2025年北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第04講 直角三角形

第04講直角三角形模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．了解直角三角形的兩個(gè)銳角互余及其逆定理；2．學(xué)會(huì)勾股定理及其逆定理；3.掌握互逆命題、互逆定理有關(guān)概念及應(yīng)用；4.學(xué)會(huì)用HL判定直角三角形全等。知識(shí)點(diǎn)1從角的角度研究直角三角形的性質(zhì)和判定思考：(1)直角三角形的兩個(gè)銳角有怎樣的關(guān)系?為什么?(2)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎?為什么?定理直角三角形的兩個(gè)銳角互余.定理有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.定理證明：(1)已知：如圖1,在Rt△ABC中，∠C=90°.求證：∠A+∠B=90°.證明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.∵∠C=90°,∴∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°.(2)已知：如圖2,在△ABC中，∠A+∠B=90°.求證：△ABC是直角三角形.證明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.∵∠A+∠B=90°,∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°.∴△ABC是直角三角形.知識(shí)點(diǎn)2從邊的角度研究直角三角形的性質(zhì)和判定1.勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.有關(guān)證明過程參見教材本節(jié)“讀一讀”.2.反過來，在一個(gè)三角形中，當(dāng)兩邊的平方和等于第三邊的平方時(shí)，我們?cè)枚攘康霓k法得出“這個(gè)三角形是直角三角形”的結(jié)論.下面我們證明這個(gè)結(jié)論已知：如圖1-12(1),在△ABC中，AB2+AC2=BC2.求證：△ABC是直角三角形.證明：如圖1-12(2),作Rt△A′B′C′,∠A'=90°,A′B′=AB,A′C′=AC,則A′B′2+A′C′2=B′C′2(勾股定理).∵AB2+AC2=BC2,∴BC2=B′C′2.∴BC=B'C∴△ABC≌△A'B'C(SSS).∴∠A=∠A'=90°(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)因此，△ABC是直角三角形.定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.知識(shí)點(diǎn)3互逆命題思考與交流：觀察上面第一個(gè)定理和第二個(gè)定理，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系?第三個(gè)定理和第四個(gè)定理呢?與同伴交流.再觀察下面三組命題：上面每組中兩個(gè)命題的條件和結(jié)論也有類似的關(guān)系嗎?與同伴交流.結(jié)論：在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題.一個(gè)命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題.如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理.例如，本節(jié)課學(xué)習(xí)的第一個(gè)定理和第二個(gè)定理就是一對(duì)互逆定理，第三個(gè)定理和第四個(gè)定理也是一對(duì)互逆定理（即勾股定理及其逆定理）.你還能舉出一些互逆定理的例子嗎?知識(shí)點(diǎn)4“HL”已知：如圖1-14,線段a,c(a<c),直角α.求作：Rt△ABC,使∠C=∠α,BC=a,AB=c.小明的作法如下：你作的直角三角形與小明作的全等嗎?定理斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等.簡(jiǎn)述為“斜邊、直角邊”或“HL”定理證明：已知：如圖1-15,在△ABC與△A′B′C′中，∠C=∠C'=90°,AB=A′B′,AC=A′C′.求證：△ABC≌△A′B′C′.證明：在△ABC中，∵∠C=90°,∴BC2=AB2-AC2(勾股定理).同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2.∵AB=A'B',AC=A'C',∴BC=B'C′.∴△ABC≌△A'B'C(SSS).考點(diǎn)一：寫出逆命題并判斷真假例1．命題“兩個(gè)全等圖形的面積相等”的逆命題是．【變式1-1】．“直角三角形的兩銳角互余．”的逆命題是，它是命題（填“真”或“假”）【變式1-2】．我們知道等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)記為“等邊對(duì)等角”，則它的逆命題是命題．（填“真”或“假”）【變式1-3】．命題“三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形”的逆命題是（“如果……那么……”的形式表示）．考點(diǎn)二：逆命題、逆定理的綜合辨析及證明例2．下列說法中正確的是（

）A．任何一個(gè)命題都有逆命題B．若原命題是假命題，則它的逆命題也是假命題C．任何一個(gè)定理都有逆定理D．若原命題是真命題，則它的逆命題也是真命題【變式2-1】．下列說法正確的有（

）①所有定理都是真命題

②真命題的逆命題是真命題③假命題的逆命題是真命題

④每個(gè)定理都有逆定理A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2-2】．已知命題：等腰三角形底邊上的中線和頂角的平分線重合．證明這個(gè)命題，并寫出它的逆命題，逆命題成立嗎？【變式2-3】．寫出定理“等腰三角形頂角的角平分線和底邊上的高線互相重合”的逆命題，并證明這個(gè)命題是真命題．逆命題：______．已知：______．求證：______．考點(diǎn)三：直角三角形的兩個(gè)銳角互余例3．在中，，，則的度數(shù)為．【變式3-1】．如圖，在中，，是中線，若，則的度數(shù)為．【變式3-2】．在中，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式3-3】．如圖，在中，，是邊上的高，，，則的長為．考點(diǎn)四：銳角互余的三角形是直角三角形例4．在中，下列哪組條件不能判定是直角三角形（

）A． B．C． D．【變式4-1】．如圖，點(diǎn)分別在上，連接，于點(diǎn)，．

(1)求的度數(shù)；(2)若，求證：．【變式4-2】．已知：如圖，在中，于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，．猜想與的關(guān)系，并說明理由．【變式4-3】．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合）．(1)若點(diǎn)在邊上，且，求證：；(2)請(qǐng)用尺子在圖中畫出的邊上的高，若，，，求的長度．考點(diǎn)五：“HL”的解答證明例5．如圖，點(diǎn)，，，在一條直線上，，，．求證：．【變式5-1】．如圖，已知，交的延長線于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，且．求證：．【變式5-2】．如圖，在中，，D為延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，且，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【變式5-3】．如圖，，是的高，且．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，，求的高．考點(diǎn)六：“HL”的概念辨析及應(yīng)用例6．如圖，因?yàn)椋?，，垂足分別為、，且，所以與全等的理由是(

