2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用9.1導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義導(dǎo)數(shù)的運算講義

高考數(shù)學(xué)

(江蘇省專用)第九章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用§9.1導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算(2014江蘇,11,5分,0.77)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若曲線y=ax2+

(a,b為常數(shù))過點P(2,-5),且該曲線在點P處的切線與直線7x+2y+3=0平行,則a+b的值是

.A組自主命題·江蘇卷題組五年高考答案-3解析∵y=ax2+

,∴y'=2ax-

,由題意可得

解得

∴a+b=-3.考點一導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義1.(2017課標(biāo)全國Ⅰ文,14,5分)曲線y=x2+

在點(1,2)處的切線方程為

.B組

統(tǒng)一命題·省(區(qū)、市)卷題組答案

x-y+1=0解析本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.∵y=x2+

,∴y'=2x-

,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切線方程為y-2=x-1,即x-y+1=0.2.(2017天津文改編,10,5分)已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=ax-lnx的圖象在點(1,f(1))處的切線為l,則l在y

軸上的截距為

.答案1解析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線方程與截距.由題意可知f'(x)=a-

,所以f'(1)=a-1,因為f(1)=a,所以切點坐標(biāo)為(1,a),所以切線l的方程為y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1.令x=0,得y=1,即直線l在y軸上的截距為1.易錯警示不能正確求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù),而導(dǎo)致不能正確求解切線l的斜率.3.(2016課標(biāo)全國Ⅲ理,15,5分)已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=ln(-x)+3x,則曲線y=f(x)在點(1,-3)

處的切線方程是

.答案

y=-2x-1解析令x>0,則-x<0,f(-x)=lnx-3x,又f(-x)=f(x),∴f(x)=lnx-3x(x>0),則f'(x)=

-3(x>0),∴f'(1)=-2,∴在點(1,-3)處的切線方程為y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.思路分析根據(jù)函數(shù)f(x)是偶函數(shù),求出x>0時函數(shù)f(x)的解析式,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,用點斜式

求出切線方程.評析本題主要考查函數(shù)的奇偶性及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出x>0時f(x)的解析式是解題關(guān)鍵.4.(2016課標(biāo)全國Ⅲ,16,5分)已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≤0時,f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)在點(1,2)處的切

線方程是

.答案

y=2x解析當(dāng)x>0時,-x<0,f(-x)=ex-1+x,而f(-x)=f(x),所以f(x)=ex-1+x(x>0),點(1,2)在曲線y=f(x)上,易知f'(1)=2,故曲線y=f(x)在點(1,2)處的切線方程是y-2=f'(1)·(x-1),即y=2x.易錯警示注意f'(1)的求解方法,易因忽略x的取值范圍而直接求f(x)=e-x-1-x的導(dǎo)數(shù)致錯.評析本題主要考查利用函數(shù)的性質(zhì)求解析式,同時綜合考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義.屬難題.5.(2015陜西,15,5分)設(shè)曲線y=ex在點(0,1)處的切線與曲線y=

(x>0)上點P處的切線垂直,則P的坐標(biāo)為

.答案(1,1)解析∵函數(shù)y=ex的導(dǎo)函數(shù)為y'=ex,∴曲線y=ex在點(0,1)處的切線的斜率k1=e0=1.設(shè)P(x0,y0)(x0>0),∵函數(shù)y=

的導(dǎo)函數(shù)為y'=-

,∴曲線y=

(x>0)在點P處的切線的斜率k2=-

,則有k1k2=-1,即1·

=-1,解得

=1,又x0>0,∴x0=1.又∵點P在曲線y=

(x>0)上,∴y0=1,故點P的坐標(biāo)為(1,1).考點二導(dǎo)數(shù)的運算1.(2016天津,10,5分)已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex,f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f'(0)的值為

.答案3解析∵f'(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,∴f'(0)=3.2.(2014福建,20,14分)已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點A,曲線y=f(x)在點A處的切

線斜率為-1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;(2)證明:當(dāng)x>0時,x2<ex;(3)證明:對任意給定的正數(shù)c,總存在x0,使得當(dāng)x∈(x0,+∞)時,恒有x2<cex.解析解法一:(1)由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a.又f'(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2.令f'(x)=0,得x=ln2.當(dāng)x<ln2時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>ln2時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=ln2時,f(x)取得極小值,且極小值為f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4,f(x)無極大值.(2)令g(x)=ex-x2,則g'(x)=ex-2x.由(1)得g'(x)=f(x)≥f(ln2)>0,故g(x)在R上單調(diào)遞增,又g(0)=1>0,因此,當(dāng)x>0時,g(x)>g(0)>0,即x2<ex.(3)①若c≥1,則ex≤cex.又由(2)知,當(dāng)x>0時,x2<ex.所以當(dāng)x>0時,x2<cex.取x0=0,當(dāng)x∈(x0,+∞)時,恒有x2<cex.②若0<c<1,令k=

