56.0?答：此船應(yīng)該沿北偏東56.1。的方向

航行，需要航行H3.15nmile例2、在某點(diǎn)B處測(cè)得建

筑物AE的頂端A的仰角為e,沿BE方向前進(jìn)30m,

至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2o,再繼續(xù)前進(jìn)10J3m

至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4o,求。的大小和建筑

物AE的高。（用正

弦定理求解）由已知可得在△ACD中，

AC=BC=30,AD=DC=1(W3,ZADC

=180°-40,,?誣=___^2_____?因?yàn)?/p>

sin26sin(18O-4〃)

sin4o=2sin2ocos2o:cos2o=?,得2o=30

0=15,在RtZXADE中，AE=ADsin60=15

答：所求角。為15,建筑物高度為15m

解法二：（設(shè)方程來求解）設(shè)DE=x,AE=h

在RAACE中，（10V3+x）2+h2=302在

RtZ\ADE中，x￥h』（10^5）2

兩式相減，得x=5V5,h=15:在RtAACE

中9tan2o=—4—=—

IOA/3+X3

：2O=30O,0=15°

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m

解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8,由

題意，得

ZBAC=0,NCAD=2o,AC=BC=30m,AD

=CD=1043m

在RtAACE中，§in2?=二一I在RtAADE

中，加4"=康一②

②+①得co§2，=坐,20=30。，6=15,

AE=ADsin60°=15

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m

例3、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C

處有一艘走私船，正沿南偏東75。的方向以10海里/

小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小

時(shí)的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方

向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私船？

個(gè)北

A

師：你能根據(jù)題意畫出方位圖？教師啟發(fā)學(xué)生做圖建

立數(shù)學(xué)模型

分析：這道題的關(guān)鍵是計(jì)算出三角形的各邊，即需要

引入時(shí)間這個(gè)參變量。

解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時(shí)后在B

處追上走私船，則CB=10x,AB=14x,AO9,

ZACB=75°+45°=120°

.(14x)2=92+(l0x)2-2x9x1Oxcos12o

.化簡(jiǎn)得32x2-30x-27=0,即的|,或尸片(舍去)

所以BC=10x=15,AB=14x=21,

又因?yàn)閟inzBAC=更變型=$也=在

AB21214

:NBAC=3813',或NBAO14147'(鈍角不合題意，

舍去)，

:38°13'+45=83。13'

答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東8313方向去追，經(jīng)過1.4小

時(shí)才追趕上該走私船.

評(píng)注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定

義得到兩個(gè)解，但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用題，

必須檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而

得出實(shí)際問題的解

II.課堂練習(xí)

課本第16頁練習(xí)

IV.課時(shí)小結(jié)

解三角形的應(yīng)用題時(shí)，通常會(huì)遇到兩種情況：

(1)已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，

依次利用正弦定理或余弦定理解之。

(2)已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這

時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐

步在其余的三角形中求出問題的解。

V.課后作業(yè)

《習(xí)案》作業(yè)六

L2解三角形應(yīng)用舉例第四課時(shí)一、教學(xué)目標(biāo)1、能

夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決

有關(guān)三角形的問題，掌握三角形的面積公式的簡(jiǎn)單推

導(dǎo)和應(yīng)用2、本節(jié)課補(bǔ)充了三角形新的面積公式，巧

妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時(shí)總結(jié)出該公式的特點(diǎn)，

循序漸進(jìn)地具體運(yùn)月于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證

明題體現(xiàn)了前面所學(xué)知識(shí)的生動(dòng)運(yùn)用，教師要放手讓

學(xué)生摸索，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理

和余弦定理的特點(diǎn)，能不拘一格，一題多解。只要學(xué)

生自行掌握了兩定理的特點(diǎn)，就能很快開闊思維，有

利地進(jìn)一步突破難點(diǎn)。3、讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的

知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進(jìn)一

步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)愉

悅的成功體驗(yàn)二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：推導(dǎo)三角形

的面積公式并解決簡(jiǎn)單的相關(guān)題目難點(diǎn)：利用正弦定

理、余弦定理來求證簡(jiǎn)單的證明題三、教學(xué)過程L

課題導(dǎo)入［創(chuàng)設(shè)情境］師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三