)A． B． C． D．【變式6-1】．下列關(guān)于直角三角形全等的說法中，不正確的是（

）A．斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等B．有一邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等C．有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等D．有一邊和兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等【變式6-2】．如圖，，添加一個(gè)條件，可使用“”判定與全等，以下給出的條件適合的是（

）A． B． C． D．【變式6-3】．題目：“在和中，兩個(gè)三角形的高線分別為和，，，，，且．已知，求的度數(shù)．”對(duì)于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，則正確的是（

）A．只有甲答的對(duì) B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整考點(diǎn)七：利用勾股定理求解直角三角形例7．已知一個(gè)直角三角形的兩邊長分別為和，則第三邊長是（）A． B． C． D．或【變式7-1】．下列說法正確的是（

）A．若，，是的三邊，則B．若，，是的三邊，則C．若，，是的三邊，，則D．若，，是的三邊，，則【變式7-2】．如圖，在中，于點(diǎn)，，則CD的長為（

）

A． B．6 C． D．4【變式7-3】．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，則的值為（）A．24 B．18 C．12 D．9考點(diǎn)八：驗(yàn)證勾股定理及有關(guān)面積問題例8．如圖，A，B，C是三個(gè)正方形，當(dāng)?shù)拿娣e為14，的面積為19時(shí)，則的面積為．【變式8-1】．如圖是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“勾股圓方圖”（又稱趙爽弦圖），它是由四個(gè)全等的直角三角形（直角邊分別為a，b，斜邊為c）與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積為11，小正方形的面積為3，則的值為（

）A．68 B．89 C．119 D．130【變式8-2】．如圖，在四邊形ABDE中，，，點(diǎn)C是邊BD上一點(diǎn)，，，．下列結(jié)論：①；②90°；③四邊形ABDE的面積是；④；⑤該圖可以驗(yàn)證勾股定理．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【變式8-3】．下面圖形能夠驗(yàn)證勾股定理的有（）個(gè)A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)考點(diǎn)九：勾股定理的逆定理及應(yīng)用例9．若一個(gè)三角形的三邊長分別為1、3和，則這個(gè)三角形的面積是（

）A．3 B． C． D．【變式9-1】．下列各組線段中的三個(gè)長度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a＞0）；⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n為正整數(shù)，且m＞n）其中可以構(gòu)成直角三角形的有（）A．5組 B．4組 C．3組 D．2組【變式9-2】．已知某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，如圖所示，現(xiàn)計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量∠A=90°，∠CBD=90°，DB=5m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，問需要多少投入?【變式9-3】．如圖所示，已知，，，則的長為．考點(diǎn)十：折疊問題例10．如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長為（

）A．4cm B．4.75cm C．6cm D．5cm【變式10-1】．如圖，在△ABC紙片中，∠ABC=90°，將其折疊，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為DE，若AB=3cm，AC=5cm，則△ABE的周長為（

）A．4cm B．6cm C．7cm D．8cm【變式10-2】．如圖在中，，，，將沿DE折疊，使點(diǎn)剛好落在邊的中點(diǎn)處，則BD的長為．【變式10-3】．如圖，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則BD的長為（

）A．2 B． C． D．4考點(diǎn)十一：網(wǎng)格問題例11．如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，于點(diǎn)D，則AD的長為（

）A．1 B．2 C． D．【變式11-1】．已知在正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長均為1）中，格點(diǎn)（即的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處）的三條邊，，的長分別為，，．(1)在網(wǎng)格中畫出．(2)求邊上的高．【變式11-2】．如圖，每個(gè)小正方形的邊長均為，，，是小正方形的頂點(diǎn)．(1)；．(2)試判斷是什么三角形，并說明理由．【變式11-3】．如圖，在單位為1的正方形網(wǎng)格圖中有a，b，c，d四條線段，從中任取三條線段所構(gòu)成的三角形中恰好是直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)考點(diǎn)十二：勾股定理及其逆定理的解答證明問題例12．如圖，中，，，，B是延長線上的點(diǎn)，連接，若，(1)說明為直角，(2)求的長．【變式12-1】．如圖，四邊形中，，為對(duì)角線，于E，，，，．

(1)求證：；(2)求線段的長．【變式12-2】．如圖，中，，，，分別以、為直角邊向外作等腰直角和等腰直角．(1)求證：；(2)求的長．【變式12-3】．如圖，四邊形中，，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，E恰好是的中點(diǎn)，若．(1)直接寫出四邊形的周長；(2)求四邊形的面積．一、單選題1．下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A．1，2，3 B．1，1， C．2，3，4 D．7，15，172．如圖，在中，，，，求的長是（

）A．5 B．8 C．4 D．73．下列定理中，有逆定理的是(

)A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 B．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等C．等底等高的兩個(gè)三角形面積相等 D．對(duì)頂角相等4．如圖，已知點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，∠B=∠E=90°，AB=DE，若添加一個(gè)條件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的條件可以是（）

A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF5．如圖，的頂點(diǎn)在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，于點(diǎn)D，則的長為（

）A． B．4 C． D．6．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F(xiàn)分別是BC，AC上的點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，CF＝BE，DF＝DB，則∠ADE的度數(shù)為（

）A．40° B．50° C．70° D．71°7．如圖，中，，延長到C，使分別過點(diǎn)C、E作、的垂線，兩線相交于點(diǎn)D，連接AD．若，，則AD的長是（

）A．5 B．7 C． D．無法確定8．如圖，在中，，將邊沿翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接交于點(diǎn)D．則的最大值為（

）A． B． C． D．二、填空題9．如果兩個(gè)三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等，其逆命題是，這個(gè)逆命題是命題．10．如圖，，，，要根據(jù)“”證明，則還需要添加一個(gè)條件是．

