2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專題34最值模型之阿氏圓模型解讀與提分精練（全國版）

專題34最值模型之阿氏圓模型最值問題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.阿氏圓模型 1 12模型1.阿氏圓模型動點到兩定點距離之比為定值（即：平面上兩點A、B，動點P滿足PA/PB=k（k為常數(shù)，且k≠1）），那么動點的軌跡就是圓，因這個結(jié)論最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱為阿氏圓。如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB（即），連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？最小值是多少呢？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴，∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值。其中與A與C為定點，P為動點，故當(dāng)A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小，如圖3所示。阿氏圓求最值的本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在于如何構(gòu)造母子相似。阿氏圓最值問題常見考法：點在圓外：向內(nèi)取點（系數(shù)小于1）；點在圓內(nèi)：向外取點（系數(shù)大于1）；一內(nèi)一外：提系數(shù)；隱圓型阿氏圓等。注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當(dāng)P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．例1．（2024·安徽合肥·二模）在中，，點D是平面上一點，且，連接，則下列說法正確的是（

）A．長度的最大值是9 B．的最小值是C． D．面積的最大值是40例2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．例3.（2023·北京·九年級專題練習(xí)）如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則PA＋PB的最小值為________．例4．（2024·江蘇·無錫市九年級期中）如圖，⊙O與y軸、x軸的正半軸分別相交于點M、點N，⊙O半徑為3，點A（0，1），點B（2，0），點P在弧MN上移動，連接PA，PB，則3PA+PB的最小值為___．例5．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，在以為圓心3為半徑的圓上，則的最小值為．例6．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，、分別是邊、上的兩個動點，且，是的中點，連接，，則的最小值為．例7．（2024·福建·校考一模）如圖，在邊長為6的正方形中，M為上一點，且，N為邊上一動點．連接，將沿翻折得到，點P與點B對應(yīng)，連接，則的最小值為．

例8．（2024·廣東·校考二模）（1）初步研究：如圖1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點且AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結(jié)論運用：如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC?PB的最大值．例9．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點的直線交于點，與軸交于點．

(1)求直線及拋物線的表達式；(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．1．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，已知，，E為邊上一動點，將沿翻折到的位置，點A與點F重合，連接，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．2．（2024年廣東深圳中考模擬試題）如圖，矩形中，，點是矩形內(nèi)部一個動點，且，連接，則三分之二的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，已知，，E為邊上一動點，將沿翻折到的位置，點A與點F重合，連接，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．4．（2024·山東泰安·二模）如圖，在中，，，，以為圓心，為半徑作，為上一動點，連接、，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，點P為邊的中點，點E在邊上，連接，點F為上的動點，則的最小值為．6．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖所示，正方形邊長為8，為中點，為上的動點，為上的點，且，連接，則的最小值是（

）A． B． C． D．7．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，邊長為2的正方形中，E、F分別為上的動點，，連接交于點P，則的最小值為．8.（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，點，分別在邊，上（不與頂點重合），且滿足，連接，交于點．，分別是邊，的中點，連結(jié)接，．若正方形的邊長為，則的最小值為．9．（2024·廣西·一模）圖所示，在半徑為6的扇形ABC中，∠BAC＝60°，點D，E分別在半徑AB，AC上，且BD＝CE＝2，點F是弧BC上的動點，連接DF，EF，則DF＋EF的最小值為．10．（23-24九年級上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖正方形的邊長是4，的半徑是2，點E是上一動點，連接，．則的最小值=．11．（2024九年級·廣東·專題練習(xí)）如圖，在中，，的半徑為2，D是上一動點，點E在上，，連接，則的最小值12．（2024·四川·?？家荒＃┤鐖D，為的直徑，，點C與點D在的同側(cè)，且，，，，點P是上的一動點，則的最小值為．13．（23-24九年級上·江蘇鹽城·期末）已知：等腰中，，，是上一點，以為圓心的半圓與、均相切，為半圓上一動點，連、，如圖，則的最小值是．14．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，邊長為2的正方形中，E、F分別為上的動點，，連接交于點P，則的最小值為．15．（2024·江蘇·?？级＃┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是.

