高中數(shù)學(xué)第三章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)3.6指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)增長的比較課件北師大版必修

§6指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長的比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)增長速度的比較當(dāng)a>1時(shí),指數(shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù),并且當(dāng)a越大時(shí),其函數(shù)值的增長就越快.當(dāng)a>1時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax是增函數(shù),并且當(dāng)a越小時(shí),其函數(shù)值的增長就越快.當(dāng)x>0,n>1時(shí),冪函數(shù)y=xn顯然也是增函數(shù),并且當(dāng)x>1時(shí),n越大,其函數(shù)值的增長就越快.做一做

四個(gè)函數(shù)在第一象限中的圖像如圖所示,a,b,c,d所表示的函數(shù)可能是(

)

解析:根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖像的特點(diǎn),a,c對(duì)應(yīng)的函數(shù)分別是冪指數(shù)大于1和冪指數(shù)大于0小于1的冪函數(shù).b,d對(duì)應(yīng)的函數(shù)分別為底數(shù)大于1和底數(shù)大于0小于1的指數(shù)函數(shù).答案:C思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)y=ax(a>1),y=xn(x>0,n>1)和y=logax(a>1)都是增函數(shù),且它們的增長速度是一樣的.(

)(2)函數(shù)y=2x與函數(shù)y=x3的圖像有且只有兩個(gè)交點(diǎn).(

)(3)指數(shù)函數(shù)一定比對(duì)數(shù)函數(shù)增長的快.(

)×

√×

探究一探究二探究三思想方法探究一函數(shù)增長快慢的比較

【例1】導(dǎo)學(xué)號(hào)91000139已知函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖像如圖,設(shè)兩個(gè)函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1<x2.(1)請(qǐng)指出圖中曲線C1,C2分別對(duì)應(yīng)哪一個(gè)函數(shù);(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的值,并說明理由.分析:(1)由指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)不同的增長速度可判斷曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù);(2)通過計(jì)算比較函數(shù)值的大小關(guān)系,求出a,b的值.探究一探究二探究三思想方法解:(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長速度知:C1對(duì)應(yīng)函數(shù)g(x)=x3,C2對(duì)應(yīng)函數(shù)f(x)=2x.(2)依題意知x1和x2是使兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相等的自變量x的值.當(dāng)x<x1時(shí),2x>x3,即f(x)>g(x);當(dāng)x1<x<x2時(shí),f(x)<g(x);當(dāng)x>x2時(shí),f(x)>g(x).因?yàn)閒(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,所以x1∈[1,2],即a=1.又因?yàn)閒(8)=28=256,g(8)=83=512,f(8)<g(8),f(9)=29=512,g(9)=93=729,f(9)<g(9),f(10)=210=1

024,g(10)=103=1

000,f(10)>g(10),所以x2∈[9,10],即b=9.綜上可知,a=1,b=9.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法變式訓(xùn)練1

(1)下列所給函數(shù),增長最快的是(

)

A.y=5x

B.y=x5C.y=log5x

D.y=5x(2)以下是三個(gè)函數(shù)y1,y2,y3隨x變化的函數(shù)值列表:其中關(guān)于x成指數(shù)函數(shù)變化的函數(shù)是

.

探究一探究二探究三思想方法解析:(1)在一次函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)中,增長最快的是指數(shù)函數(shù)y=5x,故選D.(2)指數(shù)函數(shù)中的增長量是成倍增加的,函數(shù)y1中增長量分別為6,18,54,162,486,1

458,4

374,…,是成倍增加的,因而y1呈指數(shù)變化.答案:(1)D

(2)y1探究一探究二探究三思想方法探究二根據(jù)函數(shù)的不同增長特點(diǎn)比較大小

【例2】

比較下列各組數(shù)的大小:分析:先觀察各組數(shù)值的特點(diǎn),然后考慮構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用函數(shù)的性質(zhì)或圖像進(jìn)行求解.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法(2)令函數(shù)y1=x2,y2=log2x,y3=2x.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出上述三個(gè)函數(shù)的圖像如圖,然后作直線x=0.3,此直線必與上述三個(gè)函數(shù)圖像相交.由圖像知log20.3<0.32<20.3.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法變式訓(xùn)練2

設(shè),b=log23,

,則

(

)

A.a<b<c

B.a<c<bC.b<c<a

D.b<a<c解析:由已知結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)圖像和指數(shù)函數(shù)圖像得到a<0,0<c<1,而b=log23>1,因此選B.答案:B探究一探究二探究三思想方法探究三函數(shù)不同增長特點(diǎn)在實(shí)際問題中的應(yīng)用