11．如圖，，，，則°．12．如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，則BC邊上的高為．13．如圖所示，已知在中，，分別以，為直徑作半圓，面積分別記為，則的值等于．14．如圖是由九個(gè)邊長為1的小正方形拼成的大正方形，圖中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度數(shù)為．三、解答題15．已知，如圖，中，平分，，，垂足分別為E、F，且．求證：．16．已知命題“等腰三角形兩腰上的高線相等”．（1）寫出此命題的逆命題；（2）逆命題是真命題還是假命題？若為真命題，請(qǐng)畫出圖形，寫出“已知”，求證并證明；若為假命題，請(qǐng)舉反例說明．17．如圖，在與中，，，與交于點(diǎn)F，且，求證：(1)；(2)．18．問題背景：在中，已知，求這個(gè)三角形的面積．一名同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)（即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖1所示，這樣不需，的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．(1)請(qǐng)你直接寫出的面積_________；思維拓展：(2)我們把上述求面積的方法叫做構(gòu)圖法，若三邊的長分別為，請(qǐng)利用圖2的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的，并求出它的面積．19．在中，，，．(1)如圖1，求點(diǎn)到邊的距離；(2)如圖2，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長；(3)如圖3，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫出當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形．20．在中，．（1）如圖1、求證：：（2）如圖2，D為AB上一點(diǎn)，連接CD，E為CD中點(diǎn)，過點(diǎn)E作于點(diǎn)E，連接，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，連接AF，若AF∥BC，F(xiàn)H=4，CH=20，BD=10，求的面積21．如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）如圖①，連接BE、CD，求證：BE＝CD；（2）如圖②，連接BD、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝5，求BD的長；（3）如圖③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C點(diǎn)恰好落在DE上，試探究CD、CE和CA之間的數(shù)量關(guān)系，并加以說明．

第04講直角三角形模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．了解直角三角形的兩個(gè)銳角互余及其逆定理；2．學(xué)會(huì)勾股定理及其逆定理；3.掌握互逆命題、互逆定理有關(guān)概念及應(yīng)用；4.學(xué)會(huì)用HL判定直角三角形全等。知識(shí)點(diǎn)1從角的角度研究直角三角形的性質(zhì)和判定思考：(1)直角三角形的兩個(gè)銳角有怎樣的關(guān)系?為什么?(2)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎?為什么?定理直角三角形的兩個(gè)銳角互余.定理有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.定理證明：(1)已知：如圖1,在Rt△ABC中，∠C=90°.求證：∠A+∠B=90°.證明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.∵∠C=90°,∴∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°.(2)已知：如圖2,在△ABC中，∠A+∠B=90°.求證：△ABC是直角三角形.證明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.∵∠A+∠B=90°,∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°.∴△ABC是直角三角形.知識(shí)點(diǎn)2從邊的角度研究直角三角形的性質(zhì)和判定1.勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.有關(guān)證明過程參見教材本節(jié)“讀一讀”.2.反過來，在一個(gè)三角形中，當(dāng)兩邊的平方和等于第三邊的平方時(shí)，我們?cè)枚攘康霓k法得出“這個(gè)三角形是直角三角形”的結(jié)論.下面我們證明這個(gè)結(jié)論已知：如圖1-12(1),在△ABC中，AB2+AC2=BC2.求證：△ABC是直角三角形.證明：如圖1-12(2),作Rt△A′B′C′,∠A'=90°,A′B′=AB,A′C′=AC,則A′B′2+A′C′2=B′C′2(勾股定理).∵AB2+AC2=BC2,∴BC2=B′C′2.∴BC=B'C∴△ABC≌△A'B'C(SSS).∴∠A=∠A'=90°(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)因此，△ABC是直角三角形.定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.知識(shí)點(diǎn)3互逆命題思考與交流：觀察上面第一個(gè)定理和第二個(gè)定理，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系?第三個(gè)定理和第四個(gè)定理呢?與同伴交流.再觀察下面三組命題：上面每組中兩個(gè)命題的條件和結(jié)論也有類似的關(guān)系嗎?與同伴交流.結(jié)論：在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題.一個(gè)命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題.如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理.例如，本節(jié)課學(xué)習(xí)的第一個(gè)定理和第二個(gè)定理就是一對(duì)互逆定理，第三個(gè)定理和第四個(gè)定理也是一對(duì)互逆定理（即勾股定理及其逆定理）.你還能舉出一些互逆定理的例子嗎?知識(shí)點(diǎn)4“HL”已知：如圖1-14,線段a,c(a<c),直角α.求作：Rt△ABC,使∠C=∠α,BC=a,AB=c.小明的作法如下：你作的直角三角形與小明作的全等嗎?定理斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等.簡(jiǎn)述為“斜邊、直角邊”或“HL”定理證明：已知：如圖1-15,在△ABC與△A′B′C′中，∠C=∠C'=90°,AB=A′B′,AC=A′C′.求證：△ABC≌△A′B′C′.證明：在△ABC中，∵∠C=90°,∴BC2=AB2-AC2(勾股定理).同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2.∵AB=A'B',AC=A'C',∴BC=B'C′.∴△ABC≌△A'B'C(SSS).考點(diǎn)一：寫出逆命題并判斷真假例1．命題“兩個(gè)全等圖形的面積相等”的逆命題是．【答案】面積相等的兩個(gè)圖形是全等形【分析】本題考查命題概念，弄清楚命題的條件和結(jié)論是寫出逆命題的關(guān)鍵．根據(jù)逆命題的定義，即可解答．【解析】解：命題“兩個(gè)全等圖形的面積相等”的逆命題是：面積相等的兩個(gè)圖形是全等形，故答案為：面積相等的兩個(gè)圖形是全等形．【變式1-1】．“直角三角形的兩銳角互余．”的逆命題是，它是命題（填“真”或“假”）【答案】如果三角形有兩個(gè)銳角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形真【分析】本題主要考查命題與定理，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題．先根據(jù)逆命題的概念寫出原命題的逆命題，再根據(jù)直角三角形的判定判斷即可．【解析】解：“直角三角形的兩銳角互余．”的逆命題是如果三角形有兩個(gè)銳角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形，是真命題，故答案為：如果三角形有兩個(gè)銳角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形；真．【變式1-2】．我們知道等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)記為“等邊對(duì)等角”，則它的逆命題是命題．（填“真”或“假”）【答案】真【分析】本題考查了命題及逆命題，先找到原命題的題設(shè)和結(jié)論，再將題設(shè)和結(jié)論互換，即可而得到原命題的逆命題，繼而也能判斷出真假，掌握互逆命題的定義是解題的關(guān)鍵．【解析】解：∵原命題的題設(shè)是：“一個(gè)三角形是等腰三角形”，結(jié)論是“這個(gè)三角形兩底角相等”，∴命題“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題是“兩個(gè)角相等三角形是等腰三角形”，是真命題，故答案為：真．【變式1-3】．命題“三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形”的逆命題是（“如果……那么……”的形式表示）．【答案】如果一個(gè)三角形是等邊三角形，那么這個(gè)三角形的三個(gè)角都相等【分析】本題考查了把命題改成“如果…，那么…”形式及逆命題的定義，關(guān)鍵是要找到什么是條件什么是結(jié)論．本命題是判斷一個(gè)三角形是等邊三角形，所以“如果”后面的是三角形具備的條件，那么后面的是“等邊三角形”這一結(jié)論【解析】解：把命題“三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形”改寫成“如果…，那么…”的形式為：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角都相等，那么這個(gè)三角形是等邊三角形，則逆命題是：如果一個(gè)三角形是等邊三角形，那么這個(gè)三角形的三個(gè)角都相等．故答案為：如果一個(gè)三角形是等邊三角形，那么這個(gè)三角形的三個(gè)角都相等考點(diǎn)二：逆命題、逆定理的綜合辨析及證明例2．下列說法中正確的是（