16．（23-24九年級上·江蘇南京·期末）如圖，在中，，，，D、E分別是邊、上的兩個動點，且，P是的中點，連接，，則的最小值為．17．（2024·江蘇·無錫市九年級階段練習(xí)）問題提出：如圖①，在中，，，，⊙C的半徑為2，P為圓上一動點，連接AP、BP，求的最小值．（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點D，使，則．又，所以∽．所以．所以，所以．請你完成余下的思考，并直接寫出答案：的最小值為________；（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求的最小值；（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一點，求的最小值．18．（2023春·江蘇宿遷·九年級?？奸_學(xué)考試）【問題呈現(xiàn)】如圖1，∠AOB=90°，OA=4，OB=5，點P在半徑為2的⊙O上，求的最小值．【問題解決】小明是這樣做的：如圖2，在OA上取一點C使得OC=1，這樣可得，又因為∠COP=∠POA，所以可得△COP∽△POA，所以，得所以．又因為，所以最小值為．【思路點撥】小明通過構(gòu)造相似形（圖3），將轉(zhuǎn)化成CP，再利用“兩點之間線段”最短”求出CP+BP的最小值．【嘗試應(yīng)用】如圖4，∠AOB=60°，OA=10，OB=9，點P是半徑為6的⊙O上一動點，求最小值．【能力提升】如圖5，∠ABC=120°，BA=BC=8，點D為平面內(nèi)一點且BD=3CD，連接AD，則△ABD面積的最大值為．19．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖1，平面內(nèi)有一點到的三個頂點的距離分別為、、，若有，則稱點為關(guān)于點的勾股點．(1)如圖2，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B、C、D、E均在小正方形的格點上，則點是關(guān)于點______的勾股點；若點在格點上，且點是關(guān)于點的勾股點，請在方格紙中畫出；(2)如圖3，菱形中，與交于點，點是平面內(nèi)一點，且點是關(guān)于點的勾股點．①求證：；②若，，則的最大值為______（直接寫出結(jié)果）；③若，，且是以為底的等腰三角形，求的長．(3)如圖4，矩形中，，，是矩形內(nèi)一點，且點是關(guān)于點的勾股點，那么的最小值為______（直接寫出結(jié)果）．20．（23-24九年級上·重慶·階段練習(xí)）如圖，在中，，交于點，為線段上一動點，連接．(1)如圖1，連接，若是的角平分線且時，求的度數(shù)．(2)如圖2，將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接交線段于點，連接，若點為線段的中點，求證：．(3)如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，若，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)角度，旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)，點對應(yīng)的點為，連接，，．旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段與線段存在交點且時，記；當(dāng)取得最小值時，記為．請直接寫出的值．

專題34最值模型之阿氏圓模型最值問題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.阿氏圓模型 1 12模型1.阿氏圓模型動點到兩定點距離之比為定值（即：平面上兩點A、B，動點P滿足PA/PB=k（k為常數(shù)，且k≠1）），那么動點的軌跡就是圓，因這個結(jié)論最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱為阿氏圓。如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB（即），連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？最小值是多少呢？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴，∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值。其中與A與C為定點，P為動點，故當(dāng)A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小，如圖3所示。阿氏圓求最值的本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在于如何構(gòu)造母子相似。阿氏圓最值問題常見考法：點在圓外：向內(nèi)取點（系數(shù)小于1）；點在圓內(nèi)：向外取點（系數(shù)大于1）；一內(nèi)一外：提系數(shù)；隱圓型阿氏圓等。注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當(dāng)P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．例1．（2024·安徽合肥·二模）在中，，點D是平面上一點，且，連接，則下列說法正確的是（