>1,要使不等式x2<cex成立,只要ex>kx2成立.而要使ex>kx2成立,則只要x>ln(kx2),只要x>2lnx+lnk成立.令h(x)=x-2lnx-lnk,則h'(x)=1-

=

,所以當(dāng)x>2時,h'(x)>0,h(x)在(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.取x0=16k>16,所以h(x)在(x0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,又h(x0)=16k-2ln(16k)-lnk=8(k-ln2)+3(k-lnk)+5k,易知k>lnk,k>ln2,5k>0,所以h(x0)>0.即存在x0=

,當(dāng)x∈(x0,+∞)時,恒有x2<cex.綜上,對任意給定的正數(shù)c,總存在x0,當(dāng)x∈(x0,+∞)時,恒有x2<cex.解法二:(1)同解法一.(2)同解法一.(3)對任意給定的正數(shù)c,取x0=

,由(2)知,當(dāng)x>0時,ex>x2,所以ex=

·

>

,當(dāng)x>x0時,ex>

>

=

x2,因此,對任意給定的正數(shù)c,總存在x0,當(dāng)x∈(x0,+∞)時,恒有x2<cex.解法三:(1)同解法一.(2)同解法一.(3)首先證明當(dāng)x∈(0,+∞)時,恒有

x3<ex.證明如下:令h(x)=

x3-ex,則h'(x)=x2-ex.由(2)知,當(dāng)x>0時,x2<ex,從而h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以h(x)<h(0)=-1<0,即

x3<ex.取x0=

,當(dāng)x>x0時,有

x2<

x3<ex.因此,對任意給定的正數(shù)c,總存在x0,當(dāng)x∈(x0,+∞)時,恒有x2<cex.注:對c的分類可有不同的方式,只要解法正確,均相應(yīng)給分.評析本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、全稱量詞與存在量詞

等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力,考查函數(shù)與方程思想、有限與

無限思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想.3.(2013福建理,17,13分)已知函數(shù)f(x)=x-alnx(a∈R).(1)當(dāng)a=2時,求曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)的極值.解析函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=1-

.(1)當(dāng)a=2時,f(x)=x-2lnx,f'(x)=1-

(x>0),因而f(1)=1,f'(1)=-1,所以曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f'(x)=1-

=

,x>0知:①當(dāng)a≤0時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)為(0,+∞)上的增函數(shù),函數(shù)f(x)無極值;②當(dāng)a>0時,由f'(x)=0,解得x=a.又當(dāng)x∈(0,a)時,f'(x)<0;當(dāng)x∈(a,+∞)時,f'(x)>0,從而函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值,且極小值為f(a)=a-alna,無極大值.綜上,當(dāng)a≤0時,函數(shù)f(x)無極值;當(dāng)a>0時,函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值a-alna,無極大值.評析本題主要考查函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查函數(shù)與方

程思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.1.(2013廣東理,10,5分)若曲線y=kx+lnx在點(1,k)處的切線平行于x軸,則k=

.C組教師專用題組答案-1解析令f(x)=kx+lnx,則f'(x)=k+

,f'(1)=k+1,由題意可知f'(1)=0,即k+1=0,∴k=-1.2.(2013北京理,18,13分)設(shè)L為曲線C:y=

在點(1,0)處的切線.(1)求L的方程;(2)證明:除切點(1,0)之外,曲線C在直線L的下方.解析(1)設(shè)f(x)=

,則f'(x)=

.所以f'(1)=1.所以L的方程為y=x-1.(2)證明:令g(x)=x-1-f(x),則除切點之外,曲線C在直線L的下方等價于g(x)>0(?x>0,x≠1).g(x)滿足

g(1)=0,且g'(x)=1-f'(x)=

.當(dāng)0<x<1時,x2-1<0,lnx<0,所以g'(x)<0,故g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>1時,x2-1>0,lnx>0,所以g'(x)>0,故g(x)單調(diào)遞增.所以,g(x)>g(1)=0(?x>0,x≠1).所以除切點之外,曲線C在直線L的下方.一、填空題(每題5分,共25分)1.(2017南通、泰州高三第一次調(diào)研測試)已知兩曲線f(x)=2sinx,g(x)=acosx,x∈