角形的面積公式，今天我們來學(xué)習(xí)它的另一個(gè)表達(dá)公

式。在4ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為

ho、hz、h,那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎?？生?/p>

h=bsinC=csinBh.=csinA=asinC

h=asinB=bsinaA師：根據(jù)以前學(xué)過的三角形面積公

式S=，ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如ho=bsinC代

入，可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，辨為bsinC,

大家能推出其它的幾個(gè)公式嗎？生：同理可得，

^IbcsinA,S=lacsinBII.講授新課［范例講解］例1、在

AABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確

到0.km?)⑴已知a=14cm,c=24cm,B=15O°;

(2)已矢口B=60°,C=45,b=4cm;(3)已矢口三

邊的長(zhǎng)分別為a=3cm,b=4cm,c=6cm分析：這是一

道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三

角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積

的知識(shí)，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，

就可以求出三角形的面積。解：略例2、如圖，在某市

進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中，要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成

室內(nèi)公園，經(jīng)過測(cè)量得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長(zhǎng)

分別為68m,88m,127m,這個(gè)區(qū)域的面積是多少？(精

確到0.Icm2)?

思考：你能把這一實(shí)際問題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？

本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，

再利用三角形的面積公式求解。

解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推

論,

CQ§B=c+/*=1272+68--88—-0.7532

2ca2x127x68

sinB=41?0.75322?0.6578應(yīng)用

S=VacsinB

S^1x68x127x0.6578^2840.38

2

答：這個(gè)區(qū)域的面積是2840.38m2。

變式練習(xí)1:已知在AABC中，NB=30,b=6,c=6J3,求

a及AABC的面積S

提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對(duì)角的問

題，注重分情況討論解的個(gè)數(shù)。

答案：a=6,S=9d5;a=12,S=18d3

例3、在AABC中，求證：

(])a2_sin2/14-sin:B

~~sin2c

(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC)

分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問

題，觀察式子左右兩邊的特點(diǎn)，用正弦定理來證明

證明：(1)根據(jù)正弦定理，可設(shè)

」_=3=二=k顯然"0,所以

siEsinC

左邊=《+/>._Nsin'"/一/B=sin\"sin、B=彳

e2k2sin2Csin2C

邊

(2)根據(jù)余弦定理的推論,

右邊=2(bc"-一”+ca上+<i*士+ab'J+M

2hclea2ab-)

=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)

=a2+b2+c2=左邊

變式練習(xí)2:判斷滿足sinC=$叱+§嗎條件的三角

COS/1+COSD

形形狀

提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為

角”或“化角為邊”（解略）直角三角形

III.課堂練習(xí)課本第18頁練習(xí)第1、2、3題

IV.課時(shí)小結(jié)

利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只

含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡(jiǎn)并考察

邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀。特別是有些

條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者

混用。

V.課后作業(yè)

《習(xí)案》作業(yè)七

1.2解三角形應(yīng)用舉例第一課時(shí)一、教學(xué)目

標(biāo)1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解

決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問題，了解常用的測(cè)量相

關(guān)術(shù)語2、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)

用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意

和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力二、教學(xué)重點(diǎn)、

難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：由實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角

形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問題的解教學(xué)難

點(diǎn)：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖三、教學(xué)設(shè)

想1、復(fù)習(xí)舊知復(fù)習(xí)提問什么是正弦定理、余弦定理

以及它們可以解決哪些類型的三角形？2、設(shè)置情境請(qǐng)

學(xué)生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”

中，我們遇到這么一個(gè)問題，“遙不可及的月亮離我

們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)

的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方

法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的距

離、高度等，存在著許多可供選擇的測(cè)量方案，比如

可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解

直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測(cè)量問題

的真實(shí)背景下，某些方法會(huì)不能實(shí)施。如因?yàn)闆]有足

夠的空間，不能用全等三角形的方法來測(cè)量，所以，

有些方法會(huì)有局限性。于是上面介紹的問題是用以前

的方法所不能解決的。今天我們開始學(xué)習(xí)正弦定理、

余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測(cè)