）A．長度的最大值是9 B．的最小值是C． D．面積的最大值是40【答案】B【分析】本題考查了相似三角形判定與性質(zhì)、勾股定理、點和圓的位置關(guān)系等知識，牢記相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵，根據(jù)點和圓的位置關(guān)系直接判斷A、C、D，根據(jù)相似三角形判定與性質(zhì)及勾股定理、兩點之間線段最短判斷B即可．【詳解】解：A、，點D是平面上一點，且，點A、C、D在同一直線上且D在延長線上時，長度的最大值是，故本選項不符合題意；B、在上取點E，使，連接，當(dāng)B、D、E共線時最小，此時，，故本選項符合題意；C、點D是平面上一點，且，點在以點C為圓心，4為半徑的圓上，隨著點D的變化而變化，故本選項不符合題意；D、點在以點C為圓心，4為半徑的圓上，如下圖，當(dāng)所在直線垂直于時，面積的最大，在中，，，，，，，面積的最大值是44，故本選項不符合題意；故選：B．例2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．【答案】【解析】當(dāng)P點運動到BC邊上時，此時PC=3，根據(jù)題意要求構(gòu)造，在BC上取M使得此時PM=，則在點P運動的任意時刻，均有PM=，從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值．連接PD，對于△PDM，PD-PM＜DM，故當(dāng)D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值．例3.（2023·北京·九年級專題練習(xí)）如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則PA＋PB的最小值為________．【答案】【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形構(gòu)造PB即可解答．【詳解】解：設(shè)⊙O半徑為r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中點I，連接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，∴當(dāng)A、P、I在一條直線上時，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB?BE＝3，∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．【點睛】本題是“阿氏圓”問題，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形．例4．（2024·江蘇·無錫市九年級期中）如圖，⊙O與y軸、x軸的正半軸分別相交于點M、點N，⊙O半徑為3，點A（0，1），點B（2，0），點P在弧MN上移動，連接PA，PB，則3PA+PB的最小值為___．【答案】【分析】如圖，在y軸上取一點C（0,9），連接PC,根據(jù)，∠AOP是公共角，可得△AOP∽△POC，得PC=3PA，當(dāng)B,C,P三點共線時，3PA+PB的值最小為BC，利用勾股定理求出BC的長即可得答案．【詳解】如圖，在y軸上取一點C（0,9），連接PC,∵⊙O半徑為3，點A（0，1），點B（2，0），∴OP=3，OA=1，OB=2，OC=9,∵，∠AOP是公共角，∴△AOP∽△POC，∴PC=3PA，∴3PA+PB=PC+PB,∴當(dāng)B,C,P三點共線時，3PA+PB最小值為BC,∴BC===，∴3PA+PB的最小值為．故答案為：【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)及最小值問題，正確理解C、P、B三點在同一條直線上時3PA+PB有最小值，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．例5．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，在以為圓心3為半徑的圓上，則的最小值為．【解答】解：在上取點，使，，，，，，，在延長線上取，，則，又，，，，，當(dāng)為和圓的交點時最小，即最小，且值為，，的最小值為，故答案為：．例6．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，、分別是邊、上的兩個動點，且，是的中點，連接，，則的最小值為．【答案】【解答】解：如圖，在上取一點，使得，連接，．，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為例7．（2024·福建·校考一模）如圖，在邊長為6的正方形中，M為上一點，且，N為邊上一動點．連接，將沿翻折得到，點P與點B對應(yīng)，連接，則的最小值為．

【答案】【分析】由折疊的性質(zhì)可得，點在以為圓心，以為半徑的圓上，在線段上取一點，使得，利用相似三角形的性質(zhì)得到，從而得到，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取得最小值，即可求解．【詳解】解：由題意可得：∴點在以為圓心，以為半徑的圓上，在線段上取一點，使得，則∵，∴

又∵∴∴∴∴如下圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取得最小值，∴的最小值為：例8．（2024·廣東·校考二模）（1）初步研究：如圖1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點且AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結(jié)論運用：如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC?PB的最大值．【答案】（1）見解析；（2）10；（3）【分析】（1）證明△PAQ∽△BAP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明PB=2PQ；（2）在AB上取一點Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出當(dāng)點C、P、Q三點共線時，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如圖的輔助線，同（2）法推出當(dāng)點P在CQ交⊙A的點P′時，PC?PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC?PB的最大值．【詳解】解：（1）證明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ?AB=4．∴．又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ；（2）如圖，在AB上取一點Q，使得AQ=1，連接AP，PQ，CQ．∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．∵PC+PQ≥QC，∴當(dāng)點C、P、Q三點共線時，PC+PQ的值最?。逹C==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值為10．（3）如圖，在AB上取一點Q，使得AQ=1，連接AP，PQ，CQ，延長CQ交⊙A于點P′，過點C作CH垂直AB的延長線于點H．易得AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC?PB=2PC?2PQ=2(PC?PQ)，∵PC?PQ≤QC，∴當(dāng)點P在CQ交⊙A的點P′時，PC?PQ的值最大．∵QC==，∴2PC?PB=2(PC?PQ)≤2．∴2PC?PB的最大值為2．【點睛】本題考查了圓有關(guān)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)、兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建相似三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短解決．例9．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點的直線交于點，與軸交于點．