）A．任何一個(gè)命題都有逆命題B．若原命題是假命題，則它的逆命題也是假命題C．任何一個(gè)定理都有逆定理D．若原命題是真命題，則它的逆命題也是真命題【答案】A【分析】本題考查了命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握命題與逆命題，定理與逆定理的概念和它們的關(guān)系．根據(jù)命題與逆命題，定理與逆定理的概念逐項(xiàng)判斷．【解析】解：A、任何一個(gè)命題都有逆命題，故該選項(xiàng)正確；B、原命題是假命題，它的逆命題不一定是假命題，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不一定每個(gè)定理都有逆定理，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、一個(gè)真命題的逆命題可能是真命題，也可能是假命題，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．【變式2-1】．下列說法正確的有（

）①所有定理都是真命題

②真命題的逆命題是真命題③假命題的逆命題是真命題

④每個(gè)定理都有逆定理A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】本題考查了命題的真假、逆命題、定理及逆定理等相關(guān)命題知識(shí)．命題有真假之分，真命題的逆命題未必是真命題，假命題的逆命題也可以是真命題；根據(jù)這些知識(shí)去判斷即可．【解析】解：定理是真命題，故所有定理是真命題，故①說法正確；真命題的逆命題可以是真命題，也可以是假命題，如：若，則，此命題是真命題，但其逆命題是假命題，故②說法錯(cuò)誤；假命題的逆命題可以是真命題，也可以是假命題，如：若，則，此命題是假命題，其逆命題為：若，則，此命題是假命題，故③說法錯(cuò)誤；并不是每個(gè)定理的逆命題都是正確的，即并不是每個(gè)定理都有逆定理，故④說法錯(cuò)誤；故正確的說法只有1個(gè)；故選：A．【變式2-2】．已知命題：等腰三角形底邊上的中線和頂角的平分線重合．證明這個(gè)命題，并寫出它的逆命題，逆命題成立嗎？【答案】證明見解析，逆命題是“一邊上的中線和該邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是等腰三角形”，逆命題成立【分析】根據(jù)證明的步驟，先寫出已知、求證，再寫出證明過程，最后寫出逆命題即可．【解析】解：已知：如圖，中，，是邊上的中線，求證：．證明：是邊上的中線，，在和中，，，，當(dāng)是的平分線時(shí)，，等腰三角形底邊上的中線和頂角的平分線重合，它的逆命題是“一邊上的中線和該邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是等腰三角形”，逆命題成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題與定理，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，判斷命題的真假，關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．【變式2-3】．寫出定理“等腰三角形頂角的角平分線和底邊上的高線互相重合”的逆命題，并證明這個(gè)命題是真命題．逆命題：______．已知：______．求證：______．【答案】一邊上的高線與這邊對(duì)角的角平分線重合的三角形是等腰三角形；如圖所示，，是的角平分線；是等腰三角形；證明見解析．【分析】根據(jù)逆命題可直接進(jìn)行解答，然后寫出已知求證，進(jìn)而根據(jù)三角形全等進(jìn)行求證即可．【解析】解：由題意可得，原命題的逆命題為：一邊上的高線與這邊對(duì)角的角平分線重合的三角形是等腰三角形．這個(gè)命題是真命題．已知，如圖所示：，是的角平分線，求證是等腰三角形．證明如下：∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．故答案為：一邊上的高線與這邊對(duì)角的角平分線重合的三角形是等腰三角形；如圖所示，，是的角平分線；是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查逆命題、全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的判定，熟練掌握逆命題、全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三：直角三角形的兩個(gè)銳角互余例3．在中，，，則的度數(shù)為．【答案】/42度【分析】本題考查直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求解．【解析】解：∵中，，，∴，故答案為：．【變式3-1】．如圖，在中，，是中線，若，則的度數(shù)為．【答案】/18度【分析】本題考查了等腰三角形三線合一性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．利用等腰三角形三線合一性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余性質(zhì)計(jì)算即可．【解析】∵為邊上的中線，∴，∵，∴，故答案為：．【變式3-2】．在中，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟記直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計(jì)算即可．【解析】解：在中，，則，∵，∴．故選：B．【變式3-3】．如圖，在中，，是邊上的高，，，則的長為．【答案】【分析】本題考查含角的直角三角形，由角的直角三角形的性質(zhì)推出，再根據(jù)即可得解．解題的關(guān)鍵是掌握：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．【解析】解：∵是邊上的高，，∴，∴，∴，即，∵，，，∴，∴，∴∴，∴的長為．故答案為：．考點(diǎn)四：銳角互余的三角形是直角三角形例4．在中，下列哪組條件不能判定是直角三角形（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理，三角形內(nèi)角和，直角三角形的定義，掌握這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理，直角三角形定義進(jìn)行判定即可．【解析】解：A、，故是直角三角形，不符合題意；B、，故是直角三角形，不符合題意；C、最大角，故不是直角三角形，符合題意；D、由，，得，即，故是直角三角形，不符合題意；故選：C．【變式4-1】．如圖，點(diǎn)分別在上，連接，于點(diǎn)，．