【例3】

導(dǎo)學(xué)號(hào)91000140某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo),準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案:在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí),按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),且獎(jiǎng)金y(萬元)隨銷售利潤x(萬元)的增加而增加,但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元,同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個(gè)模型符合該公司要求?解:借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x在第一象限的圖像如圖所示:探究一探究二探究三思想方法觀察圖像發(fā)現(xiàn),在區(qū)間[10,1

000]上模型y=0.25x,y=1.002x的圖像都有一部分在y=5的上方,這說明只有按模型y=log7x+1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)才符合公司要求,下面通過計(jì)算確認(rèn)上述判斷.首先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元.對(duì)于模型y=0.25x,它在區(qū)間[10,1

000]上是單調(diào)遞增的,當(dāng)x∈(20,1

000]時(shí),y>5,因此該模型不符合要求.對(duì)于模型y=1.002x,利用計(jì)算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x在(-∞,+∞)上是增函數(shù),故當(dāng)x∈(806,1

000]時(shí),y>5,因此,也不符合要求.對(duì)于模型y=log7x+1,它在區(qū)間[10,1

000]上是增加的,且當(dāng)x=1

000時(shí),y=log71

000+1≈4.55<5,所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元的要求.探究一探究二探究三思想方法再計(jì)算按模型y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí),獎(jiǎng)金是否超過利潤x的25%,即當(dāng)x∈[10,1

000]時(shí),利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作f(x)=log7x+1-0.25x的圖像(圖略),由圖像可知f(x)在[10,1

000]上是減函數(shù),因此f(x)<f(10)≈-0.316

7<0,即log7x+1<0.25x.所以當(dāng)x∈[10,1

000]時(shí),y<0.25x.這說明,按模型y=log7x+1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),獎(jiǎng)金不超過利潤的25%.綜上所述,模型y=log7x+1符合公司要求.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法變式訓(xùn)練3

某同學(xué)高三階段12次數(shù)學(xué)考試的成績呈現(xiàn)前幾次與后幾次均連續(xù)上升,中間幾次連續(xù)下降的趨勢.現(xiàn)有三種函數(shù)模型:①f(x)=pqx,②f(x)=logax+q,③f(x)=(x-1)(x-q)2+p(其中p,q為正常數(shù),且q>2).若要較準(zhǔn)確反映數(shù)學(xué)成績與考試次序關(guān)系,應(yīng)選

作為模擬函數(shù);若f(1)=4,f(3)=6,則所選函數(shù)f(x)的解析式為

.

解析:由于指數(shù)函數(shù)增長迅速,而對(duì)數(shù)型函數(shù)增長緩慢,因此滿足先上升后下降再上升的是f(x)=(x-1)(x-q)2+p,當(dāng)x=1時(shí),y=4且x=3時(shí),y=6,答案:③

f(x)=(x-1)(x-4)2+4探究一探究二探究三思想方法數(shù)形結(jié)合思想在比較大小中的正確應(yīng)用典例已知函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3,在同一坐標(biāo)系下作出它們的圖像,結(jié)合圖像比較f(6),g(6),f(2016),g(2016)的大小.解:列表:描點(diǎn)連線,如圖:探究一探究二探究三思想方法結(jié)合圖像及運(yùn)算可知f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2

016>x2,從圖像上可以看出,當(dāng)x1<x<x2時(shí),f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).當(dāng)x>x2時(shí),f(x)>g(x),所以f(2

016)>g(2

016).又g(2

016)>g(6),所以f(2

016)>g(2

016)>g(6)>f(6).探究一探究二探究三思想方法1234561.當(dāng)x越來越大時(shí),下列函數(shù)中,增長速度最快的應(yīng)該是

(

)A.y=100x

B.y=log100xC.y=x100

D.y=100x解析:由于指數(shù)型函數(shù)的增長是爆炸式增長,則當(dāng)x越來越大時(shí),函數(shù)y=100x的增長速度最快.答案:D1234562.下面對(duì)函數(shù)

在區(qū)間(0,+∞)上的增減情況的說法中正確的是(

)A.f(x)的增減速度越來越慢,g(x)的增減速度越來越快B.f(x)的增減速度越來越快,g(x)的增減速度越來越慢C.f(x)的增減速度越來越慢,g(x)的增減速度越來越慢D.f(x)的增減速度越來越快,g(x)的增減速度越來越快解析:由圖像可知兩個(gè)函數(shù)的增減速度都是越來越慢的.答案:C1234563.(2016河北石家莊高中模擬)為了治理沙塵暴,A市政府大力加強(qiáng)環(huán)境保護(hù),其周邊草場綠色植被面積每年都比上一年增長10.4%,那么經(jīng)過x年綠色植被的面積為y,則y=f(x)的圖像大致為(

)123456解析:由已知條件可得函數(shù)關(guān)系y=f(x)=a(1+10.4%)x,a為草場綠色植被的初始面積