量距離。新課講授(1)解決實(shí)際測(cè)量問題的過程一

般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問題

里的條件和所求轉(zhuǎn)換成二角形中的已知和未知的邊、

角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解(2)例1、如圖，設(shè)A、

B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者

在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC

的距離是55m,NBAC=Si°,ZACB=75°o求A、B兩

點(diǎn)的距離（精確到0.1m）圖L2T

提問1:ZSABC中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪

個(gè)定理比較適當(dāng)？提問2:運(yùn)用該定理解題還需要那

些邊和角呢？請(qǐng)學(xué)生回答。分析：這是一道關(guān)于測(cè)量

從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離

的問題，題目條件告訴了邊AB的對(duì)角，AC為己知

邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知

角算出AC的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。解：

根據(jù)正弦定理，得5m4cg二m4cAB=

dCsinZ/4C8=55§in4C8=55sio750=$5sin75?65.7（m）

sinZIUCsin乙IBCsinflM09-5r-75°）sin54°

答？A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米變式練習(xí)：兩燈塔A、

B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察

站C的北偏東30,燈塔B在觀察站C南偏東60,

則A、B之間的距離為多少？老師指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建

立數(shù)學(xué)模型。解略：Vzakm例2、如圖，A、

B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A、

B兩點(diǎn)間距離的方法。分析：這是例1的變式題，研

究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問題。首先

需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)。根據(jù)正

弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求

出另兩邊的方法，分別求出AC和BC,再利用余弦

定理可以計(jì)算出AB的距離。

圖I—解：測(cè)量者可以在河岸

邊選定兩點(diǎn)C、D,測(cè)得CD=a,并且在C、D兩點(diǎn)分

別測(cè)得ZBCA=a,ZACD=p,ZCDB-y,NBDA=8,

在AADC和4BDC中，應(yīng)用正弦定理得

AC=，)=催叱+切

sin(l80°sin(￡“+研

=

BCtfsin/=asiny

sin[I8(F-(a+6+sin<a+夕?力

計(jì)算出AC和BC后，再在AABC中，應(yīng)用余弦定

理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離

AB=^4C2+BC2-2ACxBCcosa

分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對(duì)不同方

法進(jìn)行對(duì)比、分析。

變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)

得ZBCA=60°,ZACD=3O,NCDB=45,NBDA=60?

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得

AB=20#

評(píng)注：可見，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可

以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，

如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的

特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計(jì)算方式。

3、學(xué)生閱讀課本4頁，了解測(cè)量中基線的概念，并找

到生活中的相應(yīng)例子。

4、課堂練習(xí)：課本第14頁練習(xí)第1、2題

5、歸納總結(jié)

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意

圖

(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與

求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)

解斜三角形的數(shù)學(xué)模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三

角形，求得數(shù)學(xué)模型的解

(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，

從而得出實(shí)際問題的解

四、課后作業(yè)

1、課本第22頁第1、2、3題

2、思考題：某人在M汽車站的北偏西20?的方向上的

A處，觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車沿公路向M站行

駛。公路的走向是M站的北偏東40。。開始時(shí)，汽

車到A的距離為31千米，汽車前進(jìn)20千米后，到

A的距離縮短了10千米。問汽車還需行駛多遠(yuǎn)，才

能到達(dá)M汽車站?

c

解：由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進(jìn)20千米后到達(dá)

B處。在AABC中，AC=31,BC=20,AB=21,由余

弦定理得

cosC=更*《4"里,

2ACBC31

則sinC=1-cosC=空,

3r'

sinC=毆

31，

所以sinZMAC=sin(120-C)=sin120cosC

-cosl20sinC=羽1

62

在AMAC中，由正弦定理得

MC=4CsinZM4C=31乂356=35

sinZAMCVTX62

7

從而有MB=MC-BC=15

答：汽車還需要行駛15千米才能到達(dá)M汽車站。

作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)三

2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法(二)教學(xué)要求：了解

數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；

會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)；理解數(shù)列

的前n項(xiàng)和與時(shí)的關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)數(shù)列的遞推公

式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).教學(xué)難點(diǎn)：理解遞推公式與通項(xiàng)

公式的關(guān)系.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)：D.以下四個(gè)數(shù)中，

是數(shù)列｛n(n+l)｝中的一項(xiàng)的是(A)A.380B.39

C32D182).設(shè)數(shù)列為V2,75,2V2,J11…則4J2是該

闞的(OA第9項(xiàng)B.第10項(xiàng)C.第11項(xiàng)

D.第12項(xiàng)3).數(shù)列1,-2,3,-4,5的一個(gè)通項(xiàng)公式為

a=(-lfno4)、圖2.1-5中的三角形稱為希爾賓斯基

(Sierpinski)三角形。在下圖4個(gè)三角形中，著色三

角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，請(qǐng)寫出這個(gè)

數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，并在直角坐標(biāo)系中畫出它的圖

象。二、探究新知(一)、觀察以下數(shù)列，并寫出其通

項(xiàng)公式：(1)1,3,5,7,9,11,-

a=2n-1(2)0,-2,-4,-6,-8,…

a=-2(n-1)(3)3,9,27,81,...