(1)求的度數(shù)；(2)若，求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查了平行線的判定，垂直的定義，直角三角形特征，熟練掌握平行線的判定，同角的余角相等是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)垂直的定義和直角三角形特征可得，再通過等量代換即可求出；（2）根據(jù)同角的余角相等可得，再通過等量代換可得，即可證明．【解析】（1）解：，，，，，；（2）證明：，，，，，，，．【變式4-2】．已知：如圖，在中，于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，．猜想與的關(guān)系，并說明理由．【答案】,，理由見解析．【分析】本題考查了三角形全等判定及性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，垂直定義．通過證明，可得，進(jìn)而得，進(jìn)而得，從而即可得解．【解析】解：，，理由如下：∵∴又∵在和中，∴（）∴，，∵，∴，∴，∴．【變式4-3】．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合）．(1)若點(diǎn)在邊上，且，求證：；(2)請(qǐng)用尺子在圖中畫出的邊上的高，若，，，求的長度．【答案】(1)證明見解析；(2)的長為．【分析】（）由，則，故有，從而可得，根據(jù)直角三角形的判定方法即可求證；（）先畫出圖形，再根據(jù)即可求解；本題考查了直角三角形的性質(zhì)和判定，等面積法，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖，∵，∴，∴∴的長為．考點(diǎn)五：“HL”的解答證明例5．如圖，點(diǎn)，，，在一條直線上，，，．求證：．【答案】見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有，，，，．利用證明，即可．【解析】證明：，，，和均為直角三角形．在和中，，．【變式5-1】．如圖，已知，交的延長線于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，且．求證：．【答案】詳見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定，直接根據(jù)證明即可．【解析】證明：∵，，∴，在和中，∵，∴．【變式5-2】．如圖，在中，，D為延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，且，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（1）由全等三角形的判定定理證得結(jié)論；（2）利用①中全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，等腰直角三角形的性質(zhì)可以求得【解析】（1）證明：∵，為延長線上一點(diǎn)，∴在和中，，∴()．（2）∵，∴∵，，∴∴，∴【變式5-3】．如圖，，是的高，且．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，，求的高．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（）由“”可證，可得，再根據(jù)等腰三角形的定義即可求解；（）由直角三角形的性質(zhì)可求的長，最后由勾股定理可求解；本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）證明：∵，是的高，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：∵，，∴，∴，∴．考點(diǎn)六：“HL”的概念辨析及應(yīng)用例6．如圖，因?yàn)椋?，，垂足分別為、，且，所以與全等的理由是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了三角形全等的判定方法，根據(jù)題中的條件可得和是直角三角形，再根據(jù)條件，可根據(jù)定理判定．【解析】解：，，，在和中，．故選：D．【變式6-1】．下列關(guān)于直角三角形全等的說法中，不正確的是（

）A．斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等B．有一邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等C．有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等D．有一邊和兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等【答案】C【分析】本題考查了對(duì)全等三角形的判定，根據(jù)全等三角形的判定定理，逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．【解析】A.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；B.有一邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；C.有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形不一定全等，故該選項(xiàng)不正確，符合題意；D.有一邊和兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：C．【變式6-2】．如圖，，添加一個(gè)條件，可使用“”判定與全等，以下給出的條件適合的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了直角三角形的全等的判定，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形全等的判定方法即可確定答案．【解析】解：添加，理由如下：，在和中，，，故選D．【變式6-3】．題目：“在和中，兩個(gè)三角形的高線分別為和，，，，，且．已知，求的度數(shù)．”對(duì)于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，則正確的是（

）A．只有甲答的對(duì) B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，本題要分兩種情況求出，一種情況是，此時(shí)可得：；另一種情況是當(dāng)AD在內(nèi)部，在外部時(shí)，此時(shí)可得：，【解析】解：如下圖所示，當(dāng)時(shí)，；如下圖所示，當(dāng)AD在內(nèi)部，在外部時(shí)，，，，，，要把甲和丙的答案合在一起才完整．故選：B．考點(diǎn)七：利用勾股定理求解直角三角形例7．已知一個(gè)直角三角形的兩邊長分別為和，則第三邊長是（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分為兩種情況：斜邊是有一條直角邊是，和都是直角邊，根據(jù)勾股定理求出即可．【解析】解：如圖，分為兩種情況：斜邊是有一條直角邊是，由勾股定理得：第三邊長是；和都是直角邊，由勾股定理得：第三邊長是；即第三邊長是或，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)勾股定理的應(yīng)用，注意：在直角三角形中的兩條直角邊、的平方和等于斜邊的平方．【變式7-1】．下列說法正確的是（

）A．若，，是的三邊，則B．若，，是的三邊，則C．若，，是的三邊，，則D．若，，是的三邊，，則【答案】D【分析】勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么．根據(jù)勾股定理依次進(jìn)行判斷即可．【解析】解：A、當(dāng)是直角三角形且時(shí)，，故此選項(xiàng)不符合題意；B、若，，是的三邊，，則，故此選項(xiàng)不符合題意；C、若，，是的三邊，，則，故此選項(xiàng)不符合題意；D、若，，是的三邊，，則，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，運(yùn)用勾股定理的前提條件是在直角三角形中．理解和掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】．如圖，在中，于點(diǎn)，，則CD的長為（

）

A． B．6 C． D．4【答案】A【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，等面積法的應(yīng)用，利用勾股定理先求解，再利用可得答案．【解析】解：∵，，∴，∵于點(diǎn)，∵，∴，故選：A．【變式7-3】．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，則的值為（）A．24 B．18 C．12 D．9【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求出的值，再加上的值即可．【解析】解：如圖，在Rt△ABC中，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，整體解答是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)八：驗(yàn)證勾股定理及有關(guān)面積問題例8．如圖，A，B，C是三個(gè)正方形，當(dāng)?shù)拿娣e為14，的面積為19時(shí)，則的面積為．【答案】5【分析】本題主要考查了勾股定理，由正方形面積公式得到，，由勾股定理求出，即可得到答案．【解析】解：正方形的面積為14，正方形的面積為19，，.，，的面積．故答案為：5．【變式8-1】．如圖是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“勾股圓方圖”（又稱趙爽弦圖），它是由四個(gè)全等的直角三角形（直角邊分別為a，b，斜邊為c）與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積為11，小正方形的面積為3，則的值為（