(1)求直線及拋物線的表達式；(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．【答案】(1)直線的解析式為；拋物線解析式為(2)存在，點M的坐標(biāo)為或或(3)【分析】（1）根據(jù)對稱軸，，得到點A及B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先求出點D的坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)時，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點M的坐標(biāo)；②當(dāng)時，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點M的坐標(biāo)；（3）在上取點，使，連接，證得，又，得到，推出，進而得到當(dāng)點C、P、F三點共線時，的值最小，即為線段的長，利用勾股定理求出即可．【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸，，∴，將代入直線，得，解得，∴直線的解析式為；將代入，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）存在點，∵直線的解析式為，拋物線對稱軸與軸交于點．∴當(dāng)時，，∴，①當(dāng)時，設(shè)直線的解析式為，將點A坐標(biāo)代入，得，解得，∴直線的解析式為，解方程組，得或，∴點M的坐標(biāo)為；②當(dāng)時，設(shè)直線的解析式為，將代入，得，解得，∴直線的解析式為，解方程組，解得或，∴點M的坐標(biāo)為或綜上，點M的坐標(biāo)為或或；（3）如圖，在上取點，使，連接，∵，∴，∵，、∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)點C、P、F三點共線時，的值最小，即為線段的長，∵，∴，∴的最小值為．