醞3'思考：除了用通項(xiàng)公式外，還有什么辦法可

以確定這些數(shù)列的每一項(xiàng)？

(l)ai=l,a2=3=l+2=ai+2,a3=5=a2+2,...,a,=a,-+2

(2)ai=0,a=a-l-2

(3)ai=3,a=3a-l

(二)定義：已知數(shù)列｛a,｝的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且

任一項(xiàng)a,與它的前一項(xiàng)a,(或前幾項(xiàng))間的

關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，這個(gè)公式就叫

做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.

練習(xí)：運(yùn)用遞推公式確定一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)：

(1)2,5,8,11,?…ai=2,a=a-

l+3(n>2)

(2)1,1,2,3,5,8,13,21,―

ai=l,a2=l,a,=a-+a-2(n>3)

例1:已知數(shù)列｛a,｝的第一項(xiàng)是1,以后的各項(xiàng)由公式

=給出，寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng).

%

解:1AC

若記數(shù)列E｝的前n項(xiàng)之和為S,,貝憶(〃-2)

S](〃=1)

練習(xí)：已知數(shù)列｛&｝的前n項(xiàng)和

為：(1)S,=2層n;(2)SR%i+l,求數(shù)列(&｝的通項(xiàng)公式.

例2.已知&i=2,a=a,-4,求a,?

解法一:可以與出：31=2初=223=6,34=101..,雙^^1得：

a,=2+(n-1)(-4)=2-4(n-1)

觀察法

解法二：

由題設(shè)：a-a,=-4,

.?a-a---4

a-l-a,-2=-4

a-2-a「3=-4一累

a2-ai=-4

相加得：a,-ai=-4(n-l)

an=2-4(n-l)

加法

例3:已知a〕=2,a=2a2,求

解法一：

解法二：------迭乘法

由a=2a,

ai=2,a2=2x2=22,

a3=2x22=23,...,.??%=2%」,即2=2

觀察可得a。=2"—

?-……=

%

三、課堂小結(jié)：???31?2”」=2"

1.遞推公式的概念；

2.遞推公式與數(shù)列的通項(xiàng)公式的區(qū)別是：

(1)通項(xiàng)公式反映的是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，而遞

推公式反映的是相臨兩項(xiàng)(或n項(xiàng))之間的關(guān)系.

⑵對(duì)于通項(xiàng)公式，只要將公式中的n依次取1,2,3,4…

即可得到相應(yīng)的項(xiàng)，而遞推公式則要已知首項(xiàng)(或前

n項(xiàng)），才可依次求出其他項(xiàng).

3.用遞推公式求通項(xiàng)公式的方法：觀察法、累加

法、迭乘法.

四、作業(yè)

1?閱讀教材P30——33面

2.《習(xí)案》作業(yè)十

2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（一）一、教學(xué)要求：

理解數(shù)列及其有關(guān)概念；了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)

系；了解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列

的任意一項(xiàng)；對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)

的特征寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式.二、教學(xué)重點(diǎn)、教學(xué)難

點(diǎn)：重點(diǎn)：數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用.

難點(diǎn)：根據(jù)一些數(shù)列的前幾項(xiàng)，抽象、歸納出數(shù)列的

通項(xiàng)公式.三、教學(xué)過程：導(dǎo)入新課“有人說，大

自然是麒學(xué)的”“樹木的，。。。。?！保ㄒ唬?、復(fù)習(xí)準(zhǔn)

備：1?在必修①課本中，我們?cè)谥v利用二分法求方程

的近似解時(shí)，曾跟大家說過這樣一句話：“一尺之梗，

日取其半，萬世不竭”，即如果將初始量看成“1”，

畿工部“1，，

取其一半剩I，再取一半還剩7，、、、、、、，如此

下去，即得到1,g,機(jī),電通專氣2生活中的三角

形數(shù)、正方形數(shù).閱讀教材提問：這些數(shù)有什么規(guī)

律？與它所表示的圖形的序號(hào)有什么關(guān)系？（二）、

講授新課：1.教學(xué)數(shù)列C及其有關(guān)概念：（1）

234.......