相交于點P.若兩曲線在點P處的切線互相垂直,則實數(shù)a的值為

.三年模擬A組2015—2017年高考模擬·基礎(chǔ)題組(時間：45分鐘分值：50分)答案

解析

f'(x)=2cosx,g'(x)=-asinx,設(shè)P(x1,y1),由題設(shè)可得

解得sinx1=

,cosx1=

,a=

.2.(2017泰州中學(xué)第一次質(zhì)量檢測)若直線y=x+b是曲線y=xlnx的一條切線,則實數(shù)b=

.答案-1解析

y'=lnx+1,設(shè)切點為(x1,y1),則由題意可知lnx1+1=1,解得x1=1,所以y1=0=1+b,解得b=-1.3.(2016江蘇揚州中學(xué)期中,11)若x軸是曲線f(x)=lnx-kx+3的一條切線,則k=

.答案

e2

解析由f(x)=lnx-kx+3得f'(x)=

-k,設(shè)點M(x0,y0)是曲線f(x)上一點,則曲線f(x)=lnx-kx+3在點M處的切線方程為y-(lnx0-kx0+3)=

(x-x0),∵x軸是曲線f(x)=lnx-kx+3的一條切線,∴

解得k=e2.4.(2016江蘇南通一模,13)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l與曲線y=x2(x>0)和y=x3(x>0)均相切,切

點分別為A(x1,y1)和B(x2,y2),則

=

.答案

解析由題設(shè)知曲線y=x2在A(x1,y1)處的切線方程為y=2x1x-

,曲線y=x3在B(x2,y2)處的切線方程為y=3

x-2

.所以

解得x1=

,x2=

.所以

=

.5.(2015江蘇常州一模,9)曲線y=x-cosx在點

處的切線方程為

.答案2x-y-

=0解析∵y=x-cosx,∴y'=1+sinx.∴y'

=2,∴切線方程為y-

=2

,即2x-y-

=0.二、解答題(共25分)6.(2016江蘇揚州中學(xué)模擬,19)已知函數(shù)f(x)=x3+

x2+ax+b(a,b為常數(shù)),其圖象是曲線C.(1)當(dāng)a=-2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若存在唯一的實數(shù)x0,使得f(x0)=x0與f'(x0)=0同時成立,求實數(shù)b的取值范圍;(3)已知點A為曲線C上的動點,在點A處作曲線C的切線l1與曲線C交于另一點B,在點B處作曲線C

的切線l2,設(shè)切線l1,l2的斜率分別為k1,k2.問:是否存在常數(shù)λ,使得k2=λk1?若存在,求出λ的值;若不存

在,請說明理由.解析(1)當(dāng)a=-2時,f'(x)=3x2+5x-2=(3x-1)(x+2).令f'(x)<0,解得-2<x<

,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

.(2)f'(x)=3x2+5x+a,由題意知

消去a,得2

+

+x0-b=0有唯一解.令g(x)=2x3+

x2+x,則g'(x)=6x2+5x+1=(2x+1)(3x+1),所以g(x)在區(qū)間

,

上是增函數(shù),在

上是減函數(shù),又g

=-

,g

=-

,故實數(shù)b的取值范圍是

∪

.(3)設(shè)A(x1,f(x1)),則曲線C在點A處的切線方程為y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),與曲線C的方程y=f(x)聯(lián)立,得f(x)-f(x1)=f'(x1)(x-x1),即(x-x1)2

=0,所以B點的橫坐標(biāo)xB=-

.由題意知,k1=f'(x1)=3

+5x1+a,k2=f'

=12

+20x1+

+a,若存在常數(shù)λ,使得k2=λk1,則12

+20x1+

+a=λ(3

+5x1+a),即存在常數(shù)λ,使得(4-λ)(3

+5x1)=(λ-1)a-

,所以

解得λ=4,a=

.故當(dāng)a=

時,存在常數(shù)λ=4,使k2=4k1;當(dāng)a≠

時,不存在常數(shù)λ,使k2=λk1.7.(2015南京、鹽城二模,19)已知函數(shù)f(x)=1+lnx-

,其中k為常數(shù).(1)若k=0,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)若k=5,求證:f(x)有且僅有兩個零點;(3)若k為整數(shù),且當(dāng)x>2時,f(x)>0恒成立,求k的最大值.解析(1)當(dāng)k=0時,f(x)=1+lnx.f'(x)=

,從而f'(1)=1.又f(1)=1,所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-1=x-1,即x-y=0.(2)證明:當(dāng)k=5時,f(x)=lnx+