）A．68 B．89 C．119 D．130【答案】B【分析】利用含a，b，c表示出大正方形和小正方形的面積，由兩式相減可求得，再對(duì)利用完全平方公式進(jìn)行變形即可求得答案．【解析】解：大正方形的面積為：，小正方形的面積為：，由得，，即，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、已知等式的值求多項(xiàng)式的值的問題。正方形的面積公式，把多項(xiàng)式化為已知多項(xiàng)式形的形式是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】．如圖，在四邊形ABDE中，，，點(diǎn)C是邊BD上一點(diǎn)，，，．下列結(jié)論：①；②90°；③四邊形ABDE的面積是；④；⑤該圖可以驗(yàn)證勾股定理．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根據(jù)邊邊邊證得，故①正確；可得∠DCE=∠BAC，從而得到∠DCE+∠ACB=90°，進(jìn)而得到∠ACE=90°，故②正確；再根據(jù)梯形的面積公式可得四邊形ABDE的面積是，故③錯(cuò)誤；然后根據(jù)直角三角形ABC和直角三角形CDE的面積等于梯形ABDE的面積減去△ACE的面積，可得，故④錯(cuò)誤；進(jìn)而得到，即該圖可以驗(yàn)證勾股定理．故⑤正確，即可求解．【解析】解：∵，，．∴，故①正確；∴∠DCE=∠BAC，∵，∴∠B=90°，∴∠BAC+∠ACB=90°，∴∠DCE+∠ACB=90°，∴∠ACE=90°，故②正確；∵，，∴DE⊥BD，∴四邊形ABDE的面積是，故③錯(cuò)誤；根據(jù)題意得：直角三角形ABC和直角三角形CDE的面積等于梯形ABDE的面積減去△ACE的面積，∴，故④錯(cuò)誤；∴，∴，∴，即該圖可以驗(yàn)證勾股定理．故⑤正確；∴正確的有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的證明，垂直的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．【變式8-3】．下面圖形能夠驗(yàn)證勾股定理的有（）個(gè)A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】分別計(jì)算圖形的面積進(jìn)行證明即可．【解析】解：A、由可得，故該項(xiàng)的圖形能夠驗(yàn)證勾股定理；B、由可得，故該項(xiàng)的圖形能夠驗(yàn)證勾股定理；C、由可得，故該項(xiàng)的圖形能夠驗(yàn)證勾股定理；D、由可得，故該項(xiàng)的圖形能夠驗(yàn)證勾股定理；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了圖形與勾股定理的推導(dǎo)，熟記勾股定理的計(jì)算公式及各種圖形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)九：勾股定理的逆定理及應(yīng)用例9．若一個(gè)三角形的三邊長分別為1、3和，則這個(gè)三角形的面積是（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，在三角形中，若兩較小的邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形，據(jù)此可得該三角形是直角三角形，且兩直角邊的長分別為1和3，再利用三角形面積計(jì)算公式求解即可．【解析】解：∵，∴該三角形是直角三角形，且兩直角邊的長分別為1和3，∴該三角形的面積為，故選：D．【變式9-1】．下列各組線段中的三個(gè)長度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a＞0）；⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n為正整數(shù)，且m＞n）其中可以構(gòu)成直角三角形的有（）A．5組 B．4組 C．3組 D．2組【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理知，當(dāng)三角形的三邊關(guān)系為：a2+b2=c2時(shí)，它是直角三角形，由此可解出本題．【解析】①中有92+122=152，可以構(gòu)成直角三角形；②中有72+242=252，可以構(gòu)成直角三角形；③中(32)2+(42)2≠(52)2，不構(gòu)成直角三角形；④中有(3a)2+(4a)2=(5a)2，可以構(gòu)成直角三角形；⑤中有(?n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2，可以構(gòu)成直角三角形；所以可以構(gòu)成4組直角三角形.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，只要計(jì)算出兩數(shù)的平方和等于第三個(gè)數(shù)的平方即可．【變式9-2】．已知某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，如圖所示，現(xiàn)計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量∠A=90°，∠CBD=90°，DB=5m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，問需要多少投入?【答案】需要投入資金為7200元【分析】仔細(xì)分析題目，需要求得四邊形的面積才能求得結(jié)果，連接BD，在直角三角形CBD中由勾股定理可求BC的長，在直角三角形ABD中可求得BA的長，由此看，四邊形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC構(gòu)成，則容易求解．【解析】證明：連接BD∵∠A=90°，∠CBD=90°，∴△CBD，△ABD為直角三角形，在Rt△CBD中，BC2=CD2-BD2∴m在△ABD中，AB2=BD2-AD2∴AB=m∴四邊形ABCD面積=S△BAD十S?DBC=?AD?AB+?DB?BC=m2，36×200=7200（元）所以需要投入資金為7200元．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，得出△CBD，△ABD為直角三角形，用勾股定理求出BC，AB的長是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】．如圖所示，已知，，，則的長為．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知識(shí)，延長至點(diǎn)E，使，則，由勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且，再由勾股定理得，然后證明，即可得出結(jié)論．【解析】解：如圖，延長至點(diǎn)E，使，則，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴是直角三角形，且，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：．考點(diǎn)十：折疊問題例10．如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長為（

）A．4cm B．4.75cm C．6cm D．5cm【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理可求出AB的長，由AB的長度可求出BE的長度．【解析】解：∵AC＝6cm、BC＝8cm，在△ABC中，由勾股定理可知：=10，∵將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，故E為AB的中點(diǎn)，∴AE=BE=5，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，折疊變換，能夠熟練應(yīng)用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．【變式10-1】．如圖，在△ABC紙片中，∠ABC=90°，將其折疊，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為DE，若AB=3cm，AC=5cm，則△ABE的周長為（