三角形數(shù)：1,3,6,10,-（2）正方形

數(shù)：1,4,9,16,-（2）1,2,3,4…的倒數(shù)排

列成的一列數(shù)：

（3）-1的1次幕，2次幕，3次幕，……排列成一

列數(shù)：-1,1,-1,1,-1,ooooo（4）無窮多個(gè)1排列

成的一列數(shù)：1,1,1,1,。。。。。。有什么共同特點(diǎn)？1.

都是一列數(shù)；2.都有一定的順序①數(shù)列的概念：按

照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一

個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).辯析數(shù)列的概念：（1）“1,2,

3,4,5”與"5,4,3,2,1”是同一個(gè)數(shù)列嗎？與

“132,4,5”呢?---------數(shù)列的有

序性（2）數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)嗎？（3）數(shù)列與集合

有什么區(qū)別？集合講究：無序性、互異性、確定性，

數(shù)列講究：有序性、可重復(fù)性、確定性。

②數(shù)列中每一個(gè)數(shù)叫數(shù)列的項(xiàng)，排在第一位的數(shù)稱為

這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），排在第二位的數(shù)稱

為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)......1勝第n位的數(shù)稱為

這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng).

③數(shù)列的一般形式可以寫成a,a,a,…,a,…，簡(jiǎn)記為{a,}.

④數(shù)列的分類：（1）按項(xiàng)數(shù)分：有窮數(shù)列與無窮數(shù)列，

（2）按項(xiàng)之間的大小關(guān)系：遞增數(shù)列、

遞減數(shù)列、常數(shù)列與擺動(dòng)數(shù)列.

⑤數(shù)列中的數(shù)與它的序號(hào)有怎樣的關(guān)系？

序號(hào)可以看作自變量，數(shù)列中的數(shù)可以看作隨著變

動(dòng)的量。把數(shù)列看作函數(shù)。

即：數(shù)列可看作一個(gè)定義域是正整數(shù)集或它的有限

子集的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值對(duì)

應(yīng)的一列函數(shù)值。反過來，對(duì)于函數(shù)y=f(x),

如果fo)a=l、2、3、4)有意義,可以得到一個(gè)數(shù)

列:f(l)\f^)\f(3)\,.

如果數(shù)列｛a,｝的第n項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系可以用

一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通

項(xiàng)公式。

函數(shù)數(shù)列(特殊的

函數(shù))

定義域R或R的子集N°或它的子

集

解析式y(tǒng)=f(x)a=f(n)

圖象點(diǎn)的集合一些離散的

點(diǎn)的集合

2.應(yīng)用舉例

例1、寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)

分別是下列各數(shù)：

(1)⑵2,0,2,0.

練習(xí)：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)

通項(xiàng)公式：

(1)3,5,7,9,11,……;(2)21XX

39斶9翦9融.

W

嬴...；

(3)0,1,0,1,0,1,……;(4)1,3,3,5,5,7,

7,9,9,.........;

(5)2,—6,18,—54,162,…….

例2.寫出數(shù)列t片旌.?的一個(gè)通項(xiàng)公式，并判斷它

的增生。

思考：是不是所有的數(shù)列都存在通項(xiàng)公式？根據(jù)數(shù)列

的前幾項(xiàng)寫出的通項(xiàng)公式是唯一的嗎？

例3.根據(jù)下面數(shù)列匕,｝的通項(xiàng)公式，寫出前五項(xiàng)：

(1)%^⑵a,=(-l)”，n

您

例4.求數(shù)列｛-2n2均n+3｝中的最大項(xiàng)。

例5.已知數(shù)列｛a,｝的通項(xiàng)公式為a,二log,(r?+3)-2,求，3

是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？

三.小結(jié)：數(shù)列及其基本概念，數(shù)列通項(xiàng)公式及其應(yīng)

用.

四、鞏固練習(xí)：

1.練習(xí)：P31面1、2、題、

2.作業(yè)：《習(xí)案》九