【點睛】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點坐標(biāo)，正確掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．1．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，已知，，E為邊上一動點，將沿翻折到的位置，點A與點F重合，連接，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，找到最小距離是解題的關(guān)鍵．在上取點G，使，連接FG，DG，證明，可得出，則，當(dāng)、、三點共線時，最小，在中，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，在上取點G，使，連接，．沿邊翻折到，，又，，，，又，，，，，當(dāng)、、三點共線時，最小，在中，，，，，即的最小值為．2．（2024年廣東深圳中考模擬試題）如圖，矩形中，，點是矩形內(nèi)部一個動點，且，連接，則三分之二的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得：點在以為圓心，為半徑的圓弧上運動，在上取一點，使，連接，由矩形的性質(zhì)可得，，推出，證明，得到，推出，即當(dāng)、、共線時，取最小值，最小值為，最后根據(jù)勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得：點在以為圓心，為半徑的圓弧上運動，在上取一點，使，連接，矩形中，，，，，，，，又，，，，，當(dāng)、、共線時，取最小值，最小值為，，故選:B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，勾股定理，線段和最短問題，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．3．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，已知，，E為邊上一動點，將沿翻折到的位置，點A與點F重合，連接，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，找到最小距離是解題的關(guān)鍵．在上取點G，使，連接FG，DG，證明，可得出，則，當(dāng)、、三點共線時，最小，在中，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，在上取點G，使，連接，．沿邊翻折到，，又，，，，又，，，，，當(dāng)、、三點共線時，最小，在中，，，，，即的最小值為．故選：D．4．（2024·山東泰安·二模）如圖，在中，，，，以為圓心，為半徑作，為上一動點，連接、，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形；懂得依題意作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．在上截取，使得，連接，，．利用相似三角形的性質(zhì)證明，可得，利用勾股定理求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，在上截取，使得，連接，，．∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，在中，，，，∴，∴，∴的最小值為．故選：C．5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，點P為邊的中點，點E在邊上，連接，點F為上的動點，則的最小值為．【答案】6【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．作于點，證明，求得，當(dāng)三點共線時，有最小值，最小值為的長，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵矩形中，，點P為邊的中點，∴，，作于點，∴，∴，∴，即，∴，∴，當(dāng)三點共線時，有最小值，最小值為的長，此時，∴的最小值為6，故答案為：6．6．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖所示，正方形邊長為8，為中點，為上的動點，為上的點，且，連接，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，取的中點，連接，證明，得出，從而得出，連接交于，當(dāng)、、在同一直線上時，最小，即最小，最小為，再由勾股定理求出的長即可．【詳解】解：取的中點，連接，，∵四邊形為正方形，邊長為8，為中點，∴，，，∵為上的動點，∴，∴，∵為中點，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，連接交于，當(dāng)、、在同一直線上時，最小，即最小，最小為，∵，∴最小值為，故選：D．7．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，邊長為2的正方形中，E、F分別為上的動點，，連接交于點P，則的最小值為．【答案】2【分析】證明，則，，如圖，記的中點為，則在以為圓心，為直徑的圓上，如圖，連接，由勾股定理得，，如圖，在上取點使，則，連接，，證明，則，即，由，可得當(dāng)三點共線時，的值最小，為，如圖，作于，則，，，則，即，可得，即，由勾股定理得，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：∵正方形，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，如圖，記的中點為，則在以為圓心，為直徑的圓上，如圖，連接，由勾股定理得，，如圖，在上取點使，則，連接，，∵，，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)三點共線時，的值最小，為，如圖，作于，∴，∴，∴，∴，即，解得，∴，由勾股定理得，，由勾股定理得，，故答案為：2．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角所對的弦為直徑，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦等知識．熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角所對的弦為直徑，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦是解題的關(guān)鍵．8.（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，點，分別在邊，上（不與頂點重合），且滿足，連接，交于點．，分別是邊，的中點，連結(jié)接，．若正方形的邊長為，則的最小值為．【答案】【分析】由四邊形是正方形，得，，證明，根據(jù)性質(zhì)得出，點無論在何處，均有，即點在以中點為圓心，為直徑的圓上，用點表示的中點，連接，用點表示的中點，用點表示的中點，連接，以為圓心，為半徑畫圓，然后證明，則，故的最小值也就是的最小值，當(dāng)點三點共線時，最小，最小值為線段的長度，最后由勾股定理即可求解．