）A．4cm B．6cm C．7cm D．8cm【答案】C【分析】先利用勾股定理求出BC，利用折疊得出AE=CE，然后△ABE的周長轉(zhuǎn)化為AB+BC即可．【解析】解：△ABC紙片中，∵∠ABC=90°，AB=3cm，AC=5cm，∴BC=cm，∵△DEC沿DE折疊得到△ADE，∴AE=CE，∴△ABE的周長=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7cm．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，折疊軸對(duì)稱性質(zhì)，三角形周長，掌握勾股定理，折疊軸對(duì)稱性質(zhì)，三角形周長是解題關(guān)鍵．【變式10-2】．如圖在中，，，，將沿DE折疊，使點(diǎn)剛好落在邊的中點(diǎn)處，則BD的長為．【答案】5【分析】本題考查了勾股定理與折疊問題，設(shè)所求線段為未知數(shù)，利用折疊性質(zhì)，把能用未知數(shù)表示的線段表示出，勾股定理所需的直角三角形一般就會(huì)呈現(xiàn)在圖上，符合這樣的直角三角形一般有如下特征：一直角邊為具體數(shù)字，另一直角邊和斜邊分別是含有未知數(shù)的代數(shù)式．設(shè)，則，在中利用勾股定理列方程求解即可．【解析】解：設(shè)，由折疊的性質(zhì)可知．∵，∴．∵F是邊的中點(diǎn)，，∴．在中，，∴，解得，∴的長為5．故答案為：．【變式10-3】．如圖，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則BD的長為（

）A．2 B． C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長，利用翻折得到AE=AB=10，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到，列得，求出BD．【解析】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴，由翻折得AE=AB=10，DE=BD，∴CE=AE-AC=10-8=2，在Rt△CED中，，∴，解得BD=，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，翻折的性質(zhì)，熟記勾股定理的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)十一：網(wǎng)格問題例11．如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，于點(diǎn)D，則AD的長為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算BC的長，再利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解析】解：由勾股定理得：，∵，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式11-1】．已知在正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長均為1）中，格點(diǎn)（即的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處）的三條邊，，的長分別為，，．(1)在網(wǎng)格中畫出．(2)求邊上的高．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了勾股定理和網(wǎng)格中三角形面積的計(jì)算，熟練掌握割補(bǔ)法求三角形的面積是解題的關(guān)鍵．（1）利用勾股定理得出格點(diǎn)A、B、C，再畫出即可；（2）作出邊上的高，先利用割補(bǔ)法求出，再根據(jù)，得，求解即可．【解析】（1）解：如圖所示，即為所求；∵，，．∴即為所求．（2）解：作邊上的高，如圖，∵，又∵，∴，∴，即邊上的高為．【變式11-2】．如圖，每個(gè)小正方形的邊長均為，，，是小正方形的頂點(diǎn)．(1)；．(2)試判斷是什么三角形，并說明理由．【答案】(1)；(2)是等腰直角三角形，理由見解析【分析】本題考查勾股定理和勾股定理的逆定理，（1）根據(jù)勾股定理求出邊的長度即可；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）解：如圖，∵每個(gè)小正方形的邊長均為，，，是小正方形的頂點(diǎn)，∴，，故答案為：；；（2）是直角三角形．理由：連接，∵每個(gè)小正方形的邊長均為，，，是小正方形的頂點(diǎn)，∴，則，又∵，，∴，∴是直角三角形，又∵，∴是等腰直角三角形．【變式11-3】．如圖，在單位為1的正方形網(wǎng)格圖中有a，b，c，d四條線段，從中任取三條線段所構(gòu)成的三角形中恰好是直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)圖形和勾股定理可以求得a，b，c，d四條線段的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理，即可得到構(gòu)成直角三角形的個(gè)數(shù)．【解析】解：由圖可得，線段a，b，c，d的長度分別為：，，，，∴，∴從a，b，c，d四條線段中任取三條線段所構(gòu)成的三角形中恰好是直角三角形的個(gè)數(shù)為2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理和勾股定理的逆定理解答．考點(diǎn)十二：勾股定理及其逆定理的解答證明問題例12．如圖，中，，，，B是延長線上的點(diǎn)，連接，若，(1)說明為直角，(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查勾股定理定理及逆定理，根據(jù)逆定理得到是直角三角形，利用勾股定理求出是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理逆定理確定即可得出結(jié)果；（2）利用勾股定理得出，結(jié)合圖形即可求解．【解析】（1）解：∵，，，∴，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，，∴，∴．【變式12-1】．如圖，四邊形中，，為對(duì)角線，于E，，，，．

(1)求證：；(2)求線段的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，運(yùn)用了等積法．（1）由勾股定理求出的長，再利用勾股定理的逆定理即可作出判斷；（2）利用等面積法即可求解．【解析】（1）解：在直角中，，，，∴．∵，，∴，∴是直角三角形，且．（2）解：∵，∴．【變式12-2】．如圖，中，，，，分別以、為直角邊向外作等腰直角和等腰直角．(1)求證：；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理應(yīng)用，正確得出是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的判定方法得出，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理解答即可．【解析】（1）證明：，，在和中，，；（2）解：，，是等腰直角三角形，，，是直角三角形，，，，，．【變式12-3】．如圖，四邊形中，，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，E恰好是的中點(diǎn)，若．(1)直接寫出四邊形的周長；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)30度的角所對(duì)直角邊是斜邊的一半可得，結(jié)合E是的中點(diǎn)即可求解（2）連接，由勾股定理逆定理可得是直角三角形，根據(jù)即可求解．【解析】（1）解：∵∴，∵，，∴，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴∴四邊形的周長：（2）解：連接，如圖，∵，，∴∴∵E是的中點(diǎn)，∴∴∵∴∴是直角三角形，，∴一、單選題1．下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A．1，2，3 B．1，1， C．2，3，4 D．7，15，17【答案】B【分析】知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則即為不是．【解析】解：A．，不可以構(gòu)成直角三角形，故A選項(xiàng)不符合題意；B．，可以構(gòu)成直角三角形，故B選項(xiàng)符合題意；C．，不可以構(gòu)成直角三角形，故C選項(xiàng)不符合題意；D．，不可以構(gòu)成直角三角形，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，，，求的長是（

）A．5 B．8 C．4 D．7【答案】B【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)勾股定理得到，代入計(jì)算即可得的值．【解析】解：在中，，，∵，，，（負(fù)值舍去），故選：B．3．下列定理中，有逆定理的是(