-4(x>0).f'(x)=

,從而當(dāng)x∈(0,10)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(10,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=10時,f(x)取得最小值.因為f(10)=ln10-3<0,f(1)=6>0,所以f(x)在(1,10)上有一個零點.因為f(e4)=4+

-4>0,所以f(x)在(10,e4)上有一個零點.結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)有且僅有兩個零點.(3)由題意知,1+lnx-

>0對x∈(2,+∞)恒成立,即k<

對x∈(2,+∞)恒成立.令h(x)=

(x>2),則h'(x)=

.設(shè)v(x)=x-2lnx-4,則v'(x)=

.當(dāng)x∈(2,+∞)時,v'(x)>0,所以v(x)在(2,+∞)上為增函數(shù).因為v(8)=8-2ln8-4=4-2ln8<0,v(9)=5-2ln9>0,所以存在x0∈(8,9),使得v(x0)=0,即x0-2lnx0-4=0.所以當(dāng)x∈(2,x0)時,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(x0,+∞)時,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=x0時,h(x)有最小值h(x0)=

.因為lnx0=

,所以h(x0)=

∈(4,4.5).所以k≤4,故整數(shù)k的最大值為4.一、填空題(每題5分,共15分)1.(2017南京、鹽城第二次模擬考試,14)已知函數(shù)f(x)=lnx+(e-a)x-b,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).若

不等式f(x)≤0恒成立,則

的最小值為

.B組2015—2017年高考模擬·綜合題組(時間：30分鐘分值：30分)答案-

解析因為f(x)=lnx+(e-a)x-b,所以f(x)≤0恒成立等價于lnx≤(a-e)x+b恒成立,可以轉(zhuǎn)化為y=lnx

的圖象恒在直線y=(a-e)x+b下方,設(shè)y=lnx的圖象在(0,+∞)上與直線y=(a-e)x+b平行的切線的切點為(x0,y0),由y=lnx得y'=

,則由導(dǎo)數(shù)幾何意義可得切線方程為y=

x+lnx0-1,要使lnx≤(a-e)x+b恒成立,則

從而

≥

=

,令h(x)=

,則h'(x)=

,令g(x)=ex+lnx,則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且g

=0,從而h(x)在

上單調(diào)遞增,在

上單調(diào)遞減,所以h(x)max=h

=-

,從而

≥-

.思路分析因為f(x)=lnx+(e-a)x-b,所以f(x)≤0恒成立等價于lnx≤(a-e)x+b恒成立,可以轉(zhuǎn)化為y=

lnx的圖象恒在直線y=(a-e)x+b下方,再利用切線和導(dǎo)數(shù)求解.2.(2017江蘇鎮(zhèn)江期末,14)已知不等式(m-n)2+(m-lnn+λ)2≥2對任意m∈R,n∈(0,+∞)恒成立,則實

數(shù)λ的取值范圍為

.答案

λ≥2

-1或λ≤-2

-1解析不等式(m-n)2+(m-lnn+λ)2≥2對任意m∈R,n∈(0,+∞)恒成立,可看作(m,m+λ),(n,lnn)兩點

的距離的平方恒大于或等于2,從而轉(zhuǎn)化為曲線y=lnx上的點到直線y=x+λ的距離的最小值大于或等于2,當(dāng)y=lnx的切線斜率為1時,y'=

=1,點(1,0)處的切線與y=x+λ平行,所以距離的最小值為

≥2,解得λ≥2

-1或λ≤-2

-1.解后反思本題考查了曲線的切線方程,考查平行線間的距離,將問題轉(zhuǎn)化為求曲線y=lnx上的

點到直線y=x+λ的距離的最小值是解題的關(guān)鍵,本題是一道中檔題.3.(2016江蘇鎮(zhèn)江聯(lián)考,11)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x+b是曲線y=alnx的切線,則當(dāng)a>0時,

實數(shù)b的最小值是

.答案-1解析由y=alnx得y'=

,設(shè)切點為M(x0,y0),則曲線y=alnx在點M(x0,y0)處的切線方程為y-alnx0=

(x-x0),即y=

x+alnx0-a,則

∴b=alna-a(a>0),b'=lna,當(dāng)0<a≤1時,b'≤0,當(dāng)a>1時,b'>0,∴當(dāng)a=1時,b取得最小值-1.二、解答題(共15分)4.(2016江蘇揚州中學(xué)質(zhì)檢,19)對于函數(shù)f(x),g(x),如果它們的圖象有公共點P,且在點P處的切線

相同,則稱函數(shù)f(x)和g(x)在點P處相切,稱點P為這兩個函數(shù)的切點.設(shè)函數(shù)f(x)