【詳解】∵四邊形是正方形，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴點無論在何處，均有，即點在以中點為圓心，為直徑的圓上，用點表示的中點，連接，用點表示的中點，用點表示的中點，連接，以為圓心，為半徑畫圓，如圖中的，∵在上運動且不與重合，∴點的軌跡就是，不與重合，∵，，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴的最小值也就是的最小值，∵點在上，∴當(dāng)點三點共線時，最小，最小值為線段的長度，∵點分別是正方形邊的中點，∴四邊形是矩形，∵點分別是矩形邊的中點，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴在中，由勾股定理得，即：的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，兩點之間線段最短，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．9．（2024·廣西·一模）圖所示，在半徑為6的扇形ABC中，∠BAC＝60°，點D，E分別在半徑AB，AC上，且BD＝CE＝2，點F是弧BC上的動點，連接DF，EF，則DF＋EF的最小值為．【答案】【分析】連結(jié)AF，延長AC到G使CG=3，連結(jié)GF，過G作AH⊥AB于H，先證△FAE∽△GAF，得出，根據(jù)兩點間距離最短得出FG+FD≥GD，即，當(dāng)點G，F(xiàn),D三點在同一直線上時GF+FD最短即最短=DG，然后利用30°直角三角形先證求出AH=，利用銳角三角函數(shù)求出GH=AG·cos30°=，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：連結(jié)AF，延長AC到G使CG=3，連結(jié)GF，過G作AH⊥AB于H，∴AG=AC+CG=6+3=9，CE=2，AE=AC-CE=4，∵，，∴，∵∠FAE=∠GAF，∴△FAE∽△GAF，∴，∴，∴FG+FD≥GD，即當(dāng)點G，F(xiàn),D三點在同一直線上時GF+FD最短即最短=DG，在Rt△GHA中AG=9，∠GAH=60°，∴∠HGA=90°-∠GAH=30°，∴AH=，GH=AG·cos30°=，∵BD=2，∴AD=AB-BD=6-2=4，∴HD=AH-AD=，∴GD=，∴．故答案為．【點睛】本題考查圓與相似，解直角三角形聯(lián)合應(yīng)用，最短路徑問題，勾股定理，利用輔助線構(gòu)造三角形相似是解題關(guān)鍵．10．（23-24九年級上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖正方形的邊長是4，的半徑是2，點E是上一動點，連接，．則的最小值=．【答案】5【分析】如圖，在上取一點，使得，連接．證明，推出，推出，由，由此可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，在上取一點，使得，連接．∵四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，∴的最小值為5，故答案為：5．【點睛】本題考查阿氏圓問題，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．11．（2024九年級·廣東·專題練習(xí)）如圖，在中，，的半徑為2，D是上一動點，點E在上，，連接，則的最小值【答案】【分析】在AC上取點H使CH=1，連接CD、BD、HD，根據(jù)和∠DCB=∠DCE，得出△CDE∽△CBD，從而得出DB=2DE，再根據(jù)△CHD∽△CDA，得出，根據(jù)兩點之間線段最短得出的最值小為BH，再根據(jù)勾股定理即可得出答案【詳解】解：在AC上取點H使CH=1，連接CD、BD、HD，∵的半徑為2，∴CD=2，∵CE=1，CB=4∴，∵∠DCB=∠DCE，∴△CDE∽△CBD，∴∴DB=2DE∵CH=1，CA=4同理可證：△CHD∽△CDA，∴，∴∴當(dāng)點H、D、B三點共線時，DH+DB的值最小，即的值最小為BH；連接BH，∵，，CH=1∴故答案為：【點睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，以及勾股定理等知識點，得出和DB=2DE是解題的關(guān)鍵12．（2024·四川·校考一模）如圖，為的直徑，，點C與點D在的同側(cè)，且，，，，點P是上的一動點，則的最小值為．【答案】【分析】連接，先利用勾股定理求得，，在上截取，過作于，于，求得，，，進而求得，證明求得，利用兩點之間線段最短得到，當(dāng)共線時取等號，即可求解．【詳解】解：連接，∵為的直徑，，∴，∵在中，，∴，，在上截取，過作于，于，連接、，∴四邊形是矩形，，∴，，∴，在中，，∵，是公共角，∴，∴，則，∴，當(dāng)共線時取等號，故的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、圓的基本概念、相似三角形的判定與性質(zhì)、兩點之間線段最短等知識，解答的關(guān)鍵是截取在上截取，構(gòu)造相似三角形求得是關(guān)鍵．13．（23-24九年級上·江蘇鹽城·期末）已知：等腰中，，，是上一點，以為圓心的半圓與、均相切，為半圓上一動點，連、，如圖，則的最小值是．【答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．設(shè)半圓與、的切點為、，取的中點，連接、，根據(jù)已知條件證明，得，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，取得最小值，進而求解．【詳解】解：設(shè)半圓與、的切點為、，連接、、、，則，，，所以平分，，，，，，取的中點，連接、，則，，，在和中，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，取得最小值,最小值為．故答案為：．14．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，邊長為2的正方形中，E、F分別為上的動點，，連接交于點P，則的最小值為．【答案】2【分析】證明，則，，如圖，記的中點為，則在以為圓心，為直徑的圓上，如圖，連接，由勾股定理得，，如圖，在上取點使，則，連接，，證明，則，即，由，可得當(dāng)三點共線時，的值最小，為，如圖，作于，則，，，則，即，可得，即，由勾股定理得，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：∵正方形，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，如圖，記的中點為，則在以為圓心，為直徑的圓上，如圖，連接，由勾股定理得，，如圖，在上取點使，則，連接，，∵，，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)三點共線時，的值最小，為，如圖，作于，∴，∴，∴，∴，即，解得，∴，由勾股定理得，，由勾股定理得，，故答案為：2．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角所對的弦為直徑，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦等知識．熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角所對的弦為直徑，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦是解題的關(guān)鍵．15．（2024·江蘇·?？级＃┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是.