)A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 B．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等C．等底等高的兩個(gè)三角形面積相等 D．對(duì)頂角相等【答案】A【分析】要判斷一個(gè)定理是否存在逆定理，需寫出原定理的逆命題，并判斷其真假；【解析】A.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的逆命題是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，真命題，故有逆定理；B.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等的逆命題是對(duì)應(yīng)角相等兩個(gè)三角形是全等三角形，假命題，故沒有逆定理；C.等底等高的兩個(gè)三角形面積相等的逆命題是兩個(gè)三角形面積相等則等底等高，假命題，沒有逆定理；D.對(duì)頂角相等的逆命題是相等的角是對(duì)頂角，假命題，故沒有逆定理；故選A.【點(diǎn)睛】分析題意，回憶逆定理的概念是解答本題的關(guān)鍵.4．如圖，已知點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，∠B=∠E=90°，AB=DE，若添加一個(gè)條件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的條件可以是（）

A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF【答案】D【分析】根據(jù)題目給的條件可知道直角邊和直角，因?yàn)樾栌谩癏L”的方法判定≌，故只能添上斜邊這一條件，即可解答．【解析】解：∵，，∴添加條件，根據(jù)“HL”即可判定≌；或添加條件，也可得出，根據(jù)“HL”即可判定≌，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用“HL”判定三角形全等，掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．5．如圖，的頂點(diǎn)在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，于點(diǎn)D，則的長為（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理以及三角形面積，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．由勾股定理求出，再根據(jù)割補(bǔ)法求出的面積，由三角形面積求出即可．【解析】解：由勾股定理得：，，∵，∴的面積，∴，故選：A．6．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F(xiàn)分別是BC，AC上的點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，CF＝BE，DF＝DB，則∠ADE的度數(shù)為（

）A．40° B．50° C．70° D．71°【答案】C【分析】先利用三角形內(nèi)角和算出，再證明得到；再證明，得到，即可算出【解析】根據(jù)題意：在中在和中∴∴在和中∴∴在中∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，注意HL這個(gè)判定方法的使用．7．如圖，中，，延長到C，使分別過點(diǎn)C、E作、的垂線，兩線相交于點(diǎn)D，連接AD．若，，則AD的長是（

）A．5 B．7 C． D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及等腰直角三角形，通過證得,則對(duì)應(yīng)邊.在直角中利用勾股定理求得的長度，然后再在直角中利用勾股定理來求AD的長度.【解析】如圖,∵,，∴.在與中,，∴,∴,,∴在直角中，由勾股定理得則.在等腰直角中，，故選:C.8．如圖，在中，，將邊沿翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接交于點(diǎn)D．則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了直角三角形中的翻折問題，熟練掌握翻折性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理，三角形面積公式，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)翻折知，，當(dāng)最小時(shí)，最大，此時(shí)，用面積法求出，即可得到答案．【解析】解：如圖：由翻折知，，∴，當(dāng)最小時(shí)，最大，此時(shí)，∵，，∴，∵，∴，∴，故選：B．二、填空題9．如果兩個(gè)三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等，其逆命題是，這個(gè)逆命題是命題．【答案】若兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等;真【分析】根據(jù)逆命題的定義，寫出逆命題，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷．【解析】解：如果兩個(gè)三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等，其逆命題是如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等;這個(gè)逆命題是真命題．故答案為：若兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等;真．【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：全等三角形的性質(zhì).解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟記全等三角形的性質(zhì)．10．如圖，，，，要根據(jù)“”證明，則還需要添加一個(gè)條件是．

【答案】或【分析】根據(jù)垂直求出，在根據(jù)三角形全等的判定定理即可解答．【解析】解：∵，，∴，在和中，或，∴，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理進(jìn)行推理并運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合思想．11．如圖，，，，則°．【答案】25【分析】先證明△ABC≌△ADC，得到∠DAC＝∠BAC，進(jìn)一步求得∠DAC的度數(shù)，再求得∠DCA的度數(shù)即可．【解析】解：∵，∴△ABC和△ADC是直角三角形，∵AC＝AC，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）,∴∠DAC＝∠BAC，∵，∴∠DAC＝∠BAD＝65°，∴90°－∠DAC＝25°．故答案為：25．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，則BC邊上的高為．【答案】8【分析】作交的延長于點(diǎn)，在中，，在中,，根據(jù)列出方程即可求解．【解析】如圖，作交的延長于點(diǎn)，則即為BC邊上的高，在中，，在中,，，AB＝10，BC＝9，AC＝17，，解得，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．如圖所示，已知在中，，分別以，為直徑作半圓，面積分別記為，則的值等于．【答案】【分析】此題考查勾股定理的應(yīng)用，觀察圖形理解各部分圖形的面積的關(guān)系，利用勾股定理解決問題是解題的關(guān)鍵.根據(jù)圖形得到，，根據(jù)勾股定理推出.【解析】解：由題意，得，，所以，故答案為：.14．如圖是由九個(gè)邊長為1的小正方形拼成的大正方形，圖中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度數(shù)為．【答案】225°【分析】首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，即可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值．【解析】解：如圖所示：在△ABC和△AEF中，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴∠5=∠BCA，∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，在Rt△ABD和Rt△AEH中，∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL），∴∠4=∠BDA，∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，∵∠3=45°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°．故答案為：225°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可求解．三、解答題15．已知，如圖，中，平分，，，垂足分別為E、F，且．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)得，根據(jù)（斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等）證明，，求出，即可得出證明．【解析】證明：平分，，，在和中（），在和中（）【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，全等三角形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．16．已知命題“等腰三角形兩腰上的高線相等”．（1）寫出此命題的逆命題；（2）逆命題是真命題還是假命題？若為真命題，請(qǐng)畫出圖形，寫出“已知”，求證并證明；若為假命題，請(qǐng)舉反例說明．【答案】（1）兩邊上的高相等的三角形是等腰三角形；（2）真命題，畫圖證明見解析【分析】（1）把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題；（2）判斷逆命題是真命題，畫出圖形判斷即可．【解析】解：（1）逆命題：兩邊上的高相等的三角形是等腰三角形．（2）真命題．已知：一個(gè)三角形ABC的兩邊AB、AC上的高BD、CE相等，求證：這個(gè)三角形ABC