【答案】【分析】如下圖，在CA上取一點E，使得CE=4，先證△DCE∽△ACD，將轉(zhuǎn)化為DE，從而求得的最小距離，進而得出2AD+3BD的最小值．【詳解】如下圖，在CA上取一點E，使得CE=4

∵AC=9，CD=6，CE=4∴∵∠ECD=∠ACD∴△DCE∽△ACD∴∴ED=在△EDB中，ED+DB≥EB∴ED+DB最小為EB，即ED+DB=EB∴在Rt△ECB中，EB=∴∴2AD+3DB=故答案為：．【點睛】本題考查求最值問題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出△DCE∽△ACD．16．（23-24九年級上·江蘇南京·期末）如圖，在中，，，，D、E分別是邊、上的兩個動點，且，P是的中點，連接，，則的最小值為．【答案】【分析】如圖，在CB上取一點F，使得，連接，，利用相似三角形的性質(zhì)證明，根據(jù)，利用勾股定理求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，在上取一點F，使得，連接，，∵，，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴的最小值為，故答案為．【點睛】本題考查阿氏圓問題，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．17．（2024·江蘇·無錫市九年級階段練習(xí)）問題提出：如圖①，在中，，，，⊙C的半徑為2，P為圓上一動點，連接AP、BP，求的最小值．（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點D，使，則．又，所以∽．所以．所以，所以．請你完成余下的思考，并直接寫出答案：的最小值為________；（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求的最小值；（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一點，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）13．【分析】（1）根據(jù)題意可知最小值為AD長度，利用勾股定理即可求出AD長度．（2）連接CP，在CA上取一點D，使，即可證明∽，得到，即，所以的最小值為BD長度，利用勾股定理即可求出BD長度．（3）延長OC到E，使，連接PE，OP，即可證明∽，得到，即，所以的最小值為BE長度，利用勾股定理即可求出BE長度．【詳解】（1）根據(jù)題意可知，當(dāng)A、P、D三點共線時，最小，最小值．故答案為：．（2）連接CP，在CA上取一點D，使，則有，∵，∴∽，得，∴，故，僅當(dāng)B、P、D三點共線時，的最小值．（3）延長OC到E，使，連接PE，OP，則，∵，∴∽，∴，∴，∴，僅當(dāng)E、P、B三點共線時，，即的最小值為13．【點睛】本題考查圓的綜合，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)閱讀材料的思路構(gòu)造出∽和∽是解題的關(guān)鍵．本題較難．18．（2023春·江蘇宿遷·九年級?？奸_學(xué)考試）【問題呈現(xiàn)】如圖1，∠AOB=90°，OA=4，OB=5，點P在半徑為2的⊙O上，求的最小值．【問題解決】小明是這樣做的：如圖2，在OA上取一點C使得OC=1，這樣可得，又因為∠COP=∠POA，所以可得△COP∽△POA，所以，得所以．又因為，所以最小值為．【思路點撥】小明通過構(gòu)造相似形（圖3），將轉(zhuǎn)化成CP，再利用“兩點之間線段”最短”求出CP+BP的最小值．【嘗試應(yīng)用】如圖4，∠AOB=60°，OA=10，OB=9，點P是半徑為6的⊙O上一動點，求最小值．【能力提升】如圖5，∠ABC=120°，BA=BC=8，點D為平面內(nèi)一點且BD=3CD，連接AD，則△ABD面積的最大值為．【答案】[問題解決]；[嘗試應(yīng)用]，見詳解；[能力提升]【分析】[問題解決]利用勾股定理即可求出，最小值為；[嘗試應(yīng)用]在上取一點C使OC=4，通過證明得到，，所以，再求出AC的值，問題即可求解；[能力提升]由BD=3CD確定點D的運動軌跡是一個圓，過點D作于G，若△ABD面積的最大，則DG最大，所以DG過圓心，進而求解本題.【詳解】解：[問題解決]如圖，在中，，的最小值為，故答案為：；[嘗試應(yīng)用]如圖，在OB上取一點C，使OC=6，連續(xù)PO，PC，AC，，，，，，，過點C作于D，sin，，，在中，，最小值為；[能力提升]在BC上取一點E，使BE=6，延長BC到F，使BF=12，則，，，，，連接DE，DF，由，點E，F(xiàn)到BD，CD的距離相等，，DE，DF是的內(nèi)，外角平分線，，點D是平面內(nèi)任意一點，點D在以EF為直徑的圓O上，過點O作交AB的延長線于點G，交圓O于點D，則DG是直線AB到圓上的最大距離，此時的面積最大，，EO=3，在中，，，，，△ABD面積的最大值為，故答案為：【點睛】本題考查了圓和相似三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓的性質(zhì)，直徑所對的圓周角直角，角平分線的判定，最短路徑，銳角三角函數(shù)等知識，構(gòu)造輔助線是角本題的關(guān)鍵.19．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖1，平面內(nèi)有一點到的三個頂點的距離分別為、、，若有，則稱點為關(guān)于點的勾股點．(1)如圖2，在的網(wǎng)格中，